Задача динамического синтеза для перевернутого маятника как объекта управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Висновки

Отже, вперше побудовано та обґрунтовано наближений метод для розв’язування математичної моделі транспортної задачі на множині переставлень, який дозволяє отримати розв’язок з заданою точністю. Наявність наближеного методу із заданою точністю дає можливість не витрачати обчислювальні ресурси, якщо відомо, що вихідні дані задачі самі мають похибку задання. Практична значущість та важливість такого методу полягає ще й в тому, що при обмеженості часу для розв’язування задачі можна обмежитись наближеним розв ’язком, оцінивши за формулою (1) його точність та взявши точність, рівну лівій частині цієї формули.

В подальшому доцільно здійснити числові експерименти за розробленим методом, а також спробувати дати теоретичну оцінку трудомісткості запропонованого методу.

Література: 1. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. К.: Інститут системних досліджень освіти, 1993. 188 с. 2. Емец О.А. Евклидовы комбинаторные множества и оптимизация на них. Новое в математическом программировании: Учеб. пособие. Киев.: УМК ВО, 1992. 92 с. 3. Стоян Ю.Г., Ємець О.О., Ємець Є.М. Оптимізація на полірозміщеннях: теорія та методи. Полтава: РВЦ ПУСКУ, 2005. 103 с. 4. Ємець О.О.,

Парфьонова Т.О. Транспортні задачі комбінаторного типу // Вестник Харьковского национального автомобильнодорожного университета. 2005. Вып. 29. С. 162-164. 5. Емец О.А. Об одном методе отсечения для задач комбинаторной оптимизации // Экономика и математические методы. 1997. Т. 33. Вып. 4. С. 120-129. 6. Ємець О.О, Ємець Є.М. Відсікання в лінійних частково комбінаторних задачах евклідової комбінаторної оптимізації // Доповіді НАНУ. 2000. №9. С. 105-109. 7. Емец О.А., Емец Е.М. Отсечения в линейных частично комбинаторных задачах оптимизации на перестановках // Экономика и математические методы. 2001. Т. 37. №1. С. 118-121.

Надійшла до редколегії 05.06.2006

Рецензент: д-р фіз.-мат. наук, проф. Лагно В.І.

Ємець Олег Олексійович, д-р фіз.-мат. наук, проф., завідувач кафедри математичного моделювання та соціальної інформатики Полтавського університету споживчої кооперації України. Наукові інтереси: комбінаторна оп-тимізація. Захоплення, хобі: колекціонування марок, хоровий спів. Адреса: Україна, 36003, Полтава, а/с 1671, тел. 8-050-30-47-156, роб. (8-0532) 509-204, дом. (8-0532) 7-97-18. E-mail: slemets@e-mail.pl.ua.

Парфьонова Тетяна Олександрівна, асистент кафедри економічної кібернетики Полтавського університету споживчої кооперації України. Наукові інтереси: комбінаторна оптимізація. Захоплення, хобі: музика, хоровий спів. Адреса: Україна, 36003, Полтава, а/с 1671, тел. 8-050-93 -71887, роб. (8-0532) 509-205. E-mail: tapa@mail.ru.

УДК618.514.01:517.977.5

ЗАДАЧА ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ДЛЯ ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

РАДИЕВСКИЙ А. Е._________________________

В классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов исследуется процедура разработки математического обеспечения задачи динамического синтеза для перевернутого маятника как объекта управления. Исследование базируется на положениях теории экстремальных задач (формализм Дубовицкого-Милю-тина).

1. Введение

Развитие механики тесно связано с изучением маятника. За более чем 300 лет, прошедших со времени, когда Галилей обратил внимание на изохронность колебаний маятника, ни одной механической системе не было уделено столько всестороннего теоретического внимания как маятнику [1]. Уравнение движения маятника является одним из фундаментальных [2], описывает широкий класс колебательных процессов. В силу своей простоты маятник служил хорошей моделью для изучения сложных процессов [3]. Одной из разновидностей многообразия маятников явля-

ется перевернутый маятник. Уравнение движения подобного объекта можно записать в виде

Т2 d2x dt2

+ bx = k0u,

(1)

где x - состояние; u - управление; т - постоянная времени; k0 - коэффициентусиления; b - коэффициент, характеризующий состояние равновесия маятника: при b > 0 объект устойчивый, а при b < 0 -неустойчивый.

Интерес к изучению движений рассматриваемого маятника объясняется, в частности, их связью с проблематикой стабилизации плазменного шнура. Плазма как объект управления (ОУ) может находиться как в устойчивом, так и в неустойчивом состоянии[4]. Проблема подавления неустойчивостей плазмы является центральной в общей проблематике физики плазмы. В качестве математической модели плазмы, дающей правильную картину неустойчивой моды плазменных колебаний, можно использовать модель перевернутого маятника, который поддерживается в положении неустойчивого равновесия пружиной с переменным натяжением [5]. Одним из методов подавления неустойчивостей плазмы является метод обратных связей, который базируется на использовании для этой цели систем автоматического управления (САУ).

РИ, 2006, № 2

41

[4]. Проектирование подобных САУ связано с созданием математического, алгоритмического, программного и технического обеспечения [6], разработка которых должна базироваться на положениях прикладной теории автоматического управления [7]. Использование последних при реализации процедуры проектирования позволяет учесть наличие средств вычислительной техники (СВТ) в структуре управля-ющего устройства СУ, а также ограниченность и зам-кну-тость области определения задачи. Первый фактор обуславливает проблему обеспечения необходимой производительности СВТ, что определяется возможностью использования на этапе проектирования аналитических решений как основы математического, алгоритмического, программного и технического обеспечения, а также вычислительных методов реального времени на этапе реализации синтезированных алгоритмов управления (АУ). Второй фактор обуславливается тем, что ограниченность и замкнутость области определения задачи является спецификой исследуемого класса задач [6], а ее конфигурация определяется конкретными техническими, технологическими и функциональными особенностями исследуемого ОУ. Вопросы, связанные с проектированием САУ для стабилизации плазмы, рассматривались в [5,8-11], где в [8] исследуются вопросы устойчивости плазменного шнура в замкнутой САУ (использование электромагнитных полей), в [9] - варианты построения комбинированной САУ, в [5,10,11] - АУ ([7] - адаптивный, [10] - квазиоптимальный, [11] - оптимального быстродействия).

В настоящей работе объектом исследования является линейная модель перевернутого маятника, который поддерживается в положении неустойчивого равновесия пружиной с переменным натяжением. Для рассматриваемой модели исследуется процедура динамического синтеза в классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР).

Целью данного исследования является разработка математического обеспечения процедуры структурного синтеза для рассматриваемого типа маятника как ОУ.

J(u) =j (xRxT + mu2)dt to

при ограничении

u є U = |u: |u| < umax| и граничных условиях

x(t0) = x0,x(t1) = 0,

(3)

(4)

(5)

где R = diag||rj||2 ; m - число; umax - заданное число;

t1 - конечный, не фиксированный момент времени; т - транспонирование.

Характеристическое уравнение выражения (2) получим в виде X2 н—— = 0 . Тогда Х12 = + и при

Т2 ’ у т2

b > 0 Xi = +jro , а при b < 0 - Xі = +ro,i є [1,2,

®= 7^, j = лП .

3. Структурный синтез

АУ получим в виде [12]

u(t) = \

umax

L(t)

* umax

при L(t) > umax;

при — umax < L(t) < umax;

при L(t) <~umax.

(6)

где L(t) = 0.5m 1BTT(t), ^(t) является решением системы дифференциальных уравнений

= ATY(t) -2Rx(t0) при ¥(t0) = 0, dt

решение которой

T t T

T(t) = -2eA t \ e_A xdxRx(t0) = -2K(t)Rx(t0)

0

2. Постановка и особенности задачи

Выражение (1) можно записать в виде

— = Ax + Вu dt

(2)

где x = (x1,x^ - матрица-столбец вектора фазовых

координат; А =

01 b , B = 0

yr0 k

k =

k0 Т 2

Задача динамического синтеза в классе задач АКОР может быть сформулирована следующим образом. На движениях ОУ (2) необходимо определить АУ, кото-рый доставляет экстремум критерию качества

Тогда для открытой области получим

L(t) = 0.5m_1BTT(t) = -m_1BTK(t)Rx(t0),

[e aT j уст. cos rat ю sin rot

где = sin rot

cos rot

ATt

неуст.

-(e rot + e ~rot)

2

— (e rot - e -rot) 2ra

1 „rat -rat4

— ro(e - e )

2

2(e rot + e _rot)

42

РИ, 2006, № 2

К ycT(t) =

sin rat

—-(cos2rot - cos rat) -

ю2 ю

cos2rot - cos rat sin rot

X(p) = Xj(p)X2(p) = Xj(p)

Xu(p) 0

X2i(p) X22(p)

KHeycT(t) =

— (e rot - e-rot) 2ro

- -(e rot + e -rot) 2

-At +-1r(eMt + e“rot) — (erot -e-rot)

ro2 2ro2 2ro

где p-независимая переменная изображения.

Проведя необходимые структурные преобразования, окончательный вид передаточной функции синтезированной СУ для открытой области получим в виде

X(p) - XОУ (p)XУПЧ (p) ,

Учитывая вид и порядок соответствующих матриц, получаем

здесь X ОУ (p) -

22 p2 +ГО 2

- передаточная функция ОУ

u уст(0 = -k

1 „ п

—— (cos 2rot - cos rot) —

ro 2

m

x1(t0) +

(2); X упч (p) = X 3 (p) +x 4 (p) + x 5 (p) + x 6 (p) - передаточная функция усилительно-преобразовательной части,

+

sin rot і Г2

го ) m

x2(t0)

x 2 (t 0 ) \ =

xJ^p) =

3kp

ro 2(p2 + 4ro 2)(p2 +ro 2)

4_

m

X ^(p) = k

u . (t)x1(t0) + u ус'1: (t)x2(t0 ) , (7) _ p(p2-Ю2)_

U неуст^) = _k

■ — +-^(e rot + e -rot) ro2 2ro2

m

'x1(t0) +

+

— (e rot - e -rot) 2ro

~ x2(t0) m

Xf^p) = Xf^p) =

—, x3(p) = x6(p) = 7, mk

42

m

(p2+®2).

(p2-Ю2).

42

m

= - к|инеуст. (t0)xi(t0) + u 2еуCTЧto)x2(to)|. (8)

4. Структура синтезированного управляющего устройства

Уравнения движения синтезированной СУ получим в виде

-dt- = Ax + Bsignumax ,

-dt- = Ax - m_1BBTK(t)Rx(t0).

Для открытой области можно записать dx1

,dt = 2 (-ku1(t)x1(t0) + U2(t)x2(t))),

dx2 2 ~ u

0 1 x1 0

-ro2 0 +

x2 k

dt

применив преобразование Лапласа к которой, получим

5. Качественное исследование синтезированного алгоритма управления

Структурная схема управляющего устройства, реализующая АУ (5), может быть представлена в виде последовательного соединения двух звеньев: линейного b(t) и нелинейного элемента (НЭ) типа “ насыщение” [13]. При постоянстве элементов матриц A и B ОУ (2) изменения АУ (6) пропорциональны изменениям элементов -Ц i є [1,2 ], критерия качества (3). В рамках

исследуемой задачи динамического синтеза последние могут быть классифицированы как управляющие параметры. В [13] показано, что изменения параметра m критерия качества (3) эквивалентны изменениям наклона характеристики НЭ в начальной точке и характеризуют изменения коэффициента усиления НЭ.

Пусть [Р1] - размерность управляющего воздействия;

Р2

cek

x1(p)

x2(p)

22 p2 + ю2

I 0

k

- ku1(p) - k(u2(p)) +

x1(t0)

x2(t0)

- размерность фазовой координаты x1 (t);

- размерность фазовой координаты x^^; [Р3] -

размерность коэффициента b, [го] =

или передаточную функцию

Ы =

.Р1

(8) получим

м=

k

0

cek

cek

. Тогда для выражений (7) и

k

k

k

k

2

РИ, 2006, № 2

43

[rj

уст. _

1

_ Р2 _ _ k0 _

Ы

неуст. _

“Р1Р3 ■ >3 '

l_ р2 J _k0 _

Ыуст- = [r2] неуст =

P1cek2 " 1"

_ Р2 _ _ k _

[m ]уст'

[ш]неуст- =

P2

Pi

Ы.

Заключение

В классе задач АКОР исследована процедура структурного синтеза для перевернутого маятника как ОУ.

Проведенное исследование для рассматриваемого класса задач позволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:

- в рамках единого подхода получено решение задачи структурного синтеза для двух возможных состояний (устойчивое и неустойчивое) рассматриваемого ОУ;

- реализовано аналитическое решение задачи структурного синтеза, что позволило определить размерности управляющих параметров и установить их связь с параметрами исследуемого ОУ.

Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве математического обеспечения при проектировании САУ для рассматриваемого класса задач динамического синтеза.

Литература: 1.Капица П.Л .Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. Т.54. Вып.1. С.7-20. 2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: На-

ука, 1984. 272с. 3. Лойцянский Л.Г, Лурье А.И. Курс теоретической механики, т.2. М.: Гостехиздат, 1954. 595с. 4. Арсенин В.В., Чуянов В.А. Подавление неустойчивости плазмы методом обратных связей // УФН. 1977. Т.123. Вып.1. С.83-129. 5. ДаргейкоМ.М. Некоторые алгоритмы управления плазменной конфигурацией // Автоматика. 1991. №6. С.88-89. 6. Самойленко Ю.И., Губарев В.Ф., Кривонос Ю.Г. Управление быстропротекающими процессами в термодинамических установках. Киев: Наук. думка, 1988. 384с. 7. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: На-ука,1987.712с. 8. Даргейко ММ.,Самойленко Ю.І. Про стійкість системи керування положенням плазмового шнура // УФЖ. 1976. 21, №1. С.136-140. 9. Бутенко В.К., Ладиков-Роев Ю.П., Самойленко Ю.И. Комбинированная система автоматического управления плазменным шнуром // Кибернетика и вычислительная техника. 1971. вып.8. С.80-90. 10. Рогальський Ф.Б., Самойленко Ю.І. Квазіоптимальне керування нестійким об’єктом // Автоматика. 1977. №4. С.51-63. 11. Рогальский Ф.Б. Реализация алгоритма оптимального управления моделью неустойчивой плазмы // Кибернетика и вычислительная техника. 1977. Вып.37. С.110-115. 12. Радиевский А.Е. Динамический синтез в общей проблематике современной теории управления // Радиоэлектроника и информатика. 2004. №3. С.70-75. 13. Радиевский А.Е. Функционально-аналитический метод синтеза детерминированного регулятора // Оптимизация электромеханических систем с упругими элементами. Харьков: ИМиС, 1995. С. 137-148.

Поступила в редколлегию 04.05.2006

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, канд. техн. наук, с.н.с., заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 731-35 -67, 731-41-80.

УДК615.89:621.372

ФОРМИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСОВ С ЗАДАННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ДЛЯ ОБРАБОТКИ

МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ

ВАСИЛЬЕВ С.Н., ГОРА Н.Н.____________

Описывается способ формирования широкого класса импульсов со специально подобранными характеристиками, реализация которых приводит к оптимальным результатам обработки смесей. Эти импульсы получаются путем генерирования отвечающей им системы импульсов на входе многомодового канала.

1. Введение и постановка задачи

При дроблении компонент жидких смесей в целях получения заданного размера и формы содержащихся в смеси частиц применяются импульсы с резко выраженными фронтами. Они формируются с помощью специально подобранной системы скачков напряжения на входе многомодового канала, которые

передаются по нему в разные точки смеси. Обычно смесь пространственно неоднородна и для ее обработки требуется использование импульсов с различными амплитудами, мощностями, частотой следования, крутизной фронтов и временем воздействия на смесь. Её разные участки могут образовываться одновременно. Известно [1] , что при передаче по кабелю характеристики искажаются. Это связано как с наличием нескольких мод, распространяющихся с разными скоростями, которые определяются параметрами цепей и их взаимным влияниями, так и с неоднородностями кабеля. Неоднородности могут иметь как регулярный (периодический) характер, обусловленный технологией производства кабелей, так и случайный (температурные скачки и механические воздействия), определяемый условиями эксплуатации. Характерные типы неоднородностей исследованы в [2] .

Целью работы является выяснение возможностей генерировать на входе кабеля полную систему импульсов с тем, чтобы с помощью их комбинации получать на выходе импульсы с заданными характеристиками. Данная задача актуальна и имеет практические применения.

44

РИ, 2006, № 2