CC BY
510
С.Л. Налесная
ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Современный этап изучения алгебраического материала в курсе математики начальной школы характеризуется противоположными тенденциями определения объема содержания изучаемого материала. Так, авторы учебников математики системы обучения Л.В. Занкова [3], В.В.Давыдова [1], программ обучения «Школа 2000...» [7] и «Начальная школа XXI века» предлагают широкое изучение алгебраического материала уже в первом классе. Автор программы «Гармония» Н.Б. Истомина рассматривает элементы алгебры на завершающем этапе обучения, то есть в конце 4 года обучения. Программа «Школа России» (учебник математики под редакцией М.И. Моро) рассматривает изучение алгебраической линии уже в 1 классе, включая достаточное количество заданий алгебраического характера.
Этот фактор обосновывается ориентацией в средней школе на использование учебника математики Н.Я. Виленкина.
Впервые младшие школьники знакомятся с уравнениями в первом классе при изучении действий сложения и вычитания. Столь раннее включение этой темы в программу призвано решить задачу осознания связи, которая существует между компонентами и результатом арифметических действий при сложении и вычитании.
В устные упражнения, являющиеся подготовкой к введению понятия уравнения, целесообразно включить примеры с «окошками»: «Вставьте в «окошко» пропущенное число!—I + 2=8, I | — 5=8» и др., которые решаются методом подбора подходящего числа. Позднее, вместо «окошка» используют буквенную символику и знакомятся с понятием уравнения. Однако для их решения используют тот же метод - метод подбора. В дальнейшем учитель показывает ограниченность и трудоемкость метода подбора, предлагая учащимся такое уравнение, решение которого не столь очевидно, и которое подводит их к целесообразности использования другого метода его решения.
В течение первых двух лет обучения учащиеся сталкиваются с простейшими уравнениями вида а + х = в, а - х = в, х - а = в, а *х=в, а : х = в, х: а = в, которые решают на основе взаимосвязи между компонентами и результатом арифметических действий.
На этапе введения понятия «уравнение» полезно предлагать задания, которые наряду с формированием умения решать уравнения позволяют осуществлять в процессе обучения приёмы умственных действий (анализ, синтез, классификация и др.), типа: Разбейте данные математические записи на группы: 4 + 6 = 10 13 - х = 7 76 = 76 к : 40 - 18 = 85.
- На сколько групп можно разбить данные математические выражения? (- На две группы.)
- По какому признаку вы разбили их на две группы? ) ( - Одни математические выражения содержат переменную, другие - не содержат.)
- Можно сказать, что равенство 4 + 6 = 10 является верным ? ( - Да, это верное равенство.)
- Можно о равенстве 13 - х = 7 сказать, что оно верное или неверное? ( - Нет, нельзя, пока не знаем значений её переменной.)
- Как называют равенства, содержащие переменную? (- Выражения с переменной.) Учитель поясняет: в математике равенство с переменной называют уравнением.
- При каком значении х равенство 13 - х = 7 будет верным? ( - При х = 6, данное равенство будет верным.)
- Назовите значения х, при которых равенство 13 - х = 7 будет неверным. ( - При х = 1, х = 2, х = 3, х = 4, х = 5 и х = 0 данное равенство будет неверным.)
- Как показать, что при х, равном, например, 2 равенство будет неверным? ( - Если х = 2, то 13 - 2 = 11, а 11 не равно 7. Значит, получается неверное равенство.)
Учитель поясняет: число, при подстановке которого в уравнение вместо переменной, получается верное равенство, называется корнем уравнения.
- Найдите корень уравнения х + 3 = 8, докажите, что это так. (-Число х = 5 является корнем данного уравнения, так как 5 + 3 = 8, 8 = 8. Получили верное равенство.)
- Какое из чисел 8, 4, 2 является корнем уравнения t + 3 = 7? (-Число t = 4 является корнем уравнения).
Для закрепления понятия «уравнение», «корень уравнения» предлагается система заданий:
1) Найдите среди записей уравнения, прочитайте их:
3 + 4; у - 6 = 8; 9-3 + 7; к : 2 = 6; 13 - 15.
2) Решите каждое следующее уравнение, перебирая по порядку числа, начиная с нуля: а + 8 = 11, 9 - х = 9, 7 - а = 5.
3) Имеет ли уравнение 25 + к = 9 корень?
Выполняя аналогичные задания, учащиеся приходят к выводу, что уравнения могут иметь единственный корень или не иметь корней.
Для закрепления знаний об уравнениях на этом этапе обучения целесообразно рассмотреть задания, направленные на развитие абстрактного и логического мышления учащихся, типа:
а) составление уравнений по схеме:
- Рассмотрите схему (рис. 1) .О чем она рассказывает? Как найти неизвестную часть, опираясь на схематическую модель? Сделайте соответствующие записи.
_Х_^^ Учащиеся поясняют и записывают: Х=П + .
|
□ Рис. 1 ^
б) Укажите число, которое не является корнем в каждом из следующих уравнений?:
х : х =1, 0 : х = 0, а : 0 = 0.
Выполняя задания обосновывают, что уравнение х : х = 1 имеет сколько угодно корней; уравнение 0 : х = 0 имеет множество корней, кроме корня х = 0, а уравнение а : 0 = 0 не имеет корней.
На последующих этапах изучения уравнений важно рассмотреть задания, основной целью которых является знакомство учащихся с другими способами решения уравнений, основанными как на методе подбора, так и на знании зависимости, существующей между компонентами и результатом арифметических действий. Позднее, на основе зависимости рассматриваются задания, позволяющие не решая уравнение, установить, изменение значения корня уравнения. Достаточное количество таких заданий предлагается в учебнике И.И. Аргинской, Е.И. Ивановской «Математика 3 класс» [1,65].
Рассмотрим вариант такой работы на примере задания, предложенного учащимся для выполнения:
1) Решите уравнения:
а + 35 = 93, 76 - к = 38, 54 + с = 71, р - 27 = 39.
Решение уравнений опирается на знание взаимосвязи между компонентами и результатом арифметического действия. Так, учащиеся поясняют: в первом уравнении неизвестный компонент является слагаемым, чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Приходят к записи решения уравнения и его проверке а + 35 = 93, 58 + 35 = 93, а = 93 - 35, 93 = 93, а = 58.
Следовательно, а = 58 - корень уравнения.
Аналогично проводится работа при решении остальных уравнений.
2) К каждому уравнению предложите несколько уравнений, имеющих такой же корень.
Покажем ход рассуждений учащихся на примере работы с первым из представленных уравнений. Так как корень уравнения равен 58, значит можно найти такие пары чисел, при выполнении операции вычитания которых, получится число 58, а также числа, при выполнении операции сложения которых, получится тот же результат. Таким образом, учащиеся приходят к записи уравнений, имеющих тот же корень.
а + 0 = 58 , а + 30 = 98, 78 -а = 20, а - 34 = 24, а + 30 + 4 = 92.
3) Изменится ли корень данных уравнений, если один из компонентов каждого уравнения уменьшить на 23; увеличить на 8? Если изменится, то, каким образом?
Учащиеся выдвигают различные версии, которые затем проверяются в ходе выполнения практических действий, что позволяет им сформулировать выводы: результат изменится, так как компоненты действий и его результат связаны между собой. В случаях уменьшения слагаемого на несколько единиц корень увеличится на столько же единиц, то есть на 23. При уменьшении суммы на несколько единиц, результат уменьшится на столько же единиц.
Учащиеся осознают, если компоненты уравнений связаны действием вычитания и неизвестный компонент является вычитаемым, то при уменьшении уменьшаемого корень уравнения на столько же единиц уменьшится. При условии уменьшения разности, корень, соответственно, на столько же единиц увеличится. Решая уравнения, неизвестным компонентом которых является уменьшаемое, учащиеся замечают, что при уменьшении вычитаемого или разности корень уравнения уменьшится.
К этому периоду работы относятся и задания, имеющие целью выполнение тождественных преобразований.
Работа с таким видом заданий может быть построена следующим образом. Предлагаются уравнения, вида: (х + 324) + 541 = 976; (х + 324) + 342= 777; (х + 324) + 124 = 559; (х + 324) + 221 = 656.
В них первое слагаемое во всех уравнениях одинаково (х + 324), а вторые слагаемые представлены различными числами.
Учитель предлагает сравнить уравнения и установить, равны ли их корни. Анализируя данные уравнения, учащиеся приходят к выводу, что корни уравнений равны. Поясняют, что во всех случаях первое слагаемое, представленное в виде х + 324, равно одному и тому же числу, являющемуся равному 435. Это число есть разность суммы и второго слагаемого (976 - 541 = 435; 559 - 124 = 435; 777 - 324 = 435; 656 - 221 = 435.)
Таким образом, учащиеся приходят к уравнению х + 324 = 435, решение которого не вызывает трудностей.
Другие ученики предлагают воспользоваться сочетательным законом сложения и на его основе объединить в группу известные слагаемые, что после нахождения значения их суммы, позволит получить так же простое уравнение. Последовательность решения уравнения в этом случае имеет вид:
х + (324 + 541) = 976; х + 865 = 976; х = 976 - 865; х = 111.
Важнейшим направлением работы с уравнениями на данном этапе является осознание последовательного пошагового упрощения исходного уравнения за счет выполнения тождественных преобразований. Для этой цели учащимся можно предложить задания, аналогичные данному:
Сравните уравнения в каждой строчке. Какое из них более сложное? Почему? Решите более сложные уравнения.
у * 4 = 16 у * 2 * 2 = 16
у : 5 = 45 у : (1 + 4) = 100 -55
Проанализировав данные уравнения, ученики делают вывод, что уравнения второго столбца являются более сложными. Для их решения необходимо выполнить два или три действия. Чтобы решить аналогичные уравнения, надо их преобразовать в простые путем упрощения, выполнив соответствующие действия.
Так, пошаговая последовательность упрощения последнего уравнения заключается в нахождении разности чисел, записанных в скобках 1+ 4 = 5 и нахождении частного, представленного разностью чисел 100 и 55, приводя таким образом к уравнению у : 5 = 45.
Одним из основных направлений работы с уравнениями является знакомство учащихся с алгебраическим способом решения текстовых задач. Сравнивая арифметический и алгебраический способы решения задач, учащиеся оценят преимущества алгебраического способа решения задач над арифметическим.
Для этой цели рассматриваются задачи, арифметический способ решения которых достаточно сложен, а ее решение алгебраическим способом является легким.
Однако важно помнить, что существуют задачи, для решения которых удобнее использовать арифметический способ решения. Поэтому необходимо уделять пристальное внимание заданиям, в которых предлагается решить задачу разными способами, выбрать более рациональный способ решения, что позволяет постепенно вырабатывать у учеников математическую зоркость и в дальнейшем поможет оценивать задачи с позиции выбора способа их решения.
Покажем фрагмент урока по теме «Решение задач при помощи составления уравнения». Цели: совершенствовать умения решать задачи рациональным способом; закреплять умения и навыки решения и преобразования у равнений; развивать умение выполнять вычисления в устной форме; развивать пространственное мышление, умение анализировать, рассуждать и доказывать; развивать логическое мышление и внимание; развивать умение работать в группе.
В результате выполнения устных вычислений и расположения в порядке возрастания значений числовых выражений, учащиеся получают зашифрованное слово - «алгебра».
- Алгебра - это раздел математики, а что он изучает, мы узнаем несколько позже.
На этапе постановки проблемы учитель предлагает рассмотреть ситуацию: Миша и Вася решали одну и ту же задачу. Миша решал задачу по действиям. Когда он приступал ко второму действию, Вася уже заканчивал вычисления и готов был представить ответ задачи.
- Кому из мальчиков потребовалось меньше времени для решения задачи? (- Вася потратил меньше времени для решения задачи, чем Миша.)
- Почему Вася опередил Мишу? Какой способ решения применил Вася? (учащиеся высказывают свои предположения).
Далее организуется исследовательская работа в малых группах.
Группам предлагается рабочий лист с текстом задачи: «Для украшения новогодней ёлки ученики сделали хлопушки, фонарики и снежинки - всего138 штук. Фонариков было на 3 штуки больше, а снежинок в 3 раза больше, чем хлопушек. Сколько игрушек каждого вида сделали ученики?»
На этапе обмена информацией каждая группа знакомит учащихся класса с найденными способами решения задачи и комментирует их.
В процессе организации информации учащиеся сравнивают варианты решения задачи и предлагают последовательность действий при её решении с помощью уравнения (если такой способ учениками найден): выделение компонента, который принимается за переменную; составление уравнения; решение уравнения; нахождение ответа на вопрос задачи; запись решения задачи. Затем открываются «спрятанные» способы решения задачи Васи и Миши Способ решения задачи, который предложил Миша:
1) 138 - 3=135 (шт.) в пяти равных частях. Х . ? "1 2) 135 : 5 =27 (шт.) хлопушки (одна часть).
I з I. ^ 3) 27 + 3=30 (шт.) фонарики.
|——| J 4) 27 * 3=81 (шт.) снежинки (три части).
^ I } I Ответ: 27 хлопушек, 30 фонариков, 81 снежинка.
Способ решения задачи, который предложил Вася:
Пусть х шт. - количество хлопушек, тогда (х+3) шт. - количество фонариков, а (3-х) шт. -количество снежинок. Всего ученики сделали
(х + х + 3 + 3х) шт. игрушек, что по условию задачи равно 138. х + х + 3 + 3х = 138 При х = 27 х + 3 = 27 + 3 = 30 (шт.) фонарики.
5х + 3 = 138 При х = 27 3х = 3 * 27 = 81 (шт.) снежинки.
5х = 138 - 3 5х = 135 х = 135 : 5
х = 27 (шт.) хлопушки.
Ответ: 27 хлопушек, 30 фонариков, 81 снежинка.
Рассматривается решение задачи, образец оформления записи решения задачи способом составления уравнения.
- Какой способ решения задачи является более рациональным? Почему? (- Второй способ требует меньше времени для решения задачи, потому он является рациональным.)
- Вспомните слово, которое вы получили в результате выполнения задания в начале урока. (- Алгебра.)
- Алгебра - это особый раздел математики, зачатки которой родились еще в Вавилоне. Но название этой науке дал ученый Мухаммед бен Муса ал Хорезми из Ирана. Слово а1-]аЬг понималось как «выполнение», «восстановление». Алгебра заменяет числовые значения количественных характеристик множеств или величин буквенной символикой. Способ решения задач при помощи составления уравнения называют алгебраическим.
Для закрепления изученного материала учитель предлагает придумать дома задачу, которую можно было бы решить при помощи составления уравнения, записать её текст и решение.
Отметим, что решение уравнений, задач с помощью составления уравнений является перспективным с точки зрения преемственности между курсом математики начальной школы и курсом математики средней школы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Александрова Э.И. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. М., 2001.
2. Аргинская И.И., Бененсон Е.П., Итина Л.С. Математика 3 класс. Самара: Учебная литература, 2008.
3. Аргинская И.И., Бененсон Е.П., Итина Л.С. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. Самара: Учебная литература, 2008.
4. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. Смоленск, 2006.
5. Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. М., 2002.
6. Рудницкая Н.В., Юдачева Т.В. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. М., 2001.
7. Петерсон Л.Г. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. М., 2007.
А.В. Тихоненко, Л.Н. Любченко
МЕТОДИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЙ «ЛОМАНАЯ ЛИНИЯ», «ДЛИНА ЛОМАНОЙ ЛИНИИ» И РАЗВИТИЕ КЛЮЧЕВЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
Анализ существующих программ по начальному обучению показывает, что понятия «ломаная линия», «длина ломаной линии» формируется в 1-2 классах после формирования понятий «отрезок», «длина отрезка». Покажем деятельность учителя по формированию данных понятий. Фрагмент урока на тему «Ломаная линия».
Цели: 1) формирование понятий «ломанная линия», «звено ломанной линии», «замкнутая» и «незамкнутая» ломаная линия; 2) формирование совокупности компетенций, необходимых для осознания понятия «ломаная» линия; 3) развитие творческих и познавательных способностей, математической речи.
К совокупности компетенций, необходимых для осознания понятия «ломаная» линия относятся умения:
- извлекать пользу из практического опыта;
- думать;
- организовывать взаимосвязь своих знаний и упорядочивать их;
- включиться в работу, быстро и эффективно принимать решения и др.
Методика введения нового понятия основывается на внедрении компетентностного подхода в процесс обучения и формирования у младших школьников ключевых компетенций (не на показе образа ломаной линии, как это в большинстве случаев рекомендуют существующие учебники и учебные пособия), а на умении:
