Формальные языки и автоматы VII: формальные ряды деревьев (часть ii) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ИНФОРМАТИКА

УДК 681.3.07

С. И. Алешников, Ю. Ф. Болтнев, 3. Език,

С. А. Ишанов, В. Куах

ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ И АВТОМАТЫ VII: ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДЕРЕВЬЕВ (Часть II)

Это восьмая статья в серии, дающей обзор некоторых разделов теории формальных языков и автоматов с использованием полуколец, формальных степенных рядов, матриц и теории неподвижных точек. Рассматриваются автоматы над деревьями (рядами деревьев) и системы уравнений над рядами деревьев. Основные темы статьи:

1. Магазинные автоматы над деревьями, состоянием которых являются ряды деревьев над полукольцом, к тому же алгебраические системы над рядами деревьев эквивалентны; более того, класс алгебраических рядов деревьев характеризуется алгебраическими выражениями рядов деревьев (результат Клини).

2. Класс распознаваемых рядов деревьев замкнут относительно недетерминированных элементарных трансдукций распознаваемых рядов деревьев.

3. Семейства распознаваемых и алгебраических рядов деревьев суть полные абстрактные семейства рядов деревьев (полные AFT-семейства).

4. Макростепенные ряды, любое обобщение индексированных языков и алгебраические степенные ряды суть в точности выходы алгебраических и распознаваемых рядов деревьев соответственно; для макростепенных рядов также имеет место результат Клини. Вы,ходом полных абстрактных рядов деревьев является полное абстрактное семейство степенных рядов.

This is the eighth paper of a series of papers that will give a survey on several topics on formal languages and automata by using semirings, formal power series, matrices and fixed point theory. The seventh paper of this series deals with tree (series) automata and systems of equations over tree . The main topics of the paper are the following.

1. Pushdown tree automata, whose behaviors are tree series over a semiring, and algebraic tree systems are equivalent; moreover, the class of algebraic tree series is characterized by algebraic tree series expressions (a Kleene result).

2. The class of recognizable tree series is closed under nondeterpministic simple recognizable tree series transductions.

3. The families of recognizable tree series and of algebraic tree series а/re full abstract families of tree series (full AFTs).

4- The macro power series, a generalization of the indexed languages, and the algebraic power series а/re exactly the yields of algebraic tree series and of recognizable tree series, respectively; there is a Kleene result for macro power series; the yield, of a full AFT is a full abstract family of power series.

Ключевые слова: формальный язык, автомат, автомат над деревьями, полукольцо, формальные ряды деревьев.

Key words: formal languages, automaton, tree automaton, semiring, formal tree series.

Это вторая часть последней статьи [7] настоящей серии. Нумерация глав и теорем продолжает нумерацию первой часта [7]. Предполагается, что читатель знаком с частями I—VI [1—6] нашей серии.

В главе о вводятся магазинные автоматы над деревьями pi алгебраические системы над деревьями pi показывается, что оба эта мехатшзма экврталептпы. Кроме того, доказывается теорема Клрпш для алгебрапческртх рядов деревьев.

Трапсдукторы тшсходящего TPina («top-down») над рядамрт деревьев вводятся в главе 6. Мы сосредоточршся па (тшсходяпщх) педе-термрпшрованпых простых распознаваемых трапсдукторах над ря-дамрт деревьев pi докажем, что otipi сохраняют распознаваемость рядов деревьев. Полпымр! абстрактпымр! семействамрт рядов деревьев (кратко — полпымр! AFT-семействамрт) являются семейства рядов деревьев, замкнутые отпосрттелыго педетермрпшроваппых простых распознаваемых трансдукцрш над рядамрт деревьев pi некоторых спе-циштьных <<рзщионш1ьных^ операции.

Этрт полные AFT-семейства вводятся в главе 7. Показывается, что семейства распознаваемых рядов деревьев семейства алгебраическртх рядов деревьев — полные AFT-семейства.

Последняя глава показывает связрт формальных рядов деревьев с формальпымрт степеппымр! рядамрь Сначала мы показываем, что макростепеппые ряды (обобщетше ршдексртроваппых языков) — в ТОЧПОСТР1 выход алгебрапческртх рядов деревьев. Кроме того, мы доказываем теорему Клрпш для макростепеппых рядов (pi ршдексртро-ватшых языков). Затем мы показываем, что алгебрапческрте степенные ряды являются в точпоста выходом распознаваемых рядов деревьев. Наконец, мы доказываем важный результат, что выход полного AFT-семейства образует полное абстрактное семейство степенных рядов.

Изложетше в настоящей статье следует работе [26].

5. Магазинные автоматы над деревьями, алгебраические системы над деревьями и теорема Клини

8

В этом разделе мы рассмотрртм магазршпые автоматы над дере-вьямрт Р1 алгебраическрге сртстемы над деревьямрт. Кроме того, докажем теорему Клрпш, следуя [17].

В [36] введено понятие магазинного автомата над деревьями (нисходящего типа) и показано, что этот магазинный автомат в точности распознает класс контекстно-свободных языков над деревьями. Здесь язык над деревьями называется контекстно-свободным, если он порождается контекстно-свободной грамматикой над деревьями (используя 01-метод вывода). Кроме того, там показано, что магазинные автоматы над деревьями эквивалентны ограниченным магазинным автоматам над деревьями, то есть магазинным автоматам, магазинная память которых линейна.

В [44] обобщены результаты [36] на формальные ряды деревьев. Определены магазинные автоматы над деревьями, поведениями которых являются формальные ряды деревьев, и показано, что класс поведений этих магазинных автоматов совпадает с классом алгебраических рядов деревьев. Здесь ряд деревьев называется алгебраическим, если он — начальная компонента наименьшего решения алгебраической системы над деревьями с начальной функциональной переменной. Эти алгебраические системы над деревьями выступают обобщением контекстно-свободных грамматик над деревьями (см. [49] и [31]). Имеем частный случай систем второго порядка різ [17]. Настоящее РізложетіРіе следует работе [44].

Магазинный автомат над деревьями (с входным алфавитом £ и алфавитом листьев X) над полукольцом А

р = (Я, т,г,у,ы, б, ро, р )

задается посредством:

(і) конечного непустого множества Q состояний;

(п) конечного упорядоченного алфавита Г = Го и Г і и ... и Гт символов магазина;

(ііі) конечного алфавита X = {гі,..., хт} переменных магазина;

(іу) конечного алфавита У = {уі,... ,ук} переменных]

(у) матрицы переходов магазина над деревьями М порядка к;

(уі) Б Є (А(Тя(X и Уі)))1х^, где Бя = бяуі; бд Є А] д є Q, называемого вектором начальных состояний;

ро Є Го

(уііі) конечного семейства Р = (Рд(Х1...,гт) I 9 Є Гт, 0 ^ т ^ т) векторов конечных состояний

Рд(х\,..,хт) Є (А(ЫХ)))ЯХ\ 9 Є Гт, 0 < т < ГП.

к

матррща

М є ((А{Тъ(Х и Ук)))®х0к)Тг(г)хТг(г)к,

9

удовлетворяющая следугопщм двум условріям:

(1) для всех і, іі,..., ік Є Тг(Е)

Мі

Т,Мд(хі

,...,гт),(ьі(гі,...,гт),...,ьк(гі ,...,гт))> где суммирование производится по всем Уі,... ,Ук Є Тг(Хт) таким, что іу = Уу(иі,.. .,пт), 1 ^ і ^ к, если і = 9(иі, . . . , ит), 9 Є Гт,

иі, . . . , ит Є ТГ(Ет) ;

0 в противном случае ;

М 9 Є Гт

0 ^ т ^ т, существует лишь конечное число блоков

Мф1 ...,Хт)(и1...,ък), Уі,... ,Ук Є Тг(Хт), которые не равны 0.

Заметим, что если корень і обозначен меткой д Є Гт, то Мі,(іі,.,ік) = = 0 влечет і,іі,...,ік Є Тг(Хт).

Неформально определение матрицы переходов магазина над деревьями означает, что действие магазинного автомата с деревом і = д(иі,..., ит) на свою магазинную память зависит только от мет-9і

к

КОВ ВИДа Мд^і,...,гт),^і,...^к) ’ 9 Є Г‘т-

Заметим, что наше определение магазинного автомата над деревьями несколько отличается от определения, данного в [44]: здесь М

ми. Но согласно замечанию, данному после определения автомата над деревьями в разделе 3, оба типа магазинных автоматов над де-рввьями эквивалентны относительно их поведении.

Пусть теперь Ед = {(хі)ч I 1 ^ і ^ т, д Є Q} — алфавит переменных, и обозначим = {(хі)я | 1 ^ і ^ т, д Є Q}1 1 ^ т ^ т,

Ед = 0. Определим Е Є ((А(Т^(Х и Ед)))дхі)Тг(я) хі ее элементами следующим образом:

(І) (Е)д = (Рд{гі ...,гт))^ і = 9(иі, . .., ит), 9 Є Гт, 0 ^ т ^ ГП,

иі, . . . , ит Є ТГ(Ет), д Є Q',

(ii) Е)д = (хі)д, 1 ^ і ^ т, д Є Q;

(iii) (Е^д = 0 в противном случае.

Следовательно, Егі, 1 ^ і ^ т,— вектор-столбец размерностп Q, чей д-й элемент, д Є єсть переменная (Хі)д.

Аппроксимирующая последовательность (тз | і Є М), тз Є Є ((А(Тя(X и Ед'))^)дх1')т^(я)хі; і ^ 0, ассоциированная с ф, определяется следующим образом:

т0 = 0, ту+і = М(ту,..., Т) + Е, і ^ 0 .

Это означает, что для всех Ь € Тг) блок векторов Т в Т определяется как

= 0, Т+1 = ^ М^Ь...А)К.т1к) + р^ 3 > о.

Ь1,...,Ьк €Тт^)

Кроме того, для всех Ь € Тг^), д € Q,

(Т0)я = 0,

(Т ^я ^ tl,...,tk €Тр^ ) ^ Я1, — ,Як

(МЬ,{Ь1,..,Ьк))Ч,{Ч1,-,Чк)((т311 )Я1 ,■•• , Ык )Як ) + (Р)я 3 > 0 •

Следовательно, для всех д € Гт^ 0 ^ т ^ т, и всех и1,..., ит € € Тг^т) получим, что для всех 3 ^ 0

д(иі,... ,пт) — ¿-/V!,... ^кЄТг(гт) Мд(гі,..., гт),( +Рд(гі •,... •, гт)

Мд(г!,..., гт),(1>1,..., vk ) ('TVl(ul,..., ит) 1 • • • 1 TVk (иі,... итР

гІ + 1

— Рг^ і Є Ті •

Пусть т Є ((А((Т'^(Х и Тд))))®х1)Тг(г^х1 — наименьшая верхняя грань аппроксимирующей последовательности, ассоциированной с ф. Тогда поведение ||ф|| магазинного автомата над деревьями ф определим как

1№Н = Б(тР0) = ^ Бя((тР0)я) = ^ Ля(тР0)я • я^Я я^Я

Заметам, что 11Р11 — ряд деревьев в Л{{Т^(Х))). Кроме того, заметим, что (т1)я € Л{{Т^(Х и 2я))), Ь € Тг^), д € Q, индуцирует отображение из (Л{{Тя(X и ZQ))))m^ в Л{{Т^(Х и 2я))).

Построим теперь полиномиальный автомат над деревьями А, который будет иметь то же поведение, что и магазинный автомат над деревьями р. Пусть М € (Л{Те(Х и Ук)))(Тг(г)хЯ)х(Тг(г)хЯ)к И Р € (Л{Тя(XиZQ)))(Тг(2)хЯ)х1 — изоморфные копии М и Р соответственно. Заметим, что М конечна по строкам. Кроме того, определим Б € (Л{Т^(Х и ^1)))1 х(Тг(г)хЯ) посредством Б(Р0,я) = Бя, Б^,я) = 0, Ь = ро, д € Q. Определим полиномиальный автомат над деревьями А с входным алфавитом £ и алфавитом листьев Х и ZQ как

А = (Тг^) х Q,M, Б,Л).

Тогда ясно, что ||А|| = | |ф||, то есть наш магазинный автомат над деревьями подходит под общее определение полиномиального автомата

11

г

12

ттад деревьями, по по техническим причинам мы предпочитаем работать с матрицей переходов М в ((А{Т^(Х и Ук)))®х® )Тт(г)хТг(я) и с вектором начальных состояний Р в ((А(Т^(Хи Тд)))®х1)Тг(г)х1.

Очевидно, это означает, что все понятая, относящиеся к автоматам над деревьями (например, простой автомат над деревьями), являются также понятиями, относящимися к магазинным автоматам над деревьями.

Заметам, что мы адаптировали определение магазинного автомата над деревьями, данное в [44], так, чтобы оно подпадало под общее определение полиномиального автомата над деревьями.

Рассмотрим теперь полиномиальную систему, построенную из А в доказательстве теоремы 3.3, и перенесем ее »ізоморфно па систему, которая соответствует ф, то есть

У — М (у,...,у)+ Р• (*)

Здесь у Є ({(Уі)я І і Є Тг(Т), д Є Q}Qх1)Tг(Z)х1 — вектор переменных (Уі)я, і Є Тг(Т), д Є такой, что (уь)д єсть і-д-й элемент вектора у. Уравнения линейной системы (*) в блочной нотации для і Є ТгТ)

уь — ^ Мі,(іи..,ік)(уьі ^•^Шк)+ рь1

ьі,...,ьк &ТГ(2 )

где уь — вектор размерности Q х 1, чей д-й элемент есть переменная (уь)я, Я Є и для і Є Тг(Т), д Є Q,

(уь)д Ху ь!,...,ьк £Тг^)^^ Я1,...,Як^Я

(МЬ,(Ьі,...,Ьк)) Я,(Я1,...,Як )((уь1 ')Яі1 • • • 1 (Уьк )<1к ) + (Рь)Я •

Следовательно, для всех у Є Г^, 0 ^ т ^ т, и всех и1, • • •, ит Є Є Тг(Тт) уравнения в матричной форме записи

уд(иі,...,ит) — ^і,.. .Vк ЄТг^т)

Мд(гі,...,Хт),^1,...^к) (yVl(ul ,...,ит) 1 • • • 1 Шк (иі,...,ит))

+ Рд(гі,...,гт)

И ДЛЯ Хі Є Т

угі — Рхі •

Здесь Уі(п1У • • • уПт), 1 ^ і ^ &, обозначает Уі[и^/х^; 1 ^ і ^ т]. Наименьшее решение этой полиномиальной системы есть наименьшая верхняя грань аппроксимирующей последовательности, ассоциированной с ф.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий понятая, связанные с магазинными автоматами над деревьями. Этот пример принадлежит [36], пример 3, и приводился уже в работе [44].

М

ре 3 из [36] определяется согласно нашей концепции следующим

образом: входной алфавит ^ = {Ь, 01,02}, ат(Ь) = 2, ат(ог) = 0, г = 1, 2; X — пустое множество. ф = ^, Г, {г}, {у\,у2}, М, Б, И0, Р), где Q = {до,Я1,д2}, Г = {0,0, Ио}, ат(О) = 1, аг(С) = аг(Ио) = 0,

Р = (Рс, Ре0, Рс(г)) и матрица переходов магазипа М порядка 2 определяется как

(0) (MZo,(G(C),Zo))qo,(qo,qo) = уЬ

(1) (MG(z),(G(G(z)),G(z)))qг,(qг,qг) = у1,

(2) (MG(z),(z,z))qг,(ql,q2) Ь(у1,у2

(3) л) = Ь(У1,У2), г = 1, 2,

(4) (РС)qi = 0г, г = 1, 2.

Все другие элементы в Ио, С и О (г) блоки строк в М1 и М2 равны нулю. Кроме того, (Рс)^} = 0 и Pz0 = 0 PG(z) = 0. Далее, Б9) = у1,

Бql — Бq2 — °-

Существенные элементы векторов аппроксимирующей последовательности, ассоциированной с ф, определяются следующим образом для всех и Е Тг({г}) и з ^ 0:

(тя!Г 1)qo = (тЬ(с^о, (тЙ \ =0, г = 1,2 ,

(тCГl)qo = 0, (т1с\ = 0г, г = ^ 2 , (тl+1)qi = % , I = 0, ^ 2 , (Т£{и^0 = (ТЬ(О(и)^0 + Ь(K)ql , (rí)q2) ,

(rG{u))qi = Ь((тU)qi , (тU)qi), г = 1, 2 .

Пусть 0к(С) Е Тг(Ф) определена как О0(С) = С, 0к+1(С) = = 0(0к(С)), к ^ 0, и рассмотрим уравнения для 0к(С), к ^ 0,

3 > 0 г = 1,2

(т3ог\с^0 = 0, (т&\с)к = о,

(ток(С)^0 (TGk+l(C )^г + Ь((тGk-l(C)')ql, (TGk-l(C)')q2 ), к ^ 1,

(r(Gkl(C))qi = К^-Цс))qi, (rJGk-l(с))qi), к > 1 ■

Пусть т = 8ир(т^' | з Е М). Тогда для к ^ 1, г = 1,2, к ^ 1,

(тGг(C))qг = 0, (тGг(C))qi = °% ,

(тGk(C))qг = (тGk+1(C^г + Ь((тGk-1(C))ql, (тGk-1(C^2) ,

(тGk (C) )qi = Ь((тGk-1(C) )qi, (тGk-1(C))qi) •

К тому же (^г^г =

13

14

Следовательно, (тGk(с) I к ^ 0) есть наименьшее решение ноли-номиалъной системы

(г0^г — 0 (го')qi — 0г, г — 1, 2 ,

(гк^г = (гk+1)qг + Ь((гк-1^1, (гк-1^2 ) , к ^ 1 ,

(гк )qi = Ь((гk-1)qi , (гk-1)qi) , г = 1 2,к > 1 ■

По теореме 3.2 (тGk(с) I к ^ 0) также наименьшее решение системы

(го')qг — 0, (го')qi — 0г, г — 1, 2 ,

(гк^г = Е]^к-1 Ь((г3)ql, (г3)q2 ) , к ^ 1 ,

(гк )qi = Ь((гk-1)qi , (гk-1)qi) , г — 1, С2, к > 1 ■

Эта система собственная и имеет единственное решение (тGk(с) I к ^ 0). Заметим, что эта система не является полиномиальной. Определим теперь деревья Ь3 Е Тр($), г = 1, 2, 3 ^ 0, как

Пусть

к = сі, % = ), і = 1, 2, і ^ 0 .

(в0)до — ° ($0)ді — і — 1, 2 ,

(ві)до =Е^к-1 (вк)яі = Ікі , к ^ 1

Тогда ((вк)Яі | к ^ 0, і = 0,1, 2) — решение этой собственной системы

и, следовательно, (ві)Яі = (тск(с))я^ к ^ 0 і = 0,1, 2. Поскольку ||Р|| = (т^0)д0 = (Тс(с))д0> то мы заключаем, что ||ф|| = (в1)до =

= ф Ь(Ф 4).

Этот пример показывает также метод математически строгого доказательства того, что поведение магазинного автомата над деревьями равно некоторому формальному ряду деревьев. □

Обратимся теперь к результату о магазинных автоматах над деревьями, который аналогичен теореме 6.2 [37] для магазинных автоматов. Неформально он утверждает, что вычисления магазинного автомата над деревьями под управлением магазинной памяти с содержимым і(пі,...,пт) (то есть Ть(и1 ,...,ит))і где і(гі,...,гт) Є £ Тг(^т) и Пі Є Тг^т), 1 ^ і ^ т, есть не что иное, как вычисления под управлением магазинной памяти с содержимым і(гі,..., гт) (то есть т^21,..,гт)), примененные к вычислениям иод управлением магазинной памяти с содержимым Пі,..., пт (то есть Ті(гі,..,гт)\Тиі/РХі, 1 < і < т\).

Теорема 5.1 ([44], теорема З.о). Пусть т — наименьшее решение полиномиальной линейной системы (*). Тогда для всех г(гі, ...,гт) Є Тг^т), 1 ^ т ^ гп, и щ Є Тг^т), 1 ^ і ^ т:

Ті(пі,...,пт) = Ті(хі,...,хт) 1ТЩ/РХі , 1 ^ і ^ т] .

Введем теперь алгебраические системы над деревьями. Определения следуют работе [44]. Пусть Ф = {С1,..., Сп], Ф П Т, = 0, — конечный упорядоченный алфавит функциональных переменных, где Сг имеет ранг тг, 1 ^ г ^ и, и т = тах{тг | 1 ^ г ^ и].

Пусть О = Л{{Т^(Х и Zrl))) х ... х Л{{Т^(Х и Zrn))) и рассмотрим ряд деревьев вг Е Л{{Т^иф(Х и Zri))), 1 ^ г ^ и. Тогда каждый вг индуцирует функцию вг : О ^ Л{{Т^(X и Zri))). Для (т1,..., тп) Е О определим по индукции вг(т1,..., Тп) как

(1) гт, если вг = гт, 1 ^ т ^ тг, х, если вг = х, х Е X,

(и) ш(1;1(т1, ..., Тп),---,й (Т1,---, Тп)), если вг = ш(Ь1,... ,и), ш Е Тг, Ь1,... ,Ьг Е Т-^иф(Х и Zri),

(ш) Т3 (Ь 1 (т1 , . . . , Тп), ... , Ьг у (т1 , . . . , Тп)^^ЛИ вг — С 3 (tl, ... , Ьг у ), С3 Е Ф, t1, . . . ,ЬГз е ТЪиФ(Х и Zri),

(Ьг) аЬ(т1,..., Тп), если вг = аЬ, а Е Л, Ь Е Т^,иФ(Х и Zri),

(V) Т3 (Т1, . . . , Тп^ЛИ вг = Т.3£,1 т3, т3 Е Л{{Т^иФ(Х и Zri))),

3 Е 3, для произвольного множества индексов 3.

Отображения вг, 1 ^ г ^ и, и отображение в : О ^ О, где в = {в1,... ,вп), непрерывны. Это может быть показано для в г Е Т^иф(Х и Zr) индукцией по стру ктуре в^ Есл и вг имеет вид Сз (Ь1,..., Ьту), то непрерывность вг следует из непрерывности подстановки, как показано предложением 2.5. Поскольку скалярное умножение непрерывно, то отсюда следует, что каждое вг = аЬ, где а Е Ли Ь Е Т^иф(Х и Zr), также индуцирует непрерывную функцию. Общий случай вг Е Л{{Т^иф(Х и Zr))) теперь может быть доказан, используя тот факт, что суммирование сохраняет наименьшую верхнюю грань направленного множества. Следовательно, в имеет наимень-

О

леммы 3.1 и 3.2 в [24], [12], [25], [44], лемма 3.6). В некоторых ситуациях формулы читаются легче, если мы используем обозначения вг\Т1/С1,..., Тп/Сп] вместо обозначений вг(т1,..., Тп)-

Алгебраическая система над деревьями & = (Ф, Z, Т, Е) (с функциональными переменными в Ф, переменным и в Z и терминальны-ТЕ

Сг(г1,..., Хг1 ) = вг(г1,..., гп), 1 ^ г ^ и,

где каждое вг лежит в Л{Т^иф(ХиZri)). Решение алгебраической системы над деревьями & задано посредством (Т1,..., Тп) Е О такого, что Тг = вг(Т1,..., Тп), 1 ^ г ^ и, то есть произвольной неподвижной точкой (Т1,..., Тп) набор а в = {в1,..., вп). Решение (о"1,..., ап) алгебраической системы над деревьями & называется наименьшим решением, если ог Ц Тг, 1 ^ г ^ и, для всех решений (Т1,...,Тп) системы &. Поскольку наименьшее решение системы & есть не что

иное, как наименьшая неподвижная точка в = (в\,..., вп), то наименьшее решение алгебраической системы Є существует в О (см. [об], раздел 1.5).

Теорема 5.2. Пусть Є = (Ф, Z, У, {Сі = в і | 1 ^ і ^ п}) —

алгебраическая система над деревьями, где ві Є А{Т^иФ(X и Zri)). Наименьшее решение этой алгебраической системы Є существует в О и равно

Ах(в) = 8ир(в (0) | І Є М) ,

где в] — І-я итещция отображения в = {в\,...,вп) : О ^ О, а 16 в0 — тождественное отображение.

Теорема 5.2 показывает, как мы можем вычислить аппроксима-цито наименьшего решения алгебраической системы над деревьями. Аппроксимирующая последовательность (Т | І Є М), где каждое Т Є О, ассоциированная с алгебраической системой над деревьями Є = (Ф^, У, {Сі = ві І 1 ^ і ^ п}), определяется следующим образом:

т0 = 0, т3+1 = в(Т), І Є N .

Поскольку Т = в (0) для всех І Є N то наименьшее решение Ах(в) системы Є равно 8ир(т^ | І Є М). Алгебраическая система над деревьями Є = (Фо^, У, {Сі = в і | 0 ^ і ^ п},Со) (с функциональными переменными в Фо = {Со, Сі, ..., Сп}, переменными в Z, терминальными символами в У) с начальной функциональной пвременной Со есть алгебраическая система над деревьями (Фо, Z, У, {Сі = ві | 0 ^ ^ і ^ п}) такая, что Со имеет ранг 0. Пусть (то, Ті,..., тп) — наименьшее решение системы (Фо^, У, {Сі = в і | 0 ^ і ^ п}). Тогда То называется начальной компонентой наименьшего решения. Заметим, что То Є А{{Т^(Х))) не содержит перемен пых из Z.

Наши алгебраические системы над деревьями являются системами второго порядка в смысле [17] и являются обобщением контекстно-свободных грамматик над деревьями (см. [49] и [24], в особенности теорема 3.4, [56], раздел 1.5, [21], раздел 9.5).

Ряд деревьев в А{{Т^(X))) называется алгебраическим, если он является начальной компонентой наименьшего решения алгебраической системы над деревьями с начальной функциональной переменной. Совокупность всех таких начальных компонент обозначается через Аа&{{Т^(Х))). На алфавиты У и X в определении алгебраических рядов деревьев ограничений не накладывается, то есть они могут быть бесконечными. Это обусловлено тем фактом, что для любого в Є Аа&{{Т^(Х))) существуют конечные алфавиты У' и X', У' С У X' С X, такие, что 8ирр(в ) С Т^' (X'). Следовательно,

А^ІТ^))) = и А^{{Т^'(X'))).

'Е'СЕ конечное, Х'СХ конечное

Покажем теперь, как эквивалентная алгебраическая система над деревьями & = (Фo,ZQ, Т,Е,уо) с начальной функциональной пе-

ременной уо может быть построена из произвольного заданного магазинного автомата над деревьями Р = ^, Г, Z,Y, М, Б,ро, Р) (построение следует работе [44]). Здесь Ф0 = {у0} и {(уд(Х1....^т))д \ 9 £ Гт, 0 ^ т ^ т,, д £ Q}^ Функциональная переменная (Уд(г1,...,гт))д, 9 £ Гт, 0 ^ т ^ т, д £ имеет ранг т^\. По определению, Q х 1-вектор Уд(г1...,гт), 9 £ Гт 0 ^ т ^ т, есть вектор-столбец с д-й компонентой (уд(Х1...,хт))д, д £ Q■

Для описания формальных уравнений в Е введем для Ь £ Тг ^т), 1 ^ т ^ т, векторы у* в (Tф(Zm))Qxl следующим образом:

Уд(и1}... ,ит) уд(%1,..., %т )(у) уи

т ) ,

9 £ Гт, П1,...,Пт £ Тг^т), 1 ^ т ^ т; уд = уд, 9 £ Го ; (угг)д = (ъ)д, 1 < г < т, д £ Q.

Записанное покомпонентно, первое уравнение читается как

(уд(и1 ,...,ит))я = (уд(г1,...,гт))я((уи)д', 1 ^ г ^ т, д £ Я)

для 9 £ Гт, и1,... ,ит £ Тг^т), 1 ^ т ^ т, д £ Q. Заметим, что (уд(г1,...,гт))Я = (уд(гъ..,гт))д((^г)д', 1 < г < т, д' £ ^

для 9 £ Гт 1 ^ т ^ т, д £ Q. Далее, уд(г1,...,гт)(‘Уи1, ■■■,уит) означает уд(гъ..,ггг„)[ущ/рХ1, 1 < г < т\ъ (уд{г1,...,гт))д(Шд'’ 1 < г < т’ д' £

£ Q) означает (уд(г1,...,гт))д[у)д'/(гг)д', 1 ^ г ^ т, д' £ Q\. Формаль-Е

уо = Б(ур0),

уд(г1,...,гт)((гг)д', 1 < г < т> ^ £ Я) = (**)

= (М (у,...,у) + ^ )д(Х1 ...,т) =

Ь1,...,Ьк £Тг (£т) 'Мд(21,...,2т'),(*1,...,*к ) (у*1 , , ) + Рд^1 ,...,^т) ,

9 £ Гт, 0 ^ т ^ т.

Зададим теперь явно формальные уравнения, за исключением первого, с индексом д £ Q.

(уд(х1,...,хт) )д((ъ)д' , 1 < г < т д' £ 0) =

= Е *1,...,*к£Тг^гп)^ д1,...,дк

(Мд(г1,...,ггп),(*1,...,*к ))д,(д1,...,дк )({УН )д1, ■ ■ ■ , (Шк )дк ) + (Рд(г1,...,гт))д ,

9 £ Гт, 0 ^ т ^ т, д £ Q.

Заметим, что индексация посредством д £ Q требуется только в примерах. В теоретических рассмотрениях мы сохраняем индексацию посредством состояний д,д1,... ,дп.

Следующая теорема — ключевая для доказательства эквивалентности магазинных автоматов над деревьями и алгебраических систем над деревьями с начальной функциональной переменной.

17

18

Теорема 5.3 ([44], теорема 3.13). Если т — наименьшее решение полиномиальной линейной системы (*), то (тд(г1,... ^т) | д Є Тт,

0 ^ т ^ т) — наименьшее решение алгебраической системы над деревьями (**).

Следствие 5.4. Начальная компонента наименьшего решения алгебраической системы над деревьями Є совпадает, с ||Р||.

Следствие 5.5. Поведение магазинного автомата над деревьями есть алгебраический ряд деревьев.

Пример 5.1 (продолжение). Построим теперь по птагам для магазинного автомата над деревьями Р алгебраическую систему над Є

||Р|| — начальная компонента ее наименьшего решения. Рассмотрим сначала линейную систему (*) в виде

У = М (у,у) + ^

и запишем явно уравнения для уо(г), Уи ус-

(у0(г))до = (у0(0(г)))до + Ь((уг )яі, (уг ), (УО(г))ді = Ь((уг)ді, (уг)ді), і = 1 *2,

(уZ0)д0 = (уС(С))яо , (уZ0)ді = 0 і = 1, ‘^,

(у С)д0 =0, (у С)ді = Сі ,і = 1 2 .

Выразим теперь компоненты у через Ус(г), Уz0ж ус, получим алгебраическую систему (**):

(ус(г)) до (гдо , гд1, %д2 ) = (уо(х)) до ({уо(г)) до (гдо , гд1, %д2 ),

(уО(г))д1 (гдо, гд1, гд2), (уО(г))д2 (гдо, гд1, гд2)) + Ь(%д1, %д2), (Уо(г))д1(%до, zдl, гд2) = Ь(^, %дг), г = 1, 2,

(у2о )до = (уа(х))до ((ус )до, (ус )д1, (ус )д2 ), (УZо)д1 = °, г — 1, % (ус )до = 0, (ус")д1 = Сг, г = 1 2.

Алгебраическая система над деревьями & = (Фо, Z, Е, Е, уо) описывается теперь через

фо = {(УG(z))дi, (УZо)д1, (ус)д1 \ г = 0, 1 2} и {уо},

где ранги переменных (УG(z))д^ (УZ0)<й, (ус)щ равны 3, 0, 0 соответственно для г = 0,1, 2; Z = {гдо ,гд1 ,гд2}; Е есть множество уравнений, описанное выше, дополненное добавочным уо = (yz0)д0-

Заметим, что построение Р из & есть, в сущности, то же построение, что было дано в работе [36] в доказательстве теоремы 1. □

Обращение следствия 5.5 также может быть доказано и дает главный результат работы [44] и главный результат этой главы.

Теорема 5.6 ([44], следствие 3.17). Следующие утверждения о формальных рядах деревьев в из Л{{Т^(Х))) эквивалентны:

(г) в — алгебраический ряд деревьев;

(гг) в — поведение магазинного автомата над деревьями;

(Иг) в — поведение простого магазинного автомата над деревьями с одним начальным состоянием веса 1.

Заметам, что доказательство следствия 3.17 в [44] дано для магазинных автоматов над деревьями, определенных конечной последовательностью матриц переходов. Однако согласно замечанию, приведенному после определения автомата па деревьями в главе 3, это доказательство можно легко переписать для магазинных автоматов над деревьями в соответствии с ттаптим определением. Если базовое полукольцо есть , то есть если рассматриваются ряды деревьев в М^{{Т^(Х))), то можно вывести более сильные результаты.

Пусть С = (Ф, У, К) — контекстно-свободная грамматика над деревьями, где Ф = {Сі,..., Сп} и К — множество правил вывода

Сі(гі,, Хгі) ^ %, 1 ^ і ^ Пі, 1 ^ і ^ п.

Обозначим через (і(Ь), 1 ^ і ^ п, количество (возможно то) различных левосторонних выводов слова Ь Є Т^(Х и Zri) относительно С, начинающихся с Сі. Пусть Є = (Ф, Z, У, Е) — алгебраическая система над деревьями, где Е — система формальных уравнений

Сі(гі,... ,гп)= ^2 %, 1 ^ і ^ п.

і^і^пі

Теорема 5.7 ([17], теорема 11 И). Пусть С = (Ф, Z, У, К) и Є = = (Ф^, У,Е) — рассмотренные выше контекстно-свободная грамматика над деревьями и алгебраическая система над деревьями соответственно, а йі(і), 1 ^ і ^ п, — количество (возможно ж) различных левосторонних выводов слова Ь Є Т^(Х и Zri) относительно С, начинающихся с С і. Тогда наименьшее решение системы Є

( ^ (і(Ь)Ь | 1 ^ і ^ п ) .

гет^{х uZri)

Теоремы 5.7, 3.1 и следствие 5.6 дают следующую теорему.

Теорема 5.8. Пусть ( : Т^(Х) ^ Тогда, следующие утверждения эквивалентны.

(г) Существует контекстно-свободная грамматика над деревьями с начальной функциональной переменной, терминальным УХ ство (возможно ж) различных левосторонних выводов слова Ь Є Тъ(Х) из начальной функциональной переменной определяется величиной ё(Ь).

20

(гг) Существует 1-простой магазинный автомат над деревьями с входным алфавитом Е и алфавитом листъев X такой, что количество (возможно ж) различных шагов вычислений для принятия t Е T^(X) определяется вели чиной d(t).

Котттексттго-свободттая грамматика над деревьями с начальной функциональной переменной, терминальным алфавитом Е и алфавитом листьев X называется однозначной, если для всех t Е T^(X)

t

G равно либо 1, либо 0. 1-простой магазинный автомат над деревьями с терминальным алфавитом Е и алфавитом листьев X называется однозначным, если для всех t Е T^(X) количество различных

t

Следствие 5.9. Пусть L С T^(X) — язык над деревьями. Тогда L порождается однозначной контекстно-свободной грамматикой над деревьями тогда и только тогда, когда Ylteb t ~ поведение однозначного 1-простого магазинного автомата над деревьями.

Магазинный автомат над деревьями P = (Q, Г, Z,Y, M, S,po, P) называется ограниченным, если Г = {ро}иГ 1, то есть за исключением начального символа магазина ро с рангом 0 все остальные символы магазина имеют ранг 1.

Следующая теорема дополняет список эквивалентных утверждений следствия 5.6.

Теорема 5.10 ([44], следствие 4.8). Следующие утверждения о формальных рядах деревьев s в A{{T^(X))) эквивалентны:

(г) s — алгебраический ряд деревьев; s

вьями;

s

над деревьями.

Вернемся теперь к формальным рядам деревьев в {{T^(X))).

Теорема 5.11. Пусть d : T^(X) ^ N^. Тогда, следующее утверждение эквивалентно утверждению теоремы 5.8:

(ггг) Существует 1-простой ограниченный магазинный автомат

Е

X такой, что количество (возможно ж) различных шагов вычислений для принятия t Е T^(X) определяется величиной d(t)

Следствие 5.12. Пусть L С T^(X) — язык над деревьями. То-L

кой над деревьями, тогда и только тогда, когда Yhteb t ~ поведение однозначного 1-простого ограниченного магазинного автомата над деревьями.

Докажем теорему Клитти, следуя [17]. До конца статьи Фте — = {Gi | i ^ 0} — бесконечный упорядоченный алфавит функциональных переменных, где Gi ранга п, i ^ 0, и для каждого r ^ 0 имеется бесконечное число функциональных переменных ранга r. Пусть

Е — Eu{Gkl.., Gkm} и D — A{{Tt(XUZni)))*•••* A{{Tt(XuZrin)))

для некоторых попарно различных ii,... ,in,ki,..., km ^ 0. Рассмотрим ряд деревьев s Е A{{T^G }(X U Zr))) (функциональные

переменные Gk1, ■ ■ ■, Gkm здесь — упорядоченные символы, как в Е). Тогда s индуцирует функцию s : D ^ A{{T^ (X U Zr))), как выше. Рассмотрим алгебраическую систему над деревьями S —

— ({Gi1.., Gin }, Z, Е, E), где E теть Gi. (zi,...,zn.) — sj (zi ,...,zn.,

Gii, . . . , G in \ 1 ^ j ^ n и sj Е A{Tt> U{Gil,..., Gin }(X U Zrij ))'

Наименьшее решение системы S ирипадлежит D. Совокупность компонент наименьших решений всех таких алгебраических систем (при свободном выборе попарно различных ii,... ,in,ki,..., km ^ 0) обозначим A^^TjиФ^ (XUZ))). Заметим, что каждый степенной ряд в Aa^g{{Tjиф^(XUZ))) —фактически степенной ряд в Aa^g{{TjLtö(XU U Zr))) для некоторого конечного Ф С Фте и некоторого r ^ 0.

Перед доказательством применим некоторые результаты теории неподвижных точек непрерывных функций к алгебраическим системам над деревьями (см. «Предварительные сведения» в части II [2]). Расширенная алгебраическая система над деревьями

S — (Ф, Z, Е, E) и ее наименьшее решение определяются так же, как и алгебраическая система над деревьями и ее наименьшее решение, за исключением того, что правые части уравнений Gi(zi,..., zri) —

— si(zi,..., zri), 1 ^ i ^ n, принадлежат теперь A{{Tj^(X U Zri))).

(1) Параметрическое тождество. Пусть r Е A{{Tjиф^ (X U

U Z))) и обозначим r' — цG.r, G Е Ф^. Пусть Gi — G,

Ti Е A{{TJ u^-{G})(X U Z))), 1 ^ i ^ П и Gj Е A{{TJ(X U U Z))), 1 ^ j ^ k. Тогда r'[ui/zi,..., Gk/zk, Ti/Gi,..., Tn/Gn] —

— v-G.(r[oi/zi,Gk/zk, Ti/Gi,..., Tn/Gn\).

(2) Правило Бекича — de Беккера — Скотта. Изучим уравнения Gi(zi,..., zn) — si(zi,zn), 1 ^ i ^ n, si Е A{{Tj иф^ U Zri))) расширенной алгебраической системы над деревьями S — (Ф,Z, Е,Е), Ф — {Gi,... ,Gn}- Пусть m Е {1,...,n - 1} а (Tm+i,..., Tn) — наименьшее решение расширенной алгебраической системы над деревьями S' — (Ф',Z, Е,Е') где Ф' — {Gm+1,... ,Gn} и Е' —

— {Gi(z1,..., zri) — si(zi,..., zri) I m + 1 ^ i ^ n}. Поэтому Tj Е Е A{{Tj u{Gi...,Gm}(X U Zrj))), m + 1 ^ i ^ n. Пусть (Ti, . . . , Tm) — наименьшее решение расширенной алгебраической системы S'' —

— (Ф'',Z, Е,Е''),где Ф'' — {Gi ,...,Gm} и Е'' — {Gi(zi,..., zn) —

— si (zi, . . .,zn )[Tm+i/Gm+i, . . Tn/Gn] | 1 ^ i ^ m}. Тогда

(t1 , . . . , Tm, Tm+l\T1/G1, ... , Tm/Gm], ... , Tn[Ti/G1, . . . , Tm/Gm])

21

является наименьшим решением исходной расширенной алгебраической системы над деревьями.

22

Продолжим теперь аналогично главе 4.

Теорема 5.13. {АаХ^{{Т^иФ^ (X и Z))), +, 0, У и Фте) — дистрибутивная У и Ф<х-алгебщ, содержащая А{Т^иф^(X и Z)) и замкнутая относительно скалярного умножения. Следовательно, для любого С £ ^нга г и любых ог,..., ог £ Аа1& {{Т^иФ^ (X и Z))) С(ог,..., ог) опять лежит в А^^Т^иф^(X и Z))).

Доказательство. Докажем второе утверждение. Доказательство первого утверждения аналогично доказательству теоремы 4.1. Пусть оь ..., &г £ А{{Т'Е и{Сй1 ,..,окгп ^ и {гх,...,гк}))). Тогда существуют г алгебраических систем над деревьями Сц(гг,..., г^) = вц,

1 ^ Ь ^ г, 1 ^ 3 ^ пг, где ранг Сц равен к, таких, что первые компоненты их наименьших решений равны оь.

Рассмотрим теперь алгебраическую систему над деревьями.

Н (г1,...,гк) = С(Сгг(гг, ...,гк),..., Сгг(гг, ..., гк)),

Сц (гг,..., г^) = вц, 1 ^ Ь ^ г, 1 ^ 3 ^ п .

Н

наименьшего решения определяется тогда как С(ог,..., ог). □

Дистрибутивная У и Ф^-алгебра {V, +, 0, У и Фгде V С С А{{Тлиф^(X и Z))), называется жвационально замкнутой, если

V замкнуто относительно скалярного умножения и для всех в £ V и С £ Фте формальный ряд деревьев рС.в снова принадлежит V. Здесь рС.в обозначает наименьшее решение системы С (гг,..., гг) = в, где г — ранг С. По определению, Аечи{{Тх;иф^ (X и Z))) — наименьшая эквационально замкнутая дистрибутивная У и Ф^-алгебра, содержащая А{Т%иф^(X и Z)). Заметим, что каждый степенной ряд в Аечи{{Тх;иф^ (X и Z))) является фактически степенным рядом в А{{Т^иФ^ и Zr))) для некоторого конечного Ф С Ф^ и г ^ 0.

Докажем, что Ае^и{{Т^иФх (X^))) = Аа1§{{Т^иФх (X^))). Покажем сначала, что Аечи{{Тх;иф^ (X и Z))) замкнута относительно подстановки функциональных переменных.

Теорема 5.14. Рассмотрим ряд деревьев в и Оц, 1 ^ 3 ^ п, в Ае^и{{Т^иф^(XUZ))) и предположим, что в(гг,..., гг, Сг1,..., Сгп) £

£ А1Т±и{оп,..,ап^ и ^))) и О £ А{{Т±^ и Ж г(?е £ = = Уи{Ск1,..., Скт } и гг,... ,гп,кг,... ,кт ^ 0 попарно дизъюнктны. Тогда У(гг,..., гг, ог,..., оп) принадлежит Аечи{{Т^иф^(X и Z))).

Доказательство. индукцию по числу применений опе-

раций си £ У, С £ Фсложения, скалярного умножения и р для порождения в(г\, . . . ,гг, Сг1, . . . , Сгп ) из многочленов.

(!) Пусть в(г1,...,гг ,С%1 ,...,С%п) £ А{Т±и{01 ...,Оп и Zr'))^

Поскольку в(г\,... ,гг, ог,..., оп) порождается из Оъ ..., оп и гг,..., гг применением операций сл ожения, си £ у, С к1 ,...,(укт, подстановки в ог,..., оп (которая описывается теоремой, подобной теореме 4.2) и скалярного умножения, то мы заключаем, что У (гг,..., гг, ог,..., Оп) £ Ае^и{{Т^ иФх (X и Z))).

(и) Докажем лишь случай оператора р. Выберем С £ Фте ранга г, отличное ОТ Сг1,..., Сгп, Ск1,..., Скт ■ Без уменьшения общности предположим, что в(гг,..., гг, Сг1,..., Сгп) = рС.в'(гг,... ,гг, Сг1,..., Сгп, С). По предположению индукции имеем: в1 (г\,... ,гг, Сг1,..., Сгп, С) содержится в Аечи{{ТЬиф^ (X и Z))). Следовательно, в(гг,..., гг, ог,..., оп) = рС.У(гг,..., гг, ог,..., оп, С) содержится в Аечи{{ТЬиф^ (X и Z))) по параметрическому тождеству. □

Теорема 5.15 ([17], раздел 6.). Аечи{{ТъиФ^(X и Z))) =

= АаНЪиФх(X и Z))).

Доказательство. (1) Покажем, что А^^Тъиф^(X и Z))) С С Аечи{{Тъиф^ (XиZ))). Доказательство проведем индукцией по числу переменных в алгебраических системах. Используем следующее предположение индукции I

Если (тг,..., тп), где Тц £ Аа% {{ТъиФх (XUZ))), 1 < 3 < ся наименьшим решением алгебраической системы Сц(гг,..., гг^) = = вц (гг,...,гг^ ,Сг,... ,Сп), 1 ^ 3 ^ п, с п функциональными переменными С г,..., Сп, гд е в ц (гг,..., гг ^, С г,..., Сп) £ А{Тъ иФ^ (X и и Z)), то Тц £ Ае^{{ТъиФх(X и Z))).

(1) Пусть п = 1 и предположим, что в £ Аа&{{ТъиФ^ (X и Z))) есть наименьшее решение алгебраической системы Сг(гг,..., гГ1) = = р(гг,..., гГ1, Сг) Поскольку р(гг,...,гГ1 ,Сг) — многочлен, то в = рСг.р(гг, ...,гп ,Сг) £ Ае^{{Тъ иФх (X и Z))).

(2) Изучим алгебраическую систему Сц(гг,... ,гГ5) = вц(гг,..., г^ ,Сг,.. .,Сп+г), 1 ^ 3 ^ п + 1, п ^ 1. Пусть (т2(Сг),..., Тп+г(Сг)), Тц(Сг) £ Аа%{{ТъиФ^ (X и Z))), 2 ^ 3 ^ п + 1, — наименьшее решение алгебраической системы Сц (гг,..., гrj) = вц (гг,... ,гг^ ,Сг,..., Сп+г),

2 ^ 3 ^ п + 1. По нашему предположению индукции мы заключаем, что Тц(Сг) £ Аечи{{ТъиФ^ (X и Z))). Следовательно, по теореме 5.14, р(Сг) = Уг(гг,..., гГ1, Сг, т2(Сг),..., тп+г(Сг)) содержится в Аечи{{ТъиФ^(X и Z))). Это влечет, что рСг.р(Сг) содержится в Аечи{{ТъиФ^(X и Z))). Снова то теореме 5.14 Уц(рСг.р(Сг)) £ £ Аечи{{ТъиФ^ (X и Z))), 2 ^ 3 ^ п+1. Согласно правилу Бекича — де Беккера — Скотта, (рСг.р(Сг), У2(рСг.р(Сг)),..., Уп+г(рСг.р(Сг))) является наименьшим решением алгебраической системы Сц(гг,..., гrj) = вц (гг,... ,гrj, Сг,..., Сп+г), 1 ^ 3 ^ п+1. Следовательно, компоненты наименьшего решения алгебраической системы содержатся вАе^{{ТъиФх(X и Z))).

(и) Покажем, что Аа1®{{ТъиФ^ (X и Z))) — эквациопалыто замкнутая дистрибутивная У и Ф^-^гебра, содержащая А{Тъ(X и Z). Это влечет Ае^и{{ТъиФх (XиZ))) С Аа1ё{{ТъиФх (XиZ))). По теореме 5.13, нам нужно только показать, что рС.в в £ Аа1ё{{ТъиФ^ (XUZ))) содерЖИТСЯ в Аа^{{ТъиФх (X и Z)))^сть (т2(Сг),..., Тп+г(Сг)) является наименьшим решением алгебраической системы Сц(гг,... ,г7.:)) = = вц(гг,..., г7.:),Сг,..., Сп+г), 2 ^ 3 ^ п + 1, пусть Сг имеет ранг Г2 и возьмем в = Т2- Рассмотрим теперь алгебраическую систему Сг(гг,..., г^) = в2(гг,..., г^ ,Сг,... ,Сп+г), Сц ^^..^г. ) =

23

= в] (гі,..., хГі ,С\,, Оп+і), 2 ^ і ^ п+1. Тогда по правилу Бекича

— де Беккера — Скотта цСі.з2(гі, ..., гГ2, С1, т2(Сі),..., т^^С^) =

= цСі.Т2(Сі) — первая компонента ее наименьшего решения. □

Введем теперь алгебраические выражения над рядами деревьев. Предположим, что А, Фж и и = {+, •, Ц, [, ]} попарно дизъ-

юнктны. Слово Е над А и У и X и Z и Фж и и называется алгебраическим выражением с рядами деревьев над (А, У, X, Z, Фж), если:

(i) Е содержится в X и Z, или

(ii) Е имеет одну из форм [Е1 + Е2], ш(Еі,..., Ек), С(Е1,..., Ек), аЕі, или цО.Еі, где Еі,... ,Ек — алгебраические выражения с рядами деревьев над (А, У,Х^, Фж), для ш є У ранга к, С є Фж ранга к к ^ 0, и а є А.

Е

(А, У,Х^, Фж) обозначает формальный ряд деревьев \Е\ в А((ТъиФ^ (X и Z))) в соответствии со следующими соглашениями.

(i) Если Е содержится в X и ^^о ^ ряд деревьев Е,

то есть \Е\ = Е.

(ii) Для алгебраических выражений с рядами деревьев Еі,..., Ек над (А, УФж), ш є У ранга к С є Фж ранга к к ^ 0, аєА

\[Еі + Е2]\ = \Еі\ + \Е2\ ,

\ш(Еі,...,Ек)\ = ш(\Еі\,...,\Ек\) ,

\С(Еі,...,Ек )\ = С(\Еі\,...,\Ек\),

|аЕі | = а|Еі | ,

\цС.Еі\ = цС.\Еі\.

Пусть фі, ф2, фэ — отображения из множества алгебраических выражений с рядами деревьев над (А, У^^, Фж) во множество конечных подмножеств из X и Z и Фж, определяемые как

(i) фі(х) = 0, ф2(х) = {х}, фэ(х) = 0, х є X, фі(г) = {г} ф2(г) = 0, фэ(г) = 0, г є Z,

(ii) ф]([Еі + е2}) = ф](Еі) + ф](е2), І = ~1, С2,3,

ф](ш(Еі,.. .,Ек)) = ф](Еі) и ... и ф](Ек), і = 1, 2, 3, ф](С(Еі,..., Ек)) = ф](Еі) и ... и ф](Ек), і = 1, 2,

фэ'(С(El, . . . , Ек)) = ф3(Еі) и ... и фЭ(Ек) и {С},

ф](аЕі) = ф](Еі), а = 0, ф](0Еі) = 0, а = 0 І = 1,2,3, ф](цС.Еі) = ф](Еі) - {С} і = 1, 2, 3,

Еі , . . . , Ек

над (А, У^^, Фж), ш є У ранга к С є Фж ранга к к ^ 0, а є А

Е

над (А, У^^, Фж) имеем: фі(Е) С ^ теременные в Е,

ф2(Е) С X содержит используемые символы алфавита листьев X и фз(Е) С С содержит свободные функциональные переменные в Е. Это означает, что \Е\ — формальный ряд деревьев в

А{{Т£и^3(Е) (ф2(Е) и фі(Е)))).

Теорема 5.15 и приведенные выше определения дают следствия.

Следствие 5.16. Ряд деревьев в содержится в Аечи{{Т^иф^ (X и и Z))) П А{{Т^иФ>(X' и Я))), где X' С X,Z^ С Z и Ф' С Фтогда и только тогда, когда существует такое алгебраическое выражение с рядами деревьев Е над (А, У, X, Z, Фж), что в = \Е\, где ф2(Е) = X',

фі(Е) = Я и ф3(Е) = Ф'.

Следствие 5.17. Ряд деревьев в содержится в Аеци{{Т^иф^ (X и и Z))) П А{{Т^(X'))), где X' С X, тогда и только тогда, когда сущеЕ

(А, У, X, Z, Фж), что в = \Е\, где фі(Е) = ф3(Е) = 0 и ф2(Е) = X'.

Следствие 5.18. Ряд деревьев в содержится в Аа&{{Т£(X'))), где X' С X, тогда и только тогда, когда существует такое алгебраическое выражение с рядами деревьев Е над (А, У, X, Z, Фж), что в = \Е\, где фі(Е) = фэ(Е) = 0 и ф2(Е) = X'.

Суммируем ттапти результаты в теореме, подобной теореме Клипи.

Теорема 5.19. Следующие утверждения о степенном ряде г є А{{Т£(X))) эквиваленты.

(г) г — алгебраический ряд деревьев.

(гг) г — поведение простого магазинного автомата над деревьями.

(Иг) г — поведение простого ограниченного магазинного автомата над деревьями.

Е

над (А, У, X, Z, Фж), фі(Е) = ф3(Е) = 0, такое, что г = \Е\.

Если интерпретировать алгебраические выражения с рядами деревьев в В{{Т£иф^ (X и Z))), то получим аналогичные результаты о формальных языках над деревьями.

Пример 5.2. Рассмотрим алгебраическую систему над деревьями Є = (Ф^, У,Е,Со) с начальной функциональной переменной Со, заданную посредством Ф = Ф0 и Ф2, Фо = {Со} Ф2 = {С}, У = У2 = {6} X = {сі,с2} И Е = {Со = С(сі,с2),С(гі,г2) = = С(Ь(гі, гі), Ь(г2, г2)) + Ь(гі, г2)} (эта алгебраическая система является упрощенной версией системы різ примера 5.1). Начальная компонента ее наименьшего решения определяется как

\цС.[С(Ь(Сі,Сі),Ь(С2,С2)) + Ь(сі,с2)]\ =^2 Ь(г{,ф ,

3>0

где і0 = сі, %+і = ,]), і = 1,2 і ^ 0 □

6. Трансдукторы над рядами деревьев

Траттсдукторы ттад деревьями были введены в работах [48; 50] и [53; 54] (см. также [28]). В [40] обобщена ограниченная форма тратт-сдукторов над деревьями нисходящего типа на трансдукторы над рядами деревьев, которые отображают формальные ряды деревьев в формальные ряды деревьев. В [23] и [29] обобщен этот подход и определены трансдукторы над рядами деревьев восходящего и нисходящего типов как обобщение трапсдукторов над деревьями типа «от границы к корню» («й'оп11ег-1о-гоо1-трапсдуктор») и «от корпя ___ к границе» («гоо1-1о-й'оп11ег-трапсдуктор») в смысле [30; 31].

26 В этой главе мы рассмотрим только случай трансдукторов над

рядами деревьев нисходящего типа (трансдукторы над рядами деревьев восходящего типа используют обобщение Ю-подстаповок и трудны в обращении). Наше определение трапсдукторов над рядами деревьев нисходящего типа отличается от определения в [23], по эквивалентно ему.

Затем мы определим недетерминированные простые распознаваемые трансдукторы над рядами деревьев и покажем, что отит сохраняют распознаваемость рядов деревьев.

Дерево £ € Тя (X и Ут), т ^ 1, называется линейным, если переменная Уз не более одного раза встречается в £ 1 ^ .] ^ т. Дерево £ € Тя (X и Ут), т ^ 1, называется неисключающим, если переменная Уз не менее одного раза встречается в ¿, 1 ^ ^ т. Ряд деревьев

в € А{{Тя(X и Ут))), т ^ 1, называется линейным, или неисключающим, если все £ € 8ирр(в) являются линейными, или неисключающими, соответственно.

Определим

(А{{Тя (X)))У1*12 ={](Л{{Тя (X))))11*12 т^0

Древовидное представление ц (с множеством состояний Q, упорядоченным входным алфавитом У, входным алфавитом листьев X, упорядоченным выходным алфавитом Т', выходным алфавитом листьев X', над пол,укол,ъ цом А) есть семей с тво ц = (Цк | к > 0) отображений

Цк :Ти ^ (А{{Тя/(X' и У))))Я*(Я*2ьГ , к > 1, цо : То и X ^ (А{{Тя/(X')))^х1 , такое, что если Цк(ш) € (А{{Тя(X' и У))))®х(®х2к)га дЛЯ некоторого т > 0 и ш € Тк, к > 1, то цк(ш) € (А{{Тя(X' и Ут))))^х2!кГ

и любой элемент в Цк(ш) является линейным и неисключающим. Заметим, что Цк(ш), где ш € Тк, к ^ 1, индуцирует отображение

Цк(ш) : (А{{Тя(X'))))Qx1x^^^x(A{{Tя’(X'))))Qx1 ^ (А{{Тя/(X'))))Qx1 к

мой 2.8).

Поскольку {(A{{T^'(X'))))Qx1, (цк(ш) I ш G Ек, k ^ 0)) является

S-алгеброй, отображетше

цо : X ^ (A{{TS,(X'))))Qx1

может быть единственным образом продолжено до морфизма

ц : Ts(X) ^ (A{{Tv'(X'))))Qx1

посредством

v(w(ti,tk )) = Цк (ш)[ц(^),..., v(tk )]

для ш G Ек, ti,tk G Tя(X), k ^ 0.

Еще одно продолжение дает

ц : A{{Tz(X)))^ (A{{TS/(X'))))Qx1

посредством

ц(s) = (s’t) ® Ц^)’ s G A{{Tz(X))) ,

teTs(X)

где ® обозначает произведение Кроиекера (см. [46], глава 4). В пашем случае это означает, что каждый элемент в |J.(t) умножается на (s, t). Следовательно, для q G Q

Ц(^ = Y (s,t)V(t)q’ s G A{{T^(X))) •

teTs(X)

Мы обозначили древовидное представление ц и отображение ц : AT(X))) ^ (A{{Tv(X'))))Qx1, индуцируемое PIM, ОДНОЙ PI той же буквой ц. Это не должно приводить к путанице.

(Нисходящий) трансдуктор над рядами деревьев (с множеством состояний Q, упорядоченным входным алфавитом Е, вход-

X

Е', выходным алфавитом листьев X', над пол,укол,ъцом A)

T =(Q, ц,Б)

определяется посредством

Q

(И) древовидного представления ц с Q, Е, X, Е', X' над A,

(iii) вектора начальных состояний S G (A{TЯ(F1)))1xQ, где

Sq — aqy1, aq G A, q G Q.

27

28

Отображение

||Т|| : АТ(X)))^ АТ,(X'))),

реализуемое трансдуктором над рядами деревьев Т = ^, ц, Б), определяется посредством

Ш^") = Б(ф)) = ^дед(Бд ,У1)Ц(8)д =

= Ед^Т,^(х) ая(в,і)ц(і)я, в Є А((т2(х))) ■

Древовидное представление ц называется полиномиальным, если элементы образов отображений ц&, к ^ 0, являются полиномами. Трансдуктор над рядами деревьев Т = ^, ц, Б) называется полиномиальным, если ц — полиномиальное древовидное представление.

Пример 6.1 (см. пример IV. 1.6 в [30]). Пусть Q = {ао,аі,а2}, £ = £і = {а} X = {ж} Е' = £ и Ъ'2, £ = {ші}, Ъ'2 = {ш2|, х' = {х'і,х'2}.

Ненулевые элементы отображений цо и ці заданы как Цо(х)аг = хі, Цо(х)а2 = х'2 ,

ці(а)аа,((аі^і),(а2^і)) ш2(уі, у2^ ,

ці(а)аі,(аі,гі) ші(уі^ ці(а)а2,(а2^і) ші(уі) ■

Пусть Б = (уі, 0, 0) и рассмотрим полиномиальный трансдуктор над рядами деревьев Т = ^, (цо, ці), Мы утверждаем, что для п ^ 0

Ц(аП(х))аі = шП(х'і), І = 1, 2 , п

Имеем ц(х)аі = ц0(х)а^і = х'і И, ДЛЯ П > 0,

ц(аП(х))аі = ці(а)[ц(аП“і(х))]аі =

= ці(а)аі,(аі,гі)[шГі(хі)] =

= ші(уі)(шТ\х'і)) = шП(хд, І = 1, 2 ■

Следовательно, получим для п ^ 1:

||Т||(аП(х)) = ц(аП(х))ао =

= ці(а)[ц(аП і (х))]аа =

= ці(а)аа,((аі^і),(а2^і))(ц(аП-і(х))аі, ц(аП-і(х))а2 ) =

= Ш2(шП-і(х'і), шП-і(х2)) ■

Для данного формального ряда деревьев

в = (в, х)х + '^/(в, ап(х))ап(х)

п^і

получим

||т||(в) = £>, аЧіОо^шП-^і), шп-і(х'2)).

п^і

□

В связи с примером IV.1.6 в [30] пример 6.1 дает интуитивное ощущение того, как «тої-іо-ґшпііег-трансдуктор» над деревьями в смысле [30] моделируется трансдуктором над рядами деревьев нисходящего типа над полукольцом В.

Рассмотрим деревья в носителях элементов из цк(ш), где ш Є £к, к ^ 1, заданы как в определении древовидного представления. Заметим, что ограничение в [23, с. 27], состоящее в том, что в древовидном представлении нисходящего типа переменные в этих деревьях встречаются в порядке уі, ■ ■ ■ ,ут слева направо, является несущественным для вычислительных возможностей. Следовательно, имеем следующую теорему.

Теорема 6.1 ([23], леммы 4.10 и 4.12). Отображение реализуется «гооі-іофюпііег-трансдуктором» над деревьями тогда и только тогда, когда оно реализуется нисходящим полиномиальным транс-

В

Пусть = {(д,гі) | д Є Q}, 1 ^ І ^ к. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между Q,l х ■ ■ ■ х Qk и Qk, заданное посредством

((ді,гі), ■■■, (дк, )) ^ (яі^^Лк),

Ці^^^Цк Є Древовидное представление (цк | к ^ 0) называется

недетерминированным простым, если

цк :£к ^ (АТ,(X' и Ук))))Ях(^іх^х^к), к > 1 ■

Если (цк | к ^ 0) — недетерминированное простое древовидное представление, то мы работаем с изоморфными копиями цк(ш)' отображений цк(ш) в (А((Т2'(X' и Ук))))®х® , к ^ 0. По теореме 2.8

цк (ш)'(Рі, ■■■,Рк) = цк(ш)[Рі, ■■■,Рк ]

для Рз Є (АТ(X и У'))))®хі, 1 ^ і ^ к, и ш Є £к, к ^ 0. Следовательно, можно определить недетерминированное простое древовидное представление как семейство отображений (цк | к ^ 0), где

цк : £к ^ (АТ(X' и Ук))))^к, к > 1, цо : £о и X ^ (АТ'(X'))))®хі ■

цо

ц(ш(іі, ■ ■ ^,ік)) = цк (ш)(ц(іі), ■■■, ц(ík)), ш Є £к, Ь^^^к Є Т2 (X), к ^ 1, и для в Є АТ(X))) определим ц(в) = ^(х)(в,і) 0 ц(і)-Недетерминированный простой трансдуктор над рядами деревьев — теперь трансдуктор над рядами деревьев Т = ^, ц, Б), ц

И = Б (ц(в)) = Е деЯ(БЯ ,уі)ц(в)Я дая в Є А((Т2 (X )))-

В работе [40, с. 139] разъясняется, как недетерминированный проВ

с недетерминированным простым тої-іо-ґшпііег-трансдуктором над деревьями в смысле [30], упражнение IV.4.

Теорема 6.2 ([40], теорема 6). Пусть для некоторого к ^ 1 в Є А{{Тя(X и Ук))) — линейный и неисключающий ряд и віі Є А{{Тя(X))), аіі Є А для Із Є I], 1 ^ і ^ к. Тогда,

в( аіі віі ,■■■, ^2 аік вік) =^-/ ■ ■ ■ 5-/ аіі ■ ■ ■ аік в(віі, ■ ■ ■ ,вік) ■

ііЄІі ік єІк ііЄІі ік ЄІк

Теорема 6.3. Пусть ш Є £к, к ^ 1, s1,■■■,sk Є А{{Тя(X))), ц

множеством состояний Q. Тогда

цк(ш)(ц(ві), ■ ■ ■, ц(вк)) = ц(си(ві, ■ ■ ■, вк)) ■

Доказательство. Вычислим сначала левую часть равенства для индекса д Є Q'.

цк (ш)(ц(ві), ■ ■ ■ , ц(вк ))я =

= ^ цк (ш)я,(яі ,-,Як)(ц(ві)Яі ^■^ ц(вк )Як ) =

яі,-,як єЯ

= ^ цк (ш)9 ,(яі ,-,Як)( £ (ві,Іі)ц(Іі)ді ,■ ■ ■ ,

яі,...,як ЄЯ ііЄТ^(х)

^2 (вк, ік)ц(ік)Як) =

Ьк ЄТ^(Х)

= (ві,іі) ■ ■ ■ (вк ,ік )цк (ш)д,(ді,..,дк )(ц(іі)ді ,■ ■ ■ ,

Яі,...,ЯкєЯ Ьі,...,ікЄТ^(Х)

ц(ік )як) =

= ^2 (ві,іі) ■■■ (вк ,ік) ц(ш (іі, ■ ■ ■ , Ік ))я ■

Ьі,...,Ьк ЄТу,(Х)

ц

минированное простое древовидное представление, и різ теоремы 6.2. Вычислим теперь правую часть равенства для индекса д Є Q^.

ц(ш(вь ■ ■ ■,вк))я =

= ц( ^ ( ^ (ві,Іі) ■■■ (вк, Ік ))І)Я =

ЬЄШХ) ш(іі,...,ік)=Ь

= ^2 ( ^ (ві,іі) ■■■ (вк,ік))ц(і)ях

ЬЄТх(Х) ш(іі,...,ік)=і

х £ (ві,іі) ■■■ (вк ,ік )ц(ш(іі, ■ ■ ■ ,ік ))я ■

Ьі,...,Ьк ЄТх(Х)

Поскольку обе части равенства совпадают, то теорема доказана. □

В

прршера 6.1 легко врідєть, что паїттрі полріпомріальпьіе трапсдукторы над рядамрі деревьев не сохраняют распознаваемость рядов деревьев (см. также пррімер в последнем параграфе [31, с. 18]).

С другой стороны, линейные тоМ.о-й'опйег-траттсдукторы над деревьями сохраняют распознаваемость языков над деревьями (см. [53] и [30], теорема IV.2.7, лемма IV.6.5 и следствие IV.6.6). В оставшейся часта этой главы покажем, что недетерминированные простые распознаваемые траттсдукторы над рядами деревьев сохраняют распознаваемость рядов деревьев. Сделаем это построением, основывающимся па конечных распознаваемых системах.

Система хг = рг, 1 ^ г ^ и, называется распознаваемой, если каждое рг содержится в Лгес {{Тя (X и Zn))).

Мы покажем, что наименьшее решение конечной распознаваемой системы имеет распознаваемые компоненты.

Теорема 6.4. Пусть хг = рг, 1 ^ г ^ и, — конечная распознаваемая система с наименьшим решением а. Тогда аг € Лгес{{ТЯ(X))) для всех 1 ^ г ^ и.

Доказательство. Без уменьшения общности пусть Хг = рг, 1 ^ г ^ и, — собственная конечная распознаваемая система. Так как рг € Лгес{{Тя(X и Zn))), 1 ^ г ^ и, то существуют конечные полиномиальные системы у^ = дг^ 1 ^ ^ шг, шг ^ 1,

где уу — новые перемениые и ду € Л{Тя(X и Zn и {уц,..., угт1 })) такие, ЧТО Уг1~в КОМПОНеНТЫ ИХ НаИМеНЫПИХ решений Тг равны Рг. Рассмотрим теперь собственную конечную полиномиальную систему Х = дц (г1,...,гп,уц,...,угт^) Угу = ду (х\, ... ,Хп,уц ,...,Ут), 1 ^ ^ тг, 1 ^ г ^ и, и заметим, что она имеет единственное ре-

птетнте. Мы утверждаем, что это единственное решение задается как а и ((тг)у (ат,..., ап) | 1 ^ ^ шг, 1 ^ г ^ и). Подстановка этого

вектора дает для 1 ^ ^ шг, 1 ^ г ^ и:

дг1(а1, . . . , ап, (тг)1(а1) . . . , ап), . . . , (тг)т1 (аЪ . . . , ап)) =

= (тг)1(а1) . . . , ап) = рг(а1, . . . , ап) = аг , дгу (аЪ . . . , ап, (тг)1(а1, . . . , ап), . . . , (тг)т1 (аЪ . . . , ап)) =

= ('Тг)] (аЪ . . . , ап) .

Следовательно, а и ((тг)у (а1,..., ап) | 1 ^ ^ шг, 1 ^ г ^ и) являет-

ся единственным решением собственной конечной полиномиальной системы и а € (Лгес{{Тя(X))))пх1. □

Рассмотрим конечную систему уг = рг(у1,... ,уп), 1 ^ г ^ и, где рг € Л{{Тя(X и Уп))), и недетерминированное простое древовидное представление ц = (ц* | к ^ 0) с множеством состоянпй Q, где цк : Е* ^ Щ{Тя'(X' и Zk))))^к, к > 1, и ц, : Е, и X ^ ^ (Л{{Тя(X'))))®х1. Пусть (уг)д, 1 ^ г ^ и, д € новая пере-

менная и обозначим У* = {(уг)д | 1 ^ г ^ к, д € Q}. Расширим определение ц на область Е и X и Уп посредством

ц, : Уп ^ (Л{{Тя(Уп))))

Я*.1

где ц(уу)д = (уу)д, 1 ^ ^ и, д € Q. При таком расширении получим

отображение

ц : Тя(X и Уп) ^ (Л{{Тя(X' и Уп))))®х1 .

31

Лемма 6.5. Рассмотрим в(у1,..., уп) € Л{{Тя(X и Уп))) и недетерминированное простое древовидное представление ц с областью Е и X и Уп. Пусть в1,... ,вп € Л{{Тя(X))). Тогда,

ц(«)[ц(«?)я/(уз)д, 1 < 3 < и, д € Я\ = ц(в(вь.. .,вп)) .

Доказательство. Рассмотрим сначала дерево í € Тя (X и Уп) и покажем индукцией по виду £, что ц(г)[ц(вз)д/(уз)д, 1 ^ 3 ^ и, д € Q} = ц(г(в1,.. .,вп)).

(1) Для г = уг, 1 ^ г ^ и, получим ц(уг)[ц(вз)/ц(уз), 1 ^ 3 ^ и\ = = ц(вг) = ц(уг(в1,.. .,вп)).

(И) Для £ = х, х € Е0 и X, получим ц(х)[ц(вз-)/ц(уз), 1 ^ 3 ^ и\ =

= ц(х) = ц(х(вЬ . . .,вп)).

(Ш) Для г = ш(Ь1,.. .,Ьк), ш € Ек, Ь,...,Ьк € Тя (X и Уп) к ^ 1,

получим

ц(ш(Ь1,...,Ьк ))[ц(вз )/ц(уз), 1 < 3 < и\ =

= цк (ш)(ц(г1)[ц(8з )/ц(уз), 1 <3 < и},..., ц(гк )[ц(вз )/ц(уз),

1 < 3 < и\) =

= цк (ш)(ц(г1(в1,..., вп)),..., ц(гк (в1,..., вп))) =

= ц(<Ш(Ь1(в1,..., вп),.. .,Ьк(в1,..., вп))) =

= ц((си(гь.. .,Ьк ))(в1,..., вп)).

Здесь мы применили предположение индукции во втором равенстве и теорему 6.3 в третьем равенстве.

Окончательно получим

ц(в)[ц(вз)/ц(уз), 1 < 3 < и\ =

= Егешхиуп)(в,г) ® ц(г)[ц(вз)/ц(уз), 1 < 3 < и\ =

= Ег^т^(хиу„)(в,г) ® ц(г(в1,..., вп)) =

= М-(Ег^шхиУп)(в,Щв1,...,вп)) = М^фь...^^ .

□

Теорема 6.6. Рассмотрим недетерминированное простое древовидное представление ц с облаетью Е и X и Уп. Пустъ уг = = Рг(у1,..., уп)> 1 ^ г ^ и, где рг € Л{{Тя(X и Уп))), является конечной системой с наименьшим решением а. Тогда ц(а) — наименьшее решение конечной системы ц(уг) = ц(рг(у1,... ,уп)), 1 ^ г ^ и.

Доказательство. Пусть (аз | 3 € М) и (тз | 3 € М) — аппроксимирующие последовательности для уг = Рг(у1,..., уп), 1 ^ г ^ и, и ц(уг) = ц(рг(у1,..., уп)), 1 ^ г ^ и, соответственно. Мы утверждаем, что Тз = ц(аз), 1 ^ г ^ и, 3 ^ и ^то индукцией по 3’.

Случай 3 = 0 очевиден. Пусть 3 ^ 0. Тогда для 1 ^ г ^ и,

Тз+1 = ц(рг(у1,.. .,уп))[тк/ц(ук), 1 < к < и\ =

= ц(Рг(у1,... ,уп))[ц(ак)/ц(ук), 1 < к < и\ =

= ц(Рг(а{,..., азп)) = ц^1).

Испольовапо предположепрте ртттдукцртрт во втором равенстве и лемму 6.5 в третьем равенстве. Из этого утверждения следует теорема.

□

Недетерминированное простое древовидное представление ц = (ц* | к ^ 0) называется ^спознаваемые, если Цк(ш) Є

Є (Л™{{Те'(X' и ))))^к для каждого ш Є Ек, к ^ 1, и Цо(ш) Є

( Агес/І^ґ т^т\лОх1 „„„ Л V. І І V

Є (Лгес«ТЕ,(X')))^х1 для каждого ш Є Ео и X. Недетерминированный простой трансдуктор над рядами деревьев Т = ^, ц, Б) является распознаваемым, если ц — недетерминированное простое распознаваемое древовидное представление.

Теорема 6.7. Рассмотрим недетерминированное простое распознаваемое древовидное представление ц. Пусть в содержится в

Л™«Те(X))). Тогда ц(в) содержится в (ЛІес«{ТЕ(Х'))))®х1.

в

простой полиномиальной системы Уі = Рі, 1 ^ і ^ п. По теореме 6.6, ц(в) — компонента конечной распознавав мой системы ц(уі) = ц(Рі),

1 ^ і ^ п. Следовательно, теорема 6.4 доказывает нашу теорему. □

Следствие 6.8 ([40], следствие 14). Рассмотрим недетерминированный простой распознаваемый трансдуктор над рядами деревьев Т и распознаваемый ряд деревьев в. Тогда ||Т||(в) является снова распознаваемым.

Следствие 6.9 ([53] и [30], глава IV, следствие 6.6). Линейные гооі-іоф-опііег-трансдукторьі над деревьями сохраняют распознаваемость.

7. Полные абстрактные семейства рядов деревьев

Полные абстрактные семейства рядов деревьев (коротко полные АБТ-семейства) — это семейства рядов деревьев, замкнутые относительно недетерминированных простых распознаваемых траттсдукций над рядами деревьев и некоторых других специфических операций. Покажем, что семейства распознаваемых рядов деревьев и алгебраические ряды деревьев являются полными АРТ-семействами. Первое построение покажет, что отображения, реализуемые недетерминированными простыми распознаваемыми трансдукторами над рядами деревьев, замкнуты относительно композиции функций. Это построение аналогично построению в [22] в лемме 4.2 (см. также [30], теорема IV.3.15).

Напомним: ZQ = {(гг)д | і ^ 1, д Є Q} и ZQ = {(гі)д | 1 ^ і ^ к,

д Є Q} для к ^ 1. Определим теперь для гі,... ,тк Є Q оператор

Фп .....Гк : Л«Те (X и ZkQ))) ^ Л {{Те (X и {(гі)Гі.., (гк )Гк})))

следующим образом: для в Є Л«Те(X и ZQ))) и і Є Те(X и

и {(г,і)гі , (^к)гк })

(в, г) если каждая из переменных (г1)Г1,..., (гк)Гк точно один раз встречается в г,

Пусть ц' — недетерминированное простое распознаваемое древовидное представление с множеством состояний Ql, отображающее ЕиX во множество матриц с элементами в Лгєс«Те'(X'иZ))). Кроме того, пусть ц'' — расширенное недетерминированное простое распознаваемое древовидное представление с множеством СОСТОЯНИЙ Q2, отображающее Е' и X' и Z во множество матриц с элементами в Лтєс«Те"(X'' и Z и ZQ2))). Определим распознаваемое древовидное представление ц с множеством состояний Ql х Q2, отображающее Е и X во множество матриц с элементами в Лгєс«Те"(X" и Z))), как

цо(х)(дъд2) = ц''(ц0(х)яі)д2 Для х Є Ео и X, ді Є Ql, д2 Є Q2 ,

цк (ш) (ді,д2),((г1,з1),...,(гк ,вк)) =

= Ф81,...,8к(ц"(цк(ш)ді,(гі,...,гк))Я2,■ ■ ■, гк/(Хк)8к] для ш Є Ек, к ^ 1, д1,Г1 ,...,Гк Є Ql, д2,81,...,8к Є Q2 ■

Тогда, согласно [41], лемма 2.3, (ц* | к ^ 0) — недетерминированное простое распознаваемое древовидное представление и для і Є Те(X), д1 Є QЬ д2 Є

ц(і) (Я1,Я2) ц (ц (І)Я1 ')Я2 ■

Это построение дает первую теорему этой главы.

Теорема 7.1. ([37], теорема 2.4). Пусть ц' (соответственно у!') — недетерминированное простое распознаваемое древовидное представление с множеством состояний Q1 (соответственно Q2), отображающее Е и X (соответственно Е' и X') в матрицы с элементами в Лгєс«Те'(X'иZ))) (соответственно Лгес«Те»(X''иZ')))). Пусть Т1 = ^1, ц', Б1) и Т2 = ^2, ц'', Б2) — недетерминированные простые распознаваемые трансдукторы над рядами деревьев. Тогда существует недетерминированный простой распознаваемый трансдуктор над рядами деревьев Т такой, что ||Т||(в) = ||Т2||(||Т1||(в)) для всех в Є Л«Те(X))).

Доказательство. Недетерминированный простой распознаваемый трансдуктор над рядами деревьев Т = ^1 х Q2, ц, Бі 0 Б2) определяется недетерминированным простым распознаваемым дре-

ц

ПуСТЬ (Б1)^1 = ад1 %1і ад1 Є Л^ д1 Є И (Б2)д2 = Ъд2г1і

Ъд2 Є Л, д2 Є Q2■ Тогда (Б1 0Б2)(д1.д2) = ад1 Ъд2хі для д1 Є Ql, д2 Є Q2■ Получим теперь для в Є Л«Те(X))):

||Т2||(||Т1||(в)) = T,g2eQ2 ЪЯ2 Т,І2ЄТ^, (Х')^ )Я2 =

= J2g2ЄQ2 Ъд2^1ь2^т^, (Xі)(^-^ glЄ.Ql ад1^і1Є.т^(Х)(в,І1)цІ(І1)д1, І2)х

Хц"(Ь2)д2 =

= I] д^1^ д2^2 ад1 Ъд2Т111ЄТ^(Х ) (8,Іі)Т1 І2ЄТ^і (X') (ц (І1)д1 ,І2)Х Хц"(Ь2)д2 =

= ^ (gl,g2)ЄQlXQ2 ад1 Ъд2^111ЄТ^(Х)(в,І1')ц(І1') (д1,д2) = ||т||(в).

□

До конца главы 7 установ»™ следующие обозначения: множество Еж (соответственно Xж) — фиксированный бесконечный упорядоченный алфавит (соответственно бесконечный алфавит), а Е, Е' (соответственно X,X'), возможно снабженные индексами, есть конечные подалфавиты в Еж (соответственно Xж). Нашим базовым полукольцом будет Л ((Теж (X ж)))■

Любое непустое подмножество в Уесе и^сх Л((Те(X))) называется семейством рядов деревьев. Отображение

т : У У Л((Те(X)))^ У У Л((Те(X)))

ЕСЕж XСХж ЕС Еж хсх„

называется недетерминированной простой распознаваемой транс-дукцией над рядами деревьев, если существуют такие Е,X, Е',X', что т(в) Є Л ((Те' (X'))) для в Є Л((Те (X))) и т(в) = 0 для в Є Л ((Те (X))), и существует такой недетерминированный про-

Т

т(в) = ||Т||(в) для в Є Л((Те(X))).

Для семейства £ рядов деревьев определим

М(£) = {т(в) | в Є £ и т — недетерминированная простая распознаваемая трансдукция над рядами деревьев } .

Заметим, что по теореме 7.1 М(М(£)) = М(£). Говорят, что семейство £ рядов деревьев замкнуто относительно недетерминированной простой распознаваемой трансдукции над рядами деревьев и называют его распознаваемым конусом рядов деревьев, если £ = Ш(£).

Рассмотрим сначала распознаваемые ряды деревьев. Теорема 6.7 сразу же приводит к следующей теореме.

Теорема 7.2. Лгєс((Теж(Xж))) — распознаваемый конус рядов деревьев.

£

£в

что (в,х) = 1 для некоторого х Є XIX^ Тогда Лгєс((Теж(Xж))) С £.

Доказательство. Рассмотрим распознаваемый ряд деревьев г и недетерминированный простой распознаваемый трансдуктор над рядами деревьев Т = ({д}, (ц* | к ^ 0),г1), где ц^(х) = V, цо(х') = 0 для х' = х, х' Є Xж, и ц*(ш) = 0 ш Є Е^, ранга к ^ 0. Тогда

ЦТЦ(8)= V. □

Введем аналогично БЕС-замкнутым семействам рядов деревьев согласно [18] эквациопалыто замкнутые семейства рядов деревьев. £

если удовлетворяются следующие условия.

(і) 0 Є £.

35

(іі) Если в 1, в2 Є £, то в 1 + в2 Є £.

(ііі) Если ш Є Еж имеет ранг к ^ 0 и в1,...,вк Є £, то си (в1,..., вк) Є £; тел и х Є Xж, то х Є £.

(іу) Если в Є £ и х Є Xж, то наименьшее решение цх.в уравнения х = в £

£

то, если (£, +, 0, (ш | ш Є Еж) и Xж) является дистрибутивной Еж и Xж-aлгeбpoй, удовлетворяющей условию (іу), то есть нашими «рациональными» операциями являются 0, сложение, топ-сцепление и наименьшие решения уравнений (заметам, что мы не требуем замыкания относительно подстановки, что [18] делали для своих І1ЕС-замкпутых языков деревьев).

Теорема 7.4. Лгєс((Теж(Xж))) — жвационально замкнутое семейство рядов деревьев.

□

Теперь можно ввести полные АЕТ-семейства. Используем обозначение £(£), где £ — семейство рядов деревьев, для наименьшего эква-циопалыто замкнутого семейства рядов деревьев, которое замкнуто относительно недетерминированных простых распознаваемых тратт-

££ ревьев называется полным АРТ-семейством, если £ = $(£)■

Теорема 7.5 ([41], теорема 3.5). Лгєс((Теж^Ж)) — полное АРТ-семейсгпво.

□

Рассмотрим теперь алгебраические ряды деревьев.

Теорема 7.6. Ла£((Теж (Xж))) — жвационально замкнутое семейство рядов деревьев.

□

Покажем теперь, что Ла^((Теж— полное АРТ-семейство, замкнутое относительно недетерминированных простых алгебраических трансдукций над рядами деревьев. Однако перед этим нам потребуются некоторые определения и результаты.

Недетерминированное простое древовидное представление ц = (ц* | к ^ 0) называется алгебраичеекши, если ц*(ш) Є Є (Л^((Теі(X' и Zk))))Q*Qk для ш Є Е*, к > 1, и цо(ш) Є Є (Ла1§((Те'(X'))))Q*1 для ш Є Ео и X. Недетерминированный простой трансдуктор над рядами деревьев Т = ^, ц, Б) называется алгебраическим, если ц — алгебраическое древовидное представление. Недетерминированные простые алгебраические трансдукции над рядами деревьев определяются аналогично недетерминированным простым распознаваемым трансдукциям над рядами деревьев.

Т

ванный простой алгебраический трансдуктор над рядами деревьев и в — алгебраический ряд деревьев. Тогда ||Т||(в) снова алгебраический.

Теорема 7.8. Пусть %\ и Т2 — недетерминированные простые алгебраические трансдукторы над рядами деревьев. Тогда существует недетерминированный простой алгебраический трансдуктор над рядами деревьев T, такой, что ||T||(s) = ||T2||(||Ti||(s)) для всех s є AT(X))).

Доказательство. Построение трансдуктора T из Ti и T2 аналогично построению в доказательстве теоремы 7.1. Теорема 7.7 доказывает, что |х алгебраично. □

Для семейства L рядов деревьев определим

Malg (L) = {t(s) | s є L и т — недетерминированная простая алгебраическая трансдукция над рядами деревьев }.

Заметим, что по теореме 7.8 Malg(Malg(L)) = Malg(£). Говорят, что семейство L рядов деревьев замкнуто относительно недетерминированных простых алгебраических трансдукций над рядами деревьев ж называют его алгебраическим конусом рядов деревьев, если L = Malg (£).

Теорема 7.9. Если L — алгебраический конус рядов деревьев и L содержит некоторый ряд деревьев s такой, что (s, x) = 1 для некоторого x є Хж, то AaXg((TEх(X^))) С £.

□

Теорема 7.10. Aag((T%х (Хж))) — алгебраический конус рядов деревьев.

□

Следствие 7.11 ([42], теорема 4.4). Aalg((Tsж(Хж))) — полное AFТ-семейство, замкнутое относительно недетерминированных простых алгебраических трансдукций над рядами деревьев.

8. Связи с формальными степенными рядами

Применение отображения выхода к формальным рядам деревьев дает формальные степенные ряды. Сначала покажем, что макросте-петтпые ряды в точности являются выходом алгебраических рядов деревьев. Здесь макростепеппые ряды вводятся как обобщение 01-языков в [27] и индексированных языков в [8]. Далее докажем теорему К.литти для макростепеппых рядов и индексированных языков. Затем покажем, что алгебраические степенные ряды в точности являются выходом распознаваемых рядов деревьев. В заключение докажем, что выходом полных абстрактных семейств рядов деревьев является полное абстрактное семейство степенных рядов.

Введем теперь макростепенные ряды. Пусть Ф = {Gi,... ,Gn}, Ф П X = 0, где Gi имеет ранг Ti, 1 ^ i ^ и, является конечным упорядоченным алфавитом функциональных; переменных. Определим T(Ф, X) как множество слов над Ф U X U {(} U {)} U {, }, удовлетворяющее следующим условиям:

37

38

0) X и{е}с Т(Ф,Х)

(и) если Ь1, € Т(Ф, X), то Ь1Ь2 € Т(Ф, X);

(ш) если С € Ф, где С ранга т ^ 0, и Ь1,... ,и € Т(Ф,Х), то

С(и,...,и) € Т(Ф,Х).

Слова в Т(Ф,Х) называются термами над Ф и X. Через А((Т(Ф^))) (соответственно А(Т(Ф^))) обозначим множество степенных рядов, носители которых являются подмножествами (соответственно бесконечными подмножествами) в Т(Ф^).

Пусть В' = А{{(X и Zrl)*)) х ... х А{{(X и Zrn)*)) и рассмотрим степенные ряды вг € А{{Т(Ф^ и Zri))), 1 ^ г ^ п. Тогда каждый вг индуцирует функцию вг : В' ^ А{{(X и Zri)*)). Для (т1,..., Тп) € В'

Определим ПО ИНДуКЦИИ вг(Т1, . . . , Тп).

(1) гт, если вг = гт, 1 ^ т ^ тц х, если вг = х, х € X;

(и) в1(Т1, . . ., Тп)Ь(Т1, . . ., Тп), есл И вг = 1112, 11,12 € Т (Ф, X и Zri) (ш) Т] (Ь1 (т1 , ... , Тп), ... , вг3 (т1 , ... , Тп)^^ЛИ вг — С ] (tl, ... , Ьг^ ),

С] € Ф, ь,...,^ € Т (ФX и Zri);

(Ьг) а ■ в(т1,..., Тп), если вг = аЬ, а € А, Ь € Т(Ф^ и Zri);

(V) T,jeJ Т3 Ы^.^ тп^ И вг = Y,jeJ 3 т3 € А{{Т (Ф^ и Zri )))> ] € Л, где Л — произвольное множество индексов.

Отображения 8г, 1 ^ г ^ п, непрерывны и отображение в : В' ^ В', где в = {в1,..., вп), тоже непрерывно. Это доказывается аналогично доказательству непрерывности отображений, определенных в связи с алгебраическими системами над деревьями (после теоремы 5.1).

Макросистема & = (Ф^^Е) (с функциональными переменными в Ф, переменными в ^ ^ символами в X)

имеет множество Е формальных уравнений

Сг(г1,..., Хг1 ) = вг(г1,..., Хг1 ), 1 ^ г ^ п,

где каждое в г содержится в А{Т (Ф^ и Zri)).

Решение макросистемы & определяется как (Т1,..., Тп) € В' такое, что Тг = вг(т1,..., Тп), 1 ^ г ^ п, то есть посредством произвольной неподвижной точки (Т1,..., Тп) да я в = {в1, . . . , вп). Решение (о"1,..., оп) макросистемы & называется наименьшим решением, если Ог ^ Тг, 1 ^ г ^ п, ДЛЯ ВСвХ решений (Т1, ..., Тп) системы &. Поскольку наименьшее решение макросистемы & есть не что иное, как наименьшая неподвижная точка для в = {в1,..., вп), то наименьшее решение макросистемы & существует в В'.

Теорема 8.1 ([44], теорема 5.1). Пусть & = (ФXX, {Сг = вг |

1 ^ г ^ п}) - макросистема, где вг € А{Т(ФХ и Zri)). Тогда наи-

& В'

йх(в) = 8ир(вг(0) | г € М), где вг — г -я итерация отображения в = {в,..., вп) : В' ^ В'.

Теорема 8.1 показывает, как вычисляется приближение к наименьшему решению макросистемы. Аппроксимирующая последовательность (Т3 I ] € М), где каждое Т3 € В' ассоциировано с макросистемой & = (Ф, Z,X, {Сг = вг | 1 ^ г ^ п}), определяется так:

Т0 = 0, Т3+1 = в(т3), ] € N .

Очевидно, что наименьшее решение йх(в) макросистемы & равно 8ир(т3 | ] € М). Макросистема с начальной функциональной переменной & = (Ф и {С0}, Z, X, {Сг = вг | 0 ^ г ^ п},С0) (с функциональными переменными в Ф и {Со}, переменным и в Z, терминальными символами в X) есть макросистема (Ф и {Со}, Z,X, {Сг = вг | 0 ^ г ^ п}) и Со — начальная функциональная переменная ранга 0. Пусть (то, Т1,..., Тп) — наименьшее решение (Ф и {Со}, Z,X, {Сг = вг | 0 ^ г ^ п}). Тогда то называется начальной компонентой наименьшего решения. Заметим, что То € A{{X*)) не содержит переменных в Z.

Степенной ряд т в А{{X*)) называется макростепенным рядом, т

с начальной функциональной переменной.

Аналогично доказательству теоремы 3.4 в [24] можно показать, что в случае булева полукольца т € B{{X*)) — макростепенной ряд тогда и только тогда, когда 8ирр(т) € X* является 01-языком в смысле определения 3.10 в [27]. Более того, по теореме 5.3 из [27] т € B{{X*)) — макростепенной ряд тогда и только тогда, когда 8ирр(т) € X* является индексированным языком (см. [8]).

Определим теперь отображение уё : А{{Тяи Z))) ^

^ А{{Т(Ф^ и Z))). Для в € А{{Тяиф(X и Z))) уё(в) называется выходом ряда в уё(в) определяется индукцией следующим образом:

(1) хт если в = хт € Z; х, если в = х, х € X;

(и) уё(Ь1)... уё(^), если в = ш(Ь1,...,и), ш € Тг, Ь1,...,Ьг € € Тяиф^ и Z), т ^ 0 (заметим, что уё(ш) = е, если ш € То)]

(Ш) Сг(уё(Ь),..., уё(Ьп)), если в = Сг(Ь,... ,Ьп), Ь1,... ,Ьп € € ТяиФ^ и ^\1 ^ г ^ п;

(1у) J2teт^Uф(xиz)(в,t)yd(t) если в = ^2гет-£иф(хи2)(в,^-

Заметим, что уё(в) € А{{(X и Z)*)), если в € А{{Тя(X и Z))). Следовательно, наше отображение уё является расширением обычного отображения выхода (см. [31], раздел 14).

Свяжем алгебраические ряды деревьев и макростеиенные ряды с помощью отображения выхода в нашей следующей теореме.

&=

= (Ф, Z, Т, {Сг(х1,..., хГ1 ) = вг | 1 ^ г ^ п}) определим макросистему уё(&) как уё(&) = (Ф, Z, X, {Сг(х1,..., хГ1 ) = уё(вг) | 1 ^ г ^ п}).

Теорема 8.2 ([44], теорема 5.5). Если (т1 ,..., Тп) — наи-

&

(уё(т1),...,уё(тп)) — наименьшее решение макросистемы уё(&).

40

Следствие 8.3. Если в — алгебраический ряд деревьев, то уё(в) — макростепенной ряд.

Теорема 8.4. Пусть {•,е} С £, где •и е имеют ранг 2 и О соответственно. Тогда степенной ряд г Є А((Х*)) является макро-степенным рядом тогда и только тогда, когда существует такой алгебраический ряд деревьев в Є А{{Т^(X))), что уё(в) = г.

Доказательство. Пусть г — начальная компонента наименьшего решения макросистемы с начальной функциональной переменной Є = (Ф и {Со}, Я, X, {Сі = ві | 0 ^ і ^ и],Со). Построим алгебраическую систему над деревьями Є' = (Ф и {Со}, Я, {•, е}, {Сі = ві | 0 ^ і ^ п}, Со) такую, что у^Є') = Є, путем построения для каждого слова ш из Т (Ф и {С0}, X и Я) дерев а ¿(ш) из Т{.е}ифи{Со}(Х и Я):

(i) ¿(є) = е, ¿(х) = х, х Є X и ¿(г) = г, г Є Я;

(ii) если ші,ш2 Є Т(Ф и {С0}^ и Я), то ¿(шіш2) = •(¿(ш\),Ь(ш2));

(iii) если С Є Ф и {Со}, где С имеет ранг г ^ 0 и ші,...,шг Є Є Т(Ф и {С0}^ и Я), то ¿(С(ші,..., шп)) = С(Ь(ш\),..., ¿(шп)).

Очевидно, получим уё(Ь(ш)) = ш для всех ш Є Т(Ф и {Со}Х и Я).

Определим теперь ві = ^ы^ацт(Фи{с0} XиЕ)}} (ві, ш)Ь(ш). Тогда у^Є') = Є. Предположим теперь, что в — начальная компонента наименьшего решения макросистемы Є'. Тогда г = уё(в). □

Пример 8.1. Пусть Є = (Ф,Я, £,Е,Яо) — алгебраическая система над деревьями с начальной функциональной переменной Яо, определенная посредством:

(i) Ф = {Со,С\,С2, Яо}, где ранги Со, Сі, С2 равны 3, а ранг Яо равен 0 і

(ii) Я = {го,гі,г2}',

(iii) £ = £2 = {Ь}, X = {01,02}',

Е

Со(го, гі,г2) = Со(Со(го, гі, г2),Сі(го, гі, г2),С2(го, гі, г2)) +

+ Ь(гі,г2),

Сі(го, гі, г2) = Ь(гі, гі), і = 1, 2,

Яо = Со(0,0і, 02).

Є

^з>о Ь(іі,іі)^де ¿і и ¿2, і ^ 0, определены в примере 5.1. Макросистема у^Є) = (Ф, Я, X, Е', Я о) с начальной функциональной переменной Яо определена формальными уравнениями из Е':

Со(го, гі,г2) = Со (С о (го, гі, г2),Сі(го, гі, г2),С2(го, гі, г2)) + гіг2, Сі(го,гі,г2) = г^, і = 1,2,

Яо = Со(0,0і, 02).

Начальная компонента наименьшего решения системы у^Є) есть

V 02* 02 □

2-^і^о 0і 02 ■ □

Введем теперь выражения над макростепеттпыми рядами. Предположим, что А,Х^, Фж и и = {+, •, ц, [, ]} попарно дизъюнктны. Слово Е над А и X и И и Фж и и является выражением с макросте-пенными рядами над (А, X, И, Фж), если

(1) Е содержится в X и И и {е}, или

(И) Е имеет одну из форм [Е\ + Е2], [Е\Е2], С(Е\,..., Ек), аЕ\ или цС.Е\, где Е\,..., Ек — выражения с макростепенными рядами над (А,Х,И, Фж), С £ Фж ранга к к ^ 0, и а £ А.

Каждое выражение с макростепенными рядами Е над (А, X, И, Фж) обозначает формальный степенной ряд \Е\ в А((Т(Ф^ и И))), где Ф — некоторое подходящее конечное подмножество в Фж, в соответствии со следующими соглашениями.

(1) Если Е содержится в X и И и {е}, то Е обозначает формальный Е \ Е\ = Е

(и) Для выражений с макростепенными рядами Е\,..., Ек над (А, X, И, Ф<х), С £ Фж ранга к к ^ 0 а £ А, определим \[Е-1 + Е2]\ = \Е\\ + \Е2\,

\[ЕгЕ2]\ = \Е!\\Е2\, \С(Е1, . . ., Ек ^ = ¿^, ... ,гкеТ(Ф ,ХиЕ)(\Е1\,^1) ■ ■ ■ (\Ек\,1к хС(Ь,.. .,Ьк), \аЕг\ = а\Е\\,

\цСЕ\ = цС.ЕУ

Определим теперь «отображение выхода» V, которое отображает выражения с алгебраическими рядами деревьев над (А, Т, X, И, Фж) в выражения с макростепенными рядами над (А, X, И, Фж):

(1) если Е содержится в X и И, то У(Е) = Е;

(и) для выражений с алгебраическими рядами деревьев Е\,..., Ек над (А, Т^,И, Ф<х), ш £ £ ранга к С £ Фж ранга к к ^ 0, а £ А определим:

У([Ег + Е2]) = [У(Ег)+У(Е2)],

У(ш(Еи ...,Ек )) = [... [У(Ех)У(Е2)] • • • У(Ек)]

(включая У(ш) = е для к = 0 У(ш(Ег)) = У(Е\) для к = 1), У(С(ЕЪ ...,Ек ))= С(У(Е\),..., У(Ек)),

У(аЕ\) = аУ(Е{), У(цСЕ) = цС.УЕ).

Мы утверждаем, что \Е\) = \У(Е) \ для выражения с алгебра-

ическими рядами деревьев над (А, Т, X, И, Фж). Доказательство проводится индукцией по виду Е. Покажем только случай Е = цС.Е\:

уё( \ Е \) = уё(цС. \ Е-1 \) = цС.уё( \ Е-1 \) = цС. \ У(ЕХ) \ = \ У(цСЕ) \ = = \ У(Е) \ .

Здесь второе равенство следует из непрерывности отображения уё, а третье равенство верно по предположению индукции.

Определим теперь отображения ф1, ф2, Фэ аналогично подобным отображениям в главе 5.

Данные соображения вместе со следствиями 5.18 и 8.4 приводят к следующему результату. Его можно рассматривать как теорему Клитти для макростепеппых рядов.

Теорема 8.5. Степенной ряд r Є A{{X*)) является макросте-пенньш рядом тогда и только тогда, когда существует такое выражение с макростепенными рядами E над (A, X, Z, Ф^), что r = | E| , где фі(Е) = фэ(Е) = 0.

Если базовым полукольцом является B, то теорема 8.5 может рассматриваться как теорема Клитти для индексированных языков.

Пример 8.2. Рассмотрим макросистему M = (Ф, Z, X, E,G0) с начальной функциональной переменной Со, определенную посредством Ф = Ф0 U Ф2, Ф0 = {Со}, Ф2 = {С}, X = {с1} c2} и Е = {С0 = = C(c1,c2),C(z1, z2) = C(z2, z“2) + z1 z2}. Поскольку M = yd(S), где

S определена в примере 5.2, то мы получим, что начальная компонента наименьшего решения системы M задается как ^2j^o с2 =

= ІУ-С.[С([С1С1], [С2С2]) + [с 1С2]]|■ Заметим, что это выражение с макростепенными рядами есть Y(E), где Е — выражение с алгебраическими рядами деревьев, данное в примере 5.2. □

Покажем теперь, что алгебраические степенные ряды являются выходом распознаваемых рядов деревьев.

Пусть zi = Рі, Рі Є А{{Тя (X U Zn))), 1 ^ і ^ п, єсть простая собстветтттая коттечттая полиномиальная система с наименьшим решением (о"1,..., an). Рассмотрим собственную алгебраическую систему zi = yd(pi)1 yd(pi) Є A{{(X U Zn)*)), 1 ^ і ^ п. Тогда легко доказать, что ее наименьшее решение есть (yd(o1),..., yd(on)). Это доказывает следующую теорему.

Теорема 8.6. Если s — распознаваемый ряд деревьев, то yd(s) — алгебраический степенной ряд.

Следстыие 8.7. Е[устъ {•ув} С Я, где •и e имеют ранги 2 и 0 соответственно. Тогда степенной ряд r Є A{{X*)) является алгебраическим тогда и только тогда, когда существует такой ряд деревьев в Атс{{Тя(X))), что yd(s) = r.

Для А = теорема 8.6 и теорема 3.9 из [37] влекут следующий хорошо известный результат в теории формальных языков (см. также [19], раздел 3.3, [31], раздел 14, и [52]).

С

Тогда для w Є L(C) существуют d(w) левосторонних выводов для w в С тогда и только тогда, когда существуют d(w) неизоморфных деревьев вывода в С с результатом w.

Теоремы Клитти из главы 4 влекут по следствию 8.7 теоремы Клитти алгебраических степенных рядов и котттексттто-свободттых языков (см. [38] и [34]).

Вернемся теперь к теории полных абстрактных семейств рядов деревьев и для оставшейся часта главы 8 условимся о следующем соглашении: множество £ж (соответствено Х^) есть фиксированный бесконечный упорядоченный алфавит (соответствено бесконечный алфавит) и £ (соответствено X), возможно, снабженный индексами, есть конечный подалфавит в £ж (соответствено Х^). Кроме того, £ж содержит сим вол • ранга 2 и сим вол e ранга 0.

Покажем, что для полного AFT-семейства L yield(L) является полным абстрактным семейством рядов степенных рядов (коротко, AFP). Здесь yield(L) = {yd(s) \ s G £}.

Теорема 8.9. Пусть L — эквационально замкнутое семейство рядов деревьев. Тогда yield(L) замкнуто относительно сложения, умножения, звезды и содержит Oui.

Доказательство, (i) Пусть rl,r2 G yield(L). Тогда существуют такие Si,S2 G L, что yd(sj) = ri, i = 1,2. Поскольку L замкнуто относительно сложения, s = si + s2 G L и yd(s) = rl + r2 G yield(L). Так как L замкнуто относительно конкатенации, s' = •(si, s2) G L и yd(s') = rlr2 G yield(L).

(ii) Пусть s G L и предположим, что x G Хж не встречается в s. Рассмотрим уравнение x = ^(s,x) + e. Его наименьшее решение Hx.(^(s, x) + e) содержится в L. Следовательно, наименьшее решение Hx.yd(^(s, x) + e) = |ox.(yd(s)x + e) = yd(s)* для x = yd(^(s, x) + e) = = yd(s)x + e содержится в yield(L). Кроме того, yd(0) = ^ и 0* = 1 содержатся в yield(L). □

Мультипликативный морфизм

V : X* ^ (A{{X'*)))QxQ

называется представлением степенных рядов. Представление степенных рядов V называется рациональным (соответственно алгебраическим, макропредставлением), если элементы v(x), x G G X являются рациональными (соответственно алгебраическими, макро-) степенными рядами. Траттсдуктор над степенными рядами

3 = (Q, v,S,P) называется рациональным (соответственно алгебра-

V

ическое, макро-) представление степенных рядов и элементы в S и Р — рациональные (соответственно алгебраические, макро-) степенные ряды. Траисдукция над степенными рядами называется рациональной (соответственно алгебраической, макро-), если она реализуется рациональным (соответственно алгебраическим, макро-) траттс-дуктором над степенными рядами.

V

ных рядов, определенное посредством V : X (AaXg{{X'*)))QXQ. То-

гда существует недетерминированное простое распознаваемое древовидное представление |х с множеством состояний Q x Q, отображающее £UX во множество матриц с элементами в Arec{{Ts> (X'U UZ))), £ = {^,e} такое, что для всех s G A{{Ts(X))) и ql,q2 G Q

yd(V(s)(q1,q2)) = V(yd(s))qi,q2 .

Доказательство. Построим ц = (цк I к ^ 0).

(i) Для х Є X и ді,д2 Є ^ ^^^^оим Цо(х)^1т) в соответствии со следствием 8.7 С тем СВОЙСТВОМ, ЧТО У^ц^х)^,^)) = у(х)д1уд2.

(ii) Для ш Є Ео и ді,д2 Є ^ ^^^еделим цо^)^,®) = 5Ш1,Ш2Є гДе

5 — СИМВОЛ Кронекера; поэтому У^ц^ш)^,^)) = ЬЯ1,Я2 Є = У(е)Ш1,Ш2.

(iii) Для ш Є Ек, к ^ 1, и д1,д2,г1, ■ ■ ■, Гк, ві, ■ ■ ■ ,вк Є определим

цк(ш)(ші,ш2),((гі,8і),...,(тк,вк)) = 5яі,ті5ві,Т2 ■ ■ ■ 58к—і,гк58к,Ш2•

• (гі, *(х2, •(■■■ • (гк-і,гк) ■ ■ ■))) ■

Рассмотрим дерево £ Є Те (X) и покажем, что yd(ц.(t)(qьq2)) = = v(yd(t))q1,q2, ді,д2 Є Q. Доказательство проведем индукцией по структуре деревьев в Те (X). Базис индукции является истинным по (і) и (И). Пусть теперь £ = ш(£1, ■ ■ ■ ,£к), ш Є Ек, к ^ 1, £]_,■■■ ,£к Є Є Те(X). Тогда падучим для ді ,д2 Є Q^.

У^Ц(£)^Ю)) =Уd(Ц(ш(tl,■■■,tk))(ql,q2)) =

= У^Е тъ.. .,ГкЄя52зі,...,вкЄЯ ц(ш')(Ші,Ш2),((гі,8і),...,(Гк,8к))

[ц(£1)(ті,8і)/гі, ■■■, ц(£к )(гк ,8к )/гк ]) =

= У^Е Т1,..,ТкЄЯ^81,...,8к ЄЯ 5ШіГі 58і,Г2 ■ ■ ■ 58к — 1 ,Гк 58к ,Ш2 • ( ц(£ і ) (гі ,81) , •

(Г2,82), ^0 ■ ■ , •(ц(£к-1) (гк — 1,8к — 1) , ц(£к )(гк,8к)) ■ ■ О)))

= Е 81,...,8к — 1ЄЯ ^(^(^(Ші^і))^^^2) (81,82 )) ■ ■ ■

^(ц(£к-1 )(8к—2 ,8к—і))^(ц(£к )(8к—1,Ш2)) =

= Е 81,...,8к — 1ЄЯ ^У^іїїші ,81 81,82 ■ ■ ■

У(Уфк-1))8к — 2,8к — 1 ^Ы(£к ))8к — 1,Ш2 = = ■ ■ ■ У^к))Ш1,Ш2 = уЫ(£))Ш1,Ш2 ■

Следовательно, для в Є А{{Те(X))) и ді,д2 Є Q

У^ц(в) (Ш1,Ш2)) = ^2(Ш1,Ш2)) =

= 52ієШХ)(в,£)УЫ(£))Ш1Ш2 = УЫ(в))Ш1 ,Ш2 ■

□

Непустое семейство степенных рядов алгебраический конус, если оно замкнуто относительно алгебраических траттсдукций степенных рядов. Заметам, что каждый алгебраический конус является (рациональным) конусом, то есть семейство степенных рядов замкнуто относительно рациональных траттсдукций степенных рядов.

Теорема 8.11. Пусть £ — полное АРТ-семейство. Тогда УІеИ(£) — алгебраический конус.

Доказательство. Пусть в Є £ в Є А{{Те (X))), г = yd(s) и 3 = ^, у,Б,Р) — алгебраический трансдуктор. Покажем, что

ІІШг) Є А {{X'*)) тоже содержится в УІеМ(£). Заметим, что ||3||(г) = = Бу(т)Р = Еш^єя ^у(г)ш1,ш2Рш2^т Бшр є А^{X'*)), д Є Q.

По следствию 8.7 существуют в0,р0 £ Лгес{{ТЕ'(X'))), •,е £ Я', такие, что уё(-0) = Б0, уё(р0) = Р0, q £ Q. По лемме 8.10 существует недетерминированное простое распознаваемое древовидное представление |х то множеством состояний Q х Q такое, что уё(ц.(з)(оьо2)) = у(г)д1,д2 для всех ql, q2■ Поскольку £ эквацпонально замкнуто, ТО Я2еЯ ^(801, •(№-(-) (01,02),Р02)) Содержится В £. СлвДО-

ВЭ.Т6Л ьно,

Уё(ИЯ1 тея •(8Я1 , •(Н-(%1,д2),Рд2))) =

= Ео1 ,д2 еЯ уФо1 ,02) )У(1(Р02 ) =

= Е0102ея Б01 У(г)01,02Р02 = \\Шг)

содержится в у1еЫ(£). □

Следствие 8.12. Пусть £ — полное А РТ-семейств о. Тогда у1еЫ(£) — полное АРР-семейство, замкнутое относительно алгебраических трансдукций.

Следствие 8.13. Семейство алгебраических степенных рядов является полным АРР-семейством, замкнутым относительно алгебраических трансдукций.

Следствие 8.14. Семейство алгебраических степенных рядов является полным АРР-семейством, замкнутым относительно подстановок.

£

тое относительно алгебраческих трансдукций рядов деревьев. Тогда у1еЫ(£) — полное АРР-семейство, замкнутое относительно тран-сдукций макростепенных рядов.

□

Следствие 8.16. Семейство макростепенных рядов является полным АРР-семейством, замкнутым относительно трансдукций макростепенных рядов.

Следствие 8.17. Семейство макростепенных рядов является полным АРР-семейством, замкнутым относительно подстановок.

Вернемся теперь к случаю языков, то есть нашим базовым полукольцом будет теперь ф(Т]^ (Хж)). Будем использовать без ссылок изоморфизм между Р(Те ^ (Хж)) и В {{Те х (Хж))).

£

замкнутым, если {£, и, 0, (ш \ ш £ Яж) и Хж) является дистрибутивной и Хж-алгеброй, удовлетворяющей следующему условию:

Если Ь £ £ и х £ Хж, то наименьшее решение цх.Ь уравнения языка над деревьями х = Ь содержится в £.

Определим F(L) как наименьшее эквационально замкнутое семейство языков над деревьями, которое замкнуто относительно недетерминированных простых распознаваемых траисдукций над рядами деревьев и содержит £. Семейство L языков над деревьями называется полным абстрактным семейством языков над деревьями, если L = F(L).

Свяжем теперь паши полные абстрактные семейства языков над деревьями с полными AFL-семействами (см. [51], [32] и [9]).

Теорема 8.18. Пусть L — полное абстрактное семейство языков над деревьями. Тогда yield(L) — полное AFL-семейство, замкнутое относительно алгебраических трансдукций.

Подстановка а называется контекстно-свободной, если а(х) — контекстно-свободный язык для каждого x Е X.

Следствие 8.19. Пусть L — полное абстрактное семейство языков над деревьями. Тогда yield(L) — полное AFL-семейство, замкнутое относительно контекстно-свободных подстановок.

Следствие 8.20. Семейство контекстно-свободных языков является AFL-семейством, замкнутым относительно подстановок.

Следствие 8.21 ([8], теорема 3.4). Семейство индексированных языков является AFL-семейством, замкнутым относительно подстановок.

Исследование частично поддержано акцией Австро-Венгерского научно-педагогического сотрудничества, проект 5'SOeUl.

Supported by Aktion Österreich-Ungarn, Wissenschafts- und Erziehung skooperation, Projekt 5'SOeUl.

Список литературы

1. Алешников C. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы I: полукольца Конвея и конечные автоматы // Вестник Калининградского государственного университета. 2003. Вып. 3. С. 7—38.

2. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы II: непрерывные полукольца и алгебраические системы // Там же. 2005. Вып. 1-2. С. 19-45.

3. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы III: магазинные автоматы и формальные степенные ряды // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2006. Вып. 10. С. 8-27.

4. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы IV: трансдукторы и абстрактные семейства // Там же. 2008. Вып. 10. С. 6-23.

5. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы V: пары полукольцо-полумодуль Конвея и конечные автоматы // Там же. 2009. Вып. 10. С. 6—41.

6. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы VI: ш-алгебраические системы и трансдукторы // Там же. 2010. С. 8-32.

7. Алешников С.И., Болтнев Ю.Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы VII: формальные ряды деревьев (Часть I) // Вестник Балтийского федерального университета им. И.Канта. Вып. 10. 2011. С. 5—32.

8. Aho А. V. Indexed grammars-an extension of context-free grammars // JACM. 1968. Vol. 15. P. 647-671.

9. Berstel J. Transductions and Context-Free Languages. Teubner, 1979.

10. Berstel J., Reutenauer C. Recognizable formal power series on trees // Theor. Comput. Sci. 1982. Vol. 18. P. 115-148.

11. Block R. E., Griffing G. Recognizable formal series on trees and cofree coalgebraic systems // .J. of Algebra. 1999. Vol. 215. P. 543-573.

12. Bloom St. L., Esik Z. Iteration Theories. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Springer, 1993.

13. Bozapalidis S. Effective construction of the syntactic algebra of a recognizable series on trees // Acta Inf. 1991. Vol. 28. P. 351-363.

14. Bozapalidis S. Alphabetic tree relations // Theoret. Comput. Sci. 1992. Vol. 99. P. 177-211.

15. Bozapalidis S. Convex algebras, convex modules and formal power series on trees // .J. Automata. Languages and Combinatorics. 1996. Vol. 1. P. 165-180.

16. Bozapalidis S. Equational elements in additive algebras // Theory Comput. Systems. 1999. Vol. 32. P. 1-33.

17. Bozapalidis S. Context-free series on trees // Information and Computation. 2001. Vol. 169. P. 186-229.

18. Bozapalidis S., Rahonis G. On two families of forests // Acta Inf. 1994. Vol. 31. P. 235-260.

19. Bucher W., Maurer H. Theoretische Grundlagen der Programmiersprachen. В. I. Wissenschaftsverlag, 1984.

20. Comon H., Dauchet М., Gilleron R. et al Tree Automata-Techniques and Applications. Manuscript.

21. Courcelle B. Equivalences and transformations of regular systems— Applications to recursive program schemes and grammars // Theor. Comp. Sci. 1986. Vol. 42. P. 1-122.

22. Engelfriet J. Bottom-up and top-down tree transformations-a comparison // Math. Systems Theory. 1975. Vol. 9. P. 198-231.

23. Engelfriet J., Fiilop Z., Vogler H. Bottom-up and Top-down Tree Series Transducers // .J. Automata. Languages and Combinatorics. 2002. Vol. 7. P. 11-70.

24. Engelfriet J., Schmidt E. M. IO and OI // I. .J. Comput. Systems Sci. 1977. Vol. 15. P. 328-353.

25. Esik Z. Completeness of Park induction // Theor. Comput. Sci. 1997. Vol. 177.,P. 217-283.

26. Esik Z., Kuich W. Formal tree series // .J. Automata. Languages and Combinatorics.'2003. Vol. 8. P. 219-285.

27. Fischer M. J. Grammars with macro-like productions // 9th Annual Symposium on Switching and Automata Theory. 1968. P. 131-142.

28. Fiilop Z., Vogler H. Syntax-Directed Semantics. Springer, 1998.

29. Fiilop Z., Vogler H. Tree series transformations that respect copying // Theory of Computing Systems. 2003. Vol. 36. P. 247-293.

30. Gecseg F., Steinby M. Tree Automata. Akademiai Kiado, 1984.

31. Gecseg F., Steinby M. Tree Languages // Handbook of Formal Languages. Springer, 1997. Vol. 3. Chapter 1. P. 1-68.

48

32. Ginsburg S. Algebraic and Automata-Theoretic Properties of Formal Languages. North-Holland, 1975.

33. Grätzer G. Universal Algebra. Springer, 1979.

34. Gruska ,/. A characterization of context-free languages // Journal of Computer and System Sciences. 1971. Vol. 5. P. 353-364.

35. Guessarian I. Algebraic Semantics // Lect. Notes Comput. Sei. Vol. 99. Springer, 1981.

36. Guessarian I. Pushdown tree automata // Math. Systems Theory. 1983. Vol. 16. P. 237-263.

37. Kuich W. Semirings and formal power series: Their relevance to formal languages and automata theory // Handbook of Formal Languages. Springer. 1997. Vol. 1. Chapter 9. P. 609-677.

38. Kuich W. Gaußian elimination and a characterization of algebraic power series // MFCS 98, Lect. Notes Comput. Sei. 1998. Vol. 1450. P. 512-521.

39. Kuich W. Formal power series over trees // Proceedings of the 3rd International Conference Developments in Language Theory. Aristotle University of Thessaloniki, 1998. P. 61-101.

40. Kuich W. Tree transducers and formal tree series // Acta Cybernetica. 1999. Vol. 14. P. 135-149.

41. Kuich W. Füll abstract families of tree series I //. Jewels are Forever. Springer, 1999. P. 145-156.

42. Kuich W. Abstract families of tree series II // Proceedings of the International Workshop on Grammar Systems 2000. Schlesische Universität Troppau, 2000. P. 347-358.

43. Kuich W. Formal series over algebras // Proceedings of MFCS 2000, Lect. Notes Comput. Sei. Springer, 1893. Vol. 2000. P. 488-496.

44. Kuich W. Pushdown tree automata, algebraic tree systems, and algebraic tree series // Information and Computation. 2001. Vol. 165. P. 69-99.

45. Kuich W. Formal power series over sorted algebras // Discrete Math. 2002. Vol. 254. P. 231-258.

46. Kuich W., Salomaa A. Semirings, Automata, Languages // EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Vol. 5. Springer, 1986.

47. Lausch H., Nöbauer W. Algebra of Polynomials. North-Holland, 1973.

48. Rounds W. C. Trees, transducers and transformations. PhD thesis. Stanford University, 1968.

49. Rounds W. G. Context-free grammars on trees // ACM Symposium on Theory of Computing, 1969. P. 143-148.

50. Rounds W. G. Mappings and grammars on trees // Math. Systems Theory. 1970. Vol. 4. P. 257-287.

51. Salomaa A. Formal Languages. Academic Press, 1973.

52. Seidl H. Deciding equivalence of finite tree automata // STACS88, Lect. Notes Comput. Sei. 1989. Vol. 349. P. 480-492.

53. Thatcher J. W. Generalized2 sequential machine maps. IBM Research Report RC 2466, 1969.

54. Thatcher ,/. W. Generalized sequential machine maps // J. Comp. Syst. Sei. 1970. Vol. 4. P. 339-367.

55. Thatcher J. W., Wright ,/. B. Generalized finite automata theory with an application to a decision problem of second-order logic // Math. Systems Theory. 1968. Vol. 2. P. 57-81.

56. Wechler W. Universal Algebra for Computer Scientists // EATCS Monographs on Computer Science. Vol. 25. Springer, 1992.

Об авторах

Сергей Иванович Алептттиков — канд. физ.-мат. ттаук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Каттта, e-mail: ellipt.ec @mail.ru.

Юрий Федорович Болтнев — ст. преп., Балтийский федеральный университет им. И. Каттта, e-mail: boltnevo9@list.ru.

Золтатт Език — д-р, Сегедский утт-т, Венгрия, e-mail: kuich @tuwien.ac.at.

Сергей Александрович Иптаттов — д-р. физ.-мат. ттаук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Каттта, e-mail: sergey. ishanov@ya.ru.

Верттер Куих — д-р, Венский техтт. утт-т, Австрия, e-mail: kuich @tuwien.ac.at.

Authors

Dr Sergey Aleshnikov - assistant professor, I. Kant. Baltic Federal University, e-mail: ellipt.ec@ mail.ru.

Yuriy Boltnev - high instructor, I. Kant. Baltic Federal University, e-mail: boltnevo9@list.ru.

Dr Zoltán Esik - University of Szeged, Hungary, e-mail: kuich @tuwien.ac.at.

Dr Sergey Ishanov - professor, I. Kant. Baltic Federal University, e-mail: sergey.ishanov@ya.ru.

Dr Werner Kuich - Technische Universit.,n,t. Wien, Austria, e-mail: kuich@ t.uwien. ac .at.