Оператор инвариантного дифференцирования и его применение для интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 4 (2017). С. 12-21.

УДК 512.925

ОПЕРАТОР ИНВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Р.К. ГАЗИЗОВ, A.A. ГАЙНЕТДИНОВА

Аннотация. Предложен алгоритм интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) n-го порядка, допускающих n-мерную алгебру Ли операторов. Алгоритм базируется на представлении рассматриваемого уравнения через инварианты допускаемой алгебры Ли и применении оператора инвариантного дифференцирования (ОИД) специального вида. Показано, что для скалярных уравнений он эквивалентен известным методам понижения порядка. Изучена применимость метода к системам т ОДУ fc-ro порядка, допускающим fcm-мерную алгебру Ли операторов. Получено условие на допускаемую алгебру Ли, при выполнении которого можно построить ОИД в специальном виде и понизить порядок рассматриваемой системы ОДУ. Такое условие является следствием существования нетривиальных решений системы линейных алгебраических уравнений, коэффициентами которой являются структурные константы алгебры Ли. Приведен алгоритм построения (km — 1)-мерной алгебры Ли для редуцированной системы. Представленный подход применяется для интегрирования систем двух ОДУ второго порядка.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, алгебры Ли операторов, дифференциальные инварианты, оператор инвариантного дифференцирования.

Mathematics Subject Classification: 34А25, 22Е05

1. Введение

Групповой анализ предоставляет широкий набор инструментов для исследования сим-метрийных свойств дифференциальных уравнений, понижения их порядка и интегрирования этих уравнений в квадратурах (см. [1]-[4] и др.).

Для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) наиболее распространенными являются методы последовательного понижения порядка, предусматривающие либо введение так называемых канонических переменных, либо использование дифференциальных инвариантов (см., например, [4, 5]). Согласно первому методу, на первом шаге уравнение приводится к некоторому каноническому виду, а затем известными методами приводится к уравнению меньшего порядка. Второй метод основан на применении дифференциальных инвариантов допускаемой группы и операции инвариантного дифференцирования (т. е. операции дифференцирования одного дифференциального инварианта по другому инварианту меньшего порядка).

R.K. Gazizov, A.A. Gainetdinova, Invariant differentiation operator and its application for

integrating systems of ordinary differential equations.

©Газизов P.K., Гайнетдинова A.A. 2017.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации по государственному заданию № 1.3103.2017/4.6.

Поступила 2 октября 2017 г.

Классическая теория дифференциальных инвариантов была заложена С, Ли [1] и получила развитие в работах А. Трессе [6], Л,В, Овсянникова [2]. Важным понятием этой теории является понятие оператора инвариантного дифференцирования (ОИД) — линейного дифференциального оператора, действие которого на произвольный дифференциальный инвариант снова дает дифференциальный инвариант (как правило, более высокого порядка), Различные подходы к построению ОИД рассматриваются в [2, 7, 8], В ряде работ ОИД используются для построения базиса дифференциальных инвариантов допускаемой алгебры в задачах классификации дифференциальных уравнений (см., например, [9] [11]), В работе [12] был предложен метод интегрирования систем двух ОДУ второго порядка с четырьмя симметриями, являющийся вариантом метода последовательного понижения порядка. Метод использует результат классификации систем двух ОДУ второго порядка с четырьмя симметриями и базируется на использовании ОИД для построения первых интегралов этих систем. При этом результат классификации систем ОДУ второго порядка использовался для доказательства того, что системы рассматриваемого вида имеют ОИД в виде, позволяющем использовать его для получения первого интеграла системы,

В данной работе предложенный в [12] метод обобщается на дифференциальные уравнения произвольного вида, В частности, показано, что для скалярных уравнений он эквивалентен известным методам понижения порядка. Изучена применимость метода к системам т ОДУ к-го порядка, допускающим кт-мерпую алгебру Ли операторов. Получено условие на допускаемую алгебру Ли, при выполнении которого можно построить ОИД в виде, позволяющем использовать его для понижения порядка рассматриваемой системы ОДУ, Также показано, что построенная таким образом редуцированная система допускает ( кт — 1)-мерную алгебру Ли, и для нее возможно дальнейшее использование предложенного метода,

2. Построение оператора инвариантного дифференцирования Рассмотрим систему

и(к) = ¡(1,и,и(1),...,и(к-1)) , (1)

т обыкновенных дифференциальных уравнений к-го порядка, которая допускает п = кт-мерную алгебру Ли Ьп, порождаемую базисными операторами

я т я

Х = * й + Еб^ • г=1--п.

а=1

Здесь Ь — независимая переменная, и = (и1,...,ит) — вектор зависимых переменных, и(к^ — вектор производных к-го порядка, ъ, — известные функции от Ь,и, f = (/1,..., /т) — вектор-функция указанных аргументов.

Дифференциальные инварианты алгебры Ьп находятся как решения системы

х(к)1 = 0, г = 1,... ,п, (2)

где Хг(й) получается из оператора Х^ продолжением на все производные до к-го порядка, а функции I = 1(Ь,и,и(1\ ... ,и(к)) — искомые функции. Введем в рассмотрение матрицу

t\ tm /1(1) >m(fc)

'1 У ... ?1 S1 ... S1

t1 tm A(1) rm(k)

' n On ... Sn S n ... S n

v(k)

составленную из координат продолженных операторов Х\ , и пусть

rang Q(fc) = п.

Тогда система (2) имеет т +1 функционально независимое решение. Если система (1) задает неособое многообразие относительно группы преобразований, порождаемой операторами алгебры Ьп, то она может быть представлена в инвариантном виде (см., например, [2, 3]), В этом случае решение (1) определяет т независимых инвариантов порядка к (а = 1,..., т) и один инвариант I меньшего порядка. Порядок инварианта I определяется следующим образом: если для 1-го продолжения (7 = 0,... ,к — 1) ранг матрицы меньше (I + 1)т + 1, то порядок / равен I. (В общем случае, га^П(г) равен т(1 + 1) + 1 и из условия = п следует, что только для единственного I может выполняться

приведенное неравенство.)

Пусть уравнение (1) имеет следующее инвариантное представление:

1(ак) = Ра(1), а = 1,... ,т, (3)

где — некоторые функции. Поетро им ОИД АА, где А = \(Ь, щ,..., ит,..., и..., ит)

Согласно [2], функцию А можно найти из системы уравнений

х(к\\) — ^ (п) = 0. (4)

Применим построенный ОИД к инварианту младшего порядка:

аа(/ ) = в(1,1[к\...,1(т),

где

— некоторая фунция. Рассматривая получившееся выражение на решении системы (3), получим

АА(/)|(3) = <(1), (5)

где <Э(/) = в (I, /\(/),..., Рт(1)). Уравнение (5) также можно переписать в виде

^ = X. (6)

©(/) А 1 ;

Заметим, что левая часть уравнения (6) интегрируема в квадратурах, а правая часть интегрируема, только если функция А предетавима в специальном виде

А = дМ (7)

с некоторой функцией Ф = Ф(£, и1,..., ит,..., и1 ..., и^т

Покажем, что функцию А для ОИД можно построить в виде (7). Подставляя выражение (7) в (4), получаем

1 \х(к) (АФ) + А$А &)) =0,

(АФ)2

откуда (см., например, [2])

А(#-1) Ф) =0. Таким образом, функция Ф должна удовлетворять системе

х(к-1)Ф = Сг, г = 1,...,п (8)

с некоторыми постоянными Сг. Система (8) является системой линейных неоднородных уравнений в частных производных первого порядка. Для того чтобы она имела решение, необходимо, чтобы она была совместна и полна.

Исследуем совместность системы (8), построенной для операторов, допускаемых системой ОДУ (1). Рассмотрим матрицу 0,(к-1\ составленную из координат операторов Х^ 1). Это матрица размеров п х (п + 1) и ее ранг равен п (в противном случае, если

га^П(й-1) < п, система (1) не имеет инвариантного представления, так как допускаемая группа преобразований имеет больше, чем один, инвариантов младшего порядка и, соответственно, меньше, чем т, инвариантов к-го порядка). Следовательно, система (8) совместна при любых С%.

Для исследования полноты системы (8) введем в рассмотрение операторы

У _ Х(к-1) + С д У _Хг дф.

Согласно общему методу исследования (см., например, [13]) систем линейных неоднородных уравнений, полнота системы (8) равносильна замкнутости системы операторов {У} относительно операции коммутирования. Имеем

[У, У ]

(*-1) + С д Х(к-1) + С д ( дф,Х дф

_ [Х<*-1),Х<*-1)]

п п , о \

£4х?-1) _ -С.дф)

8=1 8=1 4 /

Отсюда следует, что система операторов {У} замкнута, если постоянные С3 удовлетворяют системе алгебраических уравнений

"гз

8=1

4С _ 0. (9)

Система (9) имеет только тривиальное решение С3 = 0,5 _ 1,...,п, если п > 3 и ранг

п. ф

инвариантом допускаемой алгебры Ли, т.е. ф _ ф(/), и поэтому получаемый оператор не

(не повышается порядок дифференциального инварианта),

п < 3 п > 3, п,

ненулевое решение ( С0,..., С®)т, где хотя бы одна константа С0 _ 0. В качестве функции ф для ОИД можно выбрать любое частное решение системы (9) с константами Сг _ С0. Такая функция ф инвариантна относительно линейных комбинаций вида С0Xг — С^Х^ :

(С®Хг — С0Х3) (ф) _ С0Х (ф) — С°Х, (ф) _ С0С0 — С0С0 _ 0.

Покажем, что среди этих линейных комбинаций можно выделить п — 1 линейно независимую, которые образуют алгебру Ли,

Пусть С0 _ 0 и рассмотрим операторы Х^ _ С0Х1 — С^0Х1, г _ 2,... ,п.

1, Эти операторы по построению являются линейно независимыми, т.к. операторы Х1,..., Хп образуют базис алгебры Ли Ьп.

2, Любые другие комбинации можно выразить через выбранные:

С0 / ч г<0 / ч г<0 С0

_Сз (П0у V ^ С ^ \ С ^

ч Х3 _ 7^0 СкХ1 — Хк

Г10 V Г10 V _ ^з (Г*0 ЛТ V А Ск (ГУ0 V V А __V ' 3 V

— _ С0 — Хк) — С0 [С3Х1 — Х3) _ С0 Х — Хк

3, Покажем, что множество операторов {Х¿} замкнуто относительно операции коммутирования, Имеем:

[Хг, Хз] _ [С0Х1 — С0Xi, С0Х1 — С1Xj] _ С0 (Сj[X1, Хг] — Сг0[Х1,Х^] + С1[Хг

п

С0 £ (С0 с!г — С0^ + С0 ^) х

п

С0 (С.°с1г — + С1 С^) Х1 + ^ {С°] С\г — СС'.1] + С1 С\.)) (С0Х1 — ХГ^

г=2

п

У^ (С°сги — С0+ С°с^) С®Х\ — ^ (С°с^ — сЦ^ + С°4) Хг

г=1 г=2

= —ЕС С1г — С0С1,Г + С0 ,

г=2

где первая сумма в предпоследней строке равна нулю в силу (9), Тогда

п

[Х, Х] = £ ^Х3, где % = Сс1г — СОс1у + СО4.

«=1

Таким образом, операторы Х^ порождают (п — 1)-мерпую алгебр у Ли Ьп-1. Кроме инвариантов алгебры Ьп, редуцированная алгебра Ьп-1 имеет еще один дополнительный инвариант — функцию Ф.

Вернемся к интегрированию уравнения (6), Оно может быть переписано в интегрируемом виде

= А(Ф)

в(1) '( )

и его решение вида

Н(Ф, I) = 0

с некоторой функцией Н является первым интегралом системы уравнений (3), Добавляя это уравнение к системе (3) и удаляя дифференциальные следствия, приходим к системе порядка кт — 1, допускающей построенную ранее алгебру Ьп-1. Таким образом, доказана следующая

т к п

(п = кт) алгебру Ли Ьп операторов Хг = 1,...,п, и представима, через дифференциальные инварианты 1(1), /1^,..., 1т"1 этой алгебры в виде (3) (I и к — порядки дифференциальных инвариантов). Пусть система линейных алгебраических уравнений (9):

п

£ 4С = 0, 8=1

где с^ — структурные константы алгебры, Ьп, имеет нетривиальное решение. Тогда, можно построить ОИД вида

Щф)^

такой, что справедливо соотношение

1

А(/ «)|(з) = ё(1(1)),

йь (Ф)

которое интегрируемо и порождает первый интеграл, систем,ы, (1). Система поп — 1 ,

(п — 1)-мерную алгебру Ли Ьп-1 с базисными, операторами, которые строятся как линейные комбинации операторов с коэффициентам,и, определяемыми решением системы, (9).

п

п

3. Интегрирование скалярных ОДУ

3.1. Уравнение первого порядка. Рассмотрим процедуру применения О! 1.1 для интегрирования уравнения первого порядка

х_/(Ь ,х), (10)

допускающего один оператор

д д Х _т(г ,х) т + ^ ,х) м

Такой оператор имеет по одному независимому инварианту нулевого /(0)(£,х), и первого /(1)(£,х,Х) порядков, а уравнение (10) имеет инвариантное представление

/(1) _ р(/(0)). (П)

Вычислим ОИД, Пусть А _ (Д4ф)-1, где ф _ ф(£, х) находится из уравнения

Х (ф) = гф4 + £фж _1. (12)

(0)

' и ^(0)) ™

с некоторой функцией а, интегрирование которого дает решение уравнения (11). Рассмотрим уравнение (10) в эквивалентном виде

м (г ,х)<г + ж (г ,х)<х _0. (14)

Из системы характеристических уравнений

<И _ ¿х _ dФ

для (12) в силу (14) имеем

М(х- »>:<и+ »(х V) ¿х

1

тМ

тМ + ^ тМ + что эквивалентно умножению уравнения (14) на интегрирующий множитель ^

(см., например, [4]),

ф

нения (14),

ф (0)

Тогда уравнение (13) допускает оператор переноса . Следовательно, нахождение ф также эквивалентно построению новой зависимой переменной при приведении допускаемого оператора к оператору переноса.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

2

х + х2 _ —, (15)

Ь 2

допускающее оператор Х _ — х^. Уравнение (15) запишем также в эквивалентном виде:

¿х + ( х2 — 4) ¿¿_0. (16)

Х (0) _ х, (1)

_ Ь 2х .Функция ф для ОИД (И^) находится из уравнения Хф _ 1 и, значит, ф _ 1п Ь + ф(£х), где ф(£х) — произвольная функция от инварианта оператора Х. Выберем ф _ 1п ¿. Тогда ОИД имеет вид tDt.

Подействуем полученным ОИД на инвариант 1(0 :

(0^)\{Щ = 1(0) + 2 — (I(0))2

Отсюда получим

с\1(0) сИ

(17)

или, в исходных переменных,

2 +1(0) — (I(0))2 г С (Ьх)

2 + Ьх — (гх)2

а(1п^). (18)

Легко видеть, что построение этого уравнения эквивалентно умножению уравнения (16) на интегрирующий множитель ^ = г,2х2 Д 2.

3.2. Уравнение второго порядка. Применим рассмотренный алгоритм для интегрирования дифференциального уравнения второго порядка

X = ¡(Ь, х, X), (19)

допускающего алгебру Ли Ь2 с базисными операторами

д д Хъ = п(г,х) — + ,х)дх, % = 1,2.

Рассмотрим, например, случай, когда коммутатор допускаемых операторов [ Х1 , Х2 ] = Х1 Х1 Х2

Х1 V Х2 = т-\^2 — т^ = 0 (см., например, [4]). Тогда алгебра Ь2 имеет два дифференциальных инварианта 1(1^(1 ,х,х) и 1(2\1 ,х,х,х) и уравнение (19) можно переписать в виде

1(2) = Р (I(1)) (20)

с некоторой функцией Р.

Построим ОИД в виде (И^)-1 Из условия полноты соответствующей системы ви-

Ф( , х)

Х1 (Ф) = пФг + &ФХ = 0, Х2 (Ф) = Т2Фг + ЬФх = 1.

Если 10 — алгебраический инвариант оператора Х1, то общее решение первого уравнения системы записывается в виде Ф = ф( 10), а второе уравнение в силу условия [Х1,Х2] = Х1 определяет данную функцию ф. Таким образом, функция Ф является алгебраическим ин-

Х1 .

Щ1 {1)) = ё(1(1)) (21) (20)

Ог(Ф)

с некоторой функцией О. Интегрирование этого уравнения дает первый интеграл исходного уравнения Н( 1(1, Ф) = 0. Получившееся уравнение допускает оператор Х1, следовательно, его можно проинтегрировать в квадратурах.

С другой стороны, по классическому методу понижения порядка для первого шага выбирается оператор Х1, образующий идем допускаемой алгебры Ь2. Тогда выбирая в качестве алгебраического инварианта для Х1 функцию ф( 10), а в качестве инварианта первого порядка — инвариант 1(1 алгебры Ь2, получим аналогичное редуцированное уравнение первого порядка (21). Следовательно, показано, что при подходящем выборе дифференциальных инвариантов, классический метод последовательного понижения порядка и метод понижения порядка с использованием ОИД приводят к одному и тому же редуцированному уравнению.

Особенность метода понижения порядка с применением О! 1.1 заключается в том, что редуцированное уравнение записывается в исходных переменных и его симметрия получается как линейная комбинация исходных операторов. Пример 2. Рассмотрим уравнение

х_ х2 — Ь (22)

допускающее операторы

X ¿2д Ь д х ¿д х д 1 дЬ дх, 2 дЬ 2 дх,

[ Х1 , Х2 ] _ - Х1 .

Инварианты допускаемой алгебры имеют вид /а) _ хх- ^, /(2) _ х3х. Коэффициент ОИД находится из системы уравнений

Х1 (ф) _ 0, х21) (ф) _ 1,

где ф _ ф(£, х). Получаем ф _ 21п |, _ ^д-д^И и применение ОИД к инварианту Д с учетом (22) дает выражение

¿/(1) 1

ТОТП _ — 2<ф* <23>

Интегрирование этого соотношения приводит к редуцированному уравнению

>х (^хх >х) >х -1

- _ — - 1,

1 -

Х1 .

получается при использовании классического метода, если в качестве инвариантов опера-

2

тора Х1 выбрать 10 _ — 21п | и Д _ ххх — -.

4. Система двух ОДУ второго порядка Рассмотрим системы вида

(24)

% = f{t,х,у,:Ь, y),

У = g(t,x,y,i;, у),

допускающие четырехмерные алгебры Ли операторов с базисом

д д д Xi = n(t ,х, у) — + £i(t ,х, у) — + r]i{t ,х, у) — , i = l,..., 4.

Пусть система (24) имеет следующее инвариантное представление

/J2) = F(/), /22) = G(I), (25)

с некоторыми функциями F и G, вде I — дифференциальный инвариант первого порядка

(2)

или алгебраический инвариант, а Гк , к = 1, 2, — дифференциальные инварианты второго порядка,

В работе [12] показано, что если система (24) имеет инвариантное представление (25), то система (9) всегда имеет нетривиальное решение. По-видимому, это связано с тем, что все четырехмерные алгебры Ли разложимы в прямую сумму подалгебр меньших размерностей, одна из которых является разрешимой. Поэтому для всех систем двух ОДУ второго порядка с четырьмя симметриями, допускающих инвариантное представление (25), возможна редукция к системе третьего порядка. Далее, если система вида (9) для редуцированной алгебры L3 имеет нетривиальное решение, то порядок редуцированной системы также может быть понижен. Можно показать, что для всех разрешимых алгебр L3 система вида (9) имеет нетривиальное решение, а для неразрешимых алгебр — нет, В последнем случае порядок редуцированной системы более не понижается.

Пример 3. Пусть система вида (24) допускает операторы

д д д д дГ дх' ^ ду' ду Тогда инвариантное представление системы имеет вид (25), где

т _ *х т(2) _ t2х т(2) _ Щ

1 = ' 11 = ' 12 = ■ •

х х у

Функция Ф(£ ,х,у,х' у) в ОИД вида (И^)-1 находится из следующей системы уравнений

— хф± — уф у = съ

хФх + хф± = С2' уФу + уфу = С3' Фу = С •

Из полноты этой системы следует, что С4 = 0' а остальные постоянные могут быть произвольными, Пусть С1 = — 1' С2 = 1' С3 = 1. Тогда Ф = \пху' а редуцированная система имеет вид

1пху = Н (I 'К1)' 1(2) = Р (I) с некоторыми функциями Н и ^ К1 — константа интегрирования, и допускает операторы

д д д д д дЬ дх' дх ^ду' ду

ф

ЬФг + хФх — уФу = Съ хФх — уФу + хФ± — уФу = С2' Фу = С3'

причем условие полноты дает С3 = 0' а. С1 и С2 — произвольные. Пусть, например, С1 = С2 = 1. Тогда Ф = \пх' новая редуцированная система имеет вид

Иг

— = Н1(Ых,К1'К2)' ху = Н2(Ых'КъК2)' (26)

х

где Н1' Н2 — некоторые функции, К^ г = 1' 2 — постоянные интегрирования, и допускает операторы

д д д дЬ ^ду' ду.

Ф

+ уФу = С' Фу = С2'

где из условия полноты следует, что С2 = 0. Пусть С1 = 1' тогда Ф = 1п¿' и система (26) сводится к виду

х = ^(1п 1'К1'К2'К3)' у = Я2(1п 1'К1'К2'К3)' (27)

где (2 — некоторые функции, а К^ г = 1' 2' 3 — константы интегрирования. Эта система допускает оператор

" д.

дУ

Ф

Фу = С1.

С1 = 1 ' Ф = '

х = (^1(Ы 1'КЪК2 'К )' у = ( 2(1п 1'К1'К2'К'КА)' где (1' (2 — некоторые функции, а К^ г = 1' 2' 3' 4 — константы интегрирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ли С., Шефферс Г. Лекции о дифференциальных уравнениях с известными инфинитези-мальными преобразованиями. М.: Ижевск, 2011. 704 с.

2. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:Наука. 1978. 399 с.

3. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989. 639 с.

4. N.H. Ibragimov Elementary Lie group analysis and ordinary differential equations. Chichester: Wiley. 1999. p. 366.

5. G.W. Bluman, S.C. Anco Symmetry and integration m,et,hods for differential equations. SpringerVerlag New-York, Inc., 2002. p. 419.

6. Ar. Tresse Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations. (French) // Acta Math, 1894. V. 18, No. 1. Pp. 1-3.

7. Широков И.В. Дифференциальные инварианты, группы преобразований однородного пространства // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 6, С. 1405-1421.

8. Гончаровский М.М., Широков И.В. Дифференциальные инварианты, и операторы инвариантного дифференцирования проецируемого действия групп Ли // ТМФ. 2015. Т. 183, № 2. С. 202-221.

9. Попович Р.Е., Бойко В.Н. Дифференциальные инварианты однопараметрической группы локальных преобразований и интегрируемые уравнения Риккати // Вестник СамГУ. 2001. № 4 (18), С. 49-56.

10. Гапонова О.В., Нестеренко М.О. Системи ЗДР другого порядку, гнваргантнг вгдносно низь-корозмлрних алгебр Лг // Зб1рник ираць Ihcthtvtv математики НАН Украши, Кшв. 2006. V. 3, № 2, С. 71-91.

11. M. Ayub, F.M. Mahomed, M. Khan, M.N. Qureshi Symmetries of second-order systems of ODEs and integrability // Nonlinear Dvn. 2013. No. 74, pp. 969-989.

12. A. A. Gainetdinova, R.K. Gazizov Integrability of systems of two second-order ordinary differential equations admitting four-dimensional Lie algebras //Proc. R. Soc. A. The Royal Society, 2017. T. 473. № 2197. 20160461.

13. Гюнтер H.M. Интегрирование уравнений первого порядка, в частных производных. ОНТИ, Ленинград-Москва. 1934. 359 с.

Рафаил Кавыевич Газизов, Научно-исследовательская лаборатория

«Групповой анализ математических моделей естествознания, техники и технологий»

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: gazizovrk@gmail.com

Алия Айдаровна Гайнетдинова, Научно-исследовательская лаборатория

«Групповой анализ математических моделей естествознания, техники и технологий»

Уфимский государственный авиационный технический университет,

ул. К. Маркса, 12,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: gainetdinova. alia@gmail. com