Моды утечки и направляемые моды в ограниченном одномерном фотонном кристалле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.3

МОДЫ УТЕЧКИ И НАПРАВЛЯЕМЫЕ МОДЫ В ОГРАНИЧЕННОМ ОДНОМЕРНОМ ФОТОННОМ

КРИСТАЛЛЕ

Д. X. Нурлигарссв, В. А. Сычугов

Приводится аналитическое описание направляемых люд и мод утечки в ограниченном одномерном фотонном кристалле. Дисперсионное уравнение этих мод представлено в виде условия, поперечного резонанса волн Флоке Блоха с учётом фазовых сдвигов на границах с прилегающими средам/и.

Ключевые слова: фотонный кристалл, волны Флоке Блоха, моды утечки.

Понятие "моды утечки" возникло в интегральной оптике при разработке устройств связи для ввода/вывода излучения в волноводы и применялось для обозначения мод волновода с утечкой, вызванной наличием элемента связи, которое может рассматриваться как слабое возмущение [1]. Спектр мод возмущённого волновода непрерывный и моды утечки выделяются в нём как обладающие минимальными потерями. Дранные решения имеют дискретный спектр, но это не настоящие моды. т.к. даже в случае отсутствия материальных потерь они не могут существовать без подвода энергии. Тем не менее, при значительных толщинах волноводного слоя (> 40А) затухание мод может быть снижено до практически приемлемых уровней [2]. Выделение мод утечки может быть оправданным также и в случае многослойных планарньтх волноводов [3]. К сожалению, в настоящее время практически отсутствует разработка деталей теории распространения света в таких структурах, и даже в линейном одномерном случае, при расчёте и конструировании многослойных отражающих и волноведутцих структур, практически всегда используются численные методы [4. 5].

Ранее мы рассматривали моды утечки в многомодовой системе связанных одномодо-вьтх волноводов [6]. Было показано, что такую систему можно рассматривать как одномерный фотонный кристалл и представлять распространение света в ней в форме волн Флоке Блоха (блоховских волн). Пространственный фурье-анализ мод такой системы проводился нами в [7]. Было показано, что моды в ограниченном фотонном кристалле

ИОФ РАН, 119991 Москва, ул. Вавилова, 38, Россия; e-mail: jamil@kapella.gpi.ru.

образуются взаимодействием двух противоположно распространяющихся волн Флоке-Блоха. Несколько позднее, при рассмотрении волны Флоке-Блоха в виде неоднородной волны [8], нами было впервые представлено точное описание её основных оптических характеристик действительными функциями координат и параметров ячейки кристалла. Представление волны Флоке-Блоха в виде неоднородной волны позволило также получить функции коэффициентов отражения и пропускания для случая падения плоской волны на ограниченный одномерный фотонный кристалл [9].

Целью данной работы является точное аналитическое описание направляемых мод и мод утечки ограниченного одномерного фотонного кристалла на основе развитого представления волны Флоке-Блоха в виде неоднородной волны.

Рис. 1: Геометрия фотонно-кристаллического волновода. Фазовые поверхности Ф+ (х,г) и Ф-(х,г) прямой и обратной волны Флоке-Блоха показаны сплошными линиями, а плоскости Ф+ (х,г) Ф- (х,г) - штриховыми линиями.

Волны Флоке-Блоха в ограниченном одномерном фотонном кристалле. Рассмотрим одномерный фотонный кристалл с ячейкой (см. рис. 1) (Л = К+5), образованной слоями /- и з-типа толщиной К и 5 значение показателя преломления в которых и и8 различно. Пусть для определённости слои с чётными номерами т = 0, 2,..., 2И - /-типа,

а с нечётными номерами т = 1, 3,..., 2Ы — 1 - з-типа. Величина показателя преломления в ограничивающих фотонный кристшгл однородных сред&х соответственно ршш<вь па (при х < 0 и пъ (х > Н = + 1)к + 2Жз).

Ранее мы представили ТЕ-поляризованную волну Флоке-Блоха Е±(х, г,Ь) = (х) • ехр[г(и£ Т Кх — /3г)] = Е±(х, г) • ехр(ги£) (где К - блоховское волновое число, (х) -периодическая комплексная функция с периодом, равным размеру ячейки кристалла Л, в = к0п* - продольная постоянная распространения в направлении г (т.е. вдоль слоёв), и - частота, £ - время), в форме неоднородной волны Е±(х,г,£) = Е±(х) • ехр{г[и£ + Ф±(х,г)]} (где Ф±(х,г) и Е±(х) = \Е±(х, г,Ь)\ = (х)| - действительные функции, описывающие распределение фазы и амплитуды поля неоднородной волны) [9]. Здесь верхний и нижний знаки отвечают прямой и обратной волнам, распространяющимся

х

точки фазовых поверхностей неоднородной волны, соответствующие серединам слоёв разных ячеек кристалла, располагаются на плоскостях Ф±(х, г) = ф± т К(х — к/2 — вг).

х

в середину соседнего слоя равна КЛ/2, т.е. Е±(х, г) = Е±(х) • ехр[г(ф± т КЛт/2 — вг)] (здесь ф±± фаза волны Флоке Блоха, отсчитываемая относительно середины

слоя с номером т = 0). Распределение поля Е±(х) волны в слоях кристалла удобно представить в виде комплексной функции локальных координат / отсчитываемых от середин слоёв и з-тнпсЦ соответственно^

Е ±(х)

Ае*к^ + Ве±^ Ь = (А + В) сое к// т г(А — В) яп к//, т = 0, 2,..., 2М

Сё*™'*' + Бе±™'*' = (С + Б) сое к3£3 Т г(С — Б) яп к3 т = 1, 3,..., 1.

(1)

АВСБ

в случае действительных к/ = (к^п2 — в2)1/2) к3 = (к^п^ — в2)1/2 и К равны [8, 9]

А = А0 • в1п[(к/ к — к3з + К Л)/2] • 8\п[(к/ к + к3 з + К Л)/2] В = А0 • [(к3 — к/)/(к3 + к/)] • вт[(к/к — к3з + КЛ)/2] • вт[(к/к — к3з — КЛ)/2] С = А0 • [(к3 + к/)/(2к3)] • э1п[(к/к + к3з + КЛ)/2] • э1п(к/к) Б = А0 • [(к3 — к/)/(2к3)] • вт[(к/к — к3з + КЛ)/2] • вт(к/к),

(2)

к/ к3

в слоях кристалла. Здесь рассматривается волноводньтй режим распространения света.

для которого характерно равенство нулю усреднённого потока энергии в направлении x (поперёк слоёв). Из этого следует равенство амплитуд прямой и обратной волн Флоке Блоха: A+ = A- = A0. В (2) величина K с точностью до 2п/Л, умноженного на целое число, может быть найдена из уравнения [10]

cos KЛ = cos Kf h • cos Kss — (1/2) • (Ks/Kf + Kf /ks) • sin Kf h • sin Kss. (3)

K

получено нами в работе [8]

(A — B Kfh\ (C — D Kss\

KЛ = 2 arctan --- tan f +2 arctan —-- tan + 2n(Mf + Ms), (4)

\A + B 2 J \C + D 2 J

Mf Ms

значения которых определяются как максимальные значения величин m,f, ms из равенств Kf^f = nm^ Ks£s = nmsi f < h, £s < s. Далее, в данной работе, ограничимся

K

хающим волнам Флоке Блоха в ограниченном фотонном кристалле.

Моды, направляемые фотонно-кристаллическим волноводом. При выполнении условий koUf, k0ns > в величины Kf, Ks действительные, и распредел ение поля EM (x,z) = EM(x) • exp(—ifiz) направляемой моды в слоях фотонного кристалла определяется суммой

E +(x,z)+E~(x,z) = {E + (x)exp[i^+ — ^m/2)]+E"(x) exp[i^-+KЛm/2)]}•exp(—ipz).

Введём обозначение 25m = ф+ — ф- — KЛm (где m = 0,1,..., 2N) и, полагая, что ф+ = —ф- = ó0, фт = —Фт = ó0 — KЛm/2 = óm (где ффт соответственно, фаза прямой

m

функцию EM (x) профиля моды по рядка M (где M - целое число, будет определено ниже)

Em(x) = E +(x) exp(ióm) + E-(x) exp(—ióm). (5)

Функции E +(x), E -(x) в (5) определяются выражениям и (1). При KЛ = nn (n = 0,1,...) согласно с (2) A2 = B2, C2 = D2, и EM(x) можно представить в виде функций EMf (f) EMs(£s) локальных координат f £s

Em (x)

EMf (f) = 2(A + B) cos(Kf f) cos óm + 2(A — B) sin(Kf f) sin óm, m = 0, 2,..., 2N

(6)

Ems(£s) = 2(C + D) cos(Ks£s) cos óm + 2(C — D) sin(Ks£s) sin óm, m = 1, 3,..., 2N — 1.

В областях x < 0 и x > H при в > kona,konb поперечная составляющая волнового вектора мнимая, и распределение поля является экспоненциально спадающим, соответственно, ка = Kb = ÍYb, EM(x) = Aa exp(Yax) и EM(x) = Ab expYb(H — x)] (где Aa и Ab - амплитуда пол я при x = 0 и x = H). Условия непрерывности полей на границах x = 0 (О = — h/2, m = 0) и x = H (f = h/2, m = 2N)

2(A + 5) cos(Kf h/2) cos ¿o — 2(A — 5) sin(Kf h/2) sin ¿o = Aa,

2(A + В)Kf sin(Kf h/2) cos ¿o + 2(A — В)k/ cos(k/ h/2) sin ¿o = YaAa, (7)

2(A + В) cos(Kf h/2) cos ¿2N + 2(A — В) sin(Kf h/2) sin ¿2N = Ab,

2(A + 5)k/ sin(Kf h/2) cos ¿2N — 2(A — В)k/ cos(k/h/2) sin ¿2N = YbAb

позволяют найти с точностью до п, умноженного на целое число, параметры ¿0 и S2N, определяющие фазу прямой и обратной волн Флоке Блоха на нижней и верхней граНИ ЦДХ фотонного кристалла

¿0 = Афа/2 + nma, ¿2N = —Афь/2 — пть, (8)

^ — (А—В • f+ff);

Дфь = 2arctan( ^ • Kffil) • <9)

Заметим. что выполняется равенство 2¿o — 2¿2N = Афа + Дфь + 2n(ma + ть) = 2КЛМ (2¿o = ф+ — фё = Афа + 2nma, —2¿2n = 2КЛМ — 2¿o = ф-N — ф+j^ = Дфь + 2nmb), и величины Афа, Афь, играющие роль фазовых сдвигов волны Флоке Блоха при её отражении на границах фотонного кристалла, оказываются связанными с фазовым сдвигом 2КЛМ при двойном проходе волны через фотонный кристалл условием поперечного резонанса

2КЛМ = Афа + афЬ + 2nM, M = ma + mb = 0,1,..., (10)

где M определяет порядок моды.

В особом случае, когда КЛ = nn (где n = 0,1,... - порядок запрещённой зоны фотонного кристалла), решение (5) образовано критическими волнами Флоке Блоха, для которых A2 = В2, C2 = D2 [11], и EM(x) можно представить в виде

' 2[(A + В) cos(Kf f) cos ¿o + (A — В) sin(Kf f) sin ¿o] • (—1)nm/2, m = 0, 2,..., 2N

Em (x) = <

(11)

2[(C + D) cos(KsCs) cos ¿o + (C — D) sin(Ks£s) sin ¿o] • (—1)nm/2,

m = 1, 3.....2N — 1.

При A = B, C = D (A = —B, C = — D), полагая ó0 = 0(±п/2), получаем распределение поля в слоях f- и s-типа, которое определяется, соответственно, чётными (нечётными) функциями cos Kf cos Ks£s (sin Kf f, sin Ks£s), при этом граничные условия (7) сводятся к условиям

tan(Kfh/2) = Ya/Kf = Yb/Kf, (A = B); tan(Kfh/2) = —Kf/ja = —Kf /yb, (A = —B). (12)

Согласно (12), особое решение в виде направляемой моды, расположенной на границе

Ya =

Yb, т.е., если na = nb = Kf/(k0| cos(Kfh/2)|).

Уравнение (10) является по существу дисперсионным уравнением фотонно-кристаллического волновода, позволяющим находить постоянную распространения в как функцию частоты и и параметров слоёв. Заметим, что в /-ой разрешённой зоне величина K изменяется в пределах от п(/ — 1)/Л до п//Л, и левая часть уравнения (10) изменяется в пределах от 2п(/ — 1)N до 2n/N. Соответственно, при значениях M в пределах от (/ — 1)N до /N можно искать решения вм уравнения (10) вариацией в-Среди N + 1 возможных решений те значения вМ> Для которых выполняется условие вМ > k0na, k0nb, отвечают направляемым модам.

Моды утечки фотонно-кристаллического волновода. При выполнении условия в < k0na,k0nb величины Ka и Kb действительные. Решение (5) в областях x < 0 и x > H, составленное бегущими волнами с комплексными амплитудами A±± = Aa exp^±), A± = Ab exp(iф±^, полагая ф+ = —ф~ = óa, ф+ = —ф- = ób, запишем в виде стоячих волн

Ea(x) = 2Aa cos(óa — Kax) (x < 0); Eb(x) = 2Abcos[ób — Kb(x — H)] (x > H). (13)

x = 0 x = H

(A + B) cos(Kf h/2) cos ó0 — (A — B) sin(Kf h/2) sin ó0 = Aa cos óa,

(A + B)Kf sin(Kf h/2) cos ó0 + (A — B)Kf cos(Kf h/2) sin ó0 = KaAa sin óa,

(A + B) cos(Kf h/2) cos ó2N + (A — B) sin(Kf h/2) sin ó2N = Ab cos ób, (14) — (A + B)Kf sin(Kf h/2) cos ó2N + (A — B)Kf cos(Kf h/2) sin ó2N = KbAb sin ób

при ó2N = ó0 — KЛN имеем два уравнения для трёх свободных óa ób ó0

tan óa = — ( (A + B) tan ^^ + (A — B) tan ó^ x Ka 2

Рис. 2: Картины распределения интенсивностей мод утечки на торце фотонно-кристаллического волновода при его боковом возбуждении. Моды порядка: (а) М = 48; (б) М = 47; (в; М = 44; (г) М = 42.

-1

х ( A + B - (A - B) tan ftan so

tan 5b = Kf (-(A + B) tan f + (A - B) tan S2N) Kb \ 2 )

(15)

x

х (A + B + (A - B) tan f tan S2N

1

(16)

и спектр решений волнового уравнения оказывается непрерывным. Из условий (14) находим

A2a = (A2 + B2 + 2AB cos )K + к2 )/(2к2а)+ +(A2 cos( Kf- + 250) + B2 cos(Kfh - 2S0) + 2AB cos Kf h)(K2a - f )/(2к2а), (17)

A2b = (A2 + B2 + 2AB cos 262м )(k2 + 4 )/(2k2)+

+(A2 cos(Kf h - 26ьм) + B2 cos(Kf h + ) + 2AB cos Kf h)(nb — f)/(2k2). (18)

Мощность (отнесённая к единице площади поверхности волновода), излучаемая из волновода через границы x = 0 и x = H, равна, соответственно, Pxa = (e0cKaA2a)/(2k0) и

Pxb = (e0cKbA^)/(2ko)■ Мощность, переносимая волной внутри волновода в направлении

н

z (отнесённая к единице длины в направлении оси у), Pz = еоф/(2ко) f EM(x)dx.

o

Отношение Px (в)/Pz (в) = а (в) (где Px = Pxa + Pxb) имеет смысл коэффициента затухания рассматриваемой моды и изменяется с изменением в [4]. Минимумы на зависимости а (в) соответствуют модам утечки. Отметим также, что при выполнении условий Kf — K2a << к1 Kj — к2 << к"2, полагая 260 = KAN + п для оценки мощности Px, можно воспользоваться приближённым выражением Px ~ 2Ka[A2 + B2 + 2AB cos(KAN) cos п]-Минимумы достигаются при условии AB cos(KAN) cos п = —\AB\. Отсюда немедленно следует, что 2KAN = 2пМ и A0a + = 0 (A0a, Афь = ±п) с точностью до 2п та целое чиело. При cos п = —1 (+1) имеем дело с модами утечки,

образованными несимметричной (симметричной) комбинацией волн Флоке Б ЛОХ2Ц ДЛЯ которых в слое с номером m = N фМ = —фМ = п/2 (ф+ = фм = 0).

Эксперимент. В дшшои работе для изучения мод утечки, расположенных в первой разрешённой зоне структуры с параметрами: N = 49, h = 1.1 мкм, s = 1.3 мкм, nf = 1.465, ns = na = nb = 1.46, мы использовали установку, схема которой приведена на рис. 5 в работе [6]. Как было показано в [6], для данной структуры моды порядка M > 34 являются модами утечки, и они могут последовательно возбуждаться при вариации угла скольжения (0 < 9 < 3°) пучка света, падающего из подложки на боковую поверхность структуры. На рис. 2 представлено увеличенное (в 300 раз) изображение выходного торца структуры при возбуждении в ней мод утечки порядка M = 48 (а), 47 (б), 44 (в) и 42 (г), расположенных вблизи границы запрещённой зоны структуры. Расположенная на границе запрещённой зоны мода 49 -го порядка ^для нее K Л = п) возбуждается слабо, и фотография её распределения не приводится. Видно, что число периодов огибающей интенсивности поля определяется отстройкой моды от края запрещённой зоны и находится в полном соответствии с результатами расчётов. Действительно, при выполнении условий KЛ = пМ (где M = N — p, p = 1, 2,... << N -параметр отстройки моды от края запрещённой зоны), согласно (2) оказывается, что A ~ B, C ~ —D и профиль (6) поля моды можно аппроксимировать следующими

выражениями

Em (x) = <

EMf (Çf) ~ (A + B) cos(KfÇf) cos5m ~ (A + B) cos(Kff) sin(npm/2N), m = 0, 2,..., 2N

Ems(Çs) ~ (C - D) sin(KsÇs) sin ím ~ (C - D) sin(ftsÇs) sin(npm/2N), m = 1, 3,..., 2N - 1,

(19)

согласно которым число периодов огибающей поля определяется параметром p

Заключение. Представлено строгое описание направляемых мод фотонно-кристаллического волновода, основанное на формализме функций Флоке Блоха. Получены точные аналитические формулы для фазовых СДВИГОВ волны Флоке Блоха на границах волновода и однородной среды. Выделение мод утечки в спектре из-лучательньтх мод выполнено с использованием модели, основанной на раздельном нахождении постоянной распространения в и коэффициента затухания а этих мод. Показано, что моды утечки чётного (нечётного) порядка можно представить в виде несимметричной (симметричной) комбинации противоположно распространяющихся ВОЛН Флоке Блоха.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект 10-02-01389-а) и Министерства образования и науки РФ (контракт Л"2 16.513.12.3019).

ЛИТЕРАТУРА

[1] R. Ulrich, J. Opt. Soc. Amer. 60(10), 1337 (1970).

[2] R. Ulrich, W. Prettl, Appl. Phys. 1, 55 (1973).

[3] E. Auemogiauuis, E.X. Glystsis, Т.К. Gaylord, J. of Lightwave Teclmol. 17(5), 929 (1999).

[4] E. И. Голант, К. M. Голант, ЖТФ 76(8), 99 (2006).

[5] А. Г. Ржанов, С. Э. Григас, ЖТФ 80(11), 67 (2010).

[6] Б. А. Усиевич, Д. X. Нурлигареев, В. А. Сычугов, К. М. Голант, Квантовая электроника 37(6), 580 (2007).

[7] Д. X. Нурлигареев, Б. А. Усиевич, К. М. Голант, В. А. Сычугов, Квантовая электроника 36(7), 653 (2006).

[8] Д. X. Нурлигареев, Наукоёмкие технологии 10(9), 12 (2009).

[9] Д. X. Нурлигареев, Поверхность 2, 97 (2011).

[10] P. Yeh; A. YariV; C.-S. Hong; J. Opt. Soc. Amer. 67(4), 423 (1977).

[11] Д. X. Нурлигареев, В.А. Сычугов, Квантовая электроника 38(5), 452 (2008).

Поступила в редакцию 19 мая 2011 г.