CC BY
35
Экономические науки
УДК 519.24
и
Калгина Ирина Сергеевна Irina Kalgina
ФОРМИРОВАНИЕ ПРОГРАММЫ РАЗВИТИЯ РЕСУРСНОГО РЕГИОНА: НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ
ON THE APPROACHES TO THE RESOURCE DEVELOPMENT REGION PROGRAM FORMATION
Анцыз Сергей Матвеевич Sergey Antsyz
Лавлинский Сергей Михайлович Sergey Lavlinsky
Рассмотрены два подхода к формированию программы освоения минерально-сырьевой базы региона на основе механизмов государственно-частного партнерства. Первый заключается в построении задачи двухуровневого целочисленного линейного программирования с булевыми переменными. Для ее решения предложен теоретико-игровой подход, позволяющий построить оптимальную с точки зрения обоих участников процесса (инвестора и государства) совокупность проектов.
В рамках второго подхода строится одноуровневая задача c линейными ограничениями и булевыми переменными. Блочно-диагональная с окаймлением структура матрицы ограничений этой задачи позволяет построить эффективный алгоритм отыскания программы освоения минерально-сырьевой базы, оптимальной с точки зрения государства
Ключевые слова: минерально-сырьевая база, государственно-частное партнерство, задачи двухуровневого целочисленного линейного программирования
The two approaches to the formation of the region development program of mineral resource base on the basis of public-private partnership mechanisms are investigated. The first approach consists in construction of a problem of two-level integer linear programming with (0,1)-variables. For its decision the theory-game approach, allowing constructing optimum from the point of view of both participants of process (investor and state) set of projects is offered.
Within the second approach the single-level problem with linear restrictions and (0,1)-variables is under construction. Block-diagonal with a bordering structure of restrictions matrix for this problem allows to construct effective algorithm of search of development program of RMB, is optimum from the state points of view
Key words: mineral resource base, public-private partnership, two-level integer linear programming
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-06-00023 ) и Российского гуманитарного научного фонда (проекты №№ 12-32-01012-а1, 13-02-00093)
В работе [9] предложена концепция формирования программы освоения МСБ ресурсного региона на основе механизмов государственно-частного партнерства. В рамках такой модели в процессе освоения территории государство берет на себя не только часть инфраструктурных проектов общего назначения, но и часть затрат, связанных с компенсацией экологических потерь, вызванных реализацией инвестиционных проектов. Соответствующий математический инструментарий представляет комбинацию модели планирования, генерирующей оптимальный ме-
ханизм взаимодействия государства и частного инвестора, и модели прогнозирования, назначение которой — оценка последствий реализации программы развития территории, использующей конкретный механизм государственно-частного партнерства. В качестве модели прогнозирования в [9 ] предлагается использовать модель пучка инвестиционных проектов, на вход которой подается конкретная программа освоения МСБ, формируемая экспертным образом.
В настоящей работе строится модель планирования, дополняющая ранее созданный инструментарий поддержки процесса принятия управленческих решений в природно-ресурсной сфере [8, 9] и позволяющая оптимизировать процесс формированию программы развития ресурсного региона.
1. Базовая постановка модели планирования
Модель планирования формулируется в виде задачи двухуровневого целочисленного программирования, может быть представлена следующим образом.
На вход модели планирования подается следующий перечень данных:
— набор инвестиционных проектов, реализуемых частным инвестором, конкретную конфигурацию которых инвестор выбирает в зависимости от того, что предлагает государство в области инфраструктурного строительства;
— набор инфраструктурных проектов, реализуемых государством, конкретный перечень которых государство выбирает, исходя из своих оценок эффективности с точки зрения перспектив долгосрочного развития территории;
— перечень экологических проектов, необходимых для компенсации экологических потерь, вызванных реализацией инвестиционных и инфраструктурных проектов; конкретный раздел обязательств по реализации экологических проектов между частным инвестором и государством на входе не определен и должен быть получен на выходе модели планирования.
Выход модели — программа развития территории и механизм раздела затрат в процессе реализации инфраструктурных и экологических проектов между государством и инвестором.
Формальное описание задачи планирования может быть представлено следующим образом.
Производственные проекты
СЕР* — кэшфло производственного проекта i, i=1,...,NP, ¿=1,...,Т.
ЕРр — стоимостная оценка экологических потерь при реализации проекта i,i=1,...,NP, t = 1, ...,Т.
ОБр — доходы бюджета от реализации проекта i, i = 1,...,NP, ¿=1,.,Т.
2Рр — зарплата, выплачиваемая в ходе реализации проекта i, i=1,...,NP. ¿=1,.,Т.
Инфраструктурные проекты
21* — график затрат на реализацию проекта ] в году ]=1,...,Ж, ¿=1,.,Т.
ЕР1'] — стоимостная оценка экологических потерь при реализации проекта
]=1,...,М, ¿=1,...,т.
УО1'] — внепроектные доходы бюджета от реализации проекта связанные с
общим развитием экономики территории, быть записана в виде следующей двухуров-
j=1,...,NI, t=1,...,T. невой задачи целочисленного программи-
ZPIj — зарплата, выплачиваемая рования. в ходе реализации проекта j, j=1,...,NI, Задача государства t=1,...,T. Максимизировать дисконтированный
Экологические проекты поток наличности региона: ZEk — график затрат на реализацию t np
проекта^ году , k=1,...,NE, t=1.....T. Z <Z (DBp + ZPp "ЕРР') < +
EDE[ — стоимостная оценка экологи- NI
ческого дохода при реализации проекта k в + ^ (VDIj + ZPIj - EPIt - ZI'j) * вц + (1.1)
году t, k=1,...,NE, t=1,...,T.
r-TTsT^t ne
ZPEk — зарша^ выплачиваемая в £ (EDE'k + ZPE'k - ZE'k) *Ck) /(1 + DG)' ^ max
ходе реализации проекта k, k=1,...,NE, k=1
t=1,..., T. при условиях Взаимосвязь проектов
Мц — индикатор технологической связ- 6ц > С * ц , i=1,...,NP, j=1,...,NI, (1.2) ности производственных и инфраструктурных проектов, равный 1, если для ре- Qk = Ak — ak, k=1,...,NE, (1.3) ализации производственного проекта i NI NE
необходима реализация инфраструктурно- ^ ZIj *вц + ^ ZE'k * Qk < BudG', t=1,...,T, (1.4)
го проекта j, и равный 0 в противополож- ц 1 k1
ном случае, i=1,.,NP, j=1,.,NI. где векторы ( С* , Лк,ак ) — оптимальное
vik — индикатор связности производс- решение задачи инвестора (интерпретация
твенных и экологических проектов, рав- переменной \ будет дана далее). ный 1, если реализация производственного Задача инвестора проекта i влечет необходимость реализа- Инвестор максимизирует свой суммар-ции экологического проекта k, и равный ный чистый приведенный доход: 0 в противоположном случае, i=1,...,NP, t np ne
k=1,...,NE. Z(LCFPi' " IkZE' *®i)/(1 + DI)' ^ max (1.5)
Дисконты и бюджетные ограничения Л ^ £ *Vk, i=1,., NP, l=1,..., NE, (1.6)
DG — дисконт государства, DI — дис- ^ , l=1,..,NE, (1.7)
конт инвестора, DN — дисконт населения. ne t ne t
BudG', BudI' — бюджетные ограни- ZEj > D * ^^ * ^ZEj, (j.g)
чения государства и инвестора. 1 1 t=1 1 1 '=1
Введем следующие булевы перемен- t np ne
ные, принимающие значения: XCFpt * & "Xze1 *mi) /(1 + DIу - 0, (19)
-I t=1 г—1 1=1
С = 1, если инвестор запускает произ-
« * r\ ne np
водственный проект i, и с = 0 в противном ^^ тг^тх * ^ п ^
случае, i=1,.„, APV , р §ZE'^ "gCFp * ^ * BudI, (110)
= 1, если государство запускает ин- т ЫР м
фраструктурный проект j, в^ = 0 в против- ^((^(2РР' -БРр') * £ + ^(%Р1) - ЕР1\) *в] +
ном случае, 7=1,..., N1; ' 1 ' 1 j 1
ск = 1 если государство запускает эко- й + 2р£к ) * я, ) /(1 + ВЫ)' > 0. (1 ш
логический проект к, и = 0 в противном к"! к к \ • > случае, к=1,...^;
о1 = 1, если инвестор реализует эколо- Здесь паРаметР В ограничивает снизу гический проект I, сэ1 = 0 в противном слу- долю инвестора в закатах на реализацию чае /=1 ^ экологических проектов, булевы перемен, ТТогда" модель планирования может ные принимают значения 1 в ситуации,
когда запуск производственных проектов требует возмещения ущерба окружающей среде, и полагаются равными 0 в противоположном случае.
Ограничения и целевые функции задач имеют прозрачный экономический смысл. Так, целевые функции (1.1), (1.5) определяют стратегию ЛПР, ориентирующегося на максимизацию дисконтированного потока наличности. Бюджеты государства и инвестора соответственно накладывают ограничения вида (1.4) и (1.10) на возможный к выполнению набор проектов. Задаваемый государством минимальный уровень доли инвестора в реализации экологических проектов Б накладывает на него обязательства вида (1.8). Положительность потока наличности инвестора ^РРУ инвестиционного проекта) контролируется ограничением (1.9). Гипотетический референдум населения относительно целесообразности программы освоения территории с точки зрения потока получаемых благ и потерь для жителей моделируется ограничением (1.11).
Как можно видеть, сформулированная модель является задачей двухуровневого целочисленного линейного программирования, генерирующей оптимальный механизм взаимодействия государства и частного инвестора, и одной из важных задач является исследование ее вычислительной сложности и разработка эффективных точных и приближенных алгоритмов ее решения. Данная задача относится к классу трудно-решаемых задач математического программирования. В [4] показана сводимость NP-трудной задачи о рюкзаке к задаче, сходной по структуре с задачей в рассматриваемой модели.
Ключевыми для исследования трудоемкости решения являются ограничения вида (1.2), которыми определяются инфраструктурные проекты, запускаемые государством. Также важны ограничения (1.6...1.7), определяющие набор экологи-
ческих проектов, реализуемых инвестором при фиксированном им наборе производственных проектов и наборе инфраструктурных проектов, намеченных государством. В результате выбора решения, удовлетворяющего этим ограничениям, достигается равновесие по Штакельбергу [1] между государством и инвестором. В ситуации, когда число потенциальных проектов менее 10, направленный перебор позволяет решить рассматриваемую проблему за приемлемое время. (Число вариантов для задачи государства не превосходит 2^, число вариантов для задачи инвестора не превышает 2ш+т.) В общем случае, при условии, что Р Ф NP не существует алгоритма, находящего оптимальное решение проблемы за полиномиальное или псевдополиномиальное время. Это означает, что любой точный алгоритм решения такой задачи будет иметь экспоненциальную трудоёмкость в худшем случае.
Кроме того, не все исходные данные задачи планирования могут быть достаточно корректно определены в реальной жизни — экспертные оценки экологических потерь ЕР1'], ЕРр, проектных и внепроектных доходов бюджета , ББР- , экологического дохода ЕОЕ[ могут быть использованы только в первом приближении, поскольку все они сложным образом зависят от реализуемого на практике механизма государственно-частного партнерства. Это обстоятельство предполагает стыковку модели планирования с прогнозными региональными моделями в итеративном режиме и накладывает дополнительные ограничения на время расчетов.
В связи с этим возникает проблема разработки приближённых и точных алгоритмов решения, трудоёмкость которых достаточно мала, по крайней мере, для задач реальной размерности. Эффективные подходы к решению этой задачи предлагаются в [2, 3, 6].
2. Теоретико-игровой подход к исследованию базовой модели
Модель (1.1) — (1.11) можно рассматривать в виде игры «лидер-ведомый» [10]. Государство обязуется запустить некоторый набор инфраструктурных проектов, инвестор (инвесторы) оптимизирует свою программу, исходя из критерия максимизации чистого приведенного дохода (доходов). Заметим, что в такой постановке задачу оптимизации деятельности нескольких инвесторов можно заменить одной задачей инвестора вида (1.5)___(1.11) (обоснование данного факта приведено в [7]). Получив оптимальное решение задачи инвестора, государство может изменить набор инфраструктурных проектов. Процесс продолжается до тех пор, пока решение инвестора не будет удовлетворять государство.
Известно, что в задачах двухуровневого программирования окончательные значения большой группы переменных (в задаче (1.1)-(1.11) — эти переменные ^ ,а1) определяет инвестор. Поэтому предлагается следующий способ решения данной задачи.
Задача булевого программирования с линейными ограничениями (1.5)-(1.11) дополняется ограничением
3. Монополия
Рассмотрим модель региона, в котором управляющий Центр обладает абсолютной рыночной властью. В этой ситуации предполагается, что государство ( Центр) обладает всей информацией о параметрах реализации производственных, инфраструктурных и экологических проектов. Будем считать, что на участие в освоении МСБ региона претендуют М инвесторов, про каждого из которых Центру известны бюджетные ограничения. Каждый инвестор может реализовывать несколько произ-
м
водственных проектов: {1,..., ЫР } = ^ Рт,
т=1
где Рт - множество номеров производственных проектов, которые может выполнять ш-й инвестор. В частном случае Рт = {да}, ш=1,_,М, т.е. каждый инвестор может запускать только один производственный проект.
£ (ББР/ + 1РР; -ЕРР/) *£* +
1=1 1=1 n1
+ £ (УБ1) + 2Р1) - ЕР1) - И)) * в^ + (2.1;
]=1 ые
X (ЕВЕ[ + 2РЕ[ - 2Е\) * ^) /(1 + ОО)' > N
и осуществляется итерационный процесс с целью отыскать максимальное К, при котором в задаче математического программирования (1.5) —(1.11), (2.1) существует оптимальное решение. Отметим, что в отличие от решения стандартной игры «лидер-ведомый», в которой роль лидера выполняет государство, перебор вариантов в предлагаемой модели рационально начинать инвестору. Оценкой сверху (очень грубой) для трудоемкости перебора является число 2<МР+М1+МЕ> вариантов, что указывает на результативность перебора. Ограничения (1.8) и (1.10) существенно сокращают число допустимых планов. Впервые подобный подход описан в работе [11].
государства
В результате реализации проектов окружающей среде наносится некоторый ущерб. Центр должен определить для каждого инвестора набор запускаемых им производственных проектов, набор финансируемых им экологических проектов, а также набор инфраструктурных и экологических проектов, которые финансируются государством. Обозначим через Е0 множество номеров экологических проектов, реализуемых государством, Ет - множество номеров экологических проектов, которые реализуются ш-м инвестором, тогда
м
{1,..., Ш} = У Ет.
т=0
Модель планирования в ситуации монополии государства может быть сформулирована в виде задачи математического программирования с булевыми переменными.
к=1
Максимизировать дисконтированный поток наличности у региона:
т ыр
X (2 (шр' + Р' -ЕРР') * £ + '=1 ¡=1
n1
+ X (О + Щ - ЕР1) - И)) *в} + (3.1)
]=1
ые
X (ЕОЕ'к + 1РЕ[ - 2Е'к) * £к) /(1 + ОО)' ^ тах к=1
при условиях
в, >£ , г=1,...ДР,У=1,...Д1, (3.2)
^ + 0 *У1, г=1,...ДР, 1=1,.,МБ, (3.3)
М ЫЕ
£Ч- + £2Ек *ск £ Впав', «=1.....Г, (3.4)
)=1 к=1
£ (X СЕРР' Ч -
'=1 ¡ЕРМ
-£2Е\ )/(1 + Б1)' > 0 , ш=1,...,Ы, (3.5)
¿еЕ„
£ 2Е; -
'еЕ,
-£ СЕР,' < ВыМ,, ш=1,...,Ш, t=1,..,T, (3.6)
т ыр n1
£ ((£ (2РР' - ЕРР') * £ + £ (2Р1' - ЕР1)) * 0, +
'=1 i=1 )=1
ые
£(ЕОЕк + 2РЕк))* (¿к +®к))/(1 + ОЫ)' > 0. (3.7)
к=1
Здесь обозначения ВыаГ, используются для значений бюджетных ограничений ш-го инвестора.
Заметим, что ограничения (3.2) аналогичны ограничениям (1.2), а ограничения (3.3) заменяют собой ограничения (1.2), (1.7) и (1.8). В случае монополии государства Центр принимает на себя финансирование экологических проектов, которые необходимы для возмещения ущерба окружающей среде, наносимого выбранными производственными проектами, но только тех, которые не могут быть профинансированы инвесторами (из-за недостатка их бюджетов). Бюджетные ограничения (3.4) аналогичны ограничениям
(1.4), а ограничения (3.6) совпадают по смыслу с ограничениями (1.10), дезагрегированными по отдельным инвесторам. В ситуации монополии Центра исчезают функционалы отдельных инвесторов, их заменяют требования положительности чистого приведенного дохода у каждого инвестора (ограничения (3.5). Заметим, что в случае, когда каждый инвестор реализует только один производственный проект, левая часть неравенства (3.5) совпадает с №У проекта. Ограничения (3.7), как и ограничения (1.11) в разделе 1, моделируют референдум населения относительно целесообразности планируемой программы освоения МСБ региона.
Задача (3.1)...(3.7) является задачей одноуровневой оптимизации, оптимальные значения булевых переменных ^ ,в, , 0 определяются центром, исходя из критерия оптимизации бюджетных поступлений и доходов населения. Число таких переменных равно МР+М1+2*МБ, и в ситуации, когда это число не превосходит 50, задачу можно решать с помощью стандартных пакетов. В соответствии с [6, 12] возможность построения эффективных алгоритмов решения задачи (3.1).(3.7) определяется структурой ее матрицы ограничений. В нашем случае каждому инвестору соответствует блок из ограничений (3.5),(3.6), а ограничения вида (3.2)...(3.4),(3.7) образуют окаймление по строкам — это обстоятельство открывает перспективы разработки практически применимых малотрудоемких алгоритмов решения.
Таким образом, для случая монополии государства программу освоения МСБ можно формировать на основе решения одноуровневой задачи с линейными ограничениями и булевыми переменными. Блоч-но-диагональная с окаймлением структура матрицы ограничений этой задачи позволяет построить эффективный алгоритм решения, оптимального с точки зрения государства.
Литература_
1. Stackelberg Marktform und Gleichgewicht, H. V. — Vienna: Springer-Verlag, 1934.
2. Davydov I., Kochetov Yu., Plyasunov A. On the complexity of the (r |p)-centroid problem in the plane // TOP 2013, DOI:10.1007/s11750-013-0275-y.
3.Kononov A., Kochetov Y., Plyasunov A. Competitive facility location models. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2009, Vol. 49, No. 6, pp. 994-1009.
4. Omar Ben-Ayed and Charles E. Blair Computational Difficulties of Bilevel Linear Programming // Operation Research, 1990. Vol. 38, No. 3, May-June 1990, pp. 556-560.
5. Анцыз С.М., Пудова М.В. Методы внутренней точки для решения задач со специальной структурой. Новосибирск, 1997. 27 с. (Препринт / РАН Сиб. отд-е. Ин-т математики; № 44).
6. Береснев В.Л. Алгоритмы локального поиска для задачи конкурентного размещения предприятий // Автоматика и телемеханика, 2012, № 3. С.57-74.
7. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.
8. Лавлинский С.М. Государственно-частное партнерство на сырьевой территории — экологические проблемы, модели и перспективы. Проблемы прогнозирования, 2010, № 1, С. 99-111.
9. Лавлинский С.М., Калгина И.С. О методах оценки механизма государственно-частного партнерства в минерально-сырьевой сфере Забайкальского края // Вестник ЗабГУ. 2012, № 9(88). С. 96-102.
10. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. М.: Мир, 1991.
11. Оптимизация системных решений в распределенных базах данных / Анцыз С.М. и др. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1990.
12. Пудова М.В. О коэффициенте уменьшения трудоемкости некоторых алгоритмов // Известия вузов. Математика. 2003. № 6(493). С. 50-63.
_References
1. Stackelberg Marktform und Gleichgewicht, H. V. Vienna: Springer-Verlag, 1934.
2. Davydov I., Kochetov Yu., Plyasunov A. On the complexity of the (r | p) -centroid problem in the plane // TOP 2013, DOI: 10.1007/s11750-013-0275-y.
3. Kononov A., Kochetov Y., Plyasunov A. Competitive facility location models. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2009, Vol. 49, No. 6, pp. 994-1009.
4. Omar Ben-Ayed and Charles E. Blair Computational Difficulties of Bilevel Linear Programming // Operation Research, 1990. Vol. 38, No. 3, May-June 1990, pp. 556-560.
5. Antsyz S.M., Pudova M.V. Metody vnutren-ney tochki dlya resheniya zadach so spetsialnoy struk-turoy. (Interior point methods for solving problems with a special structure). 1997. — 27 p. — (Preprint / RAN Sib. otd-e. In-t matematiki; no 44).
6. Beresnev V.L. Algoritmy lokalnogo poiska dlya zadachi konkurentnogo razmeshheniya predpri-yatiy. (Local search algorithms for the competitive facility location) // Avtomatika i telemehanika, 2012, no 3. P.57-74.
7. Germeyer Yu.B. Igry s neprotivopolozhnymi interesami. (Games with non-opposed interests). M.: Nauka, 1976.
8. Lavlinskiy S.M. Gosudarstvenno-chastnoe partnerstvo na syrievoy territorii — ekologicheskie problemy, modeli i perspektivy. (Public-private partnerships in the area of raw materials — environmental issues, models and perspectives) — Problemy prog-nozirovaniya, 2010, no 1, P. 99-111.
9. Lavlinsky S.M., Kalgina I.S. O metodah ot-senki mehanizma gosudarstvenno-chastnogo partner-stva v mineralno-syrievoy sfere Zabaykalskogo kraya. (Methods for evaluation of public-private partnership in the field of mineral resources of Transbaikal region). (Transbaikal State University Journal) 2012, no 9(88). P. 96-102.
10. Mulen Ye. Kooperativnoe prinyatie resheniy: Aksiomy i modeli. (Cooperative decision-making: Axioms and models). M.: Mir, 1991.
11. Optimizatsiya sistemnyh resheniy v raspre-delennyh bazah dannyh / (Optimization of system solutions in distributed databases) Antsyz S.M. i dr. Novosibirsk: Nauka. Sibirskoe otdelenie, 1990.
12. Pudova M.V. O koeffitsiente umensheniya trudoemkosti nekotoryh algoritmov. (On the coefficient of complexity reduction of some algorithms) // Izvestiya vuzov. Matematika. 2003. no 6(493). P. 5063.
Коротко об авторах_
Анцыз С.М., канд. техн. наук, старший научный сотрудник Института математики СО РАН, г. Новосибирск, Россия antzys@math.nsc.ru
Научные интересы: разработка компьютерных моделей природно-ресурсной экономики, экономика исчерпаемых природных ресурсов, проблемы устойчивого развития ресурсного региона
Лавлинский С.М., д-р техн. наук, профессор, Забайкальский государственный университет, г. Чита, Россия
lavlin@math.nsc.ru
Научные интересы: разработка компьютерных моделей природно-ресурсной экономики, экономика исчерпаемых природных ресурсов, проблемы устойчивого развития ресурсного региона
Калгина И.С., ст. преподаватель, Забайкальский государственный университет, г. Чита, Россия ariaira@bk.ru
Научные интересы: разработка компьютерных моделей природно-ресурсной экономики, экономика исчерпаемых природных ресурсов, проблемы устойчивого развития ресурсного региона
_Briefly about the authors
S. Antsyz, candidate of technical sciences, senior scientific researcher, Institute of mathematics of SB RAS, Novosibirsk, Russia
Scientific interests: development of computer models of environmental economy, economy of nonrenewable natural resource, problems of sustainable development of raw-material region
S. Lavlinsky, doctor of technical sciences, professor, Transbaikal State University, Chita, Russia
Scientific interests: development of computer models of environmental economy, economy of nonrenewable natural resource, problems of sustainable development of raw-material region
I. Kalgina, senior teacher, Transbaikal State University, Chita, Russia
Scientific interests: development of computer models of environmental economy, economy of nonrenewable natural resource, problems of sustainable development of raw-material region
