CC BY
37ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2016, том 26, № 3, c. 50-56
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ -
И МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИБОРОСТРОЕНИИ
УДК 543.51+ 681.2-5
© В. В. Манойлов, Ю. А. Титов, А. Г. Кузьмин, И. В. Заруцкий
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ И КЛАССИФИКАЦИИ МАСС-СПЕКТРОВ ВЫДЫХАЕМЫХ ГАЗОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИСКРИМИНАНТНОГО АНАЛИЗА
В работе рассматриваются методы классификации масс-спектров, основанные на использовании линейного дискриминантного анализа. Рассмотрена задача классификации людей по группам здоровья на основе анализа масс-спектров выдыхаемых газов. Приводятся примеры апробации предлагаемых методов.
Кл. сл.: масс-спектрометр, линейный дискриминантный анализ, классификация масс-спектров
ВВЕДЕНИЕ
В работе рассматривается применение линейного дискриминантного анализа [1-3] для решения задач классификации масс-спектров. Дискриминантный анализ является разделом многомерного статистического анализа [4-8], который включает в себя методы классификации многомерных наблюдений по принципу максимального сходства анализируемых наблюдений с наблюдениями, отнесенными к определенным классам по результатам обучения. В данной работе методы дискрими-нантного анализа рассмотрены на примере классификации людей по группам здоровья на основе анализа масс-спектров выдыхаемых газов. Такая классификация может быть полезна в том числе при проведении массовых скрининговых профилактических осмотров населения. В качестве примера использования данного метода в аналитическом приборостроении рассматривается обработка масс-спектров, полученных на квадрупольном масс-спектрометре МС7-200 с электронной ионизацией и с прямым капиллярным вводом пробы при анализе наличия патологий по спектрам выдыхаемых газов. Забор выдыхаемого человеком воздуха осуществлялся в специальные тестовые емкости, после чего производился анализ. Исследования возможностей выявления патологий по масс-спектрам выдыхаемых газов были описаны в работах [9-11].
Показано, что дискриминантными признаками для классификации могут служить значения амплитуд на определенных массах линейчатого масс-спектра.
Целью данной работы является разработка методов вычисления дискриминантных функций для исследуемых объектов и констант дискриминации.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА МАСС-СПЕКТРОВ
На этапе предварительной обработки масс-спектров производится преобразование исходной аналоговой информации в линейчатый масс-спектр, содержащий значения интенсивностей ионного тока от массы 50 до 112 [13]. Во всех экспериментах количество масс было равно 64. Линейчатый спектр получается после фильтрации и сглаживания шумов в исследуемом сигнале и последующего обнаружения спектральных линий в обработанном сигнале. Спектральные линии в масс-спектре (линейчатый спектр) получаются с помощью корреляционного алгоритма обнаружения, в основе которого лежат вычисления свертки исходных сигналов с функциями, описывающими форму одиночного пика. После этого производится нормализация по амплитуде максимального пика. На рис. 1 представлен спектр исходного сигнала, полученный в результате регистрации выдыхаемого газа. Отрицательные значения являются результатом вычитания из зарегистрированного сигнала масс-спектра окружающего воздуха. На рис. 2 представлен линейчатый спектр после фильтрации и корреляционного обнаружения.
Вторым шагом этапа предварительной обработки является выявление масс-спектров выдыхаемых газов, содержащих явные патологии. Например, если отношение интенсивности ионного тока на массе 58 (ацетон) к сумме интенсивностей всех остальных пиков или к интенсивности на массе 60 (acetic acid, уксусная кислота) превышает определенный порог, то такой масс-спектр сразу же относят к классу больных, в дальнейшей обработке необходимости нет.
Рис. 1. Исходный масс-спектр
Рис. 2. Линейчатый масс-спектр
Рис. 3. Эталонный масс-спектр
Третьим шагом этапа предварительной обработки является отбор масс-спектров здоровых людей для их включения в обучающую выборку. Необходимость выполнения этого шага объясняется тем, что даже в масс-спектрах практически здоровых людей могут содержаться спектральные линии с амплитудами, характерными для масс-спектров больных людей. Выполнение этого шага осуществляется путем выявления масс-спектров, содержащих наименьшее отклонение от эталонно-
го масс-спектра, т. е. усредненного масс-спектра здоровых людей. На рис. 3 представлен эталонный масс-спектр.
Наименьшее отклонение от эталонного масс-спектра вычислялось по следующим алгоритмам (результаты даны в таблице): евклидово расстояние (N2), "сити-блок" — сумма модулей разности амплитуд по каждой массе (N1), максимальная разность компонент (ОТ) [16].
На основании проведенных вычислений в обучающую выборку масс-спектров были включены следующие спектры (нумерация согласно таблице): 4, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18.
ПРОВЕДЕНИЕ ДИСКРИМИНАНТНОГО АНАЛИЗА
Первым шагом проведения дискриминантного анализа является выделение 12 основных линий масс-спектра, по которым будет производиться классификация. Были выбраны следующие линии: 53, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 64, 67, 68, 70 и 71. Каждый вектор линейчатого спектра, содержащий 64 компонента, преобразуется в вектор линейчатого спектра, содержащий 12 компонент.
Все процедуры дискриминантного анализа можно разбить на две группы и рассматривать их независимо друг от друга. Первая группа процедур позволяет интерпретировать различия между существующими классами: первый класс — спектры выдыхаемых газов здоровых людей, healthy;
Отклонения экспериментальных спектров 1-18 от эталонного по трем метрикам N1, N2, NF
Номер Отклонение от точки-эталона
спектра N1 N2 NF
1 0.4258 0.1915 0.1560
2 0.6723 0.2386 0.1920
3 0.7071 0.2391 0.1860
4 0.5905 0.2246 0.1820
5 0.7173 0.2870 0.2530
6 0.4630 0.2327 0.2050
7 0.4784 0.2440 0.2160
8 0.0945 0.0677 0.055
9 0.4069 0.1355 0.078
10 0.3267 0.1294 0.071
11 0.2252 0.1279 0.1090
12 0.3002 0.1321 0.0990
13 0.2312 0.0923 0.0550
14 0.2952 0.1615 0.1410
15 0.3254 0.1548 0.1240
16 0.3812 0.2145 0.1920
17 0.7277 0.2312 0.0880
18 0.5093 0.1872 0.1030
второй класс — спектры выдыхаемых газов больных людей, pathology. Эту группу процедур называют обучение. Следующая группа процедур — это непосредственно классификация новых объектов в тех случаях, когда неизвестно заранее, к какому из существующих классов они принадлежат. Эту группу процедур называют классификация или дискриминантный анализ.
Пусть имеется множество единиц наблюдения — генеральная совокупность анализируемых масс-спектров. Каждая единица наблюдения — спектр — характеризуется несколькими признаками: x — значение интенсивности на j-й массе
V J
i-го спектра (i = 1,...,n; j = 1,...,p). Все множество спектров разбито на два подмножества: healthy и pathology. Из каждого подмножества взята выборка объемом nk, где k — номер подмножества (класса), k = 1,2 . Признаки, которые используются для того, чтобы отличать один класс (подмноже-
ство) от другого, называются дискриминантными переменными. Число объектов наблюдения должно превышать число дискриминантных переменных: p < n . Дискриминантные переменные должны быть линейно независимыми. Основной предпосылкой дискриминантного анализа является нормальность закона распределения многомерной величины. Это означает, что каждая из дискрими-нантных переменных внутри каждого из рассматриваемых классов должна быть подчинена нормальному закону распределения. Данная предпосылка для масс-спектрометрических сигналов выполняется, о чем свидетельствует ряд публикаций, например [14, 15].
Основная идея дискриминантного анализа заключается в том, чтобы определить, отличаются ли совокупности по среднему какой-либо переменной (или линейной комбинации переменных), и затем использовать эту переменную, чтобы предсказать для новых членов их принадлежность к той или иной группе. Канонической дискрими-нантной функцией называется линейная функция
dkm = ß0 + ß1 • X1km + - + ßp • Xpkm , (1)
где dkm — значение канонической дискриминант-ной функции для m-го объекта в группе k (m = 1, ..., n; k = 1, 2); xpkm — значение дис-
криминантной переменной для m-го объекта в группе k; ß0,ßj,...,ßp — коэффициенты дис-
криминантной функции.
С геометрической точки зрения дискриминант-ные функции определяют гиперповерхности в р-мерном пространстве. Коэффициенты ßt канонической дискриминантной функции выбираются таким образом, чтобы центроиды (средние значения) различных групп как можно больше отличались друг от друга. Коэффициенты второй группы выбираются так же, но при этом налагается дополнительное условие, чтобы значения второй функции были некоррелированы со значениями первой.
В качестве дискриминантных переменных могут выступать не только исходные (наблюдаемые) признаки, но и главные компоненты или главные факторы, выделенные в факторном анализе [1-3, 5]. В данной работе в качестве дискриминантных переменных использовались главные компоненты. Количество главных компонент определялось по коэффициентам спадающей функции латентных переменных (собственных значений).
Алгоритм выполнения дискриминантного анализа рассмотрим применительно к линейной дис-криминантной функции вида (1). Его основные этапы следующие.
1. Исходные данные представляются или в форме таблиц, или в форме матриц в виде двух подмножеств (обучающих выборок) Мк — матрицы Х(1), Х(2) — и подмножества М0 (матрица Х(0)) объектов, подлежащих дискриминации размером т х р . Исходные матрицы представлены ниже:
х(1) = ( г« Л1,1 Х(1) А 2,1 Х(1) • 1,2 Х(1) • 2,2 г(1) Л Х1, р ■ Х(1) 2, р
Х(1) V «1,1 Х(1) • «1,2 ■ Х(1) "V р )
N (2) * ( г(2) 1,1 Х(2) 2,1 Х(2) • 1,2 Х(2) • 2,2 г(2) Л 1,р • Х(2) 2, р
Х(2) V п 2,1 Х(2) • лп 2,2 Хп2,р ,
Рис. 4. График собственных значений. По горизонтальной оси — номер главной компоненты
Х(0) =
/V»
•4,1
л-(0)
г(0)
Х(0)
1,2 >-(0)
г(0)
х(0) Л
Ч Р
Ч р
(0) 'т р
X,
чество дискриминантных переменных было снижено до 6.
2. Определяются Х(. элементы векторов средних значений по каждому у-му признаку для 7 объектов внутри к-го подмножества (к = 1, 2):
где Хк — матрицы с обучающими признаками (к = 1, 2); Х(0) — матрица новых т-объектов, подлежащих дискриминации (размером т х р); р — количество масс в спектре, которыми характеризуется каждый 7-й объект.
Общее количество N объектов множества М равно сумме количества т объектов (в подмножестве М0), подлежащих дискриминации, и общего
2
количества объектов ^ пк в обучающих подмно-
к=1
2
жествах: N = т + ^ пк . Матрица всех N объектов
=1
размером N х р подвергается преобразованию для разложения по главным компонентам. В результате получается матрица размером N х р1, где р\ — количество главных компонент. р! выбирается с помощью зависимости изменения собственных чисел Лрк от номера главной компоненты. На
рис. 4 показана зависимость собственных чисел матрицы М от номера главной компоненты. Обработка большого количества спектров, включаемых в матрицу М показала, что начиная с номера главной компоненты, равной 6, значения собственных чисел близки к нулю и практически не меняются с увеличением номера главной компоненты. На основании этих результатов коли-
"К
.(к)
(к) _ 7=1
Х(к) =
,} = р.
Результаты расчета представляются в виде векторов X« =(Х((к) Х2к) ... хрк1) )т.
3. Для каждого обучающего подмножества рассчитываются ковариационные матрицы S(k) (размером р1 х р1)
^к) =
1 «к Л
1К хк) - х(к))(X'> - X') )|.
V «к к=1
4. Рассчитывается объединенная ковариационная матрица S по формуле
S = -
1
П + «2 - 2
(п1 х S(1) + «2 х S(2)) .
5. Рассчитывается матрица 8 1, обратная объединенной ковариационной матрице 8.
6. Рассчитывается вектор Л = (А1 А2 ...Ар1)
дискриминантных множителей с учетом всех элементов обучающих подмножеств по формуле:
Л = 8 '(Xе0 - Х(2)). Данная расчетная формула
Н2)
2,1
2,2
т,1
т,2
получена с помощью метода наименьших квадратов из условия обеспечения наибольшего различия между дискриминантными функциями. Наилучшее разделение двух обучающих подмножеств обеспечивается сочетанием минимальной внутри-групповой вариации и максимальной межгрупповой вариации.
7. По каждому i-му объекту (/' = 1, 2, ..., (п + п2)) множества М определяется соответствующее значение дискриминантной функции
F(к) = А х« + А х£ +... + АР1 х$. (2)
8. По совокупности найденных значений ^к) рассчитываются средние значения для каждого
пк
подмножества Мк: F(к) = —-, к = 1,2 .
пк
9. Определяется общее среднее (константа дискриминации) для дискриминантных функций
IF
F = к=1
(к)
2
10. Выполняется распределение (дискриминация) объектов подмножества М0, подлежащих дискриминации, по обучающим выборкам М] и М2. С этой целью рассчитанные в п. 7 по каждому 7-му объекту значения дискриминантных функций
= А] х™ + А2 х(,2 + . + Ар] х( р]
,-(0)
(3)
сравниваются с величиной F общего среднего. На основе сравнения данный объект относят к одному из обучающих подмножеств.
Если F(1) > F(2), то 7-й объект подмножества М0 относят к подмножеству М1 при F¡(0> — F > 0 и к подмножеству М2 при FJ(0) — F < 0 . Если же F(1) < F(2), то заданный объект относят к подмножеству М1 при Fi(0) — F < 0 и к подмножеству М2 в противном случае. (Ситуация Fi(0) — F = 0 подлежит содержательному осмыслению и перепроверке).
11. Далее делается оценка качества распределения новых объектов, для чего оценивается вклад переменных в дискриминантную функцию.
Влияние признаков на значение дискриминант-ной функции и результаты классификации может оцениваться по дискриминантным множителям (коэффициентам дискриминации), по дискрими-нантным нагрузкам признаков или по дискрими-нантной матрице.
Дискриминантные множители зависят от масштабов единиц измерения признаков, поэтому они не всегда удобны для оценки. Дискриминантные нагрузки более надежны в оценке признаков, они вычисляются как парные линейные коэффициенты корреляции между рассчитанными уровнями дис-криминантной функции F и признаками, взятыми для ее построения.
Дискриминантная матрица характеризует меру соответствия результатов классификации фактическому распределению объектов по подмножествам и используется для оценки качества анализа. В этом случае дискриминантная функция F формируется по данным объектов (с измеренными признаками) обучающих подмножеств, а затем проверяется качество этой функции путем сопоставления фактической классовой принадлежности объектов с той, что получена в результате формальной дискриминации.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
Для экспериментальной проверки предложенных методов обработки данных было обработано 45 файлов выдыхаемых газов здоровых людей и 45 файлов выдыхаемых газов людей с возможными патологиями. Эти файлы были разбиты на 9 групп по 5 файлов в каждой группе для того, чтобы было проще обнаружить файл с возможной ошибкой. На рис. 5 представлены результаты обработки этих файлов. Для каждого файла вычислялось значение скалярной величины Fi(0) по формуле (3). Полученные значения откладывались на верти-
Рис. 5. Значения дискриминантных функций для масс-спектров выдыхаемых газов здоровых людей + и для масс-спектров людей с возможными патологиями +
кальной оси для каждого из 5 файлов каждой группы. По горизонтальной шкале откладывался номер файла из группы. Горизонтальная линия на графике представляет собой границу раздела между файлами выдыхаемых газов здоровых людей и людей с возможными патологиями. В верхней части рис. 5 представлены значения скалярных величин F(0) для здоровых людей, а в нижней части значения скалярных величин Fi(0) для людей с возможными патологиями.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные алгоритмы классификации на основе дискриминантного анализа дают возможность автоматического принятия решений о различии масс-спектров без визуального анализа информации, представленной в графическом виде. Такое автоматическое принятие решений может быть полезным при массовых экспресс-анализах. При возникновении незначительных отклонений вычисленных значений дискриминантных функций от порогов целесообразным является повторение измерений с дополнительным анализом информации по графикам масс-спектров и измерениями на других, отличных от масс-спектрометра приборах. Кроме того, данный метод целесообразно использовать параллельно с другими методами анализа патологий.
Рассмотренные алгоритмы имеют следующие преимущества: простота реализации, возможность автоматического принятия решения о принадлежности проверяемого сигнала к определенному классу.
Указанные преимущества дают возможность рекомендовать указанный подход использования дискриминантного анализа для обработки информации не только масс-спектрометров, но и других типов аналитических приборов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Statsoft, электронный учебник по статистике. URL: http://www. statsoft.ru/home/textbook/modules/ stdiscan.html.
2. Иванов Е.Е., Шустов Д.А., Перешивкин С.А. Многомерные статистические методы. Кафедра экономической кибернетики и экономико-математических методов. URL: http://ecocyb.narod.ru/513/MSM/ msms.htm.
3. Мещеряков В. А. Применение нейросетевых технологий для решения задачи дискриминантного анализа в Матлаб // Материалы V Международной конференции "Проектирование инженерных и научных
приложений в среде Матлаб", г. Харьков, 11-13 мая 2011 г. С. 360-366. URL: http://matlab.ru/upload/resources/ EDU%20Conf/pp%20360-366%20Mestherjakov.pdf.
4. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.
5. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешал-кин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности / Справочное издание под ред. проф. Айвазяна С.А. М.: Финансы и статистика, 1989. 608 с.
6. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. Учебник. М.: Финансы и статистика, 1998. 352 с.
7. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. Пер. с англ. / Под ред. И.С. Енюкова. М.: Финансы и статистика, 1989. 215 с.
8. Орлова И.В., Габескирия В.Я., Пилипенко А.И. и др. Эконометрика. Учебное пособие для студентов Всероссийского заочного финансово-экономического института. URL: http://eusi.ru/umk/vzfei_ekonometrika/ index.shtml.
9. Кузьмин А.Г. Квадрупольный масс-спектрометр. Патент на полезн. мод. № 94763 РФ, 27.05.2010 г.
10. Кузьмин А.Г., Титов Ю.А. Малогабаритные масс-спектрометры для динамических исследований состава выдыхаемого воздуха // Труды I Международной научно-практической конференции "Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования в физиологии и медицине", СПб., 23-26 ноября 2010 г. Изд-во СПбГПУ, 2010. Ч. 3. С. 266-270.
11. Кузьмин А.Г., Ткаченко Е.И., Орешко Л.С., Титов Ю.А. Перспективы метода масс-спектро-метрической аромадиагностики по составу выдыхаемого воздуха // Тезисы докладов X Евразийской научной конференции "ДОНОЗОЛОГИЯ-2014", 18-19 декабря 2014 г., СПб. С. 229-231.
12. Кузьмин А.Г., Ткаченко Е.И., Орешко Л.С., Титов Ю.А. Диагностические возможности масс-спектрометрии выдыхаемого воздуха // Сборник тезисов I Всероссийской конференции с международным участием "Химический анализ и медицина", 09-12 ноября 2015, Москва. С. 35.
13. Манойлов В.В., Кузьмин А.Г., Титов Ю.А. Метод обработки сигналов масс-спектров выдыхаемых газов на основе спектрального разложения в адаптивном базисе // Масс-спектрометрия. 2015. Т. 12, № 3. С. 194200.
14. Гуревич А.Л., Могильницкий А.М. и др. Автоматизация обработки масс-спектрометрической информации. М.: Энергия, 1978. 182 с.
15. Ланин Е.В., Масленников А.И. Автоматизация масс-спектрометрического эксперимента. Башкирский филиал АН СССР, отдел физики и математики, Уфа, 1986. 132 с.
16. URL:
https://en.wikipedia.org/wiki/Norm_%28mathematics%29.
ISSN 0868-5886
NAUCHNOE PRIBOROSTROENIE, 2016, Vol. 26, No. 3, pp. 50-56
Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург (Манойлов В.В., Титов Ю.А., Кузьмин А.Г., Заруцкий И.В.)
Университет ИТМО, г. Санкт-Петербург
(Манойлов В.В.)
Контакты: Манойлов Владимир Владимирович, manoilov_vv@mail. ru
Материал поступил в редакцию: 21.04.2016
METHODS FOR DATA PROCESSING AND CLASSIFICATION FOR MASS SPECTRA OF EXHALED GASES USING DISCRIMINANT ANALYSIS
V. V. Manoylov1'2, Yu. A. Titov1, A. G. Kuz'min1, I. V. Zaruzkiy1
1 Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg, Russia 2ITMO University, Saint-Petersburg, Russia
Currently, there are methods for estimation of human health condition based on the composition of the exhaled gas. At health surveys such methods are appears to be applicable for automatic classification of people's health groups. In this paper, the method of linear discriminant analysis is used for the classification of people's health. Discriminant analysis is a branch of multivariate statistical analysis, which includes methods for classification of multidimensional observations on the principle of maximum similarity of the analyzed observations with observations assimilated certain classes of learning outcomes. It is shown that the amplitudes of the lines of the mass spectrum can serve as values of discriminant features for classification. Examples of the testing of the proposed methods are provided.
Keywords: mass spectrometer, linear discriminant analysis, classification of mass spectra
REFERENСES
1. Statsoft, electronic textbook statistically. URL: http://www. statsoft.ru/home/textbook/modules/ stdiscan.html (In Russ.).
2. Ivanov E.E., Shustov D.A., Pereshivkin S.A. [Multidimensional statistical methods]. Kafedra ehkonomicheskoj kibernetiki i ehkonomiko-matematicheskih metodov [Department of economic cybernetics and economic-mathematical methods]. URL: http://ecocyb.narod.ru/513/ MSM/msms.htm (In Russ.).
3. Meshcheryakov V.A. [Application of neural network technologies for the solution of a task of the discriminant analysis in Matlab]. Materialy V Mezhdunarodnoj konfe-rencii "Proektirovanie inzhenernyh i nauchnyh prilozhenij v srede Matlab" [Materials of the V international conference "Design of Engineering and Scientific Applications in the Environment Matlab"]. Kharkov, 11-13 may 2011, pp. 360-366. URL: http://matlab.ru/upload/resources/ EDU%20Conf/pp%20360-366%20Mestherjakov.pdf (In Russ.).
4. Ajvazyan S.A., Mhitaryan V.C. Prikladnaya statistika i os-novy ehkonometriki [Applied statistics and fundamentals of econometrics]. Moscow, UNITI Publ., 1998. 1022 p. (In Russ.).
5. Ajvazyan S.A., Buhshtaber V.M., Enyukov I.S., Meshal-kin L.D. Prikladnaya statistika. Klassifikaziya i snizhenie razmernosti [Applied statistics. Classification and decrease in dimension]. Ed. Ajvazyan S.A. Reference Edition. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1989. 608 p. (In Russ.).
6. Dubrov A.M., Mhitaryan B.C., Troshin L.I. Mnogomer-nye statisticheskie metody [Multidimensional statistical methods]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1998. 352 p. (In Russ.).
7. Kim G.-O., Miller Ch.U., Klekka U.R. Faktornyj, diskri-minantnyj i klasternyj analiz [Factorial, discriminant and cluster analysis]. Ed. I.S. Enyukov. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1989. 215 p. (In Russ.).
8. Orlova I.V., Gabeskiriya V.Ya., Pilipenko A.I., Gar-mash A.N., Gusarova O.M., Uradovskih V.N., Yaku-shev A.A. Ekonometrika. Uchebnoe posobie dlya studen-tov Vserossijskogo zaochnogo fmansovo-ehkonomicheskogo instituta [Econometrics. Manual for students of the All-Russian correspondence financial and economic institute]. URL: http://eusi.ru/umk/vzfei_ekonometrika/index.shtml (In Russ.).
9. Kuzmin A.G. Kvadrupol'nyj mass-spektrometr [Quadru-pole mass-spectrometer]. Patent RF, no. 94763, 27.05.2010. (In Russ.).
10. Kuzmin A.G., Titov Yu.A. [Small-sized mass spectrometers for dynamic researches of composition of the exhaled air]. Trudy IMezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj kon-ferencii "Vysokie tekhnologii, fundamental'nye i priklad-nye issledovaniya vfiziologii i medicine", Chast' 3 [Pric. I International scientific and practical conference "High Technologies, Fundamental and Applied Researches in Physiology and Medicine". Part 3]. Saint-Petrsburg, 23-26 november 2010. SPbGPU Publ., 2010, pp. 266-270 (In Russ.).
11. Kuzmin A.G., Tkachenko E.I., Oreshko L.S., Titov Yu.A. [Prospects of a method of a mass and spectrometer aro-madiagnostika on composition of the exhaled air]. Tezisy dokladov X Evrazijskoj nauchnoj konferencii "DONOZO-LOGIYA-2014" [Theses of reports of the X Euroasian scientific D0N0Z0L0GY-2014 conference]. Saint-Petrsburg, 18-19 december 2014, pp. 229-231 (In Russ.).
12. Kuzmin A.G., Tkachenko E.I., Oreshko L.S., Titov Yu.A. [Diagnostic opportunities of mass spectrometry of the exhaled air]. Sbornik tezisov I Vserossijskoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem "Himicheskij analiz i medicina" [The collection of theses of the I All-Russian confe-
Contacts: Manoylov Vladimir Vladimirovich,
manoilov_vv@mail. ru
rence with the international participation "The chemical analysis and medicine"]. Moscow, 09-12 november 2015, 35 p. (In Russ.).
13. Manojlov V.V., Kuzmin A.G., Titov Yu.A. [Method of processing of signals of mass spectrums of the exhaled gases on the basis of spectral decomposition in adaptive basis]. Mass-spektrometriya [Mass-spectrometry], 2015, vol. 12, no. 3, pp. 194-200 (In Russ.).
14. Gurevich A.L., Mogilnickij A.M., Rusinov L.A. Avtoma-tizaciya obrabotki mass-spektrometricheskoj informacii [Automation of processing of mass-spectrometer information]. Moscow, Energiya Publ., 1978. 182 p. (In Russ.).
15. Lanin E.V., Maslennikov A.I. Avtomatizaciya mass-spektrometricheskogo eksperimenta [Automation of mass-spectrometer experiment]. Ufa, Bashkirskij filial AN SSSR, otdel fiziki i matematiki Publ., 1986. 132 p. (In Russ.).
16. URL:
https://en.wikipedia.org/wiki/Norm_%28mathematics%29.
Article received in edition: 21.04.2016
HAYHHOE nPHEOPOCTPOEHHE, 2016, tom 26, № 3
