Многомодовые распределённые системы с точками локального вырождения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК621.37

МНОГОМОДОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЁННЫЕ СИСТЕМЫ С ТОЧКАМИ ЛОКАЛЬНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ

ДИКАРЕВ В.А._____________________

Исследуются установившиеся электромагнитные колебания в конечномодовых системах, содержащих точки локального вырождения (ТЛВ). Изучается процесс прохождения ВКБ-волн через такие точки. Получены формулы для коэффициентов «сшивки» ВКБ-асимптотик по разные стороны от ТЛВ. С их помощью выясняется, как перераспределяются амплитуды ВКБ-волн при их прохождении через ТЛВ. Получены формулы для амплитуд ВКБ-волн.

1. Введение и постановка задачи. Редукция уравнения многоволнового канала (УМК)

Рассмотрим системы дифференциальных уравнений с малым параметром вида

є — = А(х, є)у, dx

для которых не существует ВКБ-решений в целом. Исследуем случай, когда несколько собственных значений главной матрицы УМК совпадаютв некоторой точке.

14

Если при всех значениях х є [a,b] собственные значения Xj(x) главной матрицы УМК имеют постоянную кратность, то решения УМК допускают простое асимптотическое описание с помощью ВКБ-асимпто-тик [1,2], имеющих чёткий физический смысл: в системе существует щ независимых ВКБ-волн, распространяющихся вправо, и m ВКБ-волн противоположного направления, имеющих скорости Xj"1 (х) + О(со-1). Если же кратность собственных значений постоянна, то исследование УМК осложняется. Точка х0 , в которой несколько собственных значений совпадают, называется ТЛВ (или точкой поворота). Ниже изучается прохождение ВКБ-волн через точки поворота.

Целью работы является получение формул, позволяющих найти изменения амплитуд ВКБ-волн при их прохождении через ТЛВ.

Задача работы состоит в анализе формул для амплитуд ВКБ-волн. Отметим, что ситуации, физически близкие к изучаемым ниже, возникают в некоторых передающих устройств ах (например, радиоволноводах) .

Главная матрица УМК А0 может быть гладким преобразованием F, приведена к диагональной форме.

В дальнейшем будет удобнее работать не с УМК, а с системой, которая получается из УМК заменой z = Fy .

РИ, 2010, №3

Получим выражение для F. Обозначим через m2 (x),..., (x) собственные значения положительно

определённой матрицы іУ2СіУ2 . Обозначим через Uq (x) матрицу, столбцами которой являются линейно-независимые собственные векторы матрицы LC . Положим

J0 = L !U0Л, л = diag(p1,...,pm). (1)

Нетрудно проверить, что F можно записать в виде

Uq Uq J0 -J0

(2)

Матрица F является гладкой, det F ф 0 ,

F-1AqF =

+Л

0

0

-Л

(3)

єуiAy + єВу. (6)

Здесь є = ю-1, матрица A(x) вещественна и диаго-нальна, матрица B = B(x, є) имеет асимптотическое разложение:

B = £ Bp(x)ep, (є^0), (7)

p=о

равномерное по x на [a,b].

Предполагается, что все собственные значения M j (x) матрицы A(x) из (6) совпадают в точке x0; при x Ф x0, x є [a,b] либо Mj(x) ^Mk(x), либо

Mj(x) Ф Mk(x). Обозначим через rj,k -1 порядок нуля функции Mj (x) - Mk (x) в очке x0; положим

г = (8)

Действительно, гладкость F следует из (2); условие det F Ф 0 следует из того, что матрица F имеет обратную:

1 = 1 1 О & j-1 Л J0

2 1 О & T-1 jo у

Проверим справедливость (3). Используя (1), имеем

f-1a0f = -0 2

(

(и-1, Л-1и-ьЬ Л vU-1, -л-Vl

Uo

Uo

L-1Uo л, - L-1Uo Лу

uo

Л-1и0^

и Л

vU-1, -л-1и-1і

0 L C 0

-1a Л

Uq Л, - Щ1 Л CUq, CUq

(Л + Л-1и-1ІСи0, -Л+Л-1и-1ІСи0Л Л-Л-1и-1ІСи0, -Л-Л-1и-1ІСи0у

(4)

Матрицы LC и

L^CL1/2 подобны. Действительно,

LC = L1/2 (L1/2CL1/2 )L-1/2 .

Поэтому

U-1LCUo =Л2. (5)

Справедливость (3) следует из (4) и (5).

Считаем, что замена z = Fy уже сделана и матрица А0 имеет диагональный вид (3).

Пусть в точке x0 сливается несколько собственных чисел Mj(xo) (x0 - точка поворота). Используя процесс блок-диагонализации [3], сведём исследование к случаю, когда все собственные числа в точке x0 совпадают. Используя (2) и (4), получаем систему уравнений порядка n:

Считаем, что диагональные элементы матрицы B(x, є) и её элементы, лежащие на пересечении столбцов и

строк с номерами j и k, таких, что My (x) = Mk (x), тождественно равны нулю. Выполнения последнего условия можно добиться всегда. В самом деле, не ограничивая общности, можно считать, что одинаковые элементы матрицы A(x) сгруппированы вместе; диагональ матрицы A(x) состоит из серий подряд стоящих, тождественно равных функций Mj (x). Элементы разных серий не равны друг другу тождественно.

Обозначим через M(x, є) блочно-диагональную матрицу, имеющую ненулевые элементы лишь на пересечении столбцов и строк с номерами, входящими в одну серию. Эти элементы положим равными соответствующим элементам матрицы B(x, є). Пусть R(x, є) - невырожденная блочно-диагональная матрица той же структуры, удовлетворяющая дифференциальному уравнению

R '= MR. (9)

Нетрудно проверить, что вектор-функция z = R-1 (x)y есть решение дифференциального уравнения

єz' = iA(x)z + C(x, є)z , C(x, є) = єR-1 (B - M)R .

Учитывая структуру матриц R и M, легко проверить, что матрица C(t, є) удовлетворяет тем же требованиям, что и матрица B .

Определение матрицы R из уравнения (9) сводится к решению системы

h '= Mh

(h - вектор) и квадратурам. Положим

x

Mi (x) = J Mi (T)dT.

x0

Определим фундаментальную систему решений

РИ, 2010, № 3

15

y(l) = y(x, є,1) (l = 1,n)

системы уравнений (6) начальными условиями Уі (a,l) = 8j i exp[ie-1|!i(a)].

Поскольку матрица A(x) диагональна и спектр её имеет постоянную кратность при x ф х0, то y(x, l) допускает на полуинтервале [a, x0) разложение в асимптотический ряд ВКБ. Это разложение из-за совпадения |k в точке x0 перестаёт быть асимптотическим для y(x, l) справа от x0. Функции y(x, l) являются линейными комбинациями решений системы уравнений (6) y+ (x, k) (k = 1,..., n) с начальными условиями

У+ (b,k) = Sj k exp[ie-1|lJ(b)],

y(x, l) = £ Ck іУ+ (x,k). (10)

k=1

Для функций y+ (x,k) легко находятся ВКБ-разложе-ния на полуинтервале (x0,b]. Вычисление коэффициентов ck1 (є) для системы (6) является основной целью этого пункта. Зная коэффициенты ck1, можно сшить ВКБ-асимптотики по обе стороны от x0 и, таким образом, выяснить, как перераспределяются амплитуды ВКБ-волн при их прохождении через точку поворота.

Определение коэффициентов ck1 опирается на теорему о равномерной асимптотике на [a, b] для функций y(x, l). Для р = 2 эта теорема была доказана в [4]. Для случая системы [6] мы изменим формулировку и приведём сравнительно простое доказательство теоремы Кучеренко. Подчеркнём, что этот подход позволяет найти коэффициенты ck1 и, тем самым, произвести сшивку ВКБ-асимптотик и выяснить, как перераспределяются амплитуды ВКБ-волн при их прохождении через точку x0 .

Проверим, что y(l) удовлетворяет системе интегральных уравнений Вольтерра

y(l) = a(l) + Ky(l). (11)

Здесь a(l) (l = 1,...,n) - вектор, j-й компонент которого имеет вид

aj(x,l) = 8j,i exp^-1|i(x)],

а K - матричный интегральный оператор; j-й компонент вектор-функции Ky имеет вид

[Ky]j (x) = £ j exp^-1 (|j (x) - (t))] X

k=1a (12)

X Bj,k (T)yk (T)dT.

Чтобы проверит формулу (11), вставим её правую часть в (6) и выпишем j -й компонент получающегося при этом векторного выражения. Учитывая (12), получаем тождество

є{іє Vi(x)8j,i expfc 1|i(x)] + £ Bj,k (x)yk (l,x) +

k=1

n x

+іє-11j (x) £ j exp^-1 (| (x) -1 (t))] X

k =1 a

xBj,k (T)yk (l, x)dT} = i|j (x)(8j,i exp^-1 |i (x)] + +£ j exp^-1 (Ij (x) -1 (T))]Bj k (T)yk (t) +

k=1 a

+є£ Bj,k(x)yk(1, x)-

k=1

Формула (11) проверена.

2. Равномерные асимптотики для системы с точкой локального вырождения

Оператор K , определённый формулой (12), является вольтерровым оператором. Отсюда следует, что решение уравнения (11) есть сумма ряда

У(1) = £ Kma(1). (13)

m=0

Здесь Km - m -я степень оператора K .

Теорема. Имеет место равенство

m-1

У(1) = £ Ks a(1) + 0(ф(т, r, є)), (14)

s=0

где функция ф(т, r, є) равна єтг при r > 2 и

єт/2 (1n^)[m2], при r = 2; [m/2] — целая часть числа є

^2 • Оценка (14) равномерна по x на [a,b]. Теорема непосредственно следует из равенства

m-1

y(1) - £ Ks a(1) = (I - K)-1Km a(1),

s=0

которое легко получить из (13), если учесть, что оператор I - K имеет ограниченный обратный и следующего неравенства:

nxax|[Kma(1)]j (x)| < Cmф(щ r, є). (15)

Доказательство неравенства (15). Из (12) следует, что компоненты вектора Km a(1) являются суммами слагаемых вида

x

exp[K-1 (|Jm (x)] j exp[K-1 (|Jm-1 (xm ) - j (xm ))] X

a

XBJm,Jm-1 (xm)dxm X -x

x2 def

X j exp[iє-1 (Ii (xj) - m (x! ))]BU (x! )dxj =

a

def

= exp^j (x)]Fm(x) =

x

= exp[is;-1 j (x)] j exp[iє-1 |(xm )]Gm-1 (xm )dxm ,

16

РИ, 2010, № 3

где

Gm-1 (xm ) = Bjm,jm-1 (xm )Fm-1 (xm X

A(Xm) = pjm-1(xm) -pJm(xmX (16)

Здесь и далее для удобства записи не указывается зависимость функций B, Gm, F от є.

Порядок нуля функции p(x) при x = х0, равный, в силу (8), rJm-1,jm , обозначим для удобства через р .

Из предположения о матрице B следует, что если p(x) = 0, то тождественно равен нулю и соответствующий элемент матрицы B.

Далее через N будем обозначать константы, не обязательно совпадающие. Доказательство (15) приведём для двух возможных случаев р> 2 и р = 2.

Пусть р> 2. Имеем

|Fm(x)| <

J exp[ie 1p(x)]Gm_1(x)dx

+

+

J exp [is 1|l(x)]Gm-1(x)dx

x0

N + lJ2 I •

(17)

Оценим интеграл J2 в сумме (17). Заметим сначала,

что если |x - x0| < є1р,

то M р max|Fm-1(x). x (18)

Если же |x - x0| > є1р, (19)

то, производя интегрирование по частям и учитывая, что функция

-is exp[is-1 Д(х)]( p '(т))-1 является первообразной функции

exp[is 1р(т)] - is exp[is 1р(т)][( p'(т)) 1]',

Здесь знак «+» перед є1 р берется при x > x0, знак «-» при x < x0. Для определённости рассматривается случай x > x0. Случай x < x0 рассматривается аналогично.

Далее нам потребуются следующие неравенства

I p'(x)| > N|x-x0|р 1 І Р''(x) < N|x - x0 |р-2

(21)

имеющие место при соответствующем выборе постоянных N . Их справедливость следует из тейлоровских разложений функций p'(x) и p''(x) в окрестности точки x0 .

Оценим внеинтегральный член в (20). Используя неравенства (21), получаем

is exp[is 1 P(T)][Gm-1 (т)] [Р'(т)] 1 ур <

I 1x0±є1р

< {Gm-1(x)|| p'(x)|-1 +

+ |Gm-1 (x0 +є1р ^ A'(x0 +є1/р ^ 1}s< (22)

< N max I Gm-1 (x)|{|x - x0f р+ (sVр )1 р }s <

x

< N max |Gm-1 (x)| {(є1 р )1-р + (є1 р )1-р }є =

x

= Nrnax|Gm-1(x)| є1 р •

x

Оценим интеграл в правой части неравенства (20):

Іє J exp [Іє 1p(T)]Gm-1(T)[(p '(т))

x0+є^ р

<є J {g^-1 (т)( p '(т))-1! +

x0 +є7 р

+ |Gm-1 (т)( p '(т))-2 p ''(x)|}dx.

Учитывая, что

'dт

<

(23)

Gm-1(x) = B'mJm-1 (x)Fm-1(x) +

B

Jm,Jm-1

(x)Fm-1(x),

имеем

Ы=

J {exp[i£ 1 p(т)] -

x0 ±є

1 р

-Іє exp^ 1 P(т)] [(p'(т)) 1 ]' }Gm-1 (т^т +

+ J іє exp^ 1 p(т)][( p'(т)) ^^-^т^т

x0 ±є <

.1/ р

(20)

|іє exp [Іє 1 P(т)]( p '(т)) 1 Gm-1 (т)|

x0+є

1 р

іє J іє exp^ 1 pG)][Gm-1 (т)( p'(т)) 1 ]^т

x0 ±є

1 р

получаем следующую оценку сверху для (23):

N max |Fm_1 (x)| є J | p'(т)|-1 dт +

x x0+є1р

x -1

+N max |Fm-1(x)| є J | p'(т)| dт+ (24)

x x0 +є7 р v '

+Nmax|Fm-1(x)| є J | p'(т)|-21 p''(т)^т.

x x0 +є1 р

Оценим первое слагаемое в (24). Так как, в силу (21), | p'(x)|-1 < N|x - ^, то

N max lFm-1 (x)| є J | p'(т)-1 dx < x X0+sVP

РИ, 2010, № 3

17

< Nmax|Fi;_1(x)є J (т-x0)' pdx<

x x0+ЄІ p

< Nmax|F,;-i(x)| s{(x- xo)2-p +Є1 p(2-p)}< (25)

< Nmax|Fi;-1 (x)| s{sVp(2-p) +sVp(2-p)} =

x

= Nmax|Fm-i(x)| є2p.

x

На последнем шаге оценивания было использовано условие (19).

Аналогично для второго слагаемого в (24) получаем

Nmax|Fm-i(x)| є J |Д '(т)|^т<

x x0 +є1 p

< N max |Fm-1 (x)| є2p.

x

(26)

Оценим третье слагаемое в (24). Используя неравенства (21) и условие (19), имеем

Nmax|Fm-1(x)|є J |Д'(т)| 2 |ц''(T)|dT<

x x0 +є1 p

< Nmax|Fm-1(x)є J (t-x0)2 2p(T-x0)p 2dT<

x x0+є1 p

< Nmxax|Fm-1 (x)| s{(x- x0)1-p + (є1^ )1-p }< (27) < N max |Fm-1 (x)| p.

x

Выпишем теперь оценку для интеграла (23). Учитывая (25)-(27) и то, что ^-1(x)| = 1% I |Fm-2 (x)| , получаем

іє J exp [іє 1 ц(т)][От-1 (т)(р. '(x)) 1]'dT

x0+є^ p

<

N^1 p max|Fm-1(x)| + є2'p max|Fm-2(x)|}.

x x

(28)

Из (28) и оценки (22) следует, что J2 оценивается правой частью (28). Интеграл J1 тоже оценивается правой частью (28). Таким образом, окончательно получаем, что при p > 2

|Fm(x)| < N^1/p max|Fm-1(x)| + є2p max|Fm-2(x)|}.(29)

x x

Теперь для случая p> 2 неравенство (15) доказывается индукцией по m, так как p< г .

При p = 2 оценки (25) и (26) изменятся, так как при выполнении интегрирований для получения этих оценок случай p = 2 приводит к логарифмам. В этом случае правые части неравенств (25) и (26) имеют вид

N max |Fi;-1 (x)| є ln1. x 1 1 є

Правая часть неравенства (29) теперь запишется так: N{max |Fm-1 (x)| є1 p + max |Fm-1 (x)| є ln1 +

x x є

+ |F ( д , 1 (30)

+ max Fm-2 (x) є ln—. x 1 1 є

Используя (30) и проводя индукцию по m , получаем для случая p = 2

|Fm (x)| < N^m/2 + єm (ln1)1* + є^2 (ln^)[m2]} <

є є

^"^(ln1)^. (31)

є

Из неравенства (31) следует справедливость неравенства (15) при p = 2.

На самом деле доказан более сильный результат. Дело в том, что на каждом шаге оценивания мы получаем величины порядка (є)1г к, где rj k - порядок нуля соответствующей функции F(x) = Fj(x) - Fk(x). Это следует использовать при конкретных вычислениях. Однако, мы сохраняем указанную выше формулировку теоремы ввиду её простоты.

3. Заключение

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем. Выведены формулы, дающие возможность определить изменение амплитуд ВКБ-волн при их прохождении через ТЛВ.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные формулы достаточно просты с точки зрения их приложений и применимы к широкому классу многомодовых информационных каналов.

Литература: 1. Агапова И.С., Дикарев В.А., Подгорбунс-кий Н.С. Построение асимптотик систем уравнений многоволнового информационного канала // АСУ и приборы автоматики. 2008. Вып. 143. С. 61-67. 2. Агапова И.С., Дикарев В.А., Подгорбунский Н.С. Эволюция скачков и изломов импульсов при их распространении в информационном канале // АСУ и приборы автоматики. 2008. Вып. 142. С. 57-63. 3. Агапова И.С., Дикарев В.А., Подгорбунский Н.С. Процесс глобальной блок-диагонализации матриц. Ч.1 // Радиоэлектроника и информатика. 2007. С. 2429. 4. Кучеренко В.В. Асимптотики решения системы

u = 0 при h ^ 0 в случае характеристики

переменой кратности //Изв. АН СССР. Сер. матем., 1974. Т.38, №3. С. 625-662.

Поступила в редколлегию 15.09.2010

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Дикарев Вадим Анатолиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61164, Харьков, пр. Ленина, 66, кв. 21, тел. 343-57-03.

AI x, -ih-

dx

18

РИ, 2010, № 3