Эволюция скачков и изломов импульсов при их распространении в информационном канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

Они не работают в реальном масштабе времени с требуемыми скоростями и не проводят анализ полученной информации в автоматическом режиме. Предложена структура глобальной системы передачи полетных данных и мониторинга ЛА, которая должна обеспечить повышение уровня безопасности полетов и надежную работу всех подсистем ГСППД.

Проанализирован принцип работы ГСППД, показано целесообразность применения системы, сформулированы необходимые решаемые задачи для ее создания. Уделено внимание задачам выбора передаваемых параметров и сжатия данных, первая задача определяет применимость системы, а вторая - ее стоимость и эффективность. Применимость и эффективность системы связана с быстродействием всей системы в целом и объема передаваемых и анализируемых параметров. ГСППД позволит резко сократить количество нештатных ситуаций, заканчивающихся трагедиями: за счет наблюдения за ЛА в любой точке земного шара, непрерывного мониторинга и корректирующих действий наземных служб. ГСППД позволит увеличить скорость обнаружения причин случившихся авиакатастроф и устранить аналогичные недостатки на других бортах, ускорить спасательно-розыскные работы.

В итоге предложенная система позволит повысить общий уровень полетной безопасности, выйдя на новый уровень ее обеспечения, что даст возможность сохранить колоссальные человеческие и материальные ресурсы.

Список литературы: 1. LENTARU издание Rambler Media Group режим доступа http://www.lenta.ru/news/ 2007/01/03/crashes/ 2. Дьяченко А.А. Летательные аппараты и безопасность полета М.: ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского, 1987. 625с. 3. Бабич О.А., Боднер В.А., Козлов М.С., Потапов М. Д., Селезнев В.П. Авиационные приборы и навигационное оборудование М.:ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского 1986. 639с. 4AVIA. RU Российский авиационно-космический портал / Модернизация и пути повышения эффективности системы организации воздушного движения. Б. Михайлов режим доступа http://www.avia.ru/inter/ 96/ 5. КоровинМ.А. Авиационные средства связи: учебное пособие. Ворошиловград: ВВАУШ, 1990. 94с. 6. ОКБ. Авиавтоматика. Прибор. ОАО. Аварийно-эксплуатационные системы сбора и регистрации полетной информации (Карат), режим доступа http://www.airshow.ru/expo/347/prod_1199_r.htm 7. Федеральное государственное унитарное предприятие "Полет". Продукция Рубин-М, режим доступа http:// www.polyot.atnn.ru/prod/prod_03_01.phtml 8. Федеральное государственное унитарное предприятие "Полет". Продукция Брик, режим доступа http://www.polyot.atnn.ru/prod/prod_02_04.phtml 9. ARINC DEDICATION BEYOND EXPECTATION режим доступа Web-сайт www.arinc.com 10. Камнев В.Е. Спутниковые сети связи: Учеб. пособие/ М.: Альпина Паблишер, 2004. 536с.

Поступила в редколлегию 15.03.2008 Гора Александр Николаевич, аспирант кафедры приема, передачи и обработки сигналов Национального аэрокосмического университета им. Н.Е. Жуковского «ХАИ». Кортунов Вячеслав Иванович, д-р тех. наук, профессор кафедры приема, передачи и обработки сигналов Национального аэрокосмического университета им. Н.Е. Жуковского «ХАИ».

Васильев Сергей Николаевич, 1-й заместитель Главного конструктора особого конструкторского бюро Государственного предприятия "Харьковский приборостроительный завод им. Т.Г. Шевченко".

УДК 519.21

В.А. ДИКАРЕВ, Н.С. ПОДГОРБУНСКИЙ, И.С. АГАПОВА

ЭВОЛЮЦИЯ СКАЧКОВ И ИЗЛОМОВ ИМПУЛЬСОВ ПРИ ИХ РАСПРОСТРАНЕНИИ В ИНФОРМАЦИОННОМ КАНАЛЕ

Предлагается процесс эволюции характеристик импульсов в одномодовых и много-модовых информационных каналах. Описывается метод, дающий возможность определить эволюцию скачков импульса и эволюцию скачков его производных по времени при распространении импульса в канале.

Введение

Рассмотрим задачу зондирования исследуемой среды специальным образом подобранными возмущениями в целях установления её свойств. Используют разные способы воздействия на среду: сильные воздействия на неё в целом; воздействия на отдельные её части (позволяющие установить реакцию среды на эти воздействия); быстрые изменения температуры. Иногда применяют микровзрывы, позволяющие выяснить, как изменятся характеристики среды в точке взрыва (разрушение молекул, появление нежелательных компонент).

В ряде случаев зондирование среды производят с помощью электрических импульсов, характеристики которых быстро изменяются во времени. Часто используют импульсы, имеющие скачки и изломы (см. [1-2]).

Скачки и изломы, распространяясь в информационных каналах, изменяются. Вместе с тем характер воздействия на среду с помощью импульсов зависит от их характеристик (в частности, от величины скачков).

В работе исследуется эволюция скачков и изломов, распространяющихся в информационных каналах, находящихся в среде. Задача об эволюции скачков и изломов представляет и самостоятельный интерес.

Целью исследования являются переходные процессы, возникающие в неоднородных распределенных системах, описываемых уравнениями информационного канала (УИК), при распространении в них разрывных и негладких импульсов (такими импульсами являются, например, прямоугольные и пилообразные импульсы). Задача работы - установить, как изменяются скачки и изломы импульсов при их распространении в канале. Рассмотрим одномодовые и многомодовые информационные каналы.

В дальнейшем будем называть особенностью импульса порядка к - разрыв его k - й производной по времени; к = 0 - разрыв функции. Сначала рассмотрим наиболее простой случай: опишем схему анализа особенностей импульсов, распространяющихся в одновол-новом полуограниченном информационном канале (0 < X < ж). Далее опишем метод анализа особенностей импульсов в многомодовых полуограниченных каналах. Обсудим, как результаты разделов 1 и 2 могут быть использованы при изучении трансформации скачков импульсов в информационных каналах с дисперсией погонных параметров.

В разделах 1 и 2 исследуем переходные процессы, описываемые системой уравнений (1), однако проделанный в этих подразделах анализ может быть перенесен и на информационные каналы с дисперсией погонных параметров.

1. Эволюция особенностей импульсов в одномодовом полуограниченном

неоднородном канале

Рассмотрим неоднородный одномодовый канал (m = 1), описываемый следующей краевой задачей:

-Ux = Ri + Lit, -ix = Gu + Gut; (1)

u(x,0) = i(x,0) = 0 , U(0, t) = p(t) .

Здесь R, L, G, C - скалярные функции x .

Предположим, что p(t) - скалярная функция, равная нулю вне конечного отрезка [t1, te ], 11 > 0; в точках t1 ,t2 ,...,te (t1 < 12 <... < te) функция p(t) и ее производные, по n-го порядка включительно, имеют разрывы 1-го рода. Таким образом, в моменты ti ,t 2 ,...,te входной импульс p(t) имеет особенности порядков 0,1,...,n. Изучим эволюцию скачков и изломов при распространении импульсов вдоль канала.

Обозначим через P , U , J изображения функций p(t), u(x, t) i(x, t).

Под изображением f функции f мы понимаем функцию

ж

f (Ю) = 1 f(x)e "iraxdx.

СО

Функции и и J удовлетворяют системе уравнений

их = -К.1 - шО, Jx =-GU - к>Ш (2)

и граничным условиям

и(0, ю) = Р(ю), Щю, ю) = 0 . (3)

При сделанных предположениях о функции ф(^) дляР(ю) верны соотношения

е

Р(ю) = 2 е_1ю1к Рк (ю) + 0(ю_п), к=1

п _ _|

Рк (ю) =2 с8,кю81, (4)

S=0

= ф (S)(t к + 0) _ф(S)(t к _ 0)

= (1)8+1 , 2 < к < е _ 1, (5)

= ф (8)(Ч + 0) ^ =_ф(8)(1е-0)

С8,1 = (1)8+1 , С",е = (1)8+1 . (5')

Пусть коэффициенты УИК при х > 0 имеют(п +1) непрерывные производные. Используя результаты из (5'), выпишем ВКБ-асимптотики для решения {V, J} системы (2), удовлетворяющего условиям

V(0, ю) = 1, К«), ю) = 0 . (6)

Она имеет вид

х __е (х)

ехр(_1ю I 0(х) +... +

ю

+ Цх) + 0(ю_п _1)]. (7)

ю п

Решение задачи (2), (3) {и, J} можно записать так:

У ) = Ц I). (8)

Отсюда и из (4), (7) следует, что асимптотика решения задачи (2), (3) представима в виде конечной суммы выражений вида

ехр{_1ю^ к + А(х)]}^1,к ю_1 +... +

+ dn+l,k ю_п_1 + 0(ю_п_2)]. (9)

Здесь

л _

А(х) = ^л/Сьат , (10)

0

в_1

ds,k = 2 ер (х)С8_1_р,к . р=0

Применяя к (8) формулу обращения:

I (х) = I I (ю)юю,

2п г

где г - прямая: Jmю = Ь,Ь <0, получаем решениеи(х,t),i(x,t) задачи (1). Из (9) видно, что применение формулы обращения к (8) сводится к ее применению к конечному числу слагаемых вида (9). Если в (9) отбросить величины

0(ю_п _2 )еХр{_1ю^ к + А(х)]Ь (11)

то применение формулы обращения к оставшимся членам из (9) дает конечную сумму выражений вида

Js,k(х) = ^ 1 ю-8ехр{ш^-1к - А(х)№ . (12)

2п г

Подчеркнем, что отбрасывание величин (11) не влияет на вычисление особенностей порядков 0,1,...,п. Это следует из того, что результат применения формулы обращения к (11) есть п раз дифференцируемая по ^ функция.

Установим связь между интегралом (12) и особенностями входного сигнала ф^). Вычисление интеграла (12) дает

т . . 1 Ч,к (х)„ .

Js,k (х) = п| (t -1к -

(8 -1)! (13)

- А(х))8-1 п^ -1к - А(х)).

Величина А(х) из (10) есть время, за которое особенность импульса распространяется от входа канала (х = 0) до точки х, х > 0 . Значит, Js,k (х) соответствует особенности, появившейся на входе при t = tк . Из (13) видно, что производные по t функции Js,k (х) всех порядков, кроме производной порядка 8 -1(8 = 1,2,...), непрерывны, а производная порядка 8 -1 имеет в точке х при t = tк + А(х) разрыв. Его скачок равен

1 Ч,к (х). (14)

Значит, Js,k (х) соответствует особенности (8 -1) -го порядка, поданной на вход в момент t = t к .

Таким образом, определение эволюции особенностей сводится к построению асимптотики (7) и отысканию по формуле (10) величин ds,k. Из (4), (5) и (10) видно, что эволюция особенности любого порядка не зависит от особенностей больших порядков.

Рассмотрим примеры.

Изучим эволюцию скачка, порождаемого входным импульсом ф(0 = п^ -1 к). Имеем

Р(ю) = (ш>)-1 ехр(-ш^к) .

Запишем асимптотику для (8) в виде

еХР{-^ к + А(х)]}[§ о (х)(«й)-1 + 0(ю-2)]; (15)

р .. , 1хке+оь

10(х) = еХР{- -1 —

20 ТСЬ

'ЛТ

\С

4,С0).

L(O) (16)

В данном случае 8 = 1,id1,k = §0 (х). Из (14) имеем, что эволюция особенности описывается выражением § 0 (х)п^ -1 к - А(х)).

Изучим эволюцию особенности 1-го порядка, порождаемой непрерывным входным импульсом с особенностью

ф(гк + 0) -ф\хк - 0) = 1. (17)

Здесь р(ю) = (ш>)-2 е%р(-^к) + 0(ю-3). Асимптотику для (8) запишем в виде

еХР{-1^к + А(х)]}[§0(х)(1ю)-2 + 0(ю-3)] .

В данном случае: 8 = 2,12d2 к = §0 (х).

Из (14) получаем, что эволюция особенности (17) описывается выражением

§0 (х)па -1к - А(х)).

2. Многомодовый полуограниченный канал

Проведем анализ особенностей для полуограниченных многомодовых каналов. В этом случае граничные и начальные условия имеют вид:

и(0,0 = и0 (t), И(<», t) = 0, и(х,0) = 1(х,0) = 0.

Здесь ф(1) - п -мерный вектор, к -я компонента которого равна единице, а остальные нули.

Граничные условия теперь имеют вид

и(0, ю) = Р(ю)5р к, Щда, ю) = 0,

а граничное условие запишется как 1(0, ю) = 5к,р , ю) = 0 . Вектор-функцию {V, J} ищем в виде

т

Т+ „\ т+ ,

Здесь

{1Д} = 2 С к (ю){и к (х, ю),J к (х, ю)}. к=1

{и + Д + } = ехр[_1ю х цк МП<к (х) +... +

0

+ z+k(x)ю_n + 0(ю_п _1)]. Коэффициенты С к (ю) определяются из следующей системы:

(18)

т

2 С к (ю)и + (0, ю) = 5 р,к. (19)

к=1

Определитель Д (ю) этой системы при достаточно больших ю отличен от нуля, так как его столбцы, с точностью до величин порядка 0(ю-1 ) , совпадают с линейно-независимыми

векторами и + (0, ю), к = 1, т.

Изучим распространение скачков импульса в полуограниченном симметричном канале, которому отвечает система из четырех уравнений в предположении, что на вход его первой ветви подается единичный перепад напряжения, а вход второй ветви заземлен. Получим формулы для скачков напряжения, возникающих во второй ветви. Матрицы С, L, G,R в рассматриваемом случае имеют вид

С =

( С с ) , (Ь т) „ ( G g)

V c С J

Ь =

V m Ь J

G =

Я =

(К Л

V' ЯJ

Я ^

Вторая компонента главного члена ВКБ - асимптотики вектор - функции {V, Д} в этом случае равна

_ Т^ехрНю хи Ql (х)] _

2а(0) 0

_ ^^Н® Ь2 (£№_ Q 2 (х)] . 2Ь(0) 0

Здесь 2 - положительные собственные значения матрицы А0 ,

а(х) = £_т)1/4(С_С)_1/4, Ь(х) = (L + т)1/4(С + с)_1/4 :

1 х _ _ _

Q к (х) = -/№ + г)(С + с)1/2 (L + т) _1 / 2 +

2 0

+ (О + g)(L + т)1/2 (С + с) _1/2 значениям к = 1,2 отвечают верхние и, соответственно, нижние знаки.

(20)

Подставим в

1 1

и(х, t) = — £1 ехррю^ - tj )]V(x, ю^ (ю^ю (21)

2п j=lГ

вместо V(x,ю) иPj(ю) соответственно (20) и изображение единичной функции. В результате получим

- ею>[^1 (х)]Ла -х ц (§)<!§) +

2а(0) 0

Ь(х) х (22)

+ еХр[^ 2 (х)]па -1 Ц 2 (§)d§).

2Ь(0) 0

Таким образом, во второй ветви "наводится" напряжение с двумя скачками, которые распространяются вправо со скоростями ц-1 (х) и ц-1 (х). Величины этих скачков при их прохождении точки х равны, соответственно,

- 2-1[а(0)]-1 а(х); 2-1[Ь(0)]-1 Ь(х).

3. Трансформация особенностей в системах с дисперсией погонных

параметров

Проведенный выше анализ дает возможность изучить эволюцию особенностей импульса в системе, в которой дисперсия погонных параметров практически отсутствует. В этом случае полученные выше формулы дают достаточно точное описание эволюции особенностей при небольшой длине пробега импульса. Если даже длина пробега импульса достаточно велика или же велика дисперсия погонных параметров канала, то анализ особенностей с помощью системы (1) дает неточные результаты, и систему (1) следует модифицировать с тем, чтобы в модифицированной системе дисперсия была учтена. Такие модификации в ряде важных случаев, например, для скин-эффекта и аномального скин-эффекта, приводят к системам вида (1) с h > 1.

Анализ особенностей импульсов в каналах с дисперсией погонных параметров также проводится с помощью ВКБ-асимптотик и использованием аппарата преобразований Фурье. Однако для каналов с дисперсией погонных параметров не удается провести точное описание эволюции особенностей, как это было сделано на основе СТУ. Дело в том, что в таких каналах особенности входного импульса при их распространении в канале «выглаживаются» и перестают быть особенностями, исчезают. Поэтому изучают трансформацию особенностей.

На практике ограничиваются исследованием трансформации скачков импульсов (фронтов импульсов). Эта задача для однородных одномодовых систем была рассмотрена в ряде работ. Для систем со скин-эффектом она решена в [3]. Здесь рассмотрена полуограниченная система (отражения от концов не учитываются). Решение задачи сводится к использованию ВКБ-асимптотик, решению систем линейных алгебраических уравнений и применению преобразований Фурье. Отметим, что полученные таким образом формулы дают возможность проследить и за эволюцией скачков наводок (с учетом их выглаживания) в многожильных кабелях.

При изучении эволюции особенностей в каналах с дисперсией погонных параметров на анализируемые импульсы следует наложить следующее ограничение: спектр импульса (в своей основной массе) должен быть достаточно удален от нуля.

Заключение

Научная новизна состоит в следующем. Проведено исследование процесса эволюции характеристик импульса в одномодовых и многомодовых системах. Описан случай импульсов, содержащих скачки и изломы.

Практическая ценность работы заключается в том, что описан метод, с помощью которого можно определить эволюцию скачков импульса и эволюцию скачков его производных по времени при распространении импульса в информационном канале. Описаны

изменения, которые претерпевает система в случае трансформации особенностей в системах с дисперсией погонных параметров.

Список литературы: 1. Гора Н.Н. Уравнения процесса формирования многокомпонентных смесей // АСУ и приборы автоматики. 2006. Вып. 133. 2. ГораН.Н., ВовкА.В. Вывод системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс обработки многокомпонентной смеси // Вестник НТУ ХПИ, тематический выпуск «Информатика и моделирование», В23, 2006. С. 19-28. 3. Дикарев В.А., Мельников А.Ф. Анализ высокочастотных сигналов в неоднородных линиях с учетом скин-эффекта / В кн. : Методы и средства преобразования сигналов. Тезисы докладов Всесоюзной конференции. Рига, 1976. С. 182-185.

Поступила в редколлегию 27.02.2008 Дикарев Вадим Анатолиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61164, Харьков, пр. Ленина, 66, кв. 21, тел. 343-57-03.

Подгорбунский Никита Сергеевич, стажёр-исследователь кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61195, Харьков, ул. Метростроителей, 15, кв. 23, тел. 716-02-70.

Агапова Ирина Степановна, канд. техн. наук, доцент кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика, теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.. 70-21-436.

УДК 519.632

С.В. КОЛОСОВА, С.Н.МАРЧЕНКО, М.В.СИДОРОВ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КВАЗИФУНКЦИЙ ГРИНА К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Рассматривается применение метода квазифункций Грина к решению краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений в областях сложной геометрии. Метод позволяет краевой задаче поставить в соответствие эквивалентное интегральное уравнение, решив которое точными или приближенными методами можно получить соответственно точное или приближенное решение краевой задачи.

1. Введение

В современной науке наблюдается большой интерес к процессам, происходящим в нелинейных средах. Математическими моделями таких процессов являются нелинейные краевые задачи математической физики. В связи с этим первостепенное значение приобретают методы конструктивного решения нелинейных краевых задач.

К таким методам относится, например, метод функций Грина. Однако необходимая для его построения функция Грина зачастую имеет достаточно сложный вид и практически может быть построена лишь для узкого класса областей. Возможен другой путь, а именно: построение функций, близких в некотором смысле к функциям Грина - квазифункций Грина.

2. Постановка задачи

Целью работы является изучение возможности использования метода квазифункций Грина при решении краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений в сложных областях.

Рассмотрим краевую задачу

Au = f(x,u) Vx=(xj,x2) е Q с R2 , u|5Q = 0 ,

о

для которой, следуя методике В. Л. Рвачева [1], мы получили эквивалентное на W2(a) интегральное уравнение

u(x) = -J G 2 (x,S) • f(iu(SM +1 ufê) • K(x,^№

a a , (1)