CC BY
3я а SEES 22-24 октя6ря 2024 г-
Формирование сингулярностей типа ван Хова при распространении волнового поля в одномерной стратифицированной среде
Волкова В.В., Кулагина М.А., Филатов В.В.
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва
Е-mail: vvfilatov@bmstu. ru
DOI: 10.24412/cl-35673-2024-1-83-85
В настоящее время большой практический интерес вызывает изучение динамики волновых полей в неоднородных средах. Так, распространение гармонической волны в стратифицированной среде сопровождается переотражениями на границах неоднородностей, поэтому уже в одномерном случае имеется возможность локализации поля, приводящая к накачке [1]. При этом в функции плотности состояний соответствующих квазичастиц в пространстве квазиимпульсов возникает резонанс - сингулярность (особенность) типа ван Хова [2]. Настоящая работа посвящена выяснению условий возникновения ванхововских сингулярностей в полях произвольной природы при распространении в одномерных стратифицированных средах.
Для общности описания будем обозначать амплитуду поля символом ¥(r, t). В этом случае распространение ¥-волны вдоль выбранного направления (Ох) описывается волновым уравнением
d2¥/dt2 = u2 д2¥/дх2, (1)
в котором u = и(х) есть скорость движения волнового фронта.
Решение (1) в каждом (-м) слое стратифицированной среды может быть представлено в виде падающей и отраженной волн:
¥}(х, t) = Aj exp[(i(kjx - ®t)] + Bj exp[-i(kjx + ®t)], (2)
где ю — циклическая частота, а kj = ю/щ — волновое число.
Заметим, что максимальное интерференционное усиление ¥ может быть получено лишь в результате «синхронизации» всех слоев композита, поэтому для целей настоящего исследования следует сузить рассмотрение всех мыслимых плоскослоистых сред периодическими. Простейшая из них (за исключением тривиальных)
ФИЗИКА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ
- одномерная двукомпонентная, образованная последовательным чередованием двух подслоев («1» и «2»): (1,2),(1,2),(1,2)...
Вытекающие из вида уравнения (1) требования непрерывности и гладкости (2) на стыках подслоев, а также условие периодичности приводят к следующему равенству:
cos ka = cos kiai xcos fefi^ - ^(M/fe + fe/£i)xsin kiai xsin fea2, (3)
где ki = k/Ч k2 = kf2\
ai = Xj+1/2 - Xj, a2 = Xj+i - Xj+i/2, a;(1) = ^j(1)exp(7'kj(1)xj), a/2) = jexpOjVm), ^ = 5j(1)exp(-/kj(1)x;), 6/2) = 5j(2)exp(-/kj(2)x;+i/2),
а xj+i/2 и x;+i суть координаты внутреннего (в пределах слоя j) и внешнего (на границе j-го и (/+1)-го слоев) стыков подслоев «1» и «2», обозначенных верхним индексом в скобках.
Как хорошо видно из (3), спектр решений данного уравнения содержит «запрещённые зоны» - области частот, для которых правая часть (3) по абсолютной величине превышает единицу, вследствие чего решения (3) не существует. Границы запрещённых зон определяются условием
cos ka = ±1, (4)
что в первой зоне Бриллюэна соответствует центру (k = 0) или краю (k = п/a). В указанных точках происходит переход из «запрещённой» области в «разрешённую», и волны впервые получают возможность распространяться в материале, но на самой границе зон групповая скорость ¥-волны нулевая:
у(ш) = 0, (5)
что обусловливает резонанс функции плотности одночастичных состояний в одномерном «кристалле» (V - его объем):
р(®) = [V/(2n)3] х \dSk/\VM = = (V/2n2) х k2 х |dk/d®| ~ dk/d® = v-1 ^ (6)
Это и есть искомая сингулярность ван Хова.
Таким образом, в одномерных стратифицированных средах сингулярности типа ван Хова образуются в критических точках зоны Бриллюэна, то есть, на краях ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве. С очевидностью полученный результат обобщается на
я a sE 22-24 октябРя 2024 г-
случаи дву- и трёхмерных структур. Отметим, что представленный вывод получен в рамках самых общих предположений и не зависит от природы поля, что открывает возможности локализации, накачки и последующей когерентной генерации в произвольных полях.
1. Пичкуренко С.В., Филатов В.В., Ядерная физика и инжиниринг. 2018, 9(6), 582-584.
2. van Hove L., Phys. Rev. 1953, 89, 1189-1193.
