CC BY
9
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 3
111
Поток мощности направляемой моды световода
В. И. Кривенков
Московский государственный университет приборостроения и информатики. Россия, 107846, Москва, ул. Стромынка, д. 20. E-mail: krivetikov.v@gmail.com
Статья поступила 24.11.2008, подписана в печать 04.02.2009.
Интеграл J ФФ dfl по произвольной плоской области П, где скалярные функции точки Ф и Ф п
являются решениями двумерного уравнения Гельмгольца, представлен, как контурный, в инвариантном виде и в трех основных ортогональных системах координат на плоскости (декартовой, полярной и эллиптической). Получено инвариантное выражение в виде контурного интеграла для потока мощности направляемой моды через произвольную область поперечного сечения световода, диэлектрическая проницаемость которой имеет постоянное значение. Ключевые слова: световод, направляемая мода. УДК: 621.396.22.029.7. PACS: 42.81.-i.
Многие уникальные свойства весьма популярных с точки зрения перспективы широкого использования в различных областях науки и техники микрострукту-ированных световодов [1, 2] можно объяснить исходя из распределения по сечению потоков мощности их направляемых мод. Например, возможность реализации одномодового режима работы в широком диапазоне длин волн или наличие запрещенных фотонных зон, когда в определенных диапазонах длин волн излучение не может проникать в оболочку. Однако при численном исследовании распределения потоков мощности направляемых мод по сечению указанных световодов следует учитывать, что недостаточно высокая точность расчетов может изменить качественную сущность полученных результатов.
Многие методы решения задачи о собственных волнах (направляемых модах) световодов со сложной формой поперечного сечения, каковыми по сути являются мик-роструктуированные световоды, позволяют наряду с дисперсионными характеристиками определять конфигурацию электромагнитного поля направляемых мод в поперечном сечении рассматриваемых световодов. В основном это конечно-разностные методы, точность которых сравнительно невелика. Метод, позволяющий с высокой точностью определять дисперсионные характеристики и составляющие электромагнитного поля направляемых мод световодов со сложной формой поперечного сечения, представлен в работах [3, 4].
Цель настоящей работы — получить выражение в виде контурного интеграла для усредненного по времени I потока мощности направляемой моды
нению Гельмгольца
Ра = g ^
Sz dfl,
где 5г — составляющая вектора Пойнтинга вдоль оси световода (ось г), через произвольную область П поперечного сечения световода, диэлектрическая проницаемость которой е имеет постоянное значение.
Прежде всего в виде контурного представим интеграл | ФФ dfl по плоской области П, ограниченной конту-п
ром Ь, где скалярные функции Ф = Ф (г) и Ф = Ф (г) точки г на плоскости удовлетворяют двумерному урав-
Ф
(Vf + О ф =0,
(1)
где V; — двумерный аналог оператора Гамильтона V.
Используя двумерные формулы Грина [5], можно показать, что
ФФ dtt = |ы2о[ы2ФФг+(г • \7гФ)\7гФ +
ь +(С/г- УгФ)СА7гФ] • ийг, (2)
где II — оператор поворота на плоскости на угол —ж/2.
Принимая во внимание ключевой характер интегрального соотношения (2), представим его в наиболее часто используемых ортогональных системах координат на плоскости, а именно в декартовой [6] х,у:
ФФ dx dy =
о и <&4>(xdy - ydx)
Ч,
, дФ <9Ф <9Ф <9Ф\ . J
. дФ <9Ф <9Ф <9Ф . . J
в полярной [6, 7] r,tp, х = г cos ip, у = г sin (р: ФФ г dr dip =
= 2^2 Ф ( ггг-фф - г
0Ф <9Ф 0Ф <9Ф\
dr dr dip dip J
дФ <9Ф <9Ф <9Ф\ dr
dr dip dip dr J
и в эллиптической х = a ch £ cos rj, у = a sh £ sin г]:
2
ФФ gdid'q=j^
с) ir ФФ(эт 2 г] d£ + sh 2£ dr])
■L
112
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 3
дФ <9Ф g \ <Э£
дФ <9Ф
(sin 2г] dÇ - sh 2£ drj)
g
ОФ <9Ф
drj
дФ <9Ф drj
(sh 2£ + sin 2т? ¿т?)
где „ = 9(х,у)
гае ё -
E(r. z, t) = —=e(r) exp[¡(ujt - ßz)], V^o
Н(г.г. t) = —— h(r) twp [/(„■/ - ßz)], л/Ш)
(3)
Pn=~
e± ■ Uh*± dü,
e± = h± =
1
k0(e - nfj i
{neVtez + UVthz), (neVthz ^eUVtez),
ko(e - nfj
и представить поток мощности Pq в виде
Ро =
2Й(е ■
•Л2)2
[пе (e\4tez\
NM2
+ (е + п2е)Т71ег ■ С/\7г/гг] ¡¿П.
Применив к последнему выражению двумерные формулы Грина [5] с учетом интегрального соотношения (2),
получим следующее инвариантное выражение в виде контурного интеграла для потока мощности направляемой моды через область П поперечного сечения световода с постоянной диэлектрической проницаемостью:
Ра =
спй
= y (ch 2£ — cos 2r]), а — половина расстояния между фокусами софокусных эллипсов (£ = const) и гипербол (г]= const).
При решении поставленной задачи будем исходить из стандартной модели световода как однородной вдоль некоторой оси z бесконечно протяженной диэлектрической структуры, направляемые моды которой представляют собой параметрические семейства собственных волн, распространяющихся вдоль оси z, векторы напряженности электрического поля Е и магнитного поля Н которых могут быть представлены в виде
о e(Ur ■ Vtez) dez
4k2(e^n2e)2
+ [Ur- Vthz + 2(ne + e/ne)ez] dhz + - o[kl(e - n2)(ee2 + h2z)r + e(r • Vtez + 2ez)Vtez + 1 +(r- Vthz + 2hz)Vthz]-Udr\,
которое в прямоугольной декартовой системе координат х,у на плоскости поперечного сечения световода имеет вид [6]
где и и ¡3 — круговая частота и постоянная продольного распространения, ео и ^о — электрическая и магнитная постоянные, / — мнимая единица.
Учитывая выражения (3), поток мощности Ра представим в виде
Ро =
спР
Щ(е - «|)2
— ni) с )(ее2 + tîz)(x dy — у dx) ■
\dx )
dx
\dy J \ dy )
(x dy+y dx)~
, . dez dez dhzdhz.
dez
dez
dx
п
где е± = е±(г) и fi± = fi±(r) — векторные функции точки г поперечного сечения световода — поперечные составляющие векторов е(г) и Л(г), с = (е— скорость света в вакууме.
Продольные составляющие ег = ег(г) и hz = hz(r) векторов е(г) и Л(г) следует рассматривать как скалярные функции точки г поперечного сечения световода, которые, как известно, при е = const удовлетворяют уравнению (1), где и2 = £д(е —п^), пе = /З/к® — эффективный показатель замедления фазовой скорости, = и/с — волновое число в вакууме.
Используя уравнения Максвелла для немагнитной однородной диэлектрической среды без пространственных зарядов и токов [8, 9], можно показать, что
ду
+ 2eoez I -— dy —— dx 1 + 2 с > hz I —— dy —— dx
dhz
dhz
dx
dhz
dy
dhz
2 I ne H--1 с ) ez I —— dx + —— dy
dx
dy
В заключение заметим, что практический интерес представляет не столько сам поток мощности направляемой моды, сколько его нормированное выражение Pq/P, где Р — поток мощности направляемой моды через все поперечное сечение световода.
Списож литературы
1. Желтиков A.M. // УФН. 2000. 170, № 11. С. 1203.
2. Бирюков A.C., Дианов ЕМ. Волоконные световоды на основе фотонных кристаллов // Волоконно-оптические технологии, материалы и устройства. 2002. № 5. С. 6.
3. Кривенков В.И. // ДАН. 2002. 387, № 2. С. 184.
4. Кривенков В.И. // ДАН. 2003. 391, № 5. С. 619.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., 1978.
6. Belanov A.S., Kriuetikou V.l. // Sov. Lightwave Commun. 1991. 1, № 3. P. 207.
7. Кривенков В.И. Волноводные характеристики трехслойных эллиптических световодов. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1990.
8. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М„ 1980.
9. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М., 2001.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Power flow of a guided mode of an optical fiber V. I. Krivenkov
Moscow State University of Instrument and Informatics Science, Starominka st., 20, Moscow 107846, Russia. E-mail: krivenkov.v@gmail.com.
It is shown that the integral JivPiifl on arbitrary plain area fl, where scalar functions of a point $ and are
s>
solutions of the two-dimensional reduced wave equation, can be transformed into contour integral, which is represented in an invariant form in either Cartesian or polar or elliptical coordinates. The invariant expression in the form of contour integral for the power flow of a guided mode of an optical fiber across arbitrary area with constant permittivity is obtained.
Keywords: fiber, guided mode.
PACS: 42.81.-i.
Received 24 November 2008.
English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2009).
Сведения об авторе
Кривеиков Вячеслав Иванович — к. ф.-м. п., доцент, доцент; тел.: 8(495) 447-09-61, e-mail: krivenkov.v@gmail.com.
