CC BY
89
УДК 681.39; 007.001.362
Н. Г. Федотов, Д. А. Голдуева
ФОРМИРОВАНИЕ ТРИПЛЕТНЫХ ПРИЗНАКОВ ЦВЕТНЫХ ТЕКСТУР1
Аннотация. Актуальность и цели. Во многих отраслях знаний существенная часть информации заключается в сложноструктурированных изображениях, многие из которых содержат текстуры. Наряду с общетеоретическим значением задача распознавания подобных изображений исключительно актуальна и с прикладной точки зрения. От ее успешного решения зависит эффективность обработки информации в области аэрокосмических исследований, анализа Земли из космоса, медицинской и технической диагностики. Целью настоящей работы является разработка теории анализа и распознавания изображений на основе стохастической геометрии и функционального анализа, позволяющей анализировать и распознавать цветные текстуры. Материалы и методы. В ходе выполнения работы был применен оригинальный подход к анализу и распознаванию цветных текстур с позиций стохастической геометрии и функционального анализа. Для формирования триплетных признаков цветных текстур применялся разработанный научной школой Н. Г. Федотова метод, позволяющий описывать исследуемое изображение как со стороны его геометрических характеристик, так и со стороны особенностей цвета. Результаты. Предложен новый подход к формированию признаков цветных текстур, основанный на аппарате стохастической геометрии и функционального анализа. Расширение теории триплетных признаков позволило осуществить анализ цветных текстур непосредственно без их предварительной бинаризации. Проведена экспериментальная проверка инвариантности построенной группы признаков к линейным деформациям анализируемых цветных текстур. Выводы. Построенная группа триплетных признаков позволит более полно описать цветные текстуры. Благодаря трехкомпонентной структуре триплетных признаков возможна генерация большого их количества, что позволяет увеличить гибкость, универсальность и надежность распознавания. Причем, как показывают проведенные эксперименты, при определенном выборе функционалов, входящих в структуру триплетного признака, формируемые характеристики приобретают свойства инвариантности к группе движений и линейным деформациям. Ключевые слова: цветные текстуры, стохастическая геометрия, триплетные признаки.
N. G. Fedotov, D. A. Goldueva
FORMATION OF TRIPLE FEATURES OF COLOURED TEXTURES
Abstract. Background. In many branches of human knowledge an essential part of information lies in images of compound structures, a lot of them contain textures. Along with its general-purpose significance, the task of classifying such images has also proved its applied relevance. Successful solution of the task would account for the efficiency of information processing in such fields as aerospace research, earth observation data analysis, as well as medical and technical diagnostics. The purpose of the present study is to elaborate a theory of image analysis and recognition, based
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 12-07-00501.
on stochastic geometry and functional analysis, to analyze and classify coloured textures. Materials and methods. In the course of the work the authors applied an innovative approach to coloured textures' analysis and recognition from the standpoint of stochastic geometry and functional analysis. To form triple features of coloured textures the approach, developed by Professor N. G. Fedotov's scientific school, was taken to help describe an image under investigation from the viewpoint of its geometrical characteristics, as well as from the aspect of its colour specific features. Results. A new approach based on stochastic geometry and functional analysis has been offered to form features of coloured textures. Triple features theory extension helped analyze coloured textures directly, using no prior binarization. The features' invariance towards linear deformations of the coloured textures under investigation has been checked experimentally. Conclusions. The built group of triple features provides for a more complete description of coloured textures. The trinary structure serves to generate a great number of triple features, which helps enhance recognition flexibility, versatility, and robustness. Moreover, the conducted experiments have shown that a specific choice of functionals within the structure of a triple feature form characteristics invariant to a group of motions and linear deformations.
Key words: colored textures, stochastic geometry, triple feature
Введение
Существующие в настоящий момент методы анализа цветных текстур имеют два существенных недостатка. Во-первых, большинство из них предварительно упрощают анализируемые цветные текстуры, приводя их к полутоновому или даже к бинарному виду, теряя при этом существенную часть информации, которую несет в себе цвет. Во-вторых, существующие в настоящий момент методы анализа цветных текстур оперируют небольшим количеством признаком, каждый из которых имеет конкретную интерпретацию в терминах рассматриваемой проблемы. В этом случае представляется весьма вероятным столкновение со значительными трудностями при формировании информативных признаков более сложных цветных текстур подобными методами. В настоящей статье предлагается новый подход к формированию признаков цветных текстур, основанный на аппарате стохастической геометрии и функционального анализа [1-3]. Его преимущество, по сравнению с существующими на данный момент методами анализа цветных текстур, заключается в следующем. Во-первых, предлагаемый метод позволяет в режиме автоматической генерации формировать десятки тысяч признаков исследуемых изображений (триплетных признаков) без участия эксперта-анали-тика. Опора на большое количество признаков является решающей предпосылкой высокой надежности распознавания. Во-вторых, предлагаемый метод не предполагает предварительного упрощения анализируемых цветных текстур. Формируемая группа триплетных признаков характеризует как геометрические параметры, так и особенности цвета анализируемых цветных текстур, что позволяет более полно описать объекты исследования.
В основе разработанного подхода лежит математический аппарат стохастической геометрии и функционального анализа. Ключевым элементом метода является новое геометрическое трейс-преобразование, связанное со сканированием анализируемого объекта по сложным траекториям, введенное в [1] и исследованное в [4-7] и последующих работах. Исследование движения с помощью трейс-преобразования рассмотрено в [4, 6]. В работе [8] было
введено в рассмотрение двойственное трейс-преобразование, которое позволяет совместно с трейс-преобразованием и триплетными признаками произвести нелинейную фильтрацию изображений с целью их предварительной обработки, предшествующей формированию признаков, а именно: полигональную аппроксимацию, выделение выпуклой оболочки, уменьшение зашумленности и т.д. [8, 9]. Применение трейс-преобразования и теории три-плетных признаков для распознавания дефектов сварных соединений рассмотрено в [10]. Применение указанного аппарата для решения задач распознавания человеческих лиц и биометрического поиска рассмотрено в [11-13]. Анализ и распознавание объектов нанотехнологий из области биологии рассмотрены в [2]. В этой же книге дается анализ точности формирования три-плетных признаков. В работе [14] анализируется анализ изображений ультразвуковых исследований из области медицины. Таким образом, предлагаемый подход имеет обширное применение
1. Триплетные признаки
Признаки изображения в рассматриваемом подходе имеют структуру в виде композиции трех функционалов [1]:
П(F) = 0 о P о T(F п l(0,р)),
где 0, р - полярные координаты сканирующей прямой l(0, р), с которыми связаны функционалы 0 и P соответственно; функционал T связан с параметром t, задающим точку на сканирующей прямой l(0, р); F(х, у) - функция изображения на плоскости (х, у). Подробное описание триплетного признака можно найти в работах [1, 2].
1.1. Трейс-функционал
Первым этапом формирования триплетного признака является геометрическое трейс-преобразование, связанное со сканированием изображения по сложным траекториям. Рассмотрим данное преобразование боле подробно.
Прямая l на плоскости может определяться перпендикуляром р (р > 0), проведенным из начала координат к этой линии, и углом 0 (0 < 0 < 2п) между перпендикуляром и положительным направлением оси Ох:
l(0, р)= {(х, y)\ x cos 0 + y sin 0 = р},
где x, y - декартовы координаты на плоскости.
Наибольшее применение в прикладных исследованиях нашел вариант сканирования изображения совокупностью дискретных решеток. Изображение F(x, y) на входной сетчатке распознающей системы сканируется решеткой параллельных прямых, отстоящих друг от друга на некоторое расстояние Ар. Далее сканирование производится для нового значения угла, получившего дискретное приращение А0, решеткой линий с тем же расстоянием Ар между линиями.
Рассмотрим функцию трех независимых переменных:
l(0, р, t) = (р cos 0 - t sin 0, р sin 0 + t cos 0).
Это естественное параметрическое представление сканирующей прямой. Параметр t связан с естественной одномерной системой координат на прямой.
Каждой точке ^ сканирующей прямой /(0, р, 0 ставится в соответствие число из множества {0, 1} согласно следующему правилу (для бинарных изображений) [2]:
где переходы с точек ґє Е п / к точкам ґ£ Е п /, т.е. граничные точки однородных по яркости отрезков очевидны.
Далее посредством первого из тройки, образующей триплетный признак, функционала Т получаем некоторую характеристику g взаимного расположения сканирующей прямой /(0, р) и изображения Е, т.е.
В качестве указанной характеристики могут выступать: число пересечений прямой с изображением, свойства окрестности такого пересечения и т.п. Функционал Т назван трейс-функционалом. Для большинства задач анализа цветных текстур необходимо, чтобы признаки распознавания не зависели от движения изображения, поэтому единственное требование, которое в этом случае накладывается на Т: Т(/, Щ = Т(/' Щ), где т - преобразование сдвига и поворота, т(Щ = Щ', т(/) = /'. Это равенство должно быть верным для всех прямых и всех допустимых изображений.
Аналогично, как и в стохастической геометрии, определена случайная величина £(0, р) = Т(Щ п /(0,р)), распределение которой не зависит от сдвигов и поворотов изображения. Поэтому числовые характеристики этой случайной величины опять могут служить признаками изображений.
Совокупность характеристик £(0;, рг) взаимного расположения всех возможных сканирующих прямых /(0;, рг) и изображения Щ(х, у) образует трейс-матрицу, элемент Т(0;, рь 0 которой есть значение функционала Т, характеризующее взаимное расположение исследуемого изображения Щ(х, у) и сканирующей линии / с /-м значением параметра р и ]-м значением параметра
0. Таким образом, первоначальному изображению Щ(х, у) можно поставить в соответствие новое изображение Ф(0, р), цвет (или яркость) в каждой точке (0;, рг) которого определяется числом Т(0, рь 0. Полученный образ есть трейс-трансформанта.
Преобразование, переводящее исходное изображение в трейс-трансформанту, есть трейс-преобразование.
Дальнейшее вычисление признака заключается в последовательной свертке столбцов трейс-матрицы с помощью диаметрального функционала Р.
Последовательно к каждому столбцу трейс-матрицы применим Р функционал, зависящий от параметра р. Под его действием столбцы трейс-матрицы преобразуются в действительное число. Таким образом, результат применения диаметрального функционала к трейс-матрице в дискретном варианте есть вектор, /-й элемент которого есть значение Р функционала для элементов /-го столбца трейс-матрицы. Результат применения диаметрального функционала к трейс-трансформанте есть 2п-периодическая кривая, зависящая от параметра 0: Н(0) = Р(£(0, р)).
t є F n l, t й F n l,
g(0, p) = T(F n l(0,p)) = T/(0, p, t).
1.2. Диаметральный функционал
Пример диаметрального функционала:
Р =
\
i=1
где g(0;, рг) = T(F п l(0 j, р,)).
1.3. Круговой функционал
Последний этап формирования признака связан с 0 функционалом, зависящим от параметра 0. Функционал 0 множеству элементов вектора (или множеству точек кривой Л(0)), полученного на предыдущем этапе, ставит в соответствие некоторое действительное число, которое равно значению признака.
Функционал 0 будем называть круговым, так как область определения кривой Л(0) 2п (0 < 0 < 2 п). Таким образом, П( Щ) = 0(Л(0)).
Пример кругового функционала:
шахЬ(0 ,■)
0 = ]
minh(0 j)
j
2. Формирование триплетных признаков цветных текстур
Цветные текстуры, в отличие от бинарных, имеют две группы значимых характеристик: относящихся к геометрическим особенностям и относящихся к особенностям цвета. Поэтому для классификации цветных текстур целесообразно построить распознающую систему, учитывающую как геометрические особенности, так и особенности цвета анализируемых изображений.
Рис. 1. Пример цветной текстуры гистологических изображений.
Для решения поставленной задачи были выделены две группы триплетных признаков:
1) признаки, характеризующие геометрические особенности изображения;
2) признаки, характеризующие особенности цвета изображения.
Причем вторая группа подразделяется на три соответственно компонентам цвета в системе ЯОБ:
- признаки, характеризующие яркостные особенности красного компонента цвета изображения;
- признаки, характеризующие яркостные особенности зеленого компонента цвета изображения;
- признаки, характеризующие яркостные особенности голубого компонента цвета изображения.
Признаки первой и второй групп имеют одинаковую трехфункциональную структуру. Отличие между ними заключается лишь в подходе к заданию характеристик однородных по яркости отрезков сканирующих прямых. Для построения признаков, характеризующих геометрические особенности изображения, однородным по яркости отрезкам сканирующих прямых ставится в соответствие геометрическая величина - длина отрезка.
Так как характеристики цвета изображения существенно зависят от степени освещенности объекта в момент фотосъемки, то для построения три-плетных признаков второй группы однородным по яркости отрезкам сканирующих прямых целесообразно поставить в соответствие некоторую относительную характеристику яркости отрезка. В качестве такой характеристики может служить
где tk, ^+1, ..., tm принадлежат одному однородному по яркости отрезку сканирующей прямой, tk-1, tm+1 принадлежат другому отрезку той же прямой или tk-1, tm+1 не принадлежат сетчатке; II - средняя яркость всех затемненных участков сканирующей прямой. В этом случае формируемые триплетные признаки, характеризующие особенности цвета текстуры, не зависят от изменений освещенности исследуемых объектов в момент фотосъемки.
Для формирования признаков, характеризующих геометрические особенности изображения, функцияД0, р, ^ принималась равной
Для формирования же признаков, характеризующих яркостные особенности текстур, функцият(0, р, ґ) имела следующий вид [15]:
где / - значение яркости в точке t.
Далее посредством трейс-функционала Т(Щ п /(0, р)) = Т/(0, р, О составляется трейс-матрица, по которой путем последовательной свертки
m
Е f (0, p, tj)
(m - k +1) • її ’
t є F n l, t й F n l.
t є F n l, t й F n l,
диаметральным и круговым функционалом определяется признак П( ^) = 0 о Р о Т( ^ п I (0, р)).
Зачастую анализируемые цветные текстуры, относящиеся к одному классу, имеют высокий уровень вариабельности формы и положения повторяющихся включений. Поэтому для их распознавания целесообразно применять признаки, инвариантные к группам движений и масштабным преобразованиям.
3. Триплетные признаки цветных текстур, инвариантные к группе движений и линейным деформациям
Для распознавания цветных текстур представляют особый интерес признаки, инвариантные по отношению к группе движений и линейным деформациям изображений, так как опора на инвариантные признаки придает гибкость, надежность и универсальность системам распознавания.
Решение задачи формирования инвариантных признаков изображений целесообразно начать с исследования свойств функционалов, образующих композицию в структуре искомых признаков. Задача определения свойств инвариантности к заданным преобразованиям изображений трансформируется в задачу исследования условий на функционалы Т, Р и 0, при которых образованные ими триплетные признаки будут обладать заранее заданным свойством инвариантности.
Рассмотрим более подробно каждый вид преобразований изображений.
1. Перенос. Для того чтобы признак П(^) был инвариантен к переносу, необходимо и достаточно, чтобы Р функционал был инвариантен к переносу.
Но в силу дискретности процесса сканирования мы можем говорить лишь о приблизительной инвариантности признака.
Приведем пример признака, инвариантного к переносу.
П1 = Т1° Р2° 07,
т
где Т1 = тахх{, = Е /(0,р,tj), tk = tk+l = ... = tm = 1, tk-l = ^+1 = 0 или tk-l,
i
j=k
m
2
Еg2(0j,pi), g(0j, pi) = T(Fnl(0j,pi)),
ґт+1 не принадлежат сетчатке; Р2 =
г=1
п
т - число дискретных значений р; 07 = е 1п |л(0 і )+1 • д0, д0 - шаг скани-
І=1
рования по 0.
2. Поворот. Для того чтобы признак П(^) был инвариантен к повороту, необходимо и достаточно, чтобы 0 функционал был инвариантен к повороту. Приведем пример признака, инвариантного к повороту:
П1 = Т2° Р1° 03,
где Т2 = к, к - число затемненных отрезков, выделяемых на сканирующей
т
прямой; Р1 = Е § (0 і , Рг) • Лр, ^Р - шаг сканирования по р;
/=1
©3 =
\
Е (h(e j))2, h(e j) = P(g(e;, p)). j=1
3. Масштабные преобразования. Для того чтобы признак П(^) был инвариантен к масштабным преобразованиям, необходимо и достаточно, чтобы Т или Р функционал был инвариантен к масштабным преобразованиям и Р функционал был инвариантен к переносу.
Вышесказанное является строгим только для непрерывного случая. Но мы имеем дело с дискретным сканированием, в силу которого появляется некоторое дополнительное условие. Поясним его суть.
При гомотетии диапазон р трейс-матрицы расширяется (к > 1) или сужается (к < 1) в к раз, т.е. р' = кр, так как изображение пересечет в к раз больше (при к > 1) или в к раз меньше (при к < 1) прямых, чем изображение К Таким образом, количество ненулевых значений в /-м столбце трейс-матрицы, построенной для изображения ^', и количество ненулевых значений в /-м столбце трейс-матрицы, построенной для изображения ^, будут отличаться в к раз. Поэтому степень нестабильности признака к рассматриваемому преобразованию завит от выбора Р функционала. Если Р функционал име-
т
ет накопительный характер, например Р = Ё g (0 у, р/), то содержащий его
/=1
признак будет иметь высокую степень нестабильности. Обратная же ситуация наблюдается с признаками, в структуру которых входят Р функционалы, такие как
Р = тах g (0 у, р/),
Ё g(0 у, р/)
Р = —-----------и т.п.
т
Приведем примеры признаков, инвариантных к масштабным преобразованиям изображений, и экспериментально определим степень нестабильности каждого. Степень нестабильности признака (Р) определим как относительную его погрешность, выраженную в процентах.
В табл. 1 приведены результаты эксперимента.
Таблица 1
Функционалы, составляющие признак Значение признака изображения оа
Т P © к = 1 к = 1,3 к = 1,5 к = 0,5 к = 0,6 к = 0,75
T,2 P10 ©2 1,9 1,7 2,12 2,41 2,49 2,49 12,79
T11 P4 ©3 38,66 35,18 35,15 36,89 39,97 40,75 5,37
T11 P4 ©4 939,63 856,52 854,93 896,91 971,47 989,89 5,31
T11 P4 ©6 0,55 0,53 0,65 0,6 0,68 0,77 10,81
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион В табл. 1 приведены следующие функционалы:
к •,
Т„ =
к
И2
i=1
к
Е !<
i=1
к
если Е Ф 0 , в противном случае Т11 = 0, Ij характеризует яркость голубого i=1
компонента цвета;
к
ч
Ех>-
т i=1
Т 12------------,
к • max Xi i
если к Ф 0. В противном случае, Т12 = 0;
m
Е g(е j, pi)
Р10 = —----------; Р4 = max g (е j, Pi);
m i J
n n
02 = Е И j+1) - h(e j )|; 04 = Е h(e j); ®6 = max h(e j) - min h(e j).
j=1 j=1 j j
Проведенные эксперименты показывают, что построенные триплетные признаки обладают достаточно высокой степенью инвариантности к группе движений и к линейным деформациям цветных текстур.
Заключение
Существует обширный класс задач медицинской и технической диагностики, где ключевая информация заключена в зрительных образах. В настоящей статье рассмотрена задача формирования признаков цветных текстур. Для решения данной проблемы предложен новый подход, основанный на аппарате стохастической геометрии и функционального анализа. Его суть заключается в формировании триплетных признаков двух типов: характеризующих геометрические особенности и описывающих особенности цвета объекта исследования. Таким образом, построенная группа признаков позволит более полно описать цветные текстуры. Причем, как показывают проведенные эксперименты, при определенном выборе функционалов, входящих в структуру триплетного признака, формируемые характеристики приобретают свойства инвариантности к группе движений и линейным деформациям.
Список литературы
1. Федотов, Н. Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов /
Н. Г. Федотов. - М. : Радио и связь, 1990. - 144 с.
2. Федотов, Н. Г. Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа / Н. Г. Федотов. - М. : ФИЗМАТ-ЛИТ, 2009. - 304 с.
3. Kendall, W. S. New Perspectives in Stochastic Geometry / Wilfrid S. Kendall, Ilya Molchanov. - Oxford : UK: Oxford University Press, January, 2010.
4. Kadyrov, A. A. Image scanning leads to alternative understanding of image. Third int. conf. on automation, robotics and computer vision (ICARCV’94) / A. A. Kadyrov, M. V. Saveleva, N. G. Fedotov. - Singapore, 1994.
5. Fedotov, N. G. Image scanning in machine vision leads to new understanding of image / N. G. Fedotov, A. A. Kadyrov // In Proc. of 5th International Workshop on Digital In Processing and Computer Graphics, Proc. International Society for Optical Engineering (SPIE). - 1995. - Vol. 2363. - P. 256-261.
6. Fedotov, N. G. New Theory of Pattern Recognition Feature on the Basis of Stochastic Geometriy / N. G. Fedotov, L. A. Shulga // WSCG’2000 Conference Proceedings. - University of West Bohemia, 2000. - Vol. 1 (2). - P. 373-380.
7. Kadyrov, A. A. Triple Features Pattern Recognition and Image Analysis / A. A. Kadyrov and N. G. Fedotov // Advances in Mathematical Theory and Applications. - 1995. - Vol. 5, № 4. - P. 546-556.
8. Федотов, Н. Г. Формирование признаков распознавания сложноструктурированных изображений на основе стохастической геометрии / Н. Г. Федотов, А. С. Кольчугин, О. А. Смолькин, А. В. Моисеев, С. В. Романов // Измерительная техника. - 2008. - № 2. - С. 56-61.
9. Vidal, M. Pre-processing of hyperspectral images. Essential steps before image analysis / M. Vidal, J. M. Amigo // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. -2012. - Vol. 117, № 1. - P. 138-148.
10. Федотов, Н. Г. Техническая дефектоскопия на основе новой теории распознавания образов / Н. Г. Федотов, Т. В. Никифорова // Измерительная техника. -2002. - № 12. - С. 27-31.
11. Fedotov, N. G. Visual mining for biomatrical system based on stochastic geometry / N. G. Fedotov, L. A. Shulga, A. V. Roy // Proc. Int. Conf. Pattern Recognition and Image Analysis. PRIA-7-2004. - 2004. - Vol. 2. - P. 473-475.
12. Shin, B.-S. Effective feature extraction by trace transform for insect footprint recognition / B.-S. Shin, E.-Y. Cha, K.-B. Kim, K.-W. Cho, R. Klette, W. W. Young // 3rd International Conference on Bio-Inspired Computing: Theories and Applications, BIC-TA 2008 sponsors: IEEE South Australia Section. - Adelaide, NT, 2008. - P. 97-102.
13. Fooprateepsiri, R. Highly robust approach face recognition using hamming - trace combination / R. Fooprateepsiri, W. Kurutach // Proc. of the IADIS Int. Conf. Intelligent Systems and Agents 2010, Proc. of the IADIS European Conference on Data Mining 2010, Part of the MCCSIS-2010, 2010. - P. 83-90.
14. Fedotov, N. G. Triple features of ultrasonic image recognition / N. G. Fedotov, L. A. Shulga, A. S. Kol’chugin, O. A. Smol’kin, S. V. Romanov // Proc. Of the 8th Int. Conf. on Pattern Recognition and Image Analysis (PRIA-8-2007). - Yoshkar-Ola, Russia, 2007. - Vol. 1. - P. 299-300.
References
1. Fedotov N. G. Metody stokhasticheskoy geometrii v raspoznavanii obrazov [Methods of stochastic geometry in image recognition]. Moscow: Radio i svyaz', 1990, 144 p.
2. Fedotov N. G. Teoriya priznakov raspoznavaniya obrazov na osnove stokhasticheskoy geometrii i funktsional’nogo analiza [Theory of image recognition features on the basis of stochastic geometry and functional analysis]. Moscow: FIZMAT-LIT, 2009, 304 p.
3. Kendall W. S., Molchanov I. New Perspectives in Stochastic Geometry. Oxford: UK: Oxford University Press, January, 2010.
4. Kadyrov A. A., Saveleva M. V., Fedotov N. G. Image scanning leads to alternative understanding of image. Third int. conf. on automation, robotics and computer vision (ICARCV’94). Singapore, 1994.
5. Fedotov N. G., Kadyrov A. A. In Proc. of 5th International Wo^shop on Digital In Processing and Computer Graphics, Proc. International Society for Optical Engineering (SPIE). 1995, vol. 2363, pp. 256-261.
6. Fedotov N. G., Shulga L. A. WSCG’2000 Conference Proceedings. - University of West Bohemia. 2000, vol. 1 (2), pp. 373-3S0.
7. Kadyrov A. A. and Fedotov N. G. Advances in Mathematical Theory and Applications. 1995, vol. 5, no. 4, pp. 546-556.
S. Fedotov N. G., Kol'chugin A. S., Smol'kin O. A., Moiseev A. V., Romanov S. V. Iz-meritel’naya tekhnika [Measuring technology]. 200S, no. 2, pp. 56-61.
9. Vidal M., Amigo J. M. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 2012, vol. 117, no. 1, pp. 13S-14S.
10. Fedotov N. G., Nikiforova T. V. Izmeritel’naya tekhnika [Measuring technology]. 2002, no. 12, pp. 27-31.
11. Fedotov N. G., Shulga L. A., Roy A. V. Proc. Int. Conf. Pattern Recognition and Image Analysis. PRIA-7-2004. 2004, vol. 2, pp. 473-475.
12. Shin B.-S., Cha E.-Y., Kim K.-B., Cho K.-W., Klette R., Young W. W. 3rd International Conference on Bio-Inspired Computing: Theories and Applications, BIC-TA 2008 sponsors: IEEE South Australia Section. Adelaide, NT, 200S, pp. 97-102.
13. Fooprateepsiri R., Kurutach W. Proc. of the IADIS Int. Conf. Intelligent Systems and Agents 2010, Proc. of the IADIS European Conference on Data Mining 2010, Part of the MCCSIS-2010. 2010, pp. S3-90.
14. Fedotov N. G., Shulga L. A., Kol’chugin A. S., Smol’kin O. A., Romanov S. V. Proc. Of the 8th Int. Conf. on Pattern Recognition and Image Analysis (PRIA-8-2007). Yoshkar-Ola, Russia, 2007, vol. 1, pp. 299-300.
Федотов Николай Гаврилович
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой экономической кибернетики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Голдуева Дарья Алексеевна кандидат технических наук, доцент, кафедра экономической кибернетики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Fedotov Nikolay Gavrilovich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of economic cybernetics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Goldueva Dar'ya Alekseevna Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of economic cybernetics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 681.39; 007.001.362 Федотов, Н. Г.
Формирование триплетных признаков цветных текстур / Н. Г. Федотов, Д. А. Голдуева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2013. - № 4 (28). - С. 32-42.
