Формирование функций полезности частных критериев в задачах многокритериального оценивания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.81

ФОРМИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ ЧАСТНЫХ КРИТЕРИЕВ В ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ

ПЕТРОВ Э. Г., БЕСКОРОВАЙНЫЙ В.В., ПИСКЛАКОВА В.П.

ных, так и нелинейных зависимостей, можно выделить ФП вида [3]:

(2)

где — а; коэффициент, определяющий вид зависи-

мости. При а; = 1 получаем линейную зависимость,

при 0 < а і < 1 — выпуклую вверх, при а; > 1 — выпуклую вниз зависимости (рис.1). Эти формы отражают безразличие, уклонение и стремление к риску лица, принимающего решения [5].

Недостатком, ограничивающим использование ФП вида (2), является невозможность непосред-

Предложен вид универсальной функции полезности частных критериев для процедур выбора решений,что позволяет реализовать линейные и нелинейные (включая комбинированные) зависимости от значений частного критерия. Ее использование сводит необходимость формирования множества оригинальных функций полезности частных критериев к решению обычной задачи параметрической идентификации предложенной функции.

Введение и постановка задачи. В процессе принятия решений, при решении задач выбора и оптимизации возникает необходимость всесторонней оценки качества альтернативных вариантов. Качество вариантов x є X оценивается множеством частных критериев k1 (х), k2 (х), ..., kn (х). Один из основных подходов к решению задачи многокритериального оценивания предполагает формирование обобщенной оценки полезности (ценности) %(x) для каждого

из допустимых решений x є X [1]. Как правило, такая оценка формируется на основе аддитивной или мультипликативной схемы с использованием функций полезности (ФП) частных критериев

%i (k; (x)), i = 1, n. При этом ФП частных критериев должны удовлетворять ряду требований [2,3]: быть монотонными и безразмерными; иметь одинаковый диапазон изменения [0,1]; быть инвариантными к виду экстремума; позволять реализовать как линейную , так и характерные нелинейные зависимости от значения критерия. Также желательно, чтобы ФП всех частных критериев имели бы один и тот же вид и различались только значениями параметров. Последнее позволило бы свести сложные задачи формирования ФП для всех частных критериев к решению задач их параметрической идентификации.

Задача заключается в обосновании вида универсальной ФП частных критериев, пригодной для оценивания альтернатив в различных ситуациях выбора, и разработке процедур выбора значений (идентификации) ее параметров. Выбор вида универсальной ФП. Простейшей функцией полезности является линейная, представляющая собой разновидность преобразования функции цели [4]:

ю (ki)

k i - k інх

k — k

^•інл ^-інх

(1)

где ki(x) — текущее значение i-го частного критерия;

k інл, k інх — наилучшее и наихудшее значения і-го критерия на допустимой области изменения і-го показателя x є х.

Среди функций, удовлетворяющих основным требованиям и допускающих реализацию как линей-РИ, 1997, № 1

Si (ki)

Рис. 1. Зависимость ФП (2) от значений ai

ственного отображения комбинированных зависимостей, включающих участки вогнутости, линейности (квазилинейности) и выпуклости (выпуклости, линейности и вогнутости). Примером подобных зависимостей могут служить S — образные эволюционные кривые, отражающие развитие эффективности различного рода систем.

Для отображения S — образных зависимостей может быть использована Ф П, построенная на основе функции Гаусса:

(ki -kінх )2

Si(ki) = b • e c , (3)

где - k i = ю( k i), k інх = ю( k інх); b и c - коэффициенты, определяющие форму зависимости.

При этом ь = |

c > 0,

а kінх < kі < kінл иёи

1

kінл < kі < kінх . С увеличением значения с зависимость (3) становится более пологой, точка изгиба смещается в сторону кінх, а функция становится практически выпуклой. Основной недостаток ФП такого вида — различная степень приближения ее

значений к нулю при kі ^ kінх, зависящая от

диапазона изменения частного критерия.

Свободной от указанных выше недостатков является ФП, построенная на основе функции вида (2)

[6]. Для ki ^ max она имеет вид

S i(ki) Н

( ki - kim VU

a-І і 1 k —— I , если - k ) кінх < ki < kia,

VIVia

( ki - kia V2i

a+(1- a)-lk.i _k“ I V k інл kia ) , если kia < ki < kj

71

где kia , a — координаты точки перегиба ФП,

kінХ < kia < kінл , 0 < а < 1, a1i, a2i - коэффициенты, определяющие вид зависимости соответственно на начальном и конечном отрезках.

Такая функция монотонна и непрерывна на всей

области определения kінх < k i < kінл . Изменяя значения параметров а є[0,1] , kia e[kiHX,kiнл],

a1i > 0, a2i > 0, можно получить требуемый вид комбинированной зависимости (рис. 2).

Si

Рис. 2. Зависимость ФП (4) от параметров

Для ki ^ min соответствующее выражение может быть представлено в виде

S i(ki) =

а + (1 - а)'

k i k інл

k. - k. ^іа ^гнл

a1i

,есликінл < ki < ki

ki kia

k — k

^•інх ліа

a2i

есликіа < кі < кінх.

(5)

а

В частных случаях при а = 1, kia = kim или а = 0, kia = kiHX зависимость (4) трансформируется к (2), а при а = 0, kia = kiHX или а = 1, kia = kim зависимость (5) эквивалентна (2).

Воспользовавшись преобразованием (1), опреде-

лим значения ki = ю( ki), kia =ra(kia),

kінх = ®(kінх) = 0, kінл _ ro(kінл) = 1

С учетом этого ФП, определяемая выражениями (4) и (5), может быть представлена в виде

S i(ki)

k Vй - -

а •|=±- I ,если 0 < k i < k i

kia J

a + (1 - a)

ki

1 - kia

a 2i

, есликia < ki < 1.

(6)

Основной проблемой при практическом использовании универсальной ФП вида (6) является выбор значений ее параметров.

Выбор значений параметров aH, a2І. Основным источником информации для выбора значений параметров a1i и a2i являются эксперты. При этом данные для идентификации параметров ФП могут быть получены путем анализа предпочтений и безразличия лица, принимающего решения, на множестве допустимых альтернатив X. Предположим, что экспертным или каким-либо другим путем удалось определить для ряда значений частного критерия ki1 = ki (xi) , ki2 = ki (X2),...,

kim = ki(xm) значения его ФП S u = S i(kn),

S i2 = S i(ki2), . ., S im = S i (kim), включая координаты точки перегиба (kia, a). Выполним преобразование (1): kjj =ra(kij), j = 1, m, kia = ю(^).

Выбор наилучших значений параметров a1i и a 2i может быть осуществлен по методу наименьших квадратов. При этом желательной является минимизация сумм квадратов отклонений на каждом из участков ФП:

-|2

m1 Г Ь ~

- S ij

R1 = z

j=1

k.

Vа- ia J

^ min,

a1i

(7)

m

R2 = Z j=m1

a + (1 - a)

\a 2i

2

ij

1 - k

-S

ia J

^ min,

a 2i

где m1 — объем исходных данных для первого участка ФП; m — общий объем данных.

Задача (7) может быть разбита на две задачи

R1 ^ min и R 2 ^ min

a1i a2i

и а. Наилучшие значения параметров a1i и a2i в смысле (7) определяются из условий

dR1 = 0 и ^ = 0.

, связанные параметрами ki.

da1i

da

2i

m1

Z

j=1

k •

ia J

-Si

• a •

(k.. Aa1i

kij

k

VK ia J

• ln

(k..\

kij

k

ia J

= 0,

Z

j=m1

a + (1 - a)

( k. ^a 2i

kij

(1 - a) •

kij

V1 kia J \a 2i

-Si,

(8)

1 - k,(

• ln

k

V1 kia J

= 0.

Каждая из задач системы (7) может решаться независимо и ее решение сводится, таким образом, к решению одного из нелинейных уравнений (8).

Выбор значений параметров kia, a. Предположим, что для множества преобразованных значений кри-

ТЄрия ki1 = ki(X1) , ki2 = ki(X2) ,. - kim = ki(xm)

известны значения ФП S i1 = S i(ki1), S i2 =

S i(ki2) , ..., S im = S i(kim) .

Выбор значений параметров связи kia и а может быть выполнен только совместно с решением задач (7). Такая общая задача с использованием аппроксимации по методу наименьших квадратов имеет вид

R =Z

j=1

Si [) -Si

^ min

a1i,a2i,kia,a .

(9)

Для решения задачи (9) может быть использован метод, базирующийся на методе решения задачи (7). Суть его состоит в следующем. Необходимо выполнить упорядочение данных по возрастанию значений частного критерия ki и выделить на них подмножества, соответствующие начальному

D кн = {kij }, ^н = {~ij} и конечному

\a1i

k

ij

a

х

72

РИ, 1997, № 1

D кк = {k ij}, D^K = {lij} участкам ФП с характерными нелинейностями. Выберем в качестве начальных координат точки перегиба ФП значения:

kia = (sup D кн + inf D кк)/2

a = (sup D^ н + inf D^)/2. (10)

Окончательные значения параметров kia и a определяются путем решения задачи (9) в окрестности

точки (kia, a). В частности, это может быть сведено к решению множества задач (7) на сетке в области, задаваемой сегментами

[suP D k^ inf D кк ],[suP D inf D^ ].

В случае, когда точки, соответствующие исходным данным, расположены вдоль прямой функции преобразования (1), полученные решения будут соответствовать (6) при k ja = k інх, а=0 или

k ia = k інл, a = 1

Если для оптимизации ФП будут использованы градиентные методы, то необходимо, чтобы ФП была дифференцируемой в каждой точке интервала определения. В общем случае ФП вида (6) не является

дифференцируемой в точке склейки (kia, a). Устранить этот недостаток можно, выполнив склейку с помощью кубического сплайна [7,8]:

С_ч (ku+1 -ki)2[2(ki-kn) + h]£ii S(ki)= з +

h

(kj - ktl)2[2(kl l+1 - kj) + h]£ j,1+1

(11)

(ki, 1+1 -ki)2(ki -kii)mi (ki -kii)2(ki -ki,i+i)mi+i

где kii, ki;i+1 — узлы интерполяции, k a = supD кн; ki i+1 = inf Dкк; £ ii,£ i,i+1 — значения ФП (6) в узлах интерполяции ku, ki,i+1; h—длина отрезка интерполяции, h = ki,i+i - ku ; mi , mi+1 — наклоны сплайна в узлах ku , ku+1, значения которых могут быть

определены решением системы уравнений: mi =

m i+1 3 £ i,i+1-£ ii h „ ", г

+ ’ ■ -T£ i ( kii ):

- + __ 2

mi+1 =

2 2 h

m i | 3 £ i,i+1-£ ii 2

2

4

-4£ i"( ki,i+1 )

Использование сплайн-склейки (11) не ухудшает качества решения задачи приближения (7) и делает универсальную ФП частных критериев

£i(ki) =

a-|=^| , если kiнх <ki <kil,

S(k j), если к и < кі < к j

i+ь

a+(1-a) •

( Г A“2i

ki

(12)

если ki і+1 < ki < ki,

дифференцируемой на всей области изменения частного критерия [k інх, k інл ].

ФП (6) и (12) являются монотонными и непрерывными на области изменения частного критерия, они безразмерны и инвариантны к виду экстремума,

РИ, 1997, № 1

з

h

+

2

2

h

h

ia

изменяются в диапазоне от 0 до 1, позволяют реализовать как линейные, так и нелинейные зависимости всех практически интересных видов.

Заключение. Рассмотрены виды ФП частных критериев, используемых в задачах многокритериального оценивания. Каждая из функций позволяет реализовать один или несколько видов характерных зависимостей: линейную; линейную, выпуклую и вогнутую; выпуклую и S — образную.

Предложен вид универсальной ФП, удовлетворяющей всем требованиям и позволяющей реализовать линейные, выпуклые, комбинированные с участками вогнутости и выпуклости (выпуклости и вогнутости) зависимости от значений частного критерия. Ее использование в ситуациях оценивания сводит задачу формирования ФП к задаче оптимизации ее параметров. Разработан метод идентификации параметров универсальной ФП.

Благодаря возможности реализации комбинированных зависимостей, предложенная ФП позволит более адекватно формализовать процессы многокритериального оценивания и выбора решений долгосрочного планирования, управления, автоматизированного проектирования. Частные случаи ФП: (6), (12) в виде (2) применяются в процедурах принятия решений и оптимизации [9,10].

Литература: 1. Теория выбора и принятия решений / И.М-.Макаров, Т.М.Виноградская, А.А.Рубинский, В.Б.Со-колов. — М.: Наука.— 1982. — 328 с. 2. Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. — М.: Наука.— 1990.

— 256 с. 3. Петров Э.Г. Организационное управление городом и его подсистемами (методы и алгоритмы).— Харьков: Вища школа.— 1986. — 144 с. 4. Михалевич В. С., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. — М.: Наука.— 1982. — 288 с. 5. Кини Р. Теория принятия решений. В кн.: Исследование операций /Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. Т.1. Методологические основы и математические методы. — М.: Мир.— 1981.— С. 481-512. 6. Бескоровайный В.В. Об универсальной функции полезности для процедур выбора решений. 3-я Международная конференция «Теория и техника передачи, приема и обработки информации». Тез. докл. /ХТУРЭ, Харьков-Туапсе.— 1997.— С. 280. 7. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. — М.: Изд-во Моск. ун-та.— 1983. — 208 с. 8. Волков Е.А. Численные методы. — М.: Наука.— 1987. — 248 с. 9. Петров Э.Г., Писклакова В.П., Бескоровайный В.В. Территориально распределенные системы обслуживания.

— Киев: Техника.— 1992. — 208 с. 10. Petrov, E, Beskorovainyi, V. Entscheidungsfindung unter Bedingungen der Unbestimmtheit der Ziele. 39. Inter . Wis. Kol.: TU Ilmenau, 1994, B.3.— S. 208-211.

Поступила в редколлегию 05.12.97

Петров Эдуард Георгиевич, профессор, д-р техн. наук, зав. кафедрой системотехники ХТУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, теория принятия решений. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

Бескоровайный Владимир Валентинович, канд. техн. наук, доцент кафедры системотехники ХТУРЭ. Научные интересы: структурный синтез, планирование и управление территориально распределенных систем обслуживания. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

Писклакова Валентина Петровна, ст. науч. сотр., канд. техн. наук, директор ЦИОУ ХТУРЭ. Научные интересы: информатизация процессов управления. Адрес: 310726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 30-24-29.

73