CC BY
377
- Какой способ решения задачи является более рациональным? Почему? (- Второй способ требует меньше времени для решения задачи, потому он является рациональным.)
- Вспомните слово, которое вы получили в результате выполнения задания в начале урока. (- Алгебра.)
- Алгебра - это особый раздел математики, зачатки которой родились еще в Вавилоне. Но название этой науке дал ученый Мухаммед бен Муса ал Хорезми из Ирана. Слово а1-]аЬг понималось как «выполнение», «восстановление». Алгебра заменяет числовые значения количественных характеристик множеств или величин буквенной символикой. Способ решения задач при помощи составления уравнения называют алгебраическим.
Для закрепления изученного материала учитель предлагает придумать дома задачу, которую можно было бы решить при помощи составления уравнения, записать её текст и решение.
Отметим, что решение уравнений, задач с помощью составления уравнений является перспективным с точки зрения преемственности между курсом математики начальной школы и курсом математики средней школы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Александрова Э.И. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. М., 2001.
2. Аргинская И.И., Бененсон Е.П., Итина Л.С. Математика 3 класс. Самара: Учебная литература, 2008.
3. Аргинская И.И., Бененсон Е.П., Итина Л.С. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. Самара: Учебная литература, 2008.
4. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. Смоленск, 2006.
5. Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. М., 2002.
6. Рудницкая Н.В., Юдачева Т.В. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. М., 2001.
7. Петерсон Л.Г. Учебно-методический комплект для четырехлетней школы. М., 2007.
А.В. Тихоненко, Л.Н. Любченко
МЕТОДИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЙ «ЛОМАНАЯ ЛИНИЯ», «ДЛИНА ЛОМАНОЙ ЛИНИИ» И РАЗВИТИЕ КЛЮЧЕВЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
Анализ существующих программ по начальному обучению показывает, что понятия «ломаная линия», «длина ломаной линии» формируется в 1-2 классах после формирования понятий «отрезок», «длина отрезка». Покажем деятельность учителя по формированию данных понятий. Фрагмент урока на тему «Ломаная линия».
Цели: 1) формирование понятий «ломанная линия», «звено ломанной линии», «замкнутая» и «незамкнутая» ломаная линия; 2) формирование совокупности компетенций, необходимых для осознания понятия «ломаная» линия; 3) развитие творческих и познавательных способностей, математической речи.
К совокупности компетенций, необходимых для осознания понятия «ломаная» линия относятся умения:
- извлекать пользу из практического опыта;
- думать;
- организовывать взаимосвязь своих знаний и упорядочивать их;
- включиться в работу, быстро и эффективно принимать решения и др.
Методика введения нового понятия основывается на внедрении компетентностного подхода в процесс обучения и формирования у младших школьников ключевых компетенций (не на показе образа ломаной линии, как это в большинстве случаев рекомендуют существующие учебники и учебные пособия), а на умении:
- извлечь те знания, которые имеются у младших школьников из их дошкольной жизни, учебе в первом классе;
- использовать знания, приобретенные при изучении предыдущего материала;
- привлечь знания, полученные из практической деятельности самих учеников, их родителей и т.д.
На одном из предыдущих уроков учащиеся познакомились с такой единицей измерения длины как метр (учитель приносил на урок различные образцы измерительных инструментов). Для формирования таких компетенций как умение думать, извлекать знания, приобретенные ранее, мы выставили на плакате изображения различных линий (рис. 1). Линия под номером 4 закрыта.
- Как называется каждая из изображенных на рисунке геометрических фигур? Почему? (Называют.) Обосновывают свои суждения.
Например, линия под номером 1 - прямая, ее можно провести, используя линейку. Прямую линию нельзя измерить, то есть нельзя выразить длину прямой линии числом. У нее нет начала и нет конца, ее можно продолжить как угодно долго вправо и влево, она бесконечна. Через две точки можно провести только одну прямую линию (информацию излагают несколько учеников). Фигура под номером 3 - отрезок, так как это часть прямой. Отрезок имеет фиксированное начало и конец, его можно измерить (определить длину отрезка), то есть результат измерения отрезка можно выразить числом. Отрезок можно построить, используя линейку.
Линия под номером 2 - кривая, волнистая, у нее нет начала и нет конца, она так же бесконечно. Ее нельзя начертить, используя линейку, ее нельзя измерить, выразив результат измерения числом, начертить ее можно «от руки».
Учитель открывает занавеску и предлагает рассмотреть изображение фигуры под номером 4.
- Может быть, кто-нибудь раньше видел изображение такой фигуры или предметы, дающие представление о такой фигуре? Не пользовались ли мы или ваши близкие моделью такой фигуры в практической деятельности? (- Да, у меня дядя столяр. Я видел, как он работал с инструментом, похожим на эту линию. Эта фигура напоминает не до конца сложенный столярный метр.).
Учитель берет в руки столярный метр, раскрывает его («вытягивает в линию», поворачивает ребром) и спрашивает:
- Представление о какой линии дает разложенный таким образом столярный метр? ( - О прямой линии, а, возможно, и об отрезе, если считать, что есть начало отсчета «0» и конец отсчета «100»).
- Верно. Что нужно сделать, чтобы столярный метр был похож на фигуру под номером 4? (Нужно его «сломать».)
- Сломать? Как? Покажите. (Один из учеников демонстрирует, как он «ломает» столярный метр. Затем другой, третий. Так несколько учеников «ломают» столярный метр).
- Возможно, теперь вы догадались, представление о какой геометрической фигуре дает фигура под номером 4? (- Это поломанная линия. Это сломанная линия.)
- А точнее? (- Это ломанная линия.).
Так, в процессе продуктивной деятельности, в процессе извлечения ранее приобретенных знаний, нам удалось сформировать понятие «ломаная» линия.
- Представление о какой геометрической фигуре дает линия под номером 4? (- О ломаной линии).
На доску проецируется слайд с изображением различных геометрических фигур (рис. 2).
Рис. 2
- Назовите номера, под которыми находятся ломаные линии. (- 2, 4, 5, 6).
- Из скольких звеньев состоит ломаная линия под номером 2? (- Из трех звеньев.)
- Покажите. (Показывают.)
- Назовите элементы геометрической фигуры, из которых состоит ломаная линия под номером 2? Показывайте их и последовательно называйте каждую из их. (- Луч, отрезок, луч.)
- Укажите ломаные линии, которые совпадают по какому-либо признаку? (- Линии под номерами 2 и 5, в них по 3 звена. Линии под номерами 4 и 6 имеют по два звена.)
- Начертите ломаную линию из двух звеньев. Сначала поставьте в тетради три точки. Соедините любые две точки с третьей, используя линейку. Обозначьте концы звеньев буквами так, как показано на чертеже (рис. 3 а).
О О •
А / 1 Ч
Т V 1 Ч V Ч
У ч Ч } /
/ / ъ Ч / г у г
4 VI ч V / г /
А А « г / „о* т"
<• -М 1 —
Рис. 3
- Как называется линия, изображенная на рис. 3 г? (- Это замкнутая ломаная линия.)
- Почему её называют замкнутой ломаной линией? (-У неё звенья замкнулись.)
- Какая линия изображена на рисунке 3 в? (- Ломаная линия.)
- Можно её назвать замкнутой ломаной линией? (- Нет, это не замкнутая ломаная линия.)
- Сколько у неё звеньев? (- Четыре звена.)
- Начертите в тетради ломанную линию, состоящую из 3 - 4 звеньев. Возможные варианты (рис. 4). Учащиеся в тетрадях и на линованной в клетку части доски выполняют каждый свое задание (5 - 6 учеников).
\ /
> ч у / 2 ч
Г N \ / ч
/
/ /
1 — — /
Рис. 4
- Смотрите, какие красивые ломаные линии у нас получились. Теперь нам нужно узнать, как называют каждую такую (учитель показывает указкой) часть ломаной линии. (- Сторона ломанной линии, отрезок, часть ломанной линии.)
- Сторона треугольника, а применительно к ломанной линии эту часть ломанной линии называют в математике звено ломанной линии.
Учитель обобщает: «Ломаная линия - это геометрическая фигура, состоящая из точек и соединяющих их отрезков. Точки называются вершинами ломаной линии, а отрезки - звеньями. Два звена с общей вершиной называют соседними».
- Сколько звеньев у ломаной линии под номером 1, сколько у нее вершин (рис. 4)? (- Три звена, четыре вершины.)
- Покажите звенья и вершины ломаной линии под номером 2. Сколько их? (- Три звена, четыре вершины.) Показывают.
- Покажите соседние звенья ломанных линий под номерами 1, 2. Показывают.
- Отметьте красной точкой начало ломаной линии под номером 3, отметьте ее конец. (Выполняют.) Сколько звеньев у этой ломаной линии? Сколько вершин? (- Пять звеньев, шесть вершин.)
После такой последовательно выполненной работы можно переходить к измерению длины звеньев ломаной линии, используя подходящие измерительные приборы, показывать соседние звенья, вершины ломаной, находить ее начало и конец, определять длину каждого звена ломаной линии, длину ломанной, как сумму длин всех ее звеньев.
Интересен, на наш взгляд, в этой ситуации вопрос: Чем похожи и чем различаются такие геометрические фигуры как треугольник (выставляет модель треугольника) и ломаная линия под номером 1 на рисунке 4?
Ответы учеников: «У треугольника 3 стороны, 3 угла, 3 вершины, все вершины соединены между собой. У ломаной линии под номером 1, изображенной на рисунке 4, тоже 3 стороны - звена, вершин - 4, начало и конец ломаной не соединены, не совпадают, не замкнуты».
- Соедините начало и конец этой ломаной линии. Какая геометрическая фигура получилась? (Замкнутая ломаная линия.) Закрасьте ее внутреннюю область. (Выполняют.) Как называется эта геометрическая фигура? (— Четырехугольник, у него 4 стороны, 4 угла, 4 вершины.)
Выполняют задание, данное на полях учебника [3, 38].
Затем с большим интересом выполняют задание (рис. 5). Находят замкнутые и незамкнутые ломаные линии, характеризуют каждую линию, классифицируют фигуры, изображенные на рисунке по различным основаниям (свойствам), дают им названия и соответствующие обоснования.
Рис. 5
Так, по свойству «быть ломанной линией», фигуры, изображенные на рисунке 5, разбивают на 2 класса (группы). В один класс попадают фигуры под номерами 1, 3, 6,7 - они ломаные. В другой - по свойству «не быть ломаной линией» — фигуры под номерами 2, 4, 5. (Характеризуют каждую линию образовавшегося класса).
В процессе проведения фрагмента данного урока у учащихся развивались и формировались такие компетенции как:
- способность осознавать и рефлексировать свои действия (адекватное обоснование свойств геометрических фигур: прямая линия, волнистая линия, отрезок, луч);
- умение использовать знания, полученные в период формального и неформального обучения и применять их в практической деятельности (я видел..., эта фигура напоминает...);
- умение своевременно на основе имеющихся знаний создавать новое и применять его в той или иной деятельности (вычерчивание ломаных линий, определение общности и различий между замкнутой и незамкнутой ломаной линией, между замкнутой ломаной линией и треугольником) и др.
Фрагмент урока на тему «Длина ломаной линии».
Цели:
1) формирование понятия длины ломаной линии как суммы длин ее звеньев;
2) формирование компетенций, необходимых для осознания понятия «длина ломаной линии»;
3) развитие мыслительных операций, речи, познавательных и творческих способностей, речи.
Оборудование: измерительная линейка, циркуль, карандаш.
Для формирования понятия «длина ломаной линии» необходимо владеть следующими компетенциями:
- организовывать взаимосвязь своих знаний и упорядочивать их;
- уметь сотрудничать и работать в группе;
- уметь пользоваться измерительными приборами;
- владеть устной формой изложения материала.
При изучении понятия «длина ломаной линии» мы предлагаем отказаться от монологической формы изложения учебного материала, который в соответствии с существующими учебниками происходит с опорой на объяснительно-иллюстративный метод познания. Мы в практике своей работы при формировании нового понятия, отказываемся от предложенного пути познания (хотя и не отвергаем его) и предлагаем при формировании нового понятия, понятия «длина ломаной линии», опираться на те знания, которые приобрели учащиеся на предыдущих уроках, знания, которые имеют школьники из практической деятельности людей: родных, близких, учеников старших классов и др., уметь воспользоваться знаниями, накопленными ранее.
Для этой цели за один - два урока до изучения темы даем задание: пойти в магазин «Ткани» и понаблюдать за работой продавца, как он от ткани, скатанной в рулон, отмеривает кусок ткани нужной длины.
- Сегодня мы научимся находить длину ломаной линии. (Каждая пара учеников получает карточку с изображением ломаной линии. Звенья ломаной линии содержат целое число сантиметров).
Рис. 6
Выдвигается задача: отыскать способы нахождения длины ломаной линии. Попытайтесь воспользоваться ранее накопленными знаниями. Не поможет ли вам в решении задачи посещение магазина «Ткани» или какие-либо другие знания? Подумайте!
Учащиеся в паре обсуждают предложенную задачу, выдвигают пути ее решения. После обсуждения учитель предлагает высказать свои соображения по поводу решения задачи.
Информация нескольких учеников: «Когда продавец отпускает нужный кусок ткани, ему приходиться размотать рулон ткани, отмерить нужную меру, используя деревянный метр. Значит, и нам нужно сделать так, чтобы ломаная линия стала прямой».
- Да, можно было бы это сделать, если бы ломаная линия была как рулон ткани или как столярный метр, а у нас она изображена на карточке и ее не вытянешь в линию.
- Почему не вытянешь? Можно! Ведь звенья ломанной линии можно «перенести» на прямую линию.
- Идея неплохая. Что для этого мы должны сделать? (- Нужно начертить прямую линию, а можно и не чертить ее, а воспользоваться прямыми линиями тетради в клетку. Отметить на ней по линии точку. Последовательно отложить от этой точки вдоль линии тетради длину каждого звена ломаной линии, отмечая начало и конец каждого звена точкой или черточкой, воспользовавшись циркулем или линейкой. Сумма длин всех звеньев составит длину ломанной линии.)
В обсуждении принимают участие все школьники. Затем учитель дает время на выполнение работы. Ученики в паре распределяют, кто, каким видом деятельности будет заниматься. На выполнение задачи уходит не менее 5 минут. В результате выполнения работы учащиеся сообщают: «Длина ломаной линии рана 12 сантиметрам».
После выполнения самостоятельной работы, учитель предлагает открыть учебник и сопоставить свои рассуждения с тем, что демонстрирует учебник [2, 28].
После того, как ученики прочитали задание (объяснение), учитель отмечает:
- А ведь вы сами нашли способ отыскания длины ломаной линии. Как вы думаете, какая информация помогла вам отыскать способ нахождения длины ломаной линии? (- Я вспомнил столярный метр, как мы его складывали и раскладывали. Звенья столярного метра являются как бы звеньями ломаной линии. Если разложить полностью столярный метр, то он дает представление об отрезке и длина всех звеньев составляет длину всего метра.
- А мне помогли наблюдения за работой в магазине «Ткани». Ведь рулон ткани также представляет собой как бы ломаную линию, размотав который, продавец отпускал нужный кусок ткани.
- А я наблюдал за работой моего дяди в столярном цехе, как он, используя столярный метр, отмеривал нужные ему куски доски.)
Итак, при формировании понятия «длина ломаной линии» учащиеся:
- проявили способность в мобилизации полученных ранее знаний;
- использовали практический опыт взрослых;
- проявили способность в доказательстве (обосновании) своей точки зрения;
- сумели организовать взаимосвязь прошлых и настоящих знаний в решении конкретной ситуации, то есть пользовались приобретенными ранее компетенциями.
Знания, полученные таким образом, оказываются более прочными и качественными.
В соответствии с программой «Школа 2000...» (Л. Г. Петерсон) понятие «длина ломаной линии» формируется параллельно с понятием «периметр» во втором классе следующим образом.
Учитель ставит цель: уточнить понятия «ломаная», «многоугольник». Ввести понятия «длина ломаной линии», «периметр многоугольника».
На экран проецируется слайд (рис. 7).
Учащимся предлагается внимательно рассмотреть изображенные фигуры и установить, как называется каждая из них.
Учащиеся определяют, что фигуры АВСДЕ, CEFK, АВС -незамкнутые ломаные линии, а фигура MLKPN - замкнутая ломаная линия (многоугольник, а точнее - пятиугольник). Остальные две фигуры ломаными линиями не являются: одна из них АВ - отрезок, другая ВС - луч.
- Назовите элементы ломаных линий. (- Вершины, звенья.)
- Сколько звеньев содержит ломаная линия АВСДЕ? Назовите их. Сколько у нее вершин? (- У ломаной линии АВСДЕ четыре звена: АВ, ВС, СД, ДЕ и пять вершин).
А
Рис. 7
Аналогичным образом характеризуются другие ломаные линии. Каждый ученик получает карточку (рис. 8).
В
А Е
1 С С
Рис. 8
Задание 1. Измерьте длину каждого звена ломаной линии и найдите длину всех звеньев ломаной линии АВСДЕ (длины звеньев выражены целым числом сантиметров).
Решение. АВ = 3 см, ВС = 2 см, СД = 5 см, ДЕ = 3 см.
Ответ: длина всех звеньев ломаной линии АВСДЕ равна 3 + 2 + 5 + 3 = 13 (см).
Учитель уточняет: «Длиной ломаной линии называется сумма длин ее звеньев (образующих ее отрезков). Если ломаная замкнутая (многоугольник), то ее длина называется периметром».
Задание 2. Найдите периметры многоугольника АВСД (рис. 9). Длины сторон многоугольника выражены целым число сантиметров.
В т м
С
-А
Д
К N
Рис. 9 Рис. 10
Решение. АВ = 4 см, ВС = 3 см, СД = 2 см, ДА = 7 см
4 + 3 + 2 + 7 = 14 (см).
Ответ: периметр многоугольника АВСД равен 14 сантиметрам.
Задание 3. Найдите периметр прямоугольника АВСД (рис. 10): а) в сантиметрах; б) в клеточках.
Учащиеся должны вспомнить, что противоположные стороны прямоугольника равны (по программе Л.Г. Петерсон к этому времени рассмотрено понятие «прямоугольник», свойства длин противоположных сторон прямоугольника). Поэтому для нахождения периметра прямоугольника достаточно знать его длину и ширину.
Решение.
а) 3 + 5 + 3 + 5 = 16 (см).
б) 6 + 10 + 6 + 10 = 32 (кл.).
Выполнение предложенных заданий приводит учащихся к выводу: периметр многоугольника - это сумма длин всех его сторон.
Не менее важным является решение в этот период заданий по нахождению длины одной стороны многоугольника по его периметру и известным длинам других сторон многоугольника. Выполняются задания типа: периметр многоугольник АВСД равен 84 см. Найдите длину стороны АД, если АВ = 15 см, ВС = 31 см, ДС = 16 см? А так же решение текстовых задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц типа: одна сторона треугольника равна 56 см, вторая на 15 см длиннее, чем первая, а третья сторона - на 28 см короче, чем вторая. Найдите периметр треугольника. Известны учащимся так же задачи на нахождение части и целого: длины сторон многоугольника - это части периметра, а периметр - целое.
Таким образом, в соответствии со стратегией модернизации образования происходит интеграция в учебный процесс ключевых базовых компетенций, включающих не только традиционные умения читать, писать и считать, но и расширение этих умений в таких направлениях как:
1. Работа со всеми видами информации: текстовой (письменная фиксация речи); числовой (измерение количественных характеристик объектов); звуковой (устная речь); графической (рисунок, чертеж, схема).
2. Расширение способов работы с информацией и повышение самостоятельной роли учащихся в работе (создание, поиск, сбор, анализ, организация, передача информации, моделирование, проектирование, построение объектов, активная деятельность), совместная деятельность, рефлексия и самообучение.
Как видим, основы этих компетенций могут закладываться в начальной школе. Реализация этих направлений в учебном процессе позволила сделать серьезный шаг в направлении развития способности учащихся к использованию полученных ранее школьниками знаний.
Введение и использование в учебном обиходе понятий «ключевые компетенции» и «компе-тентностный подход» в системе непрерывного образования позволяют повысить эффективность результатов обучения, повысить в целом качество начального математического образования. Таким образом, «. качество человека и качество образования выступают неотъемлемыми частями, важнейшим средством, и важнейшим результатом восходящего воспроизводства качества общественного интеллекта. Образование как процесс становится одной из главных «технологий» жизни человека» [4].
Говоря о качестве образования, мы должны учитывать тот факт, что речь идет о преодолении мирового образовательного кризиса, этап которого оценивается как переход к третьей за историю существования человечества образовательной революции: от технократического образования к постиндустриальному информационному, а затем к формации образовательного общества -перехода на «модель устойчивого развития». Человеческая история вступает в фазу «образовательного общества» или «образовательной цивилизации», когда «.одним из принципов развития общества становится принцип опережающего развития образовательных систем в обществе» [1]. Качество обучения выступает, таким образом, важнейшим системообразующим и движущим фактором образования.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Будяков С.В социально-философские основания и логика образовательной революции. Автореф. док. дис. Новгород, 2000.
2. Математика. Учеб. для 2 кл. нач. шк. В 2 ч. / М.И. Моро, М. А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. М., 2003. Ч. 1.
3. Моро М.И., Волкова С.И. Степанова С.В. Математика: учебник для 1 кл. нач. шк. В 2ч. М., 2002. Ч.1.
4. Суббето А. И. Генезис о качестве (квалитологии): проблема становления науки о качестве в ретроспективе // Научно-технический прогресс и развитие сов. общества / мат-лы XV Международного симпозиума. Горький, 1987.
А.В. Тихоненко, Ю.В. Трофименко
ФОРМИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ И ПОНЯТИЙ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ФУЗИОНИЗМА
Изучение геометрии развивает логическое мышление и пространственное воображение субъектов обучения, что необходимо как для изучения других образовательных линий, изучаемых в школе, так и становления всесторонне развитой личности.
Однако практика работы школ, результаты ЕГЭ, тестирование выпускников показывают, что более половины выпускников школ имеют поверхностные знания по геометрии. Значительные трудности в усвоении элементов геометрии наблюдаются на начальном этапе изучения каждого из таких разделов геометрии как «Планиметрия» и «Стереометрии».
Проведенный нами анализ показал, что основными причинами обозначенных недостатков являются:
