Формирование импульсов для дробления фракций многокомпонентных смесей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис. 2. Корреляционная функция случайного процесса ^(t) : 1 - экспериментальные данные; 2 - аппроксимация К^ (т) = 2,15e 0,244

Параметры ст2 и а аппроксимирующей функции подберем так, чтобы минимизировать сумму квадратов ее отклонений от экспериментальных точек:

„ і і 2

tv/ 2 -а т; ч •

L = £(Уі -CT e ИІ) ^ min . (2)

і a2,a

Решение задачи (2) не удается найти аналитически ввиду наличия неизвестного параметра в показателе степени. Но ее решение может быть получено численными методами, например, методом наискорейшего спуска.

3. Выводы

Научная новизна. Впервые предложена методика оценки пульсаций пламени, основанная на оценке площади его поперечного сечения, получаемой при анализе видеоизображения факела. Данная методика сводится к подсчету количества пикселей, принадлежащих определенному цветового диапазону.

На основе экспериментальных данных построена оценка корреляционной функции площади поперечного

УДК615.89:621.372

ФОРМИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСОВ ДЛЯ ДРОБЛЕНИЯ ФРАКЦИЙ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ

ВАСИЛЬЕВ С.Н., ГОРА Н.Н._______________

Многомодовые неоднородные каналы передачи импульсов используются при измельчении фракций многокомпонентных смесей. Предлагается способ оптимального формирования таких импульсов. Модифицируется «принцип многоканальности», применяемый в теории автоматического управления. Получены рабочие формулы для вектора управлений, позволяющие реализовать на выходе канала импульсы с заданными характеристиками.

1. Введение и постановка задачи

Многокомпонентные жидкие смеси широко применяются в технике [1,5]. При формировании таких смесей часто используются электрические импульсы с резко выраженными крутыми фронтами - «скачка-

сечения. Показано, что функция хорошо аппроксими-

т// ч 2 -а|т| руется выражением вида К(т) = ст e 11.

Сравнивая полученные результаты с [2], можно сделать вывод, что пульсации пламени относятся к случайным факторам с достаточно большими временами корреляции и, следовательно, существенно влияют на нагрев соседних резервуаров.

Практическая значимость. Полученные результаты позволяют оценить вероятность достижения резервуаром с нефтепродуктом взрывоопасной температуры в течение заданного промежутка времени.

Перспективы дальнейших исследований связаны с переходом от детерминированной модели нагрева резервуара с нефтепродуктом к стохастической.

Литература: 1. Абрамов Ю.А., Басманов А.Е. Влияние пожара на резервуар с нефтепродуктом // Вестник Харьковского национального автомобильно-дорожного университета. Сб. научных трудов. 2005. Вып. 29. С. 131-133. 2. Горбенко Н.А., Говаленков С.В., Басманов А.Е. Влияние случайных факторов на воспламенение соседних резервуаров при пожаре в резервуарном парке // Проблемы пожарной безопасности. Харьков: Фолио, 2004. Вып. 15. С. 59-64. 3. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: 1968. 463 с.

Поступила в редколлегию 16.11.2005

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Алексеев О.П.

Абрамов Юрий Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, проректор Академии гражданской защиты Украины. Научные интересы: противопожарная защита промышленных объектов. Адрес: Украниа, 61000, Харьков, ул. Чернышевского, 92.

Басманов Алексей Евгеньевич, канд. техн. наук, докторант Академии гражданской защиты Украины. Научные интересы: математические модели чрезвычайных ситуаций. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Чернышевского, 92, тел. 707-34-77.

ми». Эти импульсы, будучи направлены в малые части занимаемого смесью объема, изменяют её свойства. Результаты таких воздействий зависят от мощностей импульсов, частоты их следования, крутизны фронтов и времени воздействия на смесь. Сформированные импульсы проходят через неоднородный многопроводный кабель от генератора к рабочему инструменту - устройству, с помощью которого импульсы поступают в обрабатываемую смесь. Кабель предполагается многомодовым. Его электрические параметры часто изменяются по длине канала вследствие воздействия внешних факторов - изменений температуры, механических и других воздействий. Наиболее часто встречающиеся типы неоднородностей приведены в работе [3]. Перечисленные факторы приводят к искажениям в передающем канале.

Целью работы является определение вектора U0 управления сигналом на входе канала, с тем, чтобы на выходе получить импульс с заданными характеристиками. Поставленная задача актуальна и имеет практические применения.

42

РИ, 2006, № 1

Методом исследования являются асимптотические формулы решений систем дифференциальных уравнений, позволяющие описывать эволюцию скачков импульсов в многомодовых каналах. Для получения решений в высокочастотной области использован метод малого параметра, сходимость которого была обоснована в работе [2]. В [3] был определен частотный диапазон (f> 10 0кГ ц), в котором этот приближенный метод дает достаточную для приложений точность.

Задача исследования состоит в получении расчетных формул для вектора управлений, позволяющего реализовать на выходе реальных 2- и 3 -модовых каналов импульсы с заданными характеристиками.

В работе использованы известные факты, что на искажение фронтов импульсов влияет частотная дисперсия, в частности, скин-эффект, и взаимные влияния мод. При частотах £>1мГц и малой длине канала влияние скин-эффекта пренебрежимо мало. В работе [2] показано, что идеальный фронт импульса - скачок в отсутствие скин-эффекта не выглаживается, и его поведение описывается главным членом ряда по обратным степеням частоты.

2. Основные положения и вывод расчетных формул

Для описания передающего канала используется классическая модель - результат преобразования обобщенной системы телеграфных уравнений. Её матричная запись имеет вид:.

X' =(Ai+j ш Ao)X. (1)

T |0 RЇ (0 L

Здесь X = (U, I) , Ai= | Q о I; A0= I с о I; ® = 2rcf .

Внедиагональные элементы взаимных влияний г, g, m, c в каждой из еимметричных положительно-определенных матриц R, G, L, C совпадают. Такие многомодовые системы в литературе названы «симметричными». Подчеркнем, что предлагаемая в статье методика работает без ограничений и для каналов общего вида, и что расчетные формулы для несимметричных линий также получены. Они не приводятся ввиду их громоздкости.

Решение системы уравнений (1) ищется в виде [1]:

Xk = exp(- JXk(T )dx) • Z єkZk(x) (2)

є 0 k=0

Величина є = 1/ j® играет роль малого параметра. Для анализа скачков достаточно ограничиться главным членом Z0 (x) в (2). Рассмотрены 2- и 3-модовые приближения: цепь влияющая, подверженная влиянию и так называемые «третьи цепи». Ниже приведены расчетные формулы, на основе которых проводится анализ искажения фронтов импульсов.

Собственные числа X j матрицы А0 в (2) имеют вид:

X1 =yl(L - 2m)(C + 2c);

X2,3 =уі(L - m)(C - c) . (3)

Отвечающ ие каждому из этих собственных значений векторы Z 0j (x) из (2) есть

Z0,1(x) = exp(-Q1(x)XSbSbSbSf1,Sf1,Sf1)T ,

Z0,2(x) = exp(-Q2(x))(2S,,-S2,-S2, 2S2“1,-S2“1,-S2~1)T, Z0,3(x) = exp(-Q2(x))(S>,S2, -2S2, S2_1, S2_1,-2S2“1)T

Здесь S1

1 1 AAi 14, S2 =( ^ ]4

C + 2c j I C - c j

Q 1 x(R + 2r)(C + 2c) + (G + 2g)(L + 2m)JS

Q1 — J і —

1 20 V(L + 2m)(C + 2c)

Q _ 1x (R - r)(C - c) + (G - g)(L - m)d^

2 20 V(L - m)(C - c) ;

R, G, L, C - собственные погонные параметры цепей, а г, g, m, c - погонные параметры взаимных влияний.

Решение системы (1) с граничными условиями U1(0)=1, U2(0)=U3(0)=0, U(<x>) = 0 соответствует передаче единичного скачка напряжения по каналу с согласованной нагрузкой.

Отвечающие этим условиям константы в линейной комбинации фундаментальной системы решений (2) имеют вид:

С1 =-

1 3

1 ( С0 + 2с0 Ї4

L0 + 2m

0 )

С2 =-

23

1 г С0 - с0 Ї4

L0 - m0

C3=0.

1

1

Здесь и далее индекс «0» означает величины погонных параметров кабеля на его входе.

После обратного преобразования Фурье от комплексных амплитуд во временную область в точке x получим:

U(x,t) = 1(t -10 -Л^))1^1(0) х

х S1(x)exp(-Q1(x))(1,1,1)T + 1(t -10 - Л2 (x)) x

x 1 S“1(0)S2 (x)exp(-Q2 (x))(2,-1,-1)T ,

i(x,t) = 1(t-10 -Л^))1^ 1(0) x

x S 11 (x)exp(-Q1 (x))( 1,1,1 )T + 1(t -10 - Л2 (x)) x x 1S-1(0)S-12(x)exp(-Q2(x))(2,-1,-1)T . (4)

РИ, 2006, № 1

43

x

Здесь Лi (x) = J1 і (т )dx.

0

Из полученных формул следует, что единичный скачок напряжения 1(t-to), поданный на вход первой ветви, наводит на второй и третьей ветвях напряжение с двумя разрывами, которые распространяются от

источника со скоростями 1(x) и A^^x). Величины

скачков, соответствующие этим разрывам, равны множителям при 1 (t-to- Ai(x)) и 1 (t-to-Л2 (x)).

Применим формулы (4), описывающие эволюцию скачков по длине канала, для трехпроводного симметричного кабеля. Его погонные характеристики на входе (x=0) равны соответственно

Ro=46 ом/км, ro=2 ом/км,

G0=0.4*10-4 сим/км, §0=10-6сим/км,

Ь0=0.3*10-3Гн/км, т0=10-5Гн/км, С0=0.47*10-7Ф/км, с0=0.2*10-8Ф/км.

Считаем, что параметры изменяются по длине линейно [3] в соответствии с формулами n(x)=n(0)(1+0.05x).

Результаты расчета амплитуд скачков напряжения приведены в таблице.

Ветвь Волна Расстояние, км

(цепь) (мода) 0.5 1 1.5 2

1 0.292 0,253 0,229 0,188

1 2 0.498 0,524 0,472 0,416

2 и 3 1 0,292 0,253 0,229 0,188

2 -0,299 -0,262 -0,236 -0,208

При рассогласовании выхода получаем более сложную картину, создаваемую волнами отражения.

Для этого случая график напряжения в точке x=1mn приведен на рисунке. Верхняя кривая показывает изменение напряжения в первой ветви, нижняя - во второй.

Лабораторные испытания, проведенные для конкретных смесей, показали, что многоступенчатый характер фронтов импульсов приводит к неэффективному дроблению фракций смеси. Кроме этого, в случае предачи управляющего сигнала наводки в третьих цепях могут приводить к ложному срабатыванию системы. Для устр анения этого явления автором применен естественный прием, являющийся модифика-44

цией « принципа многоканальности» систем управления, предложенного академиком Б.Н. Петровым [6]. Прием, применительно к многомодовым каналам, состоит в следующем.

Зная величину задержки каждой моды, «пересчитать» разность Л1 - Л2 от нагрузки в начало линии и запустить по второй цепи компенсирующий импульс.

Для реализации этого приема вводятся понятия «наблюдаемости» и «управляемости» многомодового канала по аналогии с системами управления [4]. Если за конечное время систему можно перевести из любого заданного начального состояния в любое желаемое, то такая система называется вполне управляемой. Если же начальные условия можно восстановить по наблюдениям некоторой линейной комбинации выходов, то она называется вполне наблюдаемой. В нашем случае роль времени управления t играет физическая длина канала х. Покажем, что этот подход позволяет формировать на выходе канала скачок заданной амплитуды.

Вектор напряжений V0 на входе канала состоит из вектора X0 размерности k , несущего полезную информацию, и вектора управлений U0 размерности (n-k). Передаточную матрицу K по напряжению запишем в блочном виде:

x ( k1k2 Y X0'

IU У

K1K2

K3K4

U0

(5)

Тогда на выходе информационного канала получим

X = K1X 0 + K2U 0. (6)

Нас интересует возможность такого выбора U0, чтобы Xgbix =X0 , т е. ситуация, аналогичная управляемости автоматической системы.

Если k>n-k, то система неуправляема; если rang K2<k, то система также неуправляема; если rang K2=k, то система будет «вполне управляема». При этом предполагается, что операторы K2-1 и (E - K1) могут быть реализованы если не физически, то хотя бы с помощью ЭВМ. Единственным случаем, когда управление U0 = K21(E - K1)X0 определяется однозначно, является случай k= n-k, когда матрица K2 - квадратная.

Рассмотрим теперь канал с оконечным устройством -рабочим инструментом, погруженным в многокомпонентную смесь. Пусть X 0, X и К -соответственно, вход, выход и передаточная матрица канала по

напряжению. Y и K0 - выход и передаточная матрица

оконечного устройства. Считаем, что вектор Y доступен для наблюдения. Для того чтобы система управления была наблюдаема [4], система уравнений

Y = K0к-X0 (7)

РИ, 2006, № 1

должна решаться однозначно относительно Х0 (столбцы матрицы Ко должны быть линейно-независимы).

Если вектор наблюдений Y искажен помехами, то при dim Y >dim Х0 его нужно сгладить, например, решая систему (7) методом наименьших квадратов.

Зафиксируем связь между передаточной матрицей по напряжению К и передаточной матрицей канала.

Здесь W(x, ю )=X(x, ю )Х-1(0, ю ), где X(x, ю ) - матрица, столбцами которой является фундаментальная система (2) решений уравнения (1). Запишем W в блочном виде, с размерностями блоков (n х n):

f U

Z

V

\

H1U ;

' W11 W12"

v W21 W22 у

U

Ї0

(8)

Здесь Zh - матрица сопротивлений нагрузки. Из (8) и выражения (5) для К следует:

K=(W12-1 - W22-1 Zh-1)(W12-1 W11 - W22-1 W21). (9)

Таким образом, задача определения управляемости для канала передачи импульсов сведена с помощью формул (5)-(9) к отысканию нулевого приближения ряда (2) для W.

тальной системы решений уравнения (1). С их помощью построена передаточная матрица системы и вектор управлений.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволяют направлять в обрабатываемую смесь импульсы с заданными характеристиками. Эти характеристики можно подобрать так, чтобы воздействие импульсов на смесь приводило к оптимальным результатам.

Литература: 1. Ходаков Г.С. Физика измельчения. М.: Наука, 1972. 307с. 2. Дикарев В.А. Волны в многопроводных системах с распределенными параметрами /Радиотехника и электроника. 1975 Т.ХХ. Вып.12., С.2618-2621.3. Васильев С.Н. Проверка применимости метода малого параметра для описания неоднородных многомодовых каналов передачи данных // Электроника и информатика. 2005. 4. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.:Наука,1971 395с. 5. Фигуровский Н.А. Седиментомет-рический анализ. М.: Изд-во АН СССР, 1948. 332с. 6. Петров Б.Н. Принцип инвариантности и условия его применения при расчете линейных и нелинейных систем / Труды I Международного конгресса по автоматическому управлению. М.: Изд-во АН СССЗ, 1961. Т.1. С. 251 -268.

Поступила в редколлегию 10.02.2006

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Дикарев В.А.

Заключение

Научная новизна работы состоит в обосновании переноса методов теории многоканальных систем автоматического управления на многомодовые электрические каналы. Это позволяет получить общие условия управляемости и методы формирования импульсов, используемых при дроблении фракций многокомпонентной смеси. Для наиболее часто встречающихся на практике случаев получены расчетные формулы - приближения для вектор-столбцов фундамен-

Васильев Сергей Николаевич, зам. главного инженера Государственного предприятия «Харьковский приборостроительный завод им. Т.Г. Шевченко». Научные интересы: моделирование и управление в технических системах. тел.: 23-01-81.

Гора Николай Николаевич, генеральный директор Государственного предприятия «Харьковский приборостроительный завод им. Т.Г. Шевченко». Научные интересы: моделирование и управление в технических системах. тел.: 23-01-81.

РИ, 2006, № 1

45