CC BY
14
УДК 535.075.8
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЯЧЕЙКИ ОГРАНИЧЕННОГО ОДНОМЕРНОГО ФОТОННОГО КРИСТАЛЛА, ОСНОВАННАЯ НА ФОРМАЛИЗМЕ ФУНКЦИЙ ФЛОКЕ-БЛОХА
Д. X. Нурлигарссв, В. А. Сычугов
Предложена методика определения структурных параметров ячейки ограниченного одномерного фотонного кристалла, основанная, на строгом аналитическом представлении волн Флоке Блоха в виде неоднородных волн.
Ключевые слова: фотонный кристалл, волны Флоке Б лоха, неоднородные ВОЛНЫ.
Фотонные кристаллы широко исследуются с конца 1980 -X ГОДОВj КОГДа было осознано. что одно из их свойств существование запрещённых зон в электромагнитных характеристиках является чрезвычайно ценным с точки зрения многочисленных практических приложений [1]. Наиболее просто изготавливать одномерные структуры. В последнее время, в связи с разработкой новых технологии изготовления, становит~ ся всё более актуальным изучение оптических структур, содержащих десятки и сотни слоёв [2]. В работе [3] отмечалось, что распространение света в таких структурах удобно представлять в форме ВОЛН Флоке Блоха. Так в работах [4 6] представлены точные аналитические выражения, описывающие амплитудный и фазовый профиль, волновой вектор, фазовую скорость и скорость переноса энергии волн Флоке Блоха в неограниченном одномерном фотонном кристалле. Использование представления вол~ ны Флоке Блоха в форме неоднородной волны позволило найти функцию коэффициента отражения плоской волны на границе полубесконечного [4 6] и ограниченного [7] одномерного фотонного кристалла. В частности, наиденные функции коэффициентов отражения и пропускания для ограниченного одномерного фотонного кристалла были с успехом применены для описания многослойного оптического фильтра [8]. Целью данной работы является изучение возможности определения структурных параметров ячейки кристалла на основе его измеренных угловых спектров отражения. Суть предлагаемой методики заключается в применении строгих решений волнового уравнения для
ИОФ РАН, 119991, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: jamil@kapella.gpi.ru.
моделирования углового спектра отражения оптического фильтра (зеркала), разрабатываемого на основе ограниченного одномерного фотонного кристалла, при вариации структурных параметров его ячейки.
Зонная структура одномерного фотонного кристалла. Ранее мы представили ТЕ-поляризованную волну Флоке-Блоха E(x, z, t) = EK(x) • ег(шЬ-Кх-в^ (где К - блоховское волновое число, EK(x) - периодическая функция с периодом, равным периоду Л структуры, в - продольная постоянная распространения в направлении z (т.е. вдоль слоев), и - частота, t - время) одномерного фотонного кристалла, составленного из чередующихся слоев f и s-типа, с профилем показателя преломления n(x)
. . I nf, Лт < x < Лт + h, m = 0,± 2... , .
n(x)={ f (1)
I ns, Лт + h<x< Л(т + 1), A = h + s
в форме неоднородной волны
E(x,z,t) = Eu(x, z, t) = Eu(x) • вг[ш'+ф(х'*)]. (2)
В (2) функция &(x,z) описывает распределение фазы неоднородной волны в т-ячейке кристалла [4, 5]. При действительном K распределение амплитуды \Eu(x,z,t)\ = Eu(x) = \Ek(x)\ поля удобно зшшс&ть в виде функции координат f = x — h/2 — Лт и £s = x — s/2 — h — Лт
f Ef (f) = sjA2 + B2 + 2AB • cos 2кf f, Лт < x < Лт + h
Eu(x) — \ ,--(o)
I Es(Cs) = V C2 + D2 + 2CD • cos 2KsCs, Лт + h<x< Л(т + 1),
где A, B, C, D - амплитудные коэффициенты с точностью до постоянного множителя A0, играющего роль амплитуды волны Флоке-Блоха, определяются через параметры h,s, Л ячейки кристалла и поперечные составляющие Kf = -\Jk^n2 — в2, Ks = \Jk2n2s — в2 (k0 = и/c = 2n/A0, A0, - длина волны в вакууме) волновых векторов парциальных плоских волн в слоях ячейки
A = A0 • sin[(Kf h — KsS + КЛ)/2] • sin[(Kf h + kss + KЛ)/2]
B = A0 • [(ks — Kf )/(ks + Kf)] • sin[(Kfh — Kss + КЛ)/2] • sin[(Kfh — Kss — КЛ)/2] C = A0 • [(ks + Kf )/(2ks)] • sin[(Kfh + Kss + КЛ)/2] • sin(Kf h) D = A0 • [(ks — Kf )/(2ks)} • sin[(Kf h — Kss + КЛ)/2] • sin(Kf h).
(4)
В (4) при в < k0ns < k0nf Kf, Ks - действительные, а блоховское вол новое число К с точностью до 2п1/Л (где l - произвольное целое число) находится из уравнения
COS К Л = COS Kf h • COS KsS — (1/2) • (Ks/Kf + Kf /Ks) • sin Kf h • sin KsS = f (Kf). (5)
Ранее было показано [4, 5], что в случае наклонного падения (обозначим угол падения как (ра ) плоской волны из однородной среды с показателем преломления па на полубесконечный фотонный кристалл в нём возбуждается волна Флоке-Блоха, а в однородной среде возникает отражённая плоская волна. При этом особенности углового спектра отражения связаны с особенностями зонной структуры одномерного фотонного кристалла.
Iя з.з.
2я з.з.
3я з.з.
1яр.з 2я р.з. i ; 3я р.З. ;
Ue-»J
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.0
1.0
2.0 Кр мкм
3.0
-1
4.0
Рис. 1: Зависимость cos КЛ от kj. Запрещенные зоны определяются условием | cos КЛ| > 1. Параметры ячейки: nj = 1.465, ns = 1.46, h =1.1 мкм, s = 1.3 мкм.
На рис. 1 приведен график функции cos К Л в зависимости от пар аметра Kj при k0 = 9.929 мкм-1 для фотонного кристалла с параметрами ячейки: nj = 1.465, ns = 1.46, h = 1.1, s = 1.3 мкм, соответствующими параметрам структуры, которая исследовалась нами ранее [3]. При значениях Kj, равных , (l = 0,1,...,lm, минус и плюс обозначают левый и правый края запрещённой зоны порядка l,lm- максимальный возможный в данном кристалле порядок запрещённой зоны), выполняется условие cos К Л = (—1)1. Значени ям Kj, удовлетворяющим нера венству K\_ < Kj < отвечают фотонные запрещённые зоны и затухающие волны. Между фотонными запрещёнными зонами расположены разрешённые зоны, для которых характерны распространяющиеся без затухания волны Флоке-Блоха. Расчёты показывают, что в данной структуре
Kj
шённых зон, причём 1-я - запрещённая зона и 12-я - разрешённая зона оказываются
неполными. На рис. 1 представлены первые три запрещённые и рэзрешё н ные зоны. Как видно, значениям Kf < к0+ отвечает первая наиболее широкая запрещённая зона (l = 0^, для неё Re KЛ = 0 причём на левом краю (Kf = 0) этой зоны имеет место главный максимум Im KЛ = In (\f (0)| + \Jf2(0) — а на правом краю зоны Im KЛ = 0. Для остальных запрещённых зон Im K Л = 0 на краях зон при Kf = Kl-,Kl+ (l = 0), а внутри зон при Kf = Ki(l = 1, 2,..., lm), когда выполняется условие df (Kf )/dKf = 0, достигаются локальные максимумы Im KЛ = ln(\f (k1 )\ + \Jf2(k1) — 1). Каждое значение Kl (l = 0) определяет центр соответствующей запрещённой зоны, и его можно связать с резонансным значением Kal = \JK — k"^(nf — n'a) поперечного волнового вектора Ka = k0na cos tpa падающей плоской волны в однородной среде и резонансным значением tpl = arccos(Kal/k0na) угла падения pa.
Границы фотонных запрещённых зон определяются структурными параметрами ячейки кристалла и, следовательно, их численные значения могут быть восстановлены из измеренного углового спектра отражения плоской волны на границе кристалла.
Отражение плоской волны на границе одномерного фотонного кристалла. В случае полубесконечного фотонного кристалла энергетический коэффициент отражения Ra (по интенсивности) плоской волны, падающей наклонно из однородной среды с показа-
na
отражения ra и может быть представлен в следующем виде [4, 5]
R =, ,2 = (Ka — Kf )2А2 + (Ka + Kf )2B2 + 2AB(kI — K2f ) COS Kf h a (Ka + Kf)2A2 + (Ka — Kf )2B2 + 2AB(K2a — K2) cos Kfh' { )
Ra = 1
ra Kf
na = nf
случае границы фотонных запрещённых зон кристалла отвечают значениям поперечного волнового вектора Ka падающей волны, равным Kl-, Kl+. При значениях Ka, удовлетворяющих условию Kl- < Ka < Kl+, когда блоховский волновой вектор возбуждаемой в
l
H clC) JIЮДЙТ ься Ka
женных вне з¿inрещённых зон5 наблюдается лишь частичное отрны^кение.
Для фотонного кристалла, состоящего из N ячеек, обрамлённого двумя однородными средами с показателями преломления na и коэффициент отражения RN плоской
na
в случае действительных А, В, кf, К [7]
Ям
Яа + Яь — 2(ЯаЯь)1/2 ес8 5 1 + ЯаЯь — 2(ЯаЯь)1/2 СС8 5'
(7)
Яа Яь
ный кристалл из среды с показателем преломления па и пь соответственно, 5 - действительный параметр, определяемый как сумма фазовой задержки 2KЛN при двойном проходе волны Флоке Блоха через ограниченный фотонный кристалл и фазовых сдвигов, возникающих на его границах. В соответствии с (7) функция Ям имеет N нулей в пределах каждой разрешённой зоны кристалла. Как было показано в [3], это связано с возбуждением мод утечки при наклонном падении пучка света на ограниченный кристалл. В случае комплексных К = /(п/Л) — (где / = 0,1,... - порядок запрещённой зоны) общие формулы для коэффициента отражения Ям имеют достаточно сложный вид [7]. В частности, в [7] показано, что при выполнении условия ехр(2КЛN) ^ 1 в брэгговских резонансах Ям ~ 1. В более простом симметричном случае па = пь можно воспользоваться формулой [3]
Эксперимент. Для экспериментальной реализации ограниченного фотонного кри-
2
показателей преломления Дп = 5 х 10_3. Реализованный кристалл имеет конечный поперечный размер Н = 150 мкм, и размер его ячейки (период) Л = 3 ± 0.01 мкм был ншзден достаточно точно. Существенно более сложной оказалась задача измерения толщины его слоёв, поскольку погрешность оптических методов измерения (например, микроскопа МИИ-4) ±0.3 мкм сравнима с толщиной отдельных слоёв. Для установления значений толщины слоёв было выполнено моделирование углового спектра отражения ограниченного фотонного кристалла при вариации толщины слоёв его ячеек.
На рис. 3 представлен измеренный угловой спектр отражения для образца, погружённого в иммерсионную жидкость с показателем преломления п = п3 = 1.458. При размере сфокусированного пучка Не-Хе лазера 50 мкм и межмодовом расстоянии кристалла, измеряемом в углах <^а ~ 0.1°, это расстояние в несколько раз меньше угловой апертуры пучка (~ 0.6°), поэтому в пятне от отражённого пучка в эксперименте наблюдалось несколько провалов в распределении интенсивности, указывающих на возбуждение нескольких мод утечки. При этом зависимость измеренной величины 1Г/10(1Г
Ям = \С\2/(\С |2 + [8т(КЛ)/sin(KЛN )]2).
(8)
Рис. 2: Зависимость коэффициента отражения Ra = \ra|2 от величины ка = Kf для плоской волны на границе одномерного фотонного кристалла. Параметры ячейки: nf = 1.465, ns = 1.46, h = 1.1 мкм, s = 1.3 мкм.
Рис. 3: Измеренная зависимость величины Ir/I0 от угла nadeния лазерного пучка (диаметр пучка 50 мкм) из слоя иммерсионной жидкости = ns = 1.458) для ограниченного фотонного кристалла с N = 50, Л = 3 мкм.
Рис. 4: Величина Я^ рассчитанная для фотонного кристалла с N = 50 от величины угла падения плоской волны из среды с па = п8. Параметры ячейки: = 1.4626, п8 = 1.4576, К = 1.2 мкм, в = 1.8 мкм.
- интенсивность отражённого и падающего пучка) имеет сглаженный характер. Узкие резонансы пропускания, связанные с возбуждением мод утечки, практически не видны, и это облегчает фиксацию относительно широких брэгговских резонансов отражения. Показаны шесть брэгговских резонансов отражения. Первый - наиболее широкий резонанс - отвечает второй запрещённой зоне (I = 1). Пятый резонанс подавлен.
На рис. 4 представлен коэффициент отражения ЯN рассчитанный в зависимости от (ра, для случая падения плоской волны из одно родной среды с па = п8 на кристалл с параметрами ячейки: nf = 1.4626, п8 = 1.4576, К = 1.2 мкм, в = 1.8 мкм и числом ячеек N = 50. Как показало моделирование, при установлении параметров ячейки важным моментом является учёт не только позиций брэгговских резонансов, но их амплитуд. Так для ячейки с К = 1.2 мкм подавлен пятый резонанс, а в случае К = 1.05,1 и 0.9 -соответственно третий, шестой и седьмой резонансы углового спектра отражения. Таким образом, проведение моделирования угловых спектров отражения ограниченного фотонного кристалла, при известных значениях размера ячейки и показателей преломления его слоёв, позволяет определять толщины слоёв с точностью не хуже чем 0.1 мкм.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Е. Yablonovich, Phys. Rev. Lett. 58(20), 2059 (1987).
[2] И. E. Голант, К. M. Гол ант, ЖТФ 76(8), 99 (2006).
[3] Б. А. Усиевич, Д. X. Нурлигареев, В. А. Сычугов, К. М. Голант, Квантовая электроника 37(6), 580 (2007).
[4] Д. X. Нурлигареев, В. А. Сычугов, Квантовая электроника 38(5), 452 (2008).
[5] Д. X. Нурлигареев, В. А. Сычугов, Наукоёмкие технологии 9(7), 65 (2008).
[6] Д. X. Нурлигареев, Наукоёмкие технологии 10(9), 12 (2009).
[7] Д. X. Нурлигареев, Поверхность 2, 97 (2011).
[8] Д. X. Нурлигареев, Инженерная физика 11, 11 (2010).
Поступила в редакцию 19 мая 2011 г.
