Двумерные алгебры альтернативных обобщенных операторов, допускаемых обыкновенными дифференциальными уравнениями 2-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л. В. Линчук

ДВУМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ОБОБЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ, ДОПУСКАЕМЫХ ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 2-го ПОРЯДКА

В работе рассматривается алгоритм редукции обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих двумерную алгебру альтернативных обобщенных операторов. Результаты работы полностью согласуются с классическими, являясь их обобщением. Дана классификация подалгебр, приведены примеры интегрируемых уравнений.

Ключевые слова: альтернативный обобщенный оператор, двумерная алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения.

L. V Linchuk

TWO-DIMENSIONAL ALGEBRAS OF THE ALTERNATIVE GENERALIZED OPERATORS THAT ARE ADMITTED BY THE 2nd ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

The paper is devoted to the reduction of the 2nd order ordinary differential equations which are admitted a two-dimensional algebra of the alternative generalized operators. The results correlate with the classical results and generalize the classical algorithms. The classification of the subalgebras is made. The examples of the integrated equations are given.

Keywords: аltemative generalized operators, two-dimensional algebra,

ordinary differential equations.

Хорошо известно, что групповой анализ является мощным инструментом поиска симметрий и интегрирования дифференциальных уравнений. Широкая востребованность в приложениях стимулирует обобщение его понятий, средств и методов с целью расширения класса решаемых задач. Этим объясняется и многообразие рассматриваемых в групповом анализе симметрий: точечные, касательные, динамические, экспоненциальные нелокальные. В работе [3] предложен другой подход к обобщению классических симметрий и введено понятие альтернативного обобщенного оператора.

Альтернативным обобщенным оператором называется оператор

X = £(хУ,у)дх +Со(хУ,У)ду +С(хУ,У')ду' , С1)

где £ = £(х,у,у'), =Со(х,У,У'), С =£(х,У,У ') — произвольные функции

своих аргументов ( ^ с Ф У % ), к-е продолжение которого строится по формуле

X = X +£ с (х, У, У' ,..., У(г)), к ^

г=2

где

С, = ОД -/Г)Ох£ + ( -ОД + У ОД) -У , I = 2,...,к. (2)

С - У £

Несмотря на отличную от классической формулу вычисления координат продолженного оператора (2) (в классической нет последнего слагаемого), альтернативные обобщенные операторы обладают важными свойствами, позволяющими считать их обобщением классических симметрий: во-первых, точечные и касательные симметрии содержатся в классе альтернативных обобщенных симметрий, а во-вторых, инварианты любого порядка этих операторов можно строить, зная базис инвариантов, с помощью оператора полной производной Ох.

Последнее свойство позволяет использовать альтернативные обобщенные операторы для факторизации обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) согласно следующей теореме [3]:

Теорема 1. Если ОДУ 2-го порядка

У = Г (х, У, У) (3)

У-.Г = 0:

допускает альтернативный обобщенный оператор X, т. е. X (у" - Г)

имеющий функционально независимые инварианты и = и( х, у, у ') и V = у(х,у,у’), т. е. X(и) = С, X(у) = С, причем Ду|у ,,=р Ф С, то его можно представить в виде фактор-системы:

и = и( х, у, у'),

<у = у( х ^ у 'X (4)

0(у, и, иу) = С.

Но сведение ОДУ (3) к двум ОДУ 1-го порядка, которые следуют из системы (4), еще не гарантирует, что мы сможем проинтегрировать эти уравнения. Отчасти эту проблему удается решить, рассматривая не один, а пару операторов. Так, например, в [2] изложен алгоритм понижения порядка с помощью двумерной алгебры точечных операторов. Построим похожую теорию для класса альтернативных обобщенных операторов.

Пусть ОДУ (3) допускает два линейно независимых альтернативных обобщенных оператора:

X1=£( х ^ у')д х+а х ^ у')д у+с( х ^ у')д у '

X2 = а(х y, у')дх + в (^ У, У')д у +Д (^ ^ У ')д у' ,

(т. е. Х1 Ф Л(х, у, y')Х2 ни при какой функции Л = Л(х, y, у')) и

= Л (х у, уО Х1 + Л2 (х у, у') Х2 • (6)

Если Х1 и Х2 — касательные операторы (под касательными операторами далее мы будем понимать точечные и собственно касательные операторы) и Л = const, Л2 = const, то в этом случае говорят, что операторы образуют двумерную алгебру. Альтернативные обобщенные операторы обладают свойством, отличающим их от классических операторов [3]:

((х, у, у') Х ) = Л( х, у, у') Х

k k

(при таком домножении, например, точечный оператор становится точечным, домноженным на функциональный множитель Л( х, у, у' ); он остается альтернативным обобщенным оператором, но уже не является точечным). Сформулированное свойство оправдывает рассмотрение в соотношении (6) функциональных, а не только числовых множителей Л1 и Л 2 . Это позитивное отличие нивелируется тем недостатком, что сумма двух альтернативных обобщенных операторов не всегда является альтернативным обобщенным оператором, поэтому, с одной стороны, нельзя употреблять термин подалгебра. Но, с другой стороны, если в качестве алгебры рассматривать все множество операторов вида (1), ко -ординаты продолжения которых выбираются произвольно, то Х1 и Х2 образуют в этой алгебре подалгебру. На самом деле этот факт с точки зрения применимости пары этих операторов для факторизации уравнения оказывается несущественным в силу следующей теоремы.

Теорема 2. Если линейно независимые альтернативные обобщенные операторы Х1 и Х2 обладают свойством (6), то существуют /и1 (х, у, у') Ф 0,

/и2 (х, у, у') Ф 0, такие что

[hХ1^2Х2 ] = °- (7)

Доказательство. Пусть Ml и М2 являются ненулевыми решениями линейных уравнений с частными производными

М- Х2(М) = °, М 2 Л 2 + Х^М 2) = °. (8)

Тогда

Ml Х1, М2 Х2

L 2

2 2 .

= m\mXI х2 1+Х1М)Х2 I-M2IM1 Х21Х1 1+Х2(Mi)Х1 1 =

= MiM2

Х1, Х 2

+ MlХ1 (М2) Х2 - М2Х2 (Ml) Х1 =

М1М2 I Л Х1 + Л2 Х2 I + М1 Х1(м) Х2 М2Х2(м) Х1

V 2 2 J 2 2

= М2 (Ml Л - Х2 (Ml)) Х1 + Ml (М2 Л2 + Х1 (М )) Х2 = °.

22

Таким образом, теорема доказана.

2

2

2

2

Пример 1. Рассмотрим точечные операторы

Х1 = * 2д X + ХУд у + (У - ХУ)д у', X2 = — хдх + Уд у + 2 Уд у'

удовлетворяющие коммутационному соотношению

случае Л1 = 1, X2 = 0. Из формул (6) находим ц1 = X венно можно проверить, что действительно

Y Y i^i2

Xi, X2 = X1. В нашем

.2 2 J 2

— 1 1

, ц 2 = 1. Непосредст-

= 0, где Y1 = x_1 X1,

Y2 = X2.

На практике достаточно часто приходится иметь дело с касательными операторами. Выполнение соотношения (7) для них означает, что они образуют двумерную алгебру в классическом понимании.

М X1, М2 X2

= 0. при

Теорема 3. Если Х1, Х2, — касательные операторы и некоторых Ц1(X,у,у') Ф 0, Ц2(X,у,у') Ф 0, то существуют С1,С2 е^, такие что

X1, X2

.2 2

= с, X1+С2 X2.

Доказательство. Во-первых, заметим, что так как

М X1, М2 X2

= 0 и

М1X1, М2 X2

= М1М2

X1, X2

+ М X1 (М2 ) X2 М2 X2 (М ) X1 ,

то

X1, X2

X2 (М1 ) X —

М 21

XM

М2

X2.

(9)

Во-вторых, коммутатор касательных операторов является касательным. Действительно, если Ж1 и Ж2 — производящие функции операторов Х1 и Х2, то непосредственными вычислениями можно показать, что производящей функци-

еи для

X1, X2

будет

W =

dw2 dw1 dw2 Щ \ +WW—WW+W dW±

v ду ду’ ду’ ду J ^ дх ду' ду' дх 2 ду

— W

ду

В-третьих, если три касательных оператора X1, X2, X3 связаны соотношением

X3 =а(х, у, у') X1 + а2(х, у, у') X2, (10)

2 2 2

причем X1, X2 линеИно независимы, то а1=const, а2= const. Доказать этот факт можно, приравняв коэффициенты операторов из левоИ и правоИ части равенства (10) и решив эту систему относительно а1 и а2. Ввиду громоздкости решения

мы его здесь не приводим.

Тогда в соотношении (9) слева стоит касательный оператор, справа линейная комбинация касательных операторов с коэффициентами, которые должны быть равны константам, т. е.

2

2

2

2

ХЦ2 = С-, -^1(^2) = с2, С1, С2. (11)

Ц1 Ц2

Таким образом, теорема доказана.

Домножая операторы Х1 и Х2 на Ц и Ц 2 мы, как отмечалось выше, оставляем их в классе альтернативных обобщенных операторов. Более того, операторы ц1 Х1 и ц2 Х2 имеют те же инварианты, что и соответственно Х1 и Х2. Поэтому, так как далее операторы нас будут интересовать только с точки зрения их инвариантов, не ограничивая общности, будем считать, что вместо соотношения (6) они удовлетворяют равенству

х„ X

=0. (12)

Заметим, что при выполнении соотношения (12) выполняется более слабое условие [ Х1 , X2 ] = 0.

Свойство (12) отражается на структуре множества инвариантов этих операторов и на действии операторов на инварианты друг друга, а именно имеет место следующие две теоремы.

Теорема 3. Если линейно независимые альтернативные обобщенные операторы X1 и X 2 удовлетворяют соотношению (12), то они имеют нетривиальный общий инвариант не выше 1-го порядка и = и (X, у, у') и общий инвариант 2-го порядка w = w(X, у, у, у") ( wy,, Ф 0), причем любой их общий инвариант

не выше 2-го порядка J = J (X, у, у" , у ") можно представить в виде

J = Н (и, w). (13)

Доказательство. Общий инвариант не выше 1-го порядка и должен удовлетворять уравнениям Х1(и) = 0 и X2(и) = 0 , т. е. системе линейных уравнений с частными производными 1-го порядка:

+С0иУ +СиУ" = 0

\аих + в0иу +Риу' = °.

Соотношение (12) означает, что это — якобиева система двух линейно независимых уравнений [1]. Она имеет только одно функционально независимое решение и = и(X, у, у'). Таким образом, существование и доказано.

Общий инвариант 2-го порядка w должен удовлетворять уравнениям

Х1^) = 0 и Х2^) = 0, т. е. системе

22

+ £, wy + С^у' +^у" = 0

К + в wy + + в2 ^" = 0.

Соотношение (12) означает, что это — якобиева система двух линейно независимых уравнений. Она имеет два функционально независимых решения, в каче -стве одного из них можно взять и = и(X, у, у'). Второе решение будет содержать у " (иначе бы существовало два функционально независимых общих ин-

варианта не выше 1-го порядка). Таким образом, существование w доказано. Все общие инварианты не выше 2-го порядка J = J(X, у, у', у") операторов Х1 и Х2 удовлетворяют системе (14), а следовательно, выражаются через фундаментальную совокупность решений этой системы. Таким образом, имеет место формула (13) и теорема доказана.

Теорема 4. Если линейно независимые альтернативные обобщенные операторы Х1 и Х2 удовлетворяют соотношению (12), то они являются операторами инвариантного дифференцирования инвариантов не выше второго порядка друг друга. При этом инвариант не выше 1-го порядка переходит в инвариант не выше 1-го порядка, инвариант 2-го порядка переходит в инвариант не выше 2-го порядка.

Доказательство. Пусть и = и (X, у, у') — инвариант не выше 1-го порядка оператора Х1. Х2(м) — зависит только от X, у, у'. Тогда, учитывая, что [ Х1 , Х2 ] = 0, получаем

X! (X2 (и)) = X2 (X») = X2 (0) = 0.

Следовательно, Х2(м) — инвариант не выше 1-го порядка оператора Х1.

Пусть w = w(X, у, у' , у") — инвариант 2-порядка оператора Х1. Х2^) за-

2

висит только от X, у, у', у". Тогда из соотношения (8), получаем

X, (X» 1 = X2 (Х,(и) 1 = X2 (0) = 0.

2 V 2 ) 2 V 2 ) 2

Следовательно, Х2( w) — инвариант не выше 2-го порядка оператора Х1.

2

Замечание. По теореме 3 такие операторы и имеют общие инварианты, поэтому действие одного из операторов на общий инвариант дает инвариант, ождественно равный нулю. В остальных случаях результатом будет нетривиальный инвариант.

Пример 2. Рассмотрим операторы У1 и У2 из примера 1, имеющие общий инвариант и = (хy' - у)2 хy-. Выражение = х~2у является инвариантом

оператора У1 и не является инвариантом оператора У2, а ?2 = хy является инвариантом оператора У2 и не является инвариантом оператора У. Вычислим действие этих операторов на инварианты, которые не являются общими:

У2(^) = 2 X_1 у = 2^, У1(Г2) = 2 ху = И2.

Для применения двумерной алгебры операторов к факторизации уравнения, допускающего эти операторы, нам потребуется следующая теорема.

Теорема 5. Если уравнение у" = Г(х, у, у') допускает альтернативный обобщенный оператор (1), w = w(х, у, у' , у") является его инвариантом, то ^ Г является инвариантом не выше 1-го порядка этого же оператора.

Доказательство. Очевидно, что w\ ,,=Г зависит только от X, у, у'. Вычислим действие оператора X на w\ ,,=Г .

Так как

Х^) = 0, X (у" - Р)

= 0.

у = Г

то

^х +С0 Wy +^1 Wy' +С2 Wy'' = 0, С2 |у "=г Тогда:

Х (НУ"=р )=^(Ну,.= р )х +С 0 (НУ"=р ) +^1 (НУ"=Г ).

-^ -с 0 ру-^1 ру = 0.

0у

= £Ы\, + wy.

х | у=р у

у "=р Гх ) + С °(WУ |у"=р + WУ" у "=р ру ) + ^1 К'

,, + Wv"

у = Г у

"РГу) =

у =р

(х +С 0 ^ + ^У ' +С 2 ^"Ь=р - (С 2 )\.=р + ^"1."=р &рх +С 0 Ру +^1 ру' ) =

= X (w)

- w,.

у =р

"Г^(У " - Г)

у =р 2

= 0.

у''=р

Следовательно, *№\у„=р является инвариантом не выше 1-го порядка оператора X.

Итак, если уравнение у" = Р(х, у, у') допускает операторы Х1 и Х2 вида (5), удовлетворяющие условию (12), то, согласно теореме 3, они имеют общие нетривиальные инварианты и = и(х, у, у'), w = w(х, у, у', у" ). Согласно теореме 5, выражение "^|у„=р также является общим инвариантом не выше 1-го порядка этих операторов. Тогда по теореме он будет функционально зависим с и , т. е. будет существовать функция Н, такая что

Ч*=г = °(и).

Таким образом, исходное уравнение у " = Р (X, у, у' ) можно представить в виде системы:

и = и (х, у, у" ),

w = w( X, у, у" , у"), w = G(u).

Если найдется функция г = г (х, у, у' ), такая что

Би w = ^^ = и.,

Б*

тогда систему (15) можно записать в виде:

и = и (х, у, у "), г = г (х, у, у "), и. = G (и).

(15)

(16)

Система (16) является фактор-системой уравнения у" = Р(х, у, у"), причем последнее уравнение системы (17) является автономным. Таким образом, в этом случае внешнее уравнение фактор-системы решается всегда.

Найдем условия существования функции г = г(X, у, у') . Из формулы (16)

следует, что выражение Бхи/Бхг должно быть общим инвариантом 2-го порядка операторов Х1 и Х2, т. е.

Х1

V у

= 0, Х2

V у

=0.

(18)

Заметим, что г и и должны быть функционально независимы. Для альтернативных обобщенных операторов (1) имеет место формула [3]:

Б )2 X

Би

= Б, (X (и) )Бх! - Бх (X (г) )Б,и +

С, ВА + у'вл ((и) Бг - X (г) Б и).

С,- у у

Подставим в эту формулу соотношения (18), тогда, так как Х1(и) = Х2(и) = 0, получаем систему:

Бх (х. (г)) + С' Б,е<> + у БхУ X (г) = 0,

4 0 у у

Бх (X 2(г) )+в- Бв+а'Бха Х2(г) = 0.

в - У а

Совместность системы (19) зависит от структуры коэффициентов:

" " С\ - БхС0 + У'БхУ " " Д - Бхв0 + у'Бха

Р\ (х, у, у , у ) = -—/ х , Р2 (х, У, У , У ) = - х

(19)

(20)

Отметим сначала следующие важные свойства коэффициентов (20), влияющие на дальнейшие рассуждения.

Свойство 1. Если альтернативный обобщенный оператор X с коэффициентами (1) обладает свойством

сх - БХС, + у 'Бу

Р=

= 0.

(21)

то он является оператором касательной симметрии.

Доказательство. Числитель в дроби (21) обращается в ноль, поэтому

= Бх£0 - у'БхУ . Более того, координаты продолженного оператора X будут

к

вычисляться по формулам (2), которые примут вид:

С, = ВхС,-1 - 'БхУ, , = 2,..., к ,

2

2

а сама координата ^1 будет зависеть только от X, у, у' (по определению альтернативного обобщенного оператора). Эти свойства характеризуют касательные операторы.

Свойство 2. Если альтернативный обобщенный оператор X с коэффициентами (1) обладает свойством

Р = С,~ Б/0 +У '°хУ = БхР, (22)

С - у У

при некоторой функции P = P(x,у,у') Ф const, то существует касательный оператор X* и множитель /и = и(х, у, у') , такие, что X = /иХ*.

Доказательство. Положим:

и( х, у, у) = e-P1 х,у,у>,

X * =1X = e Pfd х + e РС„д у + e Z у.

и

\Т~ *

Оператор X — альтернативный обобщенный оператор. Проверим выполнение для него свойства (21), учитывая (22):

epZ - Dx (ePC„) + у'Ох (ePf) = eP (£ - DXC„ + у 'D) - (Z - у ))DXP):

= e P

Zi - DxZo + у Dx)- (Zo - у '))

/ — м /*- ^

_Zi - DxZo + у D)

Zo - у ')

= 0

Следовательно, согласно свойству 1, оператор X* является касательным. Замечание. Очевидно, что утверждения, обратные к сформулированным в свойствах 1 и 2, будут также верны.

Перейдем теперь к анализу системы (19). При решении ее возможны три случая в зависимости от того, сколько из параметров Р1 и Р2 обращаются в ноль.

I. Если р1 = р2 = 0, тогда, согласно свойству 1, оба оператора являются касательными и система (19) принимает вид

Г Бх (X1(1) )= 0,

{ Бх (X, (г) )=0

или

Г хм) = а,

1 ^ 1 (23)

1X2(г) = С2,

С„ С2 е ^, С12 + С22 Ф 0 (последнее условие необходимо для того, чтобы функция г была функционально независима с общим инвариантом и ). Заметим, что система (23) выглядит проще, если перейти к новым переменным

(X ^ У ") ^ ^ и ), (24)

где ^ х, у, у') — инвариант оператора Х\, не являющийся инвариантом Х2

(Х\(Ь) = 0, (Х2(^) Ф 0), 12 = t2(х,у,у') — инвариант оператора Х2, не являющийся инвариантом Х1 ( X2(t2) = 0, X1(t2) Ф 0), и = и(х, у, у') — их общий инвариант ( Х1(и) = 0, Х2(и) = 0). Совокупность (^, t2, и) функционально независима, иначе t1 и t2 тоже были бы общими инвариантами. Тогда система (23) примет вид

Напомним, что, согласно теореме 4, операторы Х1 и Х2 являются операторами инвариантного дифференцирования, поэтому Х1 (^) зависит только от ^ и и , а

Х2 (^) — только от t1 и и . Тогда общим решением системы будет

где с(и) — произвольная функция. Результат формулы (25) можно трактовать следующим образом: если Х1 и Х2 — касательные операторы, коммутатор их равен нулю, то возможно получение двух принципиально различных фактор-систем вида (17):

иг = 02(и).

Общее решение внешнего уравнения фактор-системы (26) будет иметь вид

а следовательно, будет допускать оператор Х1 (так как оно записано в его инвариантах). Это обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка можно попробовать привести к автономному виду, используя оператор Х1, и проинтегрировать. Аналогичные рассуждения будут и в случае системы (27).

(25)

и = и (х, у, у'),

(26)

и = G1 (и)

и

и = и (х, у, у'),

(27)

Ф (и(х, у, у'), ^ (х, у, у')) = С,

Пример 3. Рассмотрим уравнение

2 ((у ( - ху' + у) + (у')2 = 0, а, к , а Ф 0.

Это уравнение не имеет точечных симметрий, но допускает касательные операторы, удовлетворяющие условию (12):

Х1 = у ' (2д х + у ' д у + 0 -д у),

Х2 = (у' )-2(д х + 2 у 'д у + 0-д у).

Найдем фактор-систему вида (27):

и = у', ^ = ху' - 2у, t = -3| * ) =|и Л1 = и^ .

и = у

t = (ху ' - 2 у) у 2аи1ки1 = 1.

Решая внешнее уравнение фактор-системы, понижаем порядок исходного урав-

Тогда

нения:

х(у ')2 - 2уу ' + С = <{

2а у /чк+1

к 1 (у’) + , при к Ф -1, к+1

2а 1п | у’ |, при к = -1.

II. Если р1 = 0, р2 Ф 0 (аналогично р2 = 0, р1 Ф 0 ), тогда, согласно свойству 1, оператор Х\ является касательным, а Х2 не является таковым. Система (19) принимает вид

А (х,(/) )=0,

0 (X {,)) + в - ВЛ+ УО,а Х (1) = 0.

в - у а

Решим первое уравнение системы (28), используя замену (24):

х.(0 = С. ^ = С.

(28)

t=С11 Хттт+ ^ u), Х1 (^2 )

(29)

где С1 , ^ = ^(t1, и) — произвольная функция. Первое слагаемое, согласно

теореме 4, зависит только от t2 и и , поэтому подстановка (29) преобразует второе уравнение (28) к виду

D(x2(^))+ ß Df<> +/D<ax,m = o. (30)

ß0 - y a

Независимо от координат оператора X2 любая р, такая, что др/ dt1 = 0, будет решением этого уравнения. Найдем условия, при которых ф может зависеть от tj. Тогда уравнение (30) можно преобразовать следующим образом:

Dx (ln | X2(ф)|) = - ß ~ Dßßo+y'Da s- Рг ф o. (31)

ßo - У а

Таким образом, все зависит от того, будет ли р2 полной производной.

Если р2 не является полной производной (т. е. X2, согласно свойствам 1 и 2, не является ни касательным, ни касательным с некоторым функциональным множителем), то дф / dt1 = 0 и общее решение системы (28) имеет вид

» dt

t = С f-2—+ р(и), С Ф 0

1J Xj(t2^;’ 1

Если существует P2 = P2(x,y,у') Ф const такая, что р2 = Dx(P2), то, согласно свойству 2,

X2 = ß(x, У, У' )X*, ß = е~Р2, (32)

где X* — касательный оператор. Решим уравнение (31)

X» = C2e-P-, С2 ЕЯ ^ X2(tt)= С2е-

dt1

р = С2 fе—— + c(u) = С2 + c(u) = С2 f—+ c(u),

^ 2 f X^2 (t1) 2 f X^2 (t1) 2 f X*(0

где c = c(u) — произвольная функция. Так как ф не зависит от t2, то должно выполняться условие de-P2 / dt2 = 0 или X1 (P2) = X1 (ß) = 0.

Таким образом,

a) если X2 имеет вид (32) и X1 (ß) = 0, то

t = C1 + C2 \J^L- + c(u) = C1 + C2 + c(u), (33)

1 f X^) 2 f X2(t1^ ' 1 f X^) 2 f X*(0 '

b) если X2 отличен от (32) или X1 (ß) Ф 0, то:

л dt

t = СfX-2- + c(u), С.Ф0. (34)

X1 (t2 )

Заметим, что случай IIa можно было свести к I и получить формулу (33). Дейст-

L2

вительно, если Х1 и Х2 удовлетворяют соотношению (12), то Х\ и X2* обладают

этим же свойством:

0 =

X, X2

.2 2

X, иХ2

= Х1(и) Х2 +

Х„ X*

.2 2

Х„ X*

.2 2

Рассмотрим примеры, соответствующие случаю 11Ь.

Пример 4. Уравнение

(х + (ху' - х - у)2) = 1

допускает пару операторов

Х, = 0 • дх + хд у + д у, Х2 = еу - у'х (д, + (у ' - 1)а„ + 0 • а,,), удовлетворяющих условию (12). Их инварианты равны: и = ху' - х - у, ^ = х, t2 = у'. Оператор Х1 является точечным, а оператор Х2 = еу7хХ*, где Х2* — касательный (значит, р1 = 0 , р2 Ф 0 ), но

Х^/и) = Х1(еу7 х) = еу7 х Ф 0,

поэтому имеем случай Ь. Вычислим по формуле (34) при С1 = 1, с(и) = 0 функцию t

t = Г_^2— = Г ^ = t2 = у ’

Г Х^2) Г 22

и построим фактор-систему

и = ху - х - у,

t = у \

иt + и2 = 0.

Решая внешнее уравнение фактор-системы, понижаем порядок исходного уравнения:

и ^ + С) = 1 ^ (ху' - х - у)(у ' + С) = 1, С .

Заметим, что полученное уравнение будет допускать оператор Х2.

Пример 5. Уравнение

у' + (у)2 + ^ у

ху

у = 0

допускает единственный точечный оператор

Х1 = хд х + 0 ‘д у - у 'д у

и альтернативный обобщенный оператор, который не связан множителем ни с каким касательным оператором (не имеет вида (32)),

Х2 = 0 ‘д х + уд у -(уу ' - х _1 )д у , т. е. Р1 = а а Р2 = (у + 1)у_1 у' - (ху)_1 Ф (Р2) ни при

какой

Р2 = Р2(х,у,у'). Коммутатор этих операторов равен нулю. Их инварианты равны

2

2 - х .

и = хеуу' - Г у *еуdу, t1 = у, £ Вычислим по формуле (34) при С1 = 1, с(и) = 0 функцию V.

t = Г_^^ = Г^ = 1п| ^ |= 1п| х |

Г Х&2) Г 12 ' 2 ' ' '

и построим фактор-систему

и

= хеуу ' - Г у_1еЧу,

t = 1п | х |,

и = 0

Решая внешнее уравнение фактор-системы, получаем первый интеграл

хе уу ' - Г у _1е Уйу = С!.

Так как первый интеграл записан через общий инвариант и операторов Х\ и Х2, то он допускает оба этих оператора, в частности, точечный оператор Х1, который обеспечивает дальнейшее интегрирование:

1п| х |=ГТ-----------+ С2, С, С2 е Ш.

‘\у'ес!.у+С1 2 1 2

III. Пусть р1 Ф 0, р2 = 0. Согласно свойству 1, операторы Х1 и Х2 не являются касательными. Покажем, что хотя бы одно из выражений р1 или р2 должно оказаться полной производной некоторой функции. Не ограничивая общности, будем считать, что дt / д^ Ф 0 (так как либо дt / д^ Ф 0, либо дt / дt2 Ф 0). То -гда второе уравнение системы (19) примет вид

Вх (1п| Х2 (t)|)=- Р2.

Из этого равенства следует, что р2 является полной производной. Из этого следует также, что если р2 не является полной производной, то дt / д^ = 0. Значит, возможно два случая: либо оба выражения р1 и р2 являются полными производными, либо только одно из них.

а) Пусть р1 = Вх (Р) при некоторой Р = Р(х,у,у'), а р2 этим свойством не обладает. Тогда Х1 имеет вид

X = и(х, у, у' )Х*, и = е~Р , (35)

где Х1 - касательный оператор. Как мы только что отметили, в этом случае дt / д^ = 0 . Если искать t в виде t = t(t2, и) ( дt / дt2 Ф 0 ), то от системы (19) останется только первое уравнение, которое примет вид

Вх (1п | ХД/ )|) = -д = -Вр

Следовательно,

XI (t (t2, и)) = С1е-Р1 = С1и.

Но тогда по теореме 4 коэффициент Х должен зависеть только от t2 и и , т. е.

X2(» = 0.

Это означает, что этот случай можно свести к 11Ь. Действительно:

0 =

X, X2

.2 2

Х*, X2

X*, X2

.2 2

- X2(Х) X* =

X*, X2

.2 2

Тогда р* = 0, р2 Ф 0, р2 не является полной производной. Поэтому имеет место формула (34), в которой вместо X* нужно подставить X* .

Ь) Пусть существуют функцииР = Р(х,у,у'), Р2 = Р(х,у,у'), такие, что р1 = Бх(Р), р2 = Бх(Р2) . Значит, оба оператора XI и X2 можно получить из касательных

X = Х(^ У, У')X*, Х = е-Р ,

X-2 = Х2 (x, ^ УОX* , Х2 = е-Р2 ,

где X*, X2* - касательные операторы. Тогда по теореме существуют константы С*,С2 е^, такие, что

у* у*

Л* , Л 2 .2 2

= С* X*+С2 X*.

Известно, что можно выбрать новый базис У* = а*X* + а2X*, у* = Ь*X* + Ь2X*, (а*,а2,Ь*,Ь2 е ^ ) так, чтобы было выполнено одно из трех условий:

У * у * 1^12

= 0,

у * у * 1^12

= У

*

2

у * у * 1^12

= у *

2

Тогда для операторов у* и у2 по теореме 2 можно подобрать ненулевые коэффи -циенты х = Х(х, У, У'), Х2 = Х2(х, У, У') такие, что будет выполнено соответст-

венно:

у * у *

0,

х* у**, у; 2 2

0

у**, х 2 у; 22

0.

Значит, случай ШЬ сводится:

- к случаю I (при выполнении первого соотношения);

- к случаю II (при выполнении второго и третьего соотношений).

Все варианты, образующиеся при рассмотрении пары операторов X* и

X2, удовлетворяющей условию (!2), можно свести в следующую таблицу.

2

2

2

№ X X2 Формула для г или способ сведения к известным случаям

I X* X2* г = С Г ^2 + С2 Г ^ + ф), С2 + С22 ф 0 1Г Х&) 2Г X2(0 1 2

IIa X* J2 X2 X*(J2) = 0 X*, X2* _ 2 2 _ = 0 ^ случай I для X* и X^

IIb X* J X2* X*(J2) * 0 » dt t = C f 2—+ c(u), C * 0 1 f *1&) 1

X* X2

III JJ X* J2 X2 Y * 1 1) 2) 3) = a, X* Y * y * 11 ’ 2 _ 2 2 JJY1*, _ 2 K, j _ 2 + a Y * 2 2 _ Y * 2 2 2 X2* , Y2* = ¿1X* + b2 X2* , al, a^ ^ b2 ** 0 ^ случай I для Y1 и Y2 = 0 ^ случай IIa (IIb) для Y2* и jY* = 0 ^ случай IIa (IIb) для Yf и j2Y2*

Замечание. Знак звездочка (*) означает, что оператор является касательным, если ее нет, то оператор - собственно альтернативный обобщенный оператор (не является касательным с некоторым функциональным множителем). Ко -эффициенты Ц =^!(X,у,У), Ц2 = Ц2(X,у,У), Ц15Ц2 Ф ООШ^

Из приведенной таблицы видно, что внешнее уравнение фактор-системы можно сделать автономным, если хотя бы один из операторов Х1 и Х2 является либо касательным, либо касательным с некоторым функциональным множителем, причем если один из операторов представляет собой собственно альтернативный обобщенный оператор, то второй может быть только касательным.

Таким образом, введение понятия альтернативного обобщенного оператора позволяет с единых позиций описать процедуру понижения порядка и интегрирования уравнений второго порядка при наличии двумерной подалгебры операторов. Полученные результаты полностью согласуются с классическими результатами, изложенными в [2], и обобщают метод редукции уравнения в случае, когда допускаются альтернативные обобщенные операторы. Аналогичный подход применим для уравнений любого порядка и при наличии допускаемых подалгебр более высоких размерностей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. Л.; М.: ОНТИ, ГТТИ, 1934. 360 с.

2. Ибрагимов Н. Х. Опыт группового анализа. М.: Знание. Сер. Математика и кибернетика. 1991. № 7. 48 с.

3. Линчук Л. В. Альтернативные обобщенные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции «Герценовские чтения-2010» (12-17 апреля 2010 г.). СПб.: Изд-во БАН, 2010.С. 46-53.

REFERENCES

1. Gjunter N. M. Integrirovanie uravnenij pervogo porjadka v chastnyh proizvodnyh. L.; M.: ONTI, GTTI, 1934. 360 s.

2. Ibragimov N. H. Opyt gruppovogo analiza. M.: Znanie. Ser. Matematika i kibernetika. 1991. № 7. 48 s.

3. Linchuk L. V. Al'ternativnye obobwennye simmetrii obyknovennyh differencial'nyh uravnenij 2-go porjadka // Nekotorye aktual'nye problemy sovremennoj matematiki i mate-maticheskogo obrazovanija. Materialy nauchnoj konferencii «Gercenovskie chtenija-2010» (1217 aprelja 2010 g.). SPb.: Izd-vo BAN, 2010. S. 46-53.