CC BY
39
А. А. Попов, Н. А. Бутаков
75
рисунков и таблиц, развитые средства импортирования графиков, обеспечивает автоматическую нумерацию формул, ссылок и других подобных объектов в сочетании с эффективным механизмом перекрестного цитирования. Подлинного совершенства LaTeX достиг в форматировании математических формул. Ни одна другая издательская система не сумела достичь тех же вершин в этой области издательского ремесла...» [2]. LaTeX, дефакто, является стандартным средством подготовки научных публикаций во всем мире. Несмотря на кажущуюся сложность использования системы, ее богатые возможности приводят к все большей ее популярности, в том числе, ничто не мешает использовать LaTeX для подготовки к урокам математики в школе. Для успешного освоения школьного курса стереометрии 10-11 классов необходимо, чтобы у учащихся было развито пространственное воображение. Заметим, что у школьников в некоторых случаях возникают затруднения при решении задач на построение сечений пространственных тел. Подготовленный качественный демонстрационный материал с изображением нужного для данного урока многогранника или круглого тела с поэтапным построением сечений как в простых, так и в сложных случаях многократно усиливает восприятие старшеклассников. Разработанный метод создания электронных учебных материалов с использованием пакета LaTeX позволяет быстро и на высоком полиграфическом уровне создавать необходимые графические и математические модели. Особенно выигрышен данный подход при изучении главы «Метод координат в пространстве» при решении задач по темам «Простейшие задачи в координатах», «Движение», так как позволяет демонстрировать выполнение задания «в движении». Удобно использовать возможности LaTeX и на уроках алгебры во время прохождения темы «Преобразование графиков тригонометрических функций». Демонстрация поэтапного растяжения, сжатия, смещения графиков с безупречным качеством изображения очень важна для успешного освоения темы. Все учебные материалы, созданные по данной методике, имеют формат pdf. Немаловажно, что все используемые при этом программные средства бесплатны и свободны для использования.
Список использованных источников
1. Львовский С. М. Набор и верстка в пакете LaTeX. — М.: МЦНМО, 2003.
2. Котельников И. А., Чеботаев П. Э. LATEX по-русски. — Новосибирск: Сибирский хронограф, 2004.
3. Tantau T. The TikZ and PGF Packages, Manual for version 2.00, http://sourseforge.net/projects/pgf/
А. А. Попов, Н. А. Бутаков
Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола
Иллюстрирующая программа
ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Приведено описание интерактивной компьютерной программы на языке Java, реализующей аналитические преобразования при сведении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными к общему решению или к общему интегралу.
При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными студентам необходимо освоить процедуры разделения переменных и внесения функций под знак дифференциала. Они также должны научиться записывать общее решение в наиболее простом виде, используя элементарные преобразования для логарифмов. Все преобразования, которые необходимо выполнить при аналитическом интегрировании дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, можно оформить в виде иллюстрирующей компьютерной программы. В данной работе обсуждается алгоритм составления такой программы.
Рассмотрим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными y’ = g(x)h(y) [1]. Разделяя переменные и вводя первообразные H(y) и G(x) для левой и правой частей уравнения с разделенными переменными, можно получить общий интеграл H(y) = G(x) + C, где C — постоянная интегрирования.
Преобразования при получении общего интеграла содержат процедуры разделения переменных и внесения функций по знак дифференциала.
Существуют другие приемы упрощения промежуточных выражений. Для линейного однородного дифференциального уравнения y’ = g(x)y в результате упрощения общего решения с использованием свойств лога -рифмов нетрудно показать, что оно может быть записано в виде произведения константы интегрирования и экспоненциального сомножителя с интегралом в показателе степени. Логарифмические преобразования охватывают задачи двух видов. Первая группа задач в окончательном решении содержит экспоненциальный множитель. К данной группе сводятся те задачи, для которых показатель функции заменяется функцией G(x), т. е. jg(x)ax = G(x) ^ G’(x) = g(x).
В этом случае общее решение будет содержать экспоненциальный сомножитель.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРЕПОДАВАНИИ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
К другой группе задач относятся те, для которых экспоненциальный сомножитель заменяется функцией G(x). В итоге подынтегральную функцию g(x) необходимо представить в виде: g(x) = (lnG(x))'.
В этом случае общее решение будет представлено в алгебраической форме у = CG(x).
Для получения решения задач данного вида не используется основное логарифмическое тождество, как для задач предыдущего вида, но используется свойство для суммы логарифмов.
Существует еще один вариант однородного линейного дифференциального уравнения, в котором используются различные виды преобразований, но переменные x и у меняются местами. Функции G(x) и H(y) выбираются из одной и той же последовательности элементарных функций: cos(...), sin(...), tg(...), ctg(...), arcsin(...),
arctg(...), V....
Аргументами элементарных функций G(x) и H(y) выбраны квадратные трехчлены A(x) и B(y), коэффициенты которых генерируются случайным образом.
В качестве языка программирования выбран язык Java [2]. Для каждого из 4 вариантов решения разработан свой класс. Выходной информацией класса является массив из строк. Строки закодированы таким образом, чтобы из них однозначно следовало графическое представление [3]. Решение подобного вида является основой для любого вида компьютерных программ. Например, для иллюстрирующей программы достаточно символы графического представления решения поместить в массивы, а затем организовать его посимвольный вывод.
На рисунке 1 приведен процесс разделения переменных и интегрирование уравнения с разделенными переменными. Константа интегрирования выбрана в виде lnC. Далее путем внесения радикала под знак дифференциала образуется табличный интеграл, сводящийся к логарифму.
Рис. 1. Линейное однородное уравнения, общее решение которого преобразуется с использованием свойств логарифмов
sin(2y+5)cos2(4x+9)
dy _ 1_______4
dx 2sin(2y+5) cos2(4x+9)
■2sin<2¥tS,dy=^^jtlx
■^n(2f**=J'rfbiax
Рис. 2. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сводящееся к общему интегралу
На рисунке 2 процесс решения доведен до интегрирования уравнения с разделенными переменными. Далее под знаками дифференциалов будут образованы аргументы подынтегральных функций. В результате интегралы станут табличными.
Иллюстрации с посимвольным выводом формул соответствуют написанию символов на аудиторной доске и являются привычными для студентов.
В заключение отметим, что программирование аналитических преобразований открывает новые возможности при использовании компьютерных технологий в учебном процессе.
1 2
3 4
Список использованных источников
1. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения. — СПб.: Лань, 2006. — 288 c.
2. НоутонП., Шилдт Г. Java 2: пер. с англ. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — 1073 с.
3. Попов А. А. Тренажер по аналитическому решению линейных дифференциальных уравнений методом Лагранжа // Новые информационные технологии в образовании: материалы междунар. науч.-практ. конф. — Екатеринбург, 2011. — Ч. 1. — С. 199-202.
А. А. Попов, С. Н. Царегородцев
Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола
Иллюстрирующие программы, реализующие алгоритмы
ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Приведено описание интерактивных компьютерных программ на языке Java, реализующих задачи интегрирования дробно-рациональных выражений. Запрограммированы процессы выделения целой части неправильной дроби, разложения правильной дроби на простые дроби с использованием метода неопределенных коэффициентов и интегрирования простых дробей.
Интегрирование дробно-рациональных выражений построено на элементарных преобразованиях, позволяющих свести исходный интеграл к сумме интегралов от простых дробей. Студентам необходимо освоить такие вопросы, как выделение целой части дроби, разложение правильной дроби на простые множители с помощью метода неопределенных коэффициентов, нахождение коэффициентов разложения из системы линейных алгебраических уравнений, выделение полного квадрата в квадратном трехчлене [1]. Представить весь процесс решения на аудиторной доске, как правило, требует значительных усилий преподавателя. С другой стороны, подобные решения легко алгоритмизируются и могут быть представлены в виде компьютерных иллюстрирующих программ.
Выделение целой части дроби, и выделение полного квадрата в знаменателе дроби рассмотрены отдельно от метода неопределенных коэффициентов. В исходном интеграле степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе. Все коэффициенты выбраны так, чтобы в процессе деления многочлена на многочлен не образовывались дробные числа, а знаменатель не имел действительных корней. В итоге получается интеграл от суммы степенных функций и правильной дроби. При делении запоминаются коэффициенты многочленов, которые образуются в промежуточных действиях. Рассмотрены варианты интегрирования простой дроби с квадратным трехчленом путем выделения полного квадрата в знаменателе и сведения интеграла к двум табличным интегралам при различных комбинациях знаков коэффициентов в знаменателе.
Метод неопределенных коэффициентов иллюстрируется на интеграле вида
г A3 x + A2 x + A, x + A0
I----3-----2—-—1-----0-—- dx .
(x - a)(x-b)(x + px + q)
Подынтегральная функция является правильной дробью, в знаменателе которой, кроме квадратного трехчлена, имеются еще два линейных сомножителя. Коэффициенты выбираются так, что в разложении подынтегральной функции на простые дроби
A3 x3 + A2 x2 + A, x + A0 F3 + F2 + F, x + F0
(x- a)(x -b)(x2 + px + q) x- a x -b x2 + px + q
неопределенные коэффициенты F после их нахождения оказались бы целыми числами. После приведения правой части к общему знаменателю, отбрасывания одинаковых знаменателей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x получается система линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов, после нахождения которых исходный интеграл можно представить в виде суммы интегралов от простых дробей. Случай разложения, когда a = b, выделен отдельно.
В качестве языка программирования был выбран язык Java [2]. Рассмотренным трем вариантам разложения соответствуют три класса, в каждом из которых записано специально закодированное решение в виде массива строк. В качестве специальной разметки строк здесь выбраны последовательности символов «<...>{...}» и «[...]». В угловые скобки помещается числитель дроби, в фигурные скобки — знаменатель дроби, в квадратные скобки — показатель степени. В разложениях на простые дроби неизвестными являются только коэффициенты F. Индексы специально не кодируются, т. к. заранее известно, что каждый из них следует после символа F.
Массиву строк, который определяет то или иное решение, поставлено в соответствие графическое представление. Причем информация о значении символа, его координатах, размерах и цвете размещена в массивах, что позволяет решение каждой задачи выводить на экран посимвольно.
