Алгоритм интегрирования дифференциальных уравнений некоторого класса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517. 926

М.С.Токмачёв

АЛГОРИТМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ НЕКОТОРОГО КЛАССА

Институт электронных и информационных систем НовГУ, т. (8162) 62 99 72

First order differential equation yny' + A(x)yk + B(x) = 0 with definite condition imposed on the functions A(x) and B(x) is considered. The algorithms for integration of the above equation for some n and k are given.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, алгоритмы интегрирования уравнения

Введение

Как известно, интегрирование многих дифференциальных уравнений, даже первого порядка, связано с определенными трудностями. Часто эти проблемы носят принципиальный характер, и конкретное уравнение вообще не интегрируется в квадратурах. Поэтому задача классификации с дальнейшим указанием метода решения является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.

Данная работа представляет собой продолжение работ [1,2], в которых рассмотрены дифференциальные уравнения первого порядка вида

yny + A( x) y + B( x) = 0,

(1)

где п и k — действительные константы, а коэффициенты A(х) и B(х) связаны соотношением

B(x) = sA(x)(A(x)dx)n k+l

s = const, s Ф 0 . (2)

Заметим, что при 5 = 0 интегрирование уравнения тривиально. Преобразуем (1), представив коэффициенты А(х) и В(х) через новые функции:

A( x) = f' (x); JA(x)dx = f (x) + q, где q = const;

k

n-k+1

B(x) =s f (x) •(f (x) + q)

Тогда уравнение (1) запишется в виде

yny' + f' (x) yk +sf' (x)( f (x) + q)

n-k+1 _

= 0.

(3)

(4)

Уравнение (4) представляет новый класс дифференциальных уравнений первого порядка, пересекающийся с другими известными классами в зависимости от конкретных п и k.

Наиболее простым для решения является случай п = k . Методика интегрирования уравнения типа (4) при п = k = 1 (уравнения Абеля второго рода) представлена в [3]. Заметим, что при п = k = -1 уравнение (1) элементарно сводится к линейному уравнению и интегрируется вне зависимости от соотношения коэффициентов (2). В предлагаемой работе рассмотрены три подкласса уравнения (4): при

п = k = -2 (уравнение Риккати), п = k = -1 и

п = k = -2. Приведены алгоритмы интегрирования

дифференциальных уравнений и указаны соответствующие структуры решений, определяемые принадлежностью числового коэффициента 5 некоторым множествам. Разобраны конкретные примеры.

Основные результаты

I. Рассмотрим уравнение (4) при п = k = -2 :

У + 5-

/

-У2 + / = 0.

(5)

(/ + Ф

Уравнения вида (5) относятся к классу уравнений Риккати

У' = Р(х)У2 + б(х)у + Я(х).

При этом, как известно, с помощью некоторого преобразования (см., напр., [4]) всегда можно избавиться от коэффициента при искомой функции. К такому типу преобразованного уравнения и относится уравнение (5).

Согласно общей теории [1] замена переменной у = и(/ + д) приводит уравнение (5) к уравнению с

разделяющимися переменными относительно новой искомой функции и и независимой переменной х. Осуществив указанную замену, приходим к соотношению

Г ёи

■ = - 1п(С|/ + д|)

(6)

^ 5и + и + 1

Дальнейший ход решения зависит от корней трех-

2 ,

члена яи + и +1, т. е. полностью определяется числом 5, формирующим значение дискриминанта Б = 1 - 45. При Б > 0 корни квадратного трехчлена имеют вид

-1 -V1 - 45

-1 + л/1 - 45

25

25

(7)

Рассмотрим три возможных случая.

а) 5 = 1 (кратный корень и1 = и2 = -2).

Разрешаем уравнение (6). После ряда преобразований, возвращаясь к старой переменной, получаем общее решение

4(/ + - 2(/ + д),

(8)

У = -

1п(С/ + д|) _ У = 2( / + д).

б) 5 е (-да; 0) и (0; —). Два действительных различных корня и1, и2.

Вычисление интеграла в (6), преобразование полученного выражения и возвращение к переменной У приводят к общему решению

У = («1 - С/ + д|

/1-45

)(/+д)

1 - с/+д1-45

У = и] (/ + д),

у = и2( /+g),

где постоянные и1, и2 вычисляются согласно (7).

в) 5 >1 (нет действительных корней). Из (6) следует общее решение уравнения (5)

(9)

У

25

45 -1 tg

у/ 45 -1

2

1п(С|/ + д\)

+ 1к (10)

Таким образом, соотношения (8)-(10) в зависимости от параметра 5 представляют общее решение уравнения Риккати вида (5).

II .Рассмотрим уравнение (4) при п = к = - -2:

У + 5-

/

-■'¡У + / = 0.

(11)

4/+д

Вновь воспользуемся результатами [1], согласно которым замена переменной у = и(/ + д) переводит уравнение (11) в уравнение с разделяющимися переменными

Г ёи

- = - 1п(С/ + д\)

(12)

и + 5у[й + 1

Осуществляя замену переменной 4й = ґ, приходим к соотношению

г 2ійі

о

Ґ + 5Ґ + 1

= - 1п(С|/ + д|).

(13)

Решение (13) зависит от корней трехчлена (ґ + 5ґ +1):

Ґ1 =

- 5 -V 5 2 - 4

Ґ2 ='

- 5 + л/5 2 -

4

2 • . 2 ’ (14) следовательно, определяется числом 5. Рассмотрим все возможные случаи.

а) 5 = 2 (кратный корень ^ = /2 = -1).

Решение уравнения приводит к общему интегралу

4у + У / + д

21п

Г/

2У/+д

= - 1п(С|/ + д|). (15)

+д Гу+47+д

б) 5 = -2 (кратный корень ^ = /2 = 1). Решение уравнения приводит к общему интегралу

21п 4у-л/ /+д 2V у+д

^/+д 4у-л/ /+д

_ У = /+д.

■ = - 1п(С|/ + д|),

(16)

в) 5 > 2 Два действительных различных корня /1,/2, определяемых (14).

В итоге интегрирования (13) и дальнейших преобразований получаем общий интеграл вида

и, =

«о =

2

^+,-¿0=+1

/+д /д

у=ґ12(/+д),

Vу - у+д л/52-4

-72^1/ + д

С/ + д[

(17)

у=72(/+д)-

г) 51 < 2 (нет действительных корней).

Общий интеграл исходного уравнения (11) имеет вид

1п

У

• + 5.

/+д \/+д

У

2.

■+1

74-

У

+5

52 \4 - 5 2

= - 1п(С|/ + д|) (18) Таким образом, соотношения (15)-(18) в зависимости от параметра 5 представляют общий интеграл уравнения (11).

III. При п = к = 2 дифференциальное уравнение (4) имеет вид

1 _1_

у' + 5/'(/ + д)2у 2 + / = 0, (19)

где / = / (х), у = у( х). Согласно [1] замена у = и(/ + д) переводит уравнение (19) в уравнение с разделяющимися переменными относительно аргумента х и новой искомой функции и = и(х). Действительно, произведя указанную замену искомой функции, получим

и' (/ + д) + /' (и + 5и 2 + 1) = 0, откуда следует

4йёи = / ёх

—/=г1----/=---= —7------. (20)

(л/и ) +•>/и + 5 I + д

Проинтегрируем обе части (20), тогда

г 4и ёи

I —=------=----= - 1п с (/ + д), (21)

•’(Vи ) + Vи + 5

где С — произвольная постоянная.

Далее займемся вычислением интеграла в левой части (21):

4й = t

ёи

(4й )3 + 4й + 5

и = Ґ ёи = 27 ёt

3

І 7

272 ё7

3 + 7 + 5

(22)

Найдем корни трехчлена t +1 + 5 . Как известно (см., напр., [5]), неполное кубичное уравнение

3

t + pt + д = 0 имеет корни

71 = А + В 72,3 =-

2

-± і-

2

(23)

где

А = *

2_. В = V-1-Тё, 0 = (|) +(§ 1. (24)

В нашем случае соответствующие коэффициенты р = 1, д = 5 . Найдем значение ё, которое и оп ределяет вид корней:

0=( 3 Г+(2)2 = ^+52.

Так как 2 > 0 при любых 5, то структура корней следующая: 71 — действительный корень, 72, 73 — комплексно-сопряженные корни. При этом (см.

(23))

= А + В,

72 + 73 = -(А + В) = ^, 7 7 =-5 =- 5

2 73 = =

(25)

Ґ1

А + В'

Исходя из (25) и применяя теорему Виета, получаем разложение

3 2 5

t + t + 5 = ^ - t])(t + ^ t--) —

tl

=(t - (А+В)) ^7:2 +(А+В) - а+в ).

Далее раскладываем дробно-рациональную функцию на простейшие:

Ьґ + А

73 + 7 + 5 7 - (А + В) 72 + (А + В) 7 -

(26)

А+В

где

2(А+В)3

Ь =

2(А+В)3 - 25.

2(А + ВГ - 5 2(А+Ву - 5

А = -

25(А+В) ; 2(А + В)3 - 5’

(27)

А+В = 71 =^-2^ 27+Т + V-2Ч 27+^Г. (28)

Используя (26), вычислим интеграл в выражении (22):

2

г_27_Л_ г

■>7 + 7 + 5 ■>

7 - 71

+

Ы + А

7 + 71 7----------------------------------------

ё7 = а 1п| 7 - 7^ +

7 +-1

■ атС#

- 5 - 71. 71 4

- 5 - 7_ 71 4

Полученный интеграл вычислен в предположении, что t +1 + 5 Ф 0, т. е. t Ф t1. Добавив решение t = t1, (см. (28)) и возвращаясь к старой переменной

У

7 = 4й = „ .

/ + д

уравнения (19):

из (21) получаем общий интеграл

а 1п

- 71 ь 1 Г + -- 1п

V/+д 2 V

У

• + 71

х-----Г‘1 Л х----

/+д ‘V/+д 71

+1 А -

=аrctg-

У

/ + д 2

5 71

71 4

= - 1п С(/ + g),

5 71

71 4

у = 71(/+д).

5

1

а

5

а =

а

1 У

1

5

+

7

1

Примеры

Приведем характерные примеры дифференциальных уравнений, имеющих указанную выше структуру и интегрируемых по указанным алгоритмам. Отметим, что представленные уравнения в известных справочниках среди уравнений, имеющих решение, как правило, отсутствуют.

Уравнения типа I

1) у +----Ь—2 у 2 + а = 0.

(ax + q)

b

В данном уравнении Риккати /(х) = ах + д, 5 = —.

Общее решение записывается по одной из формул (8)-(10) в зависимости от конкретного значения 5.

-14 ' 2 . Ь

2) y = ay +—.

X

Это уравнение известно как специальное уравнение Риккати. В приведенном выше алгоритме f (х) =

= Ь s = ab . Заметим, что в достаточно полном спра-

х

вочнике [6] общее решение указанного уравнения (см.1.2.2., уравнение 36) найдено, исходя из одного

X

известного частного решения — :

х

X 2aX ( aX 2aX ^ 1

У =-----X I ----------X + C I ,

х v 2aX +1 )

где X — корень квадратного уравнения aX2 + X + Ь = 0. Однако это решение пригодно лишь для случая различных корней Xj, X2, т. е. при условии ab < -4 (в наших обозначениях s < -4). Другие два случая, s = -4 и

s > -4, выпали из рассмотрения. Оказывается, что в

каждом из рассмотренных случаев для нахождения общего решения необходимо использовать свое частное решение. Приведенные в работе алгоритмы выдают готовое общее решение в любом случае соотношений a, Ь и без нахождения частных решений: см. вы-

ражения (8)-(10).

, b cos X 2 , А

3) y +-----2— У + a cos X = 0.

sin X

В данном уравнении f (x) = a sin X, s = ab .

Л\ f i L -kx 2 , kx r,

4) y + be y + a e = 0.

t-, /v \ a kx ab

В этом уравнении f (х) = — e , s = —r- .

k k2

Уравнения типа II

m 1

5) y' + bx 2 yfy + a xm 1 = 0, (am > 0).

гч s* / \ a m b

Здесь f (X) =— X , s = m

Приведем некоторые частные случаи:

y' + bx*[y + ax3 = 0, (m = 4, a > 0);

y + b^xy + ax = 0, (m = 3, a > 0);

y

' ^-bT'4y +-^3 = 0, (m = -2, a < 0).

6) y' + b sinxjy - asin2x = 0, (a > 0). В данном случае f (x) = a cos2 x.

2

7) y' + XJy +a-fx = 0, (a > 0).

a2 2

В данном уравнении f (x) = x.

Уравнения типа III

8) y' + ax3p 1 y 2 + bx2p 1 = 0, (b • p > 0).

Это уравнение имеет вид (19) при f = -^x2p,

2 P

q = 0, 5 =

a 2 p

b V b '

Укажем ряд частных случаев уравнения при некоторых значениях параметра p:

_ 1

y ’ + aх2y 2 + bx = 0, (b > 0, p = 1);

2

y ’ + ax2y 2 + bx2 = 0, (b > 0, p = 1.5);

_ 1

y' + ax5y 2 + bx3 = 0, (b >0, p = 2);

_5 __1

y' + ax 2y 2 + bx 2 = 0, (b <0, p = -0.5);

_ 1

y + ax 4y 2 + bx 3 = 0, (b <0, p = _1).

3kx 1

9) y + ae 2 y 2 + bek = 0, (k• b > 0).

,■ b kx р. a \k В данном уравнении f = e , q = 0, s = byb '

_ 1

10) y' + a sinx sin2xy 2 + b sin2x = 0, (b > 0).

11) y + a cosx sin2х y 2 _b sin2х = 0, (b > 0).

Заключение

Разработанные методы и представленные в зависимости от параметра s структуры решений (общих интегралов) рассматриваемых дифференциальных уравнений позволяют не только алгоритмизировать процесс интегрирования (идентификация уравнения на принадлежность к данному классу — вычисление параметров — запись решения или интеграла уравнения — возможное упрощение полученного выражения), но и достаточно просто реализовать процесс решения на компьютере.

1. Токмачёв М.С. / Деп. в ВИНИТИ от 20.07.1995. №2245-В95.

8 с.

2. Токмачёв М.С. / Деп. в ВИНИТИ от 10.05.1995. №1308-В95.

9 с.

3. Токмачёв М.С. // Вестник НовГУ. Сер.: Математика и информатика. 2002. №22. С.19-23.

4. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 4-е, испр. и доп. Минск: Вышэйш. школа, 1974. 768 с.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. С.832.

6. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

x

x