Признаки текстур, представленных в трехмерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Трахтенгерц Э.А., Иванилов Е.Л., Юркевич Е.В. Современные компьютерные технологии управления информационно-аналитической деятельностью // М: СИНТЕГ, 2007.- 320 с.

2. Юркевич Е.В., Секерин В.Д. Логистика образования - наука об управлении передачей знаний// Информатизация образования и науки №4/2011 С.192-203

3. Юркевич Е.В. Функциональная надежность в образовании/ М., ВИНИТИ, 2007.86с.

4. Кемалов В.К. К проблеме структурного синтеза моделирующей среды авиационного тренажера / В.К. Кемалов Б.Ж. Куатов, Н.К. Юрков //Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2015. -

Т. 1. - С. 103-106.

4. Вьюгина С.В. Синергетизм технологий развития интеллектуального потенциала студентов в педагогической системе технологического ВУЗа //Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2015. - Т. 1. - С. 208-211.

УДК 681.39; 007.001.362

Федотов1 Н.Г., Голдуева1 Д.А., Мокшанина2 М.А.

1ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет», Пенза, Россия

2ФГБОУ ВПО «Пензенская государственная сельскохозяйственная академия», Пенза Россия

ПРИЗНАКИ ТЕКСТУР, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Предложен метод формирования признаков текстур, представленных в трехмерном пространстве, на основе стохастической геометрии и функционального анализа.

Ключевые слова:

признаки текстур, представленных в трехмерном пространстве, распознавание образов, стохастическая геометрия, функциональный анализ.

Введение

Одной из актуальных проблем современной науки и техники является проблема распознавания образов. В ряде прикладных задач распознаванию подлежат изображения поверхностей, представленных в трехмерном пространстве (например, задача анализа рельефа местности, и т.д.). При решении подобных задач одной из основных проблем является проблема формирования признаков, описывающих анализируемые объекты и способных отличать изображения, относящиеся к разным классам.

Подавляющее большинство существующих в настоящий момент времени методов формирования признаков объектов, представленных в трехмерном пространстве, не позволяют остаточно детально описать анализируемые изображения, в силу того, что предполагаю существенное упрощение распознаваемых объектов, заключающееся в приведении к двумерному случаю. Подобное упрощение отрицательно сказывается на точности распознавания.

В настоящей статье предлагается метод формирования признаков текстур, представленных в трехмерном пространстве, предполагающий анализ изображений без предварительного их упрощения. Настоящий метод основан на аппарате стохастической геометрии и функционального анализа. Также следует отметить, что предлагаемый подход к проблеме анализа текстур, представленных в трехмерном пространстве, позволяет конструировать признаки инвариантные к повороту, переносу и масштабным изменениям исходного объекта, что весьма важно для решения большинства практических задач рассматриваемой области. Причем подавляющее большинство методов анализа

1. Теория триплетных признаков

Ключевым элементом теории триплетных признаков является геометрическое трейс-преобразова-ние, связанное со сканированием анализируемого изображения по сложным траекториям, введенное в [1] и исследованное в [1; 4; 5; 6; 7] и после-

дующих работах. Трейс-преобразование сводимо в частных случаях к преобразованиям Радона, Фурье, Хо, Радона-Хо, но не эквивалентно им [2]. Трейс-преобразование является удобным инструментом для распознавания движущихся объектов. На его основе возможно получение нового класса признаков распознавания, позволяющих обеспечить инвариантное или сенситивное распознавание к группе движений и масштабным преобразованиям [7, 9]. С помощью

признаков, посредствам которых организовано сенситивное распознавание, можно дополнительно определить параметры преобразования, которое претерпел исходный объект анализа [7]. Признаки изображения в рассматриваемом подходе имеют структуру в виде композиции трех функционалов [1]:

П(F) = © о P о T(F п 1(6, р)), (1)

где 0, р полярные координаты сканирующей прямой 2(0, р) [2], с которыми связаны функционалы 0 и P соответственно; функционал T связан с параметром t, задающем точку на сканирующей прямой 2(0, р); Е(х, у) - функция изображения на плоскости

(х, у). Подобное представление признака оказалось продуктивным в силу своей геометричности: многие известные формулы стохастической геометрии и известные преобразования Радона, Хо, Фурье и др. укладываются в такую трехкомпонентную форму. В связи с характерной структурой такие признаки были названы триплетными. Функционал Т называют трейс-функционалом, P - диаметральным функционалом, 0 - круговым функционалом. Области определения и области значения функционалов Т, Р и 0 являются подмножествами множества действительных чисел. Функционалы T, P и 0 выбираются из различных областей математики: теории веро-

ятности, математической статистики, теории рядов и фракталов, стохастической геометрии и т. д. Таким образом, триплетные признаки сохраняют следы генезиса соответствующих областей математики, чем объясняется гибкость и интеллектуальность алгоритмов распознавания, базирующихся на триплетных признаках. Подробное описание формирования триплетного признака бинарного изображения можно найти в [2], для цветных текстур в [8].

2. Формирование триплетных признаков текстур, представленных в трехмерном пространстве

Под текстурой в настоящей работе будет пониматься изображение поверхности с повторяющимися примитивами каким-либо образом распределенными на ней. Текстуры, представленные в трехмерном пространстве, в отличие от двумерных, имеют еще одну группу характеристик, описывающую особенности высот. Поэтому, для анализа текстур, представленных в трехмерном пространстве, целесообразно построить совокупность признаков, учитывающую как особенности проекции точек минимума текстуры на плоскость хОу (или особенности яркости поверхности текстуры), так и особенности высот анализируемых изображения.

В настоящей работе для примера рассматривались текстуры, представленные в трехмерном пространстве, полученные при помощи атомно-силового микроскопа (рисунок 1).

Триплетные признаки текстур, представленных в трехмерном пространстве имеют следующий вид:

П (F) = © о P о T(F па) , (2)

где а - сканирующая плоскость перпендикулярная плоскости хОу, Е(х, у, z) - функция изображения

в пространстве (х, у, z), которая каждой точке поверхности текстуры А(х, y, z) ставит в соответствие z. Результат пересечения функции изображения с плоскостью а есть кривая q(0, р, z) (рисунок 2), заданная в цилиндрической системе

координат параметрами 0, р и z. Проекция кривой q на плоскость хОу есть прямая 1(0, р), где О, р её полярные координаты, с которыми связаны функционалы 0 и P соответственно; функционал T связан с параметром t, задающим точку на прямой

1, T(F п 1(в,р)) = T f ( 0, р, t).

Рисунок 1 - Пример текстуры, представленной в трехмерном пространстве, полученной при помощи атомно-силового микроскопа

Рисунок 2 - Пример построения кривой q. а) текстура, представленные в трехмерном пространстве, с выделенным направлением сканирования, б) кривая q вдоль выделенного направления на координатной плоскости tO'z.

Для решения задачи анализа текстур, представленных в трехмерном пространстве, были выделены две группы триплетных признаков:

признаки, характеризующие особенности проекции минимумов текстур, представленных в трехмерном пространстве, на плоскость хОу;

признаки, характеризующие особенности высот текстур, представленных в трехмерном пространстве.

Причем вторую группу можно подразделить на

три 2.1, 2.2 и 2.3.

Признаки первой и второй группы имеют одинаковую трехфункциональную структуру. Отличие между ними заключается лишь в подходе к заданию характеристик отрезков прямой 1(0, р), соответствующих одному участку кривой q между двумя значимыми соседними минимумами. Для построения признаков, характеризующих особенности проекции минимумов текстур, представленных в трехмерном пространстве, на плоскость хОу, каждому отрезку ai прямой 1(0, р), соответствующему i-му участку

кривой q между двумя значимыми соседними минимумами, ставится в соответствие его длина. Для построения признаков типа 2.1 каждому отрезку ai прямой 1(0, р), соответствующему i-му участку кривой q между двумя значимыми соседними минимумами, ставится в соответствие максимальная высота на отрезке ai. Для построения признаков типа 2.2 каждому отрезку ai прямой 1(0, р), соответствующему i-му участку кривой q между двумя значимыми соседними минимумами, ставится в соответствие коэффициент асимметрии. Для построения признаков типа 2.3 каждому отрезку ai прямой 1(0, р), соответствующему i-му участку кривой q между двумя значимыми соседними минимумами, ставится в соответствие радиус кривизны в точке с максимальной координатой z отрезка ai.

Для формирования признаков первого и второго типа функция f(0, р, t) принималась равной:

f(0, р, t) = z, где z - высота в точке t прямой 1(0, р) такой, что FпаФ0 , 1(0, р) -проекция пересечения F па на плоскость xOy.

Далее посредством трейс-функционала

T(Fпа) = Tf(0, р, t) составляется трейс-мат-

рица, по которой, путем последовательной свертки диаметральным и круговым функционалом, определяется признак П (F) = © о P о T(F па) . Понятие

трейс-матрицы подробно описано в [2].

Зачастую анализируемые текстуры, представленные в трехмерном пространстве, относящиеся к одному классу, имеют высокий уровень вариабельности формы и положения повторяющихся включений. Поэтому для обеспечения гибкости, надежности и универсальности системам распознавания текстур, представленных в трехмерном пространстве целесообразно применять признаки, инвариантные к группам движений и масштабным преобразованиям.

3. Триплетные признаки текстур, представленных в трехмерном пространстве, инвариантные к группе движений и масштабным преобразованиям

Решение задачи формирования инвариантных признаков изображений целесообразно начать с исследования свойств функционалов, образующих композицию в структуре искомых признаков, поскольку именно от них зависит инвариантность признака по отношению к движению и масштабным преобразованиям изображений.

Рассмотрим более подробно каждый вид преобразований изображений.

1) Перенос. Для того, чтобы признак П(Г) был инвариантен к переносу, необходимо и достаточно, чтобы Р функционал был инвариантен к переносу [2].

Приведем примеры признаков, инвариантных к переносу

П1 = Т1° P2◦ 07, П2 = Т2◦ P2◦ 05,

П3 = Т3 ◦ P2 ◦ 07, где Т1 = max xt , где

i

x = max f (0, р,t •) , tj - точки отрезка аi прямой 1 j ’J

1(0, p), где j - порядковый номер точки прямой

1(0, p) в дискретном её представлении;

Т2 = n, где n - число отрезков а^ выделяемых на сканирующей прямой;

ТЗ =

df(e,p,t)

1+

at

t-ts

Xt =

df(e,p,t)

n

dt

t-ts

где

f (0,р, ts ) =

max f (0,р, tj )

j , tj - точки отрезка аi прямой l(0,

p), если n # 0. В противном случае, Т3 = 0

Р2 =

- число 05 =

Xg2(0j,Pi) , где g(0j, pi)

i=1

дискретных значений p; maxh(0j) , где Щ) = P(g(0j j

T(F па)

p)) ;

m

n

07 = X ln|h(0j) +1-A0

j=i

вания по 0.

где A0

шаг сканиро-

2) Поворот, при котором точка O переходит сама в себя, ось Ох в Ох', ось Оу в Оу', ось Oz сама в себя. Для того, чтобы признак П(Г) был инвариантен к повороту, необходимо и достаточно, чтобы 0 функционал был инвариантен к повороту [2].

Приведем примеры признаков, инвариантных к повороту:

П4 = Т2° Р1° 03,

П5 = Т 8 ◦ P6° 09,

П6 = Т3° Р1° 04, где к

Т8

X Ь+1 -;

d X tjf (O,p, fj) -j j=s ' d \ X tjf(o,p, fj) j J d Xfjf Op fj)+2 j=s (d V X fjf (0, p, fj) V j=s J

1 d X p2f (o,p, fj) - j=s ( d Л Xfjf (O,p, tj) V j=s J 2

tj - точки отрезка а± прямой 1{6, р), ts-1 = td+1

= 0 или ts-1, td+1 не принадлежат области сканирования;

Pi - X 8(ei,Pi) 'Ap, где AP

шаг сканирова-

i=1

ния по р;

Рб - £ 8 (Oj ,pi); ©3 -

i=1 n

))2 ;

j=i

04

Xh(0j) ; 09 = Xh(9j) -Д0 .

j=1 j=1

3) Масштабные преобразования. Для того, чтобы признак n(F) был инвариантен к масштабным преобразованиям, необходимо и достаточно, чтобы Т или Р функционал был инвариантен к масштабным преобразованиям, и Р функционал был инвариантен к переносу [2].

Пусть F - функция исходного изображения. Пусть F' - функция изображения F, претерпевшего масштабное преобразование, т.е. F' = k F. Под действием того же преобразования плоскость а, пересекающая изображение F, перейдет в плоскость

, T(F па) T(F'na')

а'. Требуется, чтобы 4 ' = 4 ' , или

р( T(Fпо) )

T(F 'па')

Р( ). Прямая l' будет при

этом смещена относительно исходного положения прямой l, поэтому целесообразно требовать от Р функционала инвариантности к переносу. Выше сказанное является строгим только для непрерывного случая. Но мы имеем дело с дискретным сканированием, в силу которого появляется некоторое дополнительное условие. Поясним его суть.

При гомотетии диапазон р трейс-матрицы расширяется (k > 1) или сужается (k < 1) в k раз, т.е. р' = кр, т.к. изображение F' пересечет в k раз больше (при k > 1) или в k раз меньше (при k < 1) прямых, чем изображение F. Таким образом, количество ненулевых значений в i-ом столбце трейс-матрицы, построенной для изображения F', и количество ненулевых значений в i-ом столбце

трейс-матрицы, построенной для изображения F будут отличаться в к раз. Поэтому степень нестабильности признака к рассматриваемому преобразованию зависит от выбора Р функционала. Если Р функционал имеет накопительный характер, напри-m

X 8(0j ’ Pi)

мер, Р = i_1 , то содержащий его признак

будет иметь высокую степень нестабильности. Обратная же ситуация наблюдается с признаками, в структуру которых входят Р функционалы, такие

m

X 8(0j, Pi)

i=1

max g(Oj ,Pi)

как Р = i , Р = m и т.п.

Приведем примеры признаков, инвариантных к масштабным преобразованиям изображений, и экспериментально определим степень нестабильности каждого на текстурах, представленных в трехмерном пространстве, полученных с помощью атомносилового микроскопа. Степень нестабильности признака определим как относительную его погрешность, выраженную в процентах.

Пусть под действием семейства масштабных преобразований ш, u2, ..., un изображение F переходит в новые изображения Fi, F2, Fn соответственно.

Пусть П( Fi), П(F2), ..., П(Fn) - значения признака П для изображений Fi, F2, ■■■, Fn соответственно. Тогда среднее значение признака:

n

X nF)

i=1

П =

Средняя абсолютная погрешность признака:

X |П(0 )-

П

Тогда искомая относительная погрешность инвариантности признака есть:

p

в = = -ш%

П

i=1

X

n

n

i=1

P =

n

В таблице 1 приведены результаты эксперимента.

Таблица 1

Функционалы, составляющие признак Значение признака изображения в,%

Т Р 0 k = 1 k = 1,3 k = 1,5 k = 0,5 k = 0,6 k = 0,75

T12 P10 02 3.200 3.760 3.200 3.610 3.790 3.900 7.02

T11 P 4 03 54.34 59.43 57.29 51.67 53.86 60.56 5.16

T11 P4 04 1032.43 958.41 1014.39 924.53 942.54 1010.99 3.94

T11 P4 05 5.69 4.38 4.25 5.71 5.22 4.88 10.32

T11 P4 06 2.44 2.62 2.89 2.51 2.77 3.1 7.28

T11 P4 07 6.98 6.32 6.81 6.64 7.03 7.07 3.21

T11 P4 08 4.21 4.85 4.57 4.29 4.53 4.25 4.49

T11 P4 09 8.87 8.54 8.91 8.46 9.23 9.35 3.03

T11 P4 010 394.74 376.62 388.23 359.34 421.46 408.52 4.27

T13 P4 05 0.4 0.35 0.39 0.36 0.41 0.37 5.26

T13 P4 07 1.82 1.79 1.92 2.43 1.96 2.03 7.97

T11 P10 02 2.62 2.45 3.04 2.41 3 3.02 9.55

В таблице 1 приведены следующие функционалы:

2=1

2 х * 0 , в

противном

2=1

Т12 = 2=1 , если n # 0. В противном случае,

n • max x.

Т12 = 0,

случае, Т11 = 0, = maxf (0,p,tj) , tj - точки от-

J

резка а± прямой l(Q, р);

d 2 & Ал tj) -з j=s ' d x 2tJf (p,p, tJ) vj=s J d 2tJf Ал tj)+2 J=s г d x3 2 tjf Ал tj) V j=s J

1 d 2t2f Ар, tj) - j=s (d x 2tJf (P p, tJ) V j=s J 2

n

2

n

х

n

Т

1

n

х

l=1

Xi =

tj - точки отрезка а± прямой l(Q, р), ts-1 = 0 или ts-1, td+1 не принадлежат сетчатке;

td+1

Т13

f (p,p, ts ) = max f ,

J

прямой l(Q, р);

(V i+(f 'Ар, ts ))2

\f 'АР, ts )| '

- точки отрезка а±

Р 4

maxg(0j,pi) ; Р10

i

2g (Pj , pi)

2=1____________

02

05

2l h(p+1) - 4°J)

j=1

maxh(p) - min h(0.-) ;

j j

maxh(Pj) ;

j

08

2 h(0)

j=1

min h(Pj) ; 0ю

j

Проведенные исследования показывают, что построенные триплетные признаки обладают достаточно высокой степенью инвариантности к масштабным преобразованиям текстур, представленных в трехмерном пространстве.

max Xi - min Xi

где x

max X

t

m

0

n

Заключение

Существует обширный класс задач медицинской, технической диагностики, где ключевая информация заключена в зрительных образах. В настоящей статье рассмотрена задача формирования признаков текстур, представленных в трехмерном пространстве. Для решения данной проблемы предложен новый подход, основанный на аппарате стохастической геометрии и функционального анализа. Его суть заключается в формировании триплетных признаков двух типов: характеризующих особенности

проекции минимумов текстур, представленных в трехмерном пространстве, на плоскость хОу; характеризующих особенности высот текстур, представленных в трехмерном пространстве. Таким образом, построенная группа признаков позволит более полно описать текстуры, представленные в трехмерном пространстве, без предварительного их упрощения. Благодаря трехкомпонентной структуре триплетных признаков возможна генерация большого их количества, что позволяет увеличить гибкость, универсальность и надежность распознавания. Причем, как показывают проведенные эксперименты, при определенном выборе функционалов, входящие в структуру триплетного признака, формируемые характеристики приобретают свойства инвариантности к группе движений и масштабным преобразованиям.

Работа поддержана грантом РФФИ № 15-07-04484.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федотов Н.Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов. - Москва: Радио и

связь, 1990. - 144с.

2. Федотов Н.Г. Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 304 с.

3. Kendall, Wilfrid S., Molchanov, Ilya (2010) New Perspectives in Stochastic Geometry. Oxford, UK: Oxford University Press, January 2010.

4. Kadyrov, A.A., Saveleva, M.V., Fedotov, N.G. (1994). Image scanning leads to alternative understanding of image. Third int. conf. on automation, robotics and computer vision (ICARCV'94), Singapore.

5. Fedotov, N.G., Kadyrov, A.A. (1995). Image scanning in machine vision leads to new understanding of image. In Proc. of 5th International Workshop on Digital In Processing and Computer Graphics, Proc. International Society for Optical Engineering (SPIE), Vol. 2363, pp. 256-261.

6. Fedotov, N.G., Shulga, L.A. (2000). New Theory of Pattern Recognition Feature on the Basis of Stochastic Geometriy. WSCG'2000 Conference Proceedings, University of West Bohemia. Vol. 1(2), pp. 373-380

7. Kadyrov, A. A. and Fedotov, N. G. (1995). Triple Features Pattern Recognition and Image Analysis. Advances in Mathematical Theory and Applications. Vol. 5, № 4, pp. 546 - 556.

8. Федотов Н.Г., Голдуева Д.А. Анализ цветных объектов с позиции стохастической геометрии и функционального анализа // Надежность и качество : труды Международного симпозиума : в 2 т. - Пенза : Изд-во Пенз. ГУ, 2012. - Т. 2. - С. 390-392. http://elibrary.ru/item.asp?id=17917107

9. Федотов Н.Г., Голдуева Д.А. Трейс-преобразование текстур, представленных в трехмерном пространстве // Надежность и качество : труды Международного симпозиума : в 2 т. - Пенза : Изд-во

Пенз. ГУ, 2014. - Т. 1. - С. 405 - 408. http://elibrary.ru/item.asp?id=22077929