CC BY
187
РЕАЛИЗАЦИЯ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ МАТЕРИАЛУ В 1-6 КЛАССАХ
©2013
Омарова А.А., Шугаипова З.М. Дагестанский государственный педагогический университет
В статье приведены пути и средства совершенствования изучения алгебраического материала учащимися начальных классов в процессе обучения математике на основе формирования универсальных учебных действий. Раскрываются разные способы работы над усвоением алгебраического материала, в том числе и уровневый подход во время проведения внеурочной работы, предложен аспект перевода на национальные языки Республики Дагестан.
The article indicates measures and ways to elaborate the learning of algebraic material by students within the process of teaching mathematics in primary classes. This can be achieved through formation of universal teaching activities. The article exposes various ways to learn algebraic material including level-based approach at extracurricular work and it also suggests translating such materials into Dagestan national languages.
Ключевые слова: Федеральный государственный образовательный стандарт, универсальные учебные действия, преемственность, элементы алгебры, алгебраический материал, учащиеся начальных классов.
Keywords: Federal state educational standard, universal teaching activities, succession, elements of algebra, algebraic material, programmes analysis, translation into native languages, primary schoolchildren.
Роль и место математики в системе непрерывного образования определяется значением математических знаний, умений и навыков в умственном развитии учащихся, их логического мышления, ряда важнейших качеств личности.
В условиях демократизации общества, введения стандарта 2 поколения, появления новых типов школ, вариативности программ обучения возникает необходимость совершенствования содержания математического образования на каждой ступени обучения, обеспечения преемственности между ними. При этом особую остроту приобретает проблема преемственности между начальным и средним звеньями обучения, и в частности, пропедевтическим и систематическим курсами в связи с появлением альтернативных программ и учебников по математике для учащихся начальных классов.
Процесс обеспечения преемственности будет эффективным, если:
- в систему упражнений включить задания, направленные на реализацию различных аспектов алгебраической линии: упражнения, ориентированные на пропедевтику элементов алгебры в процессе изучения числовой линии; упражнения, способствующие формированию приемов преобразований числовых и буквенных выражений; упражнения, направленные на пропедевтику и изучение линии уравнений;
- включить задания, направленные на формирование обобщенных знаний учащихся о свойствах арифметических действий, умений их использовать для рационализации вычислений, сравнения числовых и буквенных выражений, доказательства верности равенств и неравенств;
- обеспечить опору на теорию формирования научных понятий и на единый подход к трактовке алгебраической терминологии на разных этапах обучения;
- система упражнений содержит группы заданий, способствующих организации дифференцированного обучения.
Специфические условия обучения в дагестанской национальной школе требуют также учета особенности обучения математике, формирование алгебраических понятий в различных классах (со смешанным национальным составом, где обучение ведется на родном языке).
Востребованность факультативных курсов по математике в школе достаточно велика; и в особенности, в начальных классах, в связи с появлением новых типов школ, вариативных учебных заведений, альтернативных программ и учебников по математике.
С учетом требований и положений к отбору содержания, обеспечивающих
совершенствование преемственности в обучении алгебраическому материалу, их проверки в опытно-экспериментальном обучении в 1-6 классах, нами составлены система упражнений и программа факультативного курса изучения элементов алгебры.
Предлагаемая нами система упражнений инвариантна относительно содержания на различных этапах обучения и обеспечивает преемственность в обучении элементам алгебры учащихся 1-6 классов по основным содержательным линиям.
Подробно остановимся на реализации преемственности в обучении решению уравнений, которые занимают центральное место в школьном курсе алгебры, имеют важное теоретическое значение.
Подавляющее большинство задач о пространственных и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений, с простейшими из которых учащиеся знакомятся уже в курсе математики начальной школы. В первом классе при изучении сложения и вычитания в пределах первого десятка начинается подготовительная работа по изучению уравнений, путем широкого использования деформированных примеров, в которых один из компонентов восстанавливается по результату и другому компоненту. Например, вставьте в «окошко» число:
6+ □ =9, 9 - □ =4.
После введения понятия «равенства» характер задания меняется, поскольку необходима другая формулировка задания: вставьте в окошко число, чтобы получилось верное равенство. При этом ученик путем подбора должен найти подходящее число. Однако на практике мы наблюдаем, что характер задания, предлагаемого учителями при решении деформированных примеров, оставался один и тот же (вставьте число в «окошко»), что не способствует подготовке к введению понятия «уравнения».
Метод подбора применяется первоначально и после знакомства с понятием «уравнение». Так, в учебнике математики 4 класса (1-4, 2010 г., с. 133) говорится: «х+4 = 12. Буквой х (икс) обозначено неизвестное число, которое надо найти.
х + 4 = 12 - это уравнение.
Решим уравнение: узнаем, какое число надо подставить вместо х, чтобы равенство было верным. Это число 8, так как 8 + 4 = 12 - верное равенство».
Наряду с методом подбора происходит ознакомление учащихся и с другими приемами решения уравнения, используя таблицы сложения и умножения; натуральный ряд чисел, числовой луч и т. д. Так, одним из приемов решения уравнений: х + 2 = 8, 8-х = 4 является представление компонентов уравнения в виде отрезка и его частей и установление зависимости между целым и его частями:
х 2
8
х 4
А уравнения 2+х = 8, 1 5: х =3 можно решить на основе зависимости между длинами сторон прямоугольника и его площадью.
х
2
х
3
Связь между данной операцией и обратной прослеживается при ознакомлении учащихся способом решения уравнений при помощи «машины».
Для нахождения неизвестного числа применяется «обратная машина», которая отнимает 2. В результате получаем, что решением уравнения является число 6 = 8-2.
Такой подход активизирует познавательную деятельность учащихся, способствует осуществлению связи решения уравнений с другими вопросами курса математики, формирует
навыки самоконтроля.
-2
Следующий этап связан с ознакомлением учащихся с арифметическим методом решения уравнений, на основе зависимости между компонентами и результатами действий, применяемый в качестве основного при решении уравнений в начальных классах. При этом отмечаем, что метод применим только к уравнениям, имеющим особую структуру (переменная содержится только в одной части уравнения). Применяя метод, школьники учатся определять структуру записанного в одной части уравнения выражения и многократно применять правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя (6 правил). Отличительной особенностью действующей программы по математике выступает то, что громоздкие уравнения, которые решались «арифметическим» методом, изъяты из курсов 1-4 классов, а основное внимание уделяется решению уравнений, содержащих только одно действие. В связи с этим нами при проведении внеурочной работы по математике, на факультативных занятиях предусматривается решение уравнений, содержащих 2-3 действия, где рекомендуется строить «модель» уравнения с натуральными числами в пределах первого десятка, располагая числа в левой части страницы:
□ +2 = 3 (4х- 2)- 3 +6 =36
□ •2 = 3 (4х- 2)- 3 =30
□ -2 = 5 4х- 2=10
2 • □ = 6 4х=12
х=3
Выполнение этих упражнений в сочетании с названным выше приемом построения модели уравнения позволяет уже в VI классе предложить учащимся более сложные уравнения, содержащие дробные числа.
Например, решить уравнение
Главная Вставка Разметка страницы Ссылки Рассылки Рецензирование Вид Надстройк
Вырезать м , „ рГітеі №<4 По пап ▼ [12 А- А-© АаВЬСс! Да В |АаВЬСс1 Название Ц Обычный АаВЬСс. АаВЬСс] АаВЬСс! АаВЬО АаВЬСс! АаВЬСсй Подзагол... Строгий Ц Без инг... Заголово... Слабое в... Сильное в... АаВЬСс1 АаБЬСсл *
■—1 Копировать Вставить . у Формат по образцу Ж К ч ак X, Xі Аа ||а^- Выделение Цитата 2 Выделенн... - Изменить
Буфер обмена ^ Шрифт Абзац Стили и
4- Вь
Например, решить уравнение
,3 . 1, 6 1 3
(- х Н—)•------------— -
4 6 11 8 8
пт з /3 16 1 3
1_1 - 2 — 3 (-х + -)---= -
4 6 11 8 8
П Т I (3 _1_ Ч 6 1
и • 2 = 4 (— л" Н—)— = -
4 6 11 2
пт, 3 , 1 11
□ +3 = 4 -х + - = —
3 9
2*0=4 £л- = —
х 1
4 6 12
3 9
-х = —
4 12
1 пн +м ^ш
Страница: 4 из 7 | Число слов: 2 483 1 ^ русский
3 С:\АЛЕФ\~Для леча. Ц ПП_2013_1_макет... к* Панель управления АйоРе РПойзИор ЦІ омарова шугаипов...
Кроме того, на факультативных занятиях предусматривается знакомство учащихся с решением уравнений типа: 2х+3х=10, 2х=10+8, 2х+5х=9+12, легко приводимых к простым, при упрощении левой (правой) части или обеих частей, что способствует формированию навыка приведения подобных слагаемых - необходимого качества при решении уравнений.
Введение понятия «отрицательного» числа позволяет ознакомить учащихся с более универсальным методом решения линейных уравнений на основе использования свойств числовых равенств, появление которого приводит к забыванию арифметического метода решения уравнений. При этом с момента появления метода утрачиваются навыки решений уравнении «арифметическим методом». Так, решая уравнения 4-х=12 или 8:х=16, учащиеся традиционно допускают ошибки при нахождении неизвестного вычитаемого и делителя, записывая их решения таким образом: х=12-4 и х=16:8. Аналогичные ошибки допускались и при решении уравнений: х10=5 (пишут х=10:5) и 20+х=10 (х=20-10).
Мы обнаружили, что предложение решить уравнение «двумя» или «несколькими» способами, под одним из которых подразумевается «арифметический», активизирует учащихся, заставляет вспомнить формулировки правил, развивает математическую речь.
Подготовительная работа к усвоению метода решения уравнений на основе свойств числовых равенств начинается с введения понятия «простое уравнение». При этом уравнение считается простым, если в одной его части содержится только одна буква, а в другой части -число. Например: х=16, у=3 - это примеры простых уравнений, а уравнения х-2=5, у+3=6 - не простые.
Особое место в экспериментальном обучении занимают упражнения на перевод простых уравнений в непростые (и наоборот) на основе использования свойств числовых равенств. При решении таких упражнений учащиеся вначале выполняют задания на составление непростых уравнений путем прибавления к обеим частям простого уравнения одного и того же числа, а затем вычитание из обеих частей одного и того же числа. Например: составьте простые уравнения, прибавив к обеим частям одно и то же число, составьте непростые уравнения; найдите решение полученного непростого уравнения. Что вы заметили?; составьте три непростых уравнения и найдите их решения. Что вы заметили?
В последующем выполняются задания, связанные с переводом непростых уравнений к простым, где важное место занимают упражнения, связанные с решением уравнений с использованием весов (качелей). Выполнение их, с одной стороны, способствует привитию
навыков работы с приборами, а с другой - осуществлению связи изучения математики с жизнью.
Наряду с уравнениями, имеющими только одно решение, в экспериментальном обучении нами также рассматриваются уравнения, имеющие 2, 3 и более корней, а также не имеющие ни одного корня. Следует отметить особое место в экспериментальном обучении упражнений на доказательство общих утверждений, содержащих кванторы общности (любой, каждый, всякий и т. д.) и существования (существует, хотя бы один, некоторые и т. д.). Например: докажите, что существует натуральное число, являющееся решением уравнения 2х=4; докажите, что любое из данных чисел: 1, 2 , 3, 4, 5 является решением уравнения: х+х+3=2х+1+2.
Значительное место во внеурочной работе отводится решению задач, связанных с составлением уравнения, поскольку по мере знакомства с каждым типом уравнения с 1 по 6 класс обеспечивается решение соответствующего класса задач. При этом особое внимание уделяется упражнениям и заданиям вида: составьте выражения для решения задачи; найдите его значение при заданном значении буквы; составьте задачу, которая решается с помощью заданного выражения (вначале числового, а затем буквенного); обоснуйте смысл буквенного выражения, составленного для решения задачи, если в ее условии определены конкретные смысловые значения буквы, например: «Цена футболки а рублей, а цена рубашки б рублей». Какой смысл имеет выражение: а+б; а-б?»; запишите зависимость задачи в виде равенства; решите задачу с помощью уравнения; придумайте задачу, которая решалась бы с помощью заданного уравнения; составьте похожую задачу с другими величинами.
Параллельно с решением задач учащиеся выполняют задания на составление уравнений по нахождению задуманного неизвестного числа, с постепенным нарастанием сложности, предлагаемые с 1 по 4 классы.
При изучении математики в 5 классе существенная часть времени отводится на повторение того, что учащиеся должны были усвоить в начальной школе, что практически во всех учебниках занимает полторы учебной четверти. При этом учителя математики средней школы недовольны уровнем подготовки выпускников начальной школы.
Анализ учебников математики начальной школы (М. И Моро, И. И. Аргинская, Н. Б Истомина, Л. Г. Петерсон, В. В. Давыдов, Б. П. Гейдман) выявил несколько моментов, в большей или меньшей степени присутствующих в каждом из них и отрицательно влияющих на процесс обучения. Прежде всего это то, что усвоение материала в них в большей мере основано на заучивании, ярким примером которого служит заучивание таблицы умножения. В начальной школе её запоминанию уделяется много времени, которая за время летних каникул забывается по причине механического заучивания. По мнению Л. С. Выготского, осмысленное запоминание гораздо эффективно, чем механическое, что убедительно подтверждают проведённые эксперименты, что материал попадает в долговременную память, только если он запомнен в результате соответствующей работы. При изучении материала в начальной школе упор делается на предметные действия и иллюстративную наглядность, что ведёт к формированию эмпирического мышления. Конечно, без подобной наглядности вряд ли можно обойтись в начальной школе, но она должна служить лишь иллюстрацией того или иного факта, а не основой формирования понятия. Кроме того, применение иллюстративной наглядности и предметных действий, встречаемых в учебниках, нередко приводит к тому, что «размывается» само понятие. Например, в учебнике математики М. И. Моро детям приходится выполнять деление, раскладывая предметы на кучки или делая рисунок на протяжении 30 уроков. За подобными действиями теряется сущность операции деления как действия, обратного умножению, в результате деление усваивается с наибольшим трудом и значительно хуже, чем другие арифметические действия.
При обучении математике в начальной школе нигде не используется доказательство каких-либо утверждений, которое в средней школе вызывает трудность, вследствие чего важно начинать готовить к этому в начальных классах, причём на вполне доступном для младших школьников материале. Например, правило деления числа на 1, нуля на число и числа на само себя, где учащиеся, используя определение деления и соответствующие правила умножения, в состоянии доказать их.
В начальной школе допускается работа с буквами и буквенными выражениями, несмотря на то, что большинство учебников избегает использования букв, в результате чего четыре года школьники работают практически только с числами, после чего, конечно, очень трудно приучаться к работе с буквами. При этом научить школьников подстановке числа вместо буквы в буквенном выражении можно уже в начальной школе. Так, в учебнике Л. Г. Петерсона с 1 класса буквенная символика вводится наряду с числами, а в некоторых случаях - опережая их, все правила и выводы сопровождаются буквенным выражением. Например, урок 16(1 класс 2 часть) по теме «Нуль» знакомит детей с вычитанием нуля из числа и числа из самого себя, делая вывод следующей записью: а -0=а а-а=0.
Урок 30, 1 класс по теме «Задачи на сравнение», включает в себя работу с упражнениями на сравнение вида: а*а-3, в+4*в+5, с+0* с-0, д-1*д-2, решение которых заставляют ребенка мыслить и искать доказательство выбранного решения.
Процесс совершенствования обучению математике будет эффективным, если обеспечить создание учебников математики для начальной школы, в которых, начиная с первых же дней учебы, школьники знакомятся со специальными терминами и оборотами речи (прибавить, вычесть, сравнить, выражение, уравнение и т. д.), которые должны войти в активный словарь учащихся. При этом слова должны систематически повторяться в упражнениях, включаться в упражнения на уроках письма (с ними составляются предложения и задачи, они привлекаются при ответах на вопросы и т. д.). Следовательно, при разработке системы упражнений важно в полной мере обеспечить не только совершенствование традиционно изучаемого материала в 1-6 классах, но и его углубление и расширение, что обеспечит преемственность на уровне: усвоения материала, связанного с традиционно изучаемым на уроках математики и обычно не выходящего за его пределы, но дополненного и переработанного с целью обеспечения (более успешной, чем традиционно) преемственности; материала, с одной стороны, помогающего глубже и разносторонне осознать материал первого уровня, а с другой - направленного на расширение алгебраических знаний учащихся с ориентиром на полное обеспечение преемственности в изучении алгебраического материала в 1-6 классах и перспективности в старших классах.
Материал первого уровня в основном изучается на уроках математики, а второго уровня целесообразно проводить на факультативных занятиях по алгебре, на которых учитель имеет возможность выйти за рамки школьной программы, апробировать новое содержание, различные дидактические приемы, методы и средства. При этом востребованность факультативных курсов по математике в школе достаточно велика; и в особенности, на начальной ступени в связи с появлением новых типов школ, вариативных учебных программ, альтернативных учебников и т. д.
Примечания
1. Давыдов В. В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте / под ред. А. В. Петровского. М. : Педагогика, 1973. 2. Доронина И. М. Использование методики УДЕ на уроках математики // Начальная
школа. 2000. № 11. С. 29-30. 3. Волошкина М. И. Активизация познавательной деятельности младших
школьников на уроке математики // Начальная школа. 1992. № 10. 4. Коган В. Ф. О свойствах
математических понятий. М. : Наука, 1984. 5. Пентегова Г. А. Развитие логического мышления на уроках
математики // Начальная школа. 2000. № 11. 6. Колмогоров А. Н. О профессии математика. М. :
Педагогика. 1962. 7. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. СПб.: Изд-во «Питер», 1999.
Статья поступила в редакцию 23.02.2013 г.
