Формирование оценочной модели устойчивости с использованием дискриминантного анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Экономические науки Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 3 (3), с. 235-238

УДК 338.33

ФОРМИРОВАНИЕ ОЦЕНОЧНОЙ МОДЕЛИ УСТОЙЧИВОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИСКРИМИНАНТНОГО АНАЛИЗА

© 2013 г. Н.А. Смирнова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

miss_n_2006@mail.ru

Поступила в редакцию 08.07.2013

Излагается возможность применения дискриминантного анализа в создании оценочной модели устойчивости. Раскрываются основные аспекты дискриминантного анализа и предлагается методика для формирования оценочной модели. Основная цель получения оценочной модели заключается в разработке нового подхода оценки устойчивости, что является актуальным в условиях ускоренного развития промышленных предприятий.

Ключевые слова: устойчивость, дискриминантный анализ, модель, оценка.

В настоящее время, несмотря на исследование зарубежных и отечественных ученых и специалистов, имеется необходимость в развитии методов оценки устойчивого функционирования предприятий для эффективного управления процессом развития предприятий.

Понимание того, что существующие методы оценки устойчивости не соответствуют целям ускоренного развития промышленных предприятий, привело к необходимости предложить новые подходы к оценке устойчивости, что и обусловливает актуальность данного исследования.

Дискриминантный анализ - это раздел математической статистики, содержанием которого является разработка методов решения задач различения (дискриминации) объектов наблюдения по определенным признакам. Например,

разбиение совокупности предприятий на несколько однородных групп (устойчивых и неустойчивых) по значениям каких-либо показателей производственно-хозяйственной деятельности [1].

Применение метода дискриминантного анализа имеет целью построение модели, предсказывающей, к какой из групп относятся предприятия (объекты), исходя из набора предсказывающих переменных [2; 3].

Рассмотрим геометрическую интерпретацию дискриминантного анализа. На Рис. 1 изображены объекты (предприятия), принадлежащие двум различным множествам Б1 и Ю2 (устойчивые и неустойчивые предприятия).

Каждый объект характеризуется в данном случае двумя переменными у1 и у2. Если рассматривать проекции предприятий (точек) на

каждую ось, то эти множества пересекаются, т.е. по каждой переменной отдельно некоторые множества (устойчивые и неустойчивые предприятия) имеют сходные характеристики. Чтобы наилучшим образом разделить два рассматриваемых множества, нужно построить соответствующую линейную комбинацию переменных У\ и У2.

Для двумерного пространства эта задача сводится к определению новой системы координат. Причем новые оси 2 и V должны быть расположены таким образом, чтобы проекции предприятий, принадлежащие разным множествам, были максимально разделены осью 2, что позволяет их поделить на устойчивые и неустойчивые. Ось V перпендикулярна оси 2 и разделяет два «множества» точек так, чтобы множества оказались по разные стороны от этой прямой. При этом вероятность ошибки классификации должна быть минимальной. Сформулированные условия должны быть учтены при определении коэффициентов Х\ и х2 следующей функции:

ф(у) = ХУ 1+ Х2У2. С1)

Функция ф(у) называется канонической дискриминантной функцией, а величины у1 и у2 -дискриминантными переменными.

Обозначим уру - среднее значение у-го признака у объектов р-го множества. Тогда для множества Б1 среднее значение функции ф(у) будет равно:

Ф1(>0 = Х\У\\ + х2у12 . (2)

Для множества 02 среднее значение функции ф2(У) равно:

ф2(У) = Х1у21 + Х2у22 . (3)

Геометрическая интерпретация этих функций - две параллельные прямые, проходящие через центры множеств (Рис. 2).

Методика формирования оценочной модели дискриминантного анализа представлена на Рис. 3 [4; 5; 6].

Блок 1. Расчет вектора средних значений по каждой переменной для каждой группы (устойчивых и неустойчивых предприятий). В данном блоке на основе исходных данных матриц Як (к = 1, 2,..., д) формируется вектор-столбец:

Як =

я;

(4)

Элементами вектора являются средние значения показателей, которые определяются по формуле:

Щ = Х?=14 ,У = 1,2, - У, к = 1,2, ... Ч . (5)

Блок 2. Определение ковариационных матриц для каждой группы.

Для каждого обучающего подмножества определяются ковариационные матрицы размером уху по формуле:

^=у Ъ1-М -як рк

Р]

г,

(6)

где Т означает транспонирование.

Блок 3. Расчет объединенной ковариационной матрицы.

Нами определены две группы предприятий (устойчивые и неустойчивые) (к = 1, 2), поэтому объединенная ковариационная матрица определяется по формуле:

С =----1-(рБ 1 + Р2 Б 2 ). (7)

Р+Р-2'1 2 !

Блок 4. Расчет обратной ковариационной матрицы.

к

к

2

НАЧАЛО

_______________________ I _________________________

Блок 1. Расчет вектора средних значений по каждой переменной для каждой группы

Я? 0=1,2......3; к = 1,2)

I

Блок 2. Определение ковариационных матриц для каждой группы

5*(к = 1,2)

І

Блок 3. Расчет объединенной ковариационной матрицы

С

+

Блок 4. Расчет обратной ковариационной матрицы

С*1

I ~

Блок 5. Расчет дискриминантных множителей а1, а2,... ,а,

У

Блок 6. Расчет по каждому объекту значения дискриминантной функции

фря — а1^рп1 + ^ 3

р(р=и,...,р)

I

Блок 7. Расчет средних значений для каждой группы Ф'1(к = 1,2)

і

Блок 8. Определение константы дискриминации Ф

КОНЕЦ

Рис. 3. Методика формирования оценочной модели дискриминантного анализа Источник: Составлено автором.

Расчет обратной матрицы выполняется по формуле:

с -=С *С- (8)

где |С| - определитель (С ^0) ковариационной

матрицы С; С - присоединенная матрица, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы С.

Блок 5. Расчет дискриминантных множителей.

Основной целью дискриминации является нахождение такой линейной комбинации переменных (дискриминантные переменные), которая бы оптимально разделила рассматриваемые группы. Канонической дискриминантной функцией называется линейная функция с неизвестными коэффициентами ар:

Фкр = а1Яр>1 + а2Ккр2 +... + а]Ккр],к = 1,2; р = 1,2,...,Р, (9)

где Фр - значение дискриминантной функции для Р-го объекта; Якр- значение дискриминантной функции для Р-го объекта в группе к.

С геометрической точки зрения дискриминантные функции определяют гиперповерхности в у-мерном пространстве. В частном случае при у = 2 функция является прямой, а при у = 3 -плоскостью.

Вектор коэффициентов а (дискриминантные множители) определяется по формуле:

а = С ^1 - Я 2) . (10)

Данная формула получена с помощью метода наименьших квадратов из условия обеспечения наибольшего различия между дискриминантными функциями. Наилучшее разделение двух обучающих множеств обеспечивается сочетанием минимальной внутригрупповой вариации и максимальной межгрупповой вариации.

Блок 6. Расчет по каждому объекту значения дискриминантной функции.

По каждому объекту (предприятию) (р = 1, 2, ... , Pk) множества Рк(к = 1,2) определяется соответствующее значение дискриминантной функции:

(11)

Фкр = aRi +... + aRP.

Блок 7. Расчет средних значений по каждой группе.

Расчет средних значений по каждой группе выполняется по формуле:

уРк Ф к -¿к у р=1 р

Фк =.

Р,

к = 1,2.

(12)

Блок 8. Определение константы дискриминации.

Для отнесения новых объектов необходимо определить границу, разделяющую в частном случае две рассматриваемые группы: устойчивые предприятия и неустойчивые предприятия. Такой величиной является константа дискриминации, которая определяется по формуле:

_ yq Фк

гЪ - ук=1Ф

Ф =

q

(13)

Таким образом, на данном этапе определяются дискриминантная функция; среднее значение дискриминантной функции по каждой группе (устойчивых и неустойчивых предприятий); константа дискриминации.

На материале отчетности предприятий химического комплекса (39 предприятий) нами был проведен дискриминантный анализ и получена линейная функция. Практические резуль-

таты апробации данной функции определили высокую степень точности оценки устойчивости предприятия [7; 8].

Список литература

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/%C4%E8%F1%EA %Р0%Е8%ЕС%Е8%ЕВ%Е0%ЕВ%Р2%ЕБ%РВ%Е9_ %Е0%ЕВ%Е0%ЕВ%Е8%Е7 (дата обращения 20.02.2013).

2. Орлова И.А, Половников В.А. Экономикоматематические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособие. М.: Инфра-М, 2008. 365 с.

3. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. М.: Вузовский учебник, ИНФРА-М, 2012. 140 с.

4. Методика оценки и анализа финансовой устойчивости предприятия // Контроллинг процессов: теория, практика: Сборник научных трудов / Под ред. М.Н. Павленкова. Нижний Новгород: Изд-во ВВАГС, 2011. С. 121-128.

5. Павленков М.Н., Смирнова Н.А. Оценка устойчивости функционирования предприятия // Контроллинг. 2011. № 4(41). С. 80-95.

6. Смирнова Н.А. Оценка и прогнозирование уровня финансовой устойчивости предприятия // Материалы I Международного Конгресса по контроллингу. Вып. 1 / Под науч. ред. С.Г. Фалько. М.: НП «ОК», 2011. С. 112-117.

7. Павленков М.Н., Смирнова Н.А. Прогнозирование устойчивого развития предприятия // Контроллинг. 2012. № 4(45). С. 62-78.

8. Смирнова Н.А. Один из подходов к прогнозированию финансовой устойчивости предприятия. Контроллинг процессов: теория, практика: Сборник научных трудов / Под ред. М.Н. Павленкова. Нижний Новгород: Изд-во ВВАГС, 2010. С. 98-112.

THE FORMING OF A VALUATION MODEL FOR SUSTAINABILITY USING DISCRIMINANT ANALYSIS

N.A. Smirnova

The article describes the possibility of application of discriminant analysis in a valuation model of sustainability. The author reveals the main aspects of discriminant analysis and proposes a methodology to form a valuation model. The main purpose of obtaining a valuation model is to develop a new approach to sustainability assessment, which is relevant in the conditions of rapid development of industrial enterprises.

Keywords: sustainability, discriminant analysis, model, assessment.