CC BY
25
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ИНФОРМАТИКА
УДК 681.3.07
С. И. Алешников, Ю. Ф. Болтнев, 3. Език,
С. А. Ишанов, В. Куах
ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ И АВТОМАТЫ VII: ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДЕРЕВЬЕВ (Часть I)
Это седьмая статья в серии, дающей обзор некоторых разделов теории формальных языков и автоматов с использованием полуколец, формальных степенных рядов, матриц и теории неподвижных точек. В статье рассматриваются автоматы над деревьями (рядами деревьев) и системы уравнений над рядами деревьев. Основными темами статьи являются следующие.
1. Эквивалентность автоматов над деревьями (соответственно, конечны,х автоматов, полиномиальных автоматов над деревьями), поведение которых описывается рядами деревьев над полукольцом, и систем уравнений (соответственно, конечны,х, полиномиальных систем уравнений), наименьшие решения которых есть корт,ежи рядов деревьев над полукольцом.
2. Результат Клини: класс распознаваемых рядов деревьев характеризуется рациональными выражениями рядов деревьев.
This is the seventh paper of a series of papers that will give a survey on several topics on formal languages and automata by using semirings, formal power series, matrices and fixed point theory. The seventh paper of this series deals with tree (series) automata and systems of equations over tree. The main topics of the paper are the following.
1. Tree automata (resp. finite, polynomial tree automata), whose behaviors are tree series over a semiring, and systems of equations (resp. finite, polynomial systems of equations), whose least solutions are tuples of tree series over a semiring, are equivalent.
2. A Kleene result: the class of recognizable tree series is characterized by rational tree series expressions.
Ключевые слова: формальный язык, автомат, автомат над деревьями, полукольцо, формальные ряды деревьев.
Key words: formal languages, automaton, tree automaton, semiring, formal tree series.
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2011. Вып. 10. С. 5 — 32.
1. Введение
Эта седьмая статья в серии, дающей обзор некоторых разделов теории формальных языков и автоматов. В статье сообщается
об обобщении некоторых классических результатов по формальным языкам, формальным языкам над деревьями, языкам с конечными и бесконечными словами, автоматам, автоматам над деревьями и др. Предполагается, что читатель знаком с частями I—V [2—6] нашей серии.
Кроме того, мы предполагаем, что читатель имеет некоторые базовые знания о языках над деревьями и автоматах над деревьям (см. [18; 28; 29]). Формальные ряды деревьев были введены в работе [8], а затем подробно изучались в работах [9; 11—16; 21; 27; 37—40; 42].
Данная статья состоит из настоящей и трех последующих глав. В главе 2 мы определим дистрибутивные £-алгебры, где £ — произвольная сигнатура. Мы введем ряды деревьев и охарактеризуем дистрибутивные £-алгебры рядов деревьев (с коэффициентами в непрерывном полукольце) универсальным свойством. Мы используем эту характеризацию для вывода свойств подстановок рядов деревьев.
В главе 3 мы определим автоматы над деревьями и системы уравнений, правые часта которых состоят из рядов деревьев. Эти понятая образуют основу для рассмотрения конечных и магазинных автоматов над деревьями и полиномиальных систем. Главный результат этой главы состоит в том, что (конечные, полиномиальные) автоматы над деревьями и (конечные, полиномиальные) системы являются эквивалентными механизмами.
В главе 4 мы докажем теорему Клитти для распознаваемых рядов деревьев, что позволит также определять распознаваемые ряды деревьев выражениями, аналогичными регулярным выражениям.
Изложение в настоящей статье следует работам Езика и Куиха [24].
2. Предварительные сведения
Мы предполагаем, что читатель знаком с определениями части II
[3] настоящей серии статей и тте будем их повторять.
В этом разделе мы сначала рассмотрим дистрибутивные алгебры. Определения и результаты о дистрибутивных алгебрах главным образом получены в работах Бозапалидиса [14], в особеттости через его понятие К-Г-алгебры. Он заметил, что мультилинейные отображения его ш-аддитивных К-Г-алгебр гарантируют, что некоторые важные отображения, индуцируемые формальными степенными рядами, непрерывны (см. теорему 2 в [14]). Мы попытались в нижеследующем определении дистрибутивной алгебры упростить тип используемой алгебры, в то же время сохраняя важные результаты. Результаты о дистрибутивных алгебрах являются обобщением результатов о полукольцах, приведенных в предварительных сведениях в часта II [3].
Во второй часта раздела мы введем формальные ряды деревьев. Эти формальные ряды деревьев образуют дистрибутивные алгебры.
В заключение этого раздела мы рассмотрим некоторые важные отображения, связанные с формальными рядами деревьев, и покажем, что они непрерывны.
£
зываются символами операций, вместе с отображением £ ^ М, называемым функцией арности и присваивающим каждому символу операции ее арность (М обозначает целые неотрицательные числа). Будем записывать £ = Хо и £1 и... и £к и..., где £к, к ^ 0, содержит символы операций арности к.
Пусть £ — сигнатура. Напомним, что £-алгебра {А, £) состоит из непустого множества А и семейства операций {аА : Ак ^ А | а € £к, к ^ 0}. Как обычно, будем обозначать это семейство операций тоже £, а семейство к-арных операций — £к, к ^ 0 (см. [28; 31; 45; 54]). Алгебра {А, +, 0, £), где {А, +, 0) — коммутативный моноид и {А, £) — £-алгебра, называется дистрибутивной £-алгеброй, если следующие два условия выполняются для всех а а € £к и всех а,а1,... ,ак € А, к ^ 1:
(1) аА(а1,..., а^-1,0, а^+1,..., ак) = 0 для всех 1 ^ ^ к;
(и) аA(a1, ■ ■ ■ , aj—1, aj + a, аз+1> ■ ■ ■ , ак) —
= аА (a1у ■ ■ ■ , aj— 1 , aj у аj+1 у ■ ■ ■ у ак) +
+ аА(а1,..., aj-1у а, aj+1у..., ак) для всех 1 ^ ^ к.
£
поида, так и операции в £. В дальнейшем £ — £о и £1 и ... и £к и ... всегда будет обозначать сигнатуру. В связи с деревьями сигнатура будет называться ранжированным алфавитом, где ранг символа операции — это ее арность.
Дистрибутивная £-алгебра {А, +, 0, £) кратко обозначается как А, если +, 0 и £ подразумеваются. Понятие дистрибутивной £
трибутивттый мультиоператорттый моноид». Идемпотеттт дистрибутивных £-алгебр, то есть £-алгебр {А, +, 0, £), где а + а — а для а€А
^-магма». Кроме того, дистрибутивные £-алгебры являются «сокра-КГ
Дистрибутивную £-алгебру {А, +, 0, £) называют упорядоченной, если {А, +, 0) упорядочен и каждая оп ерация а а € £ сохраняет порядок по каждому аргументу. Если порядок является естественным, то последнее условие выполняется по дистрибутивности. Морфизм
£
£
Дистрибутивная £-алгебра {А, +, 0, £) называется полной, если {А, +, 0) является полным и следующее дополнительное условие выполнено для всех а а € £к, множеств индексов 11,...,1к и
а11, ■■■ , агк € А; ^1 € ^1 у ■ ■ ■ у ^к € 1ку к ^ 1:
аА( ^ ' аг1, ■ ■ ■ , агк) ^ ' ■ ■ ■ ^ ' аА (аг1, ■ ■ ■ , агк) ■
%1^11 гк £1к г1&11 гк&1к
Наконец, упорядоченная дистрибутивная X-адгебра (A, +, 0, X) непрерывна, если (A, +, 0) непрерывен и если оп ерации a a £ Xk непрерывны: для всех ai,..., a—i, ai+i,... ,ak £ A, 1 ^ i ^ k, и для каждого направленного множества D Q A
aA(a1,..., sup D,..., ak) = sup aA(a1,..., D,..., ak).
Морфизм полных (соответственно непрерывных) дистрибутивных X-алгебр является морфизмом полных (соответственно непрерывных) моноидов и морфизмом дистрибутивных X-алгебр. Из предложения 2.1 часта II [3] легко получим.
Х Х Х
Пример 2.1. Пусть X = Uk^o Xk, Xk = {wk}, k ^ 0. Рассмотрим полукольцо (A, +, •, 0,1) и определим wk, k ^ 0, как k-арные операции: константа wo есть 1, унарная операция wi — тождественное отображение и k-арная операция Wk есть k-кратное произведение, то есть Wk(ai,..., ak) = a1 • • • ak, k ^ 2. Тогдa (A, +, 0, X) — дистрибутивная Х-адгебра. Если (A, +, •, 0,1) — непрерывное полукольцо, то (A, +, 0, X) — непрерывная дистрибутивная X-адгебра. □
Пример 2.2. Рассмотрим полукольцо (A, +, •, 0,1). Пусть X = = Xo U Xi, Xo = {w}, Xi = {wa | a £ A}. Тогда полукольцо A может быть «смоделировано» дистрибутивной X-алгеброй (A, +, 0, X). Здесь w есть константа 1 и для всех a,b £ A, wa(b) = a • b.
X
a,ai,a2,b £ A выполняются следующие законы:
wai (wa2 (b)) = wa!-a2 (b), wa1+a2 (b) = wai (b) + wa2 (b), wo(b)=0, wi(b) = b, wa(1) = a.
□
В дальнейшем X будет обозначать алфавит символов листьев, X
нечным). Через T^(X) обозначим множество деревьев, построенных над X U X. Это множество T^(X) есть наименьшее множество, построенное в соответствии со следующими соглашениями:
(i) если a £ Xo U X, то a £ T^(X),
(ii) если a £ Xk, k ^ 1, и ti,... ,tk £ T^(X), to a(ti,... ,tk) £ T^(X).
Если Xo = 0, to X может быть пустым множеством (0 обозначает пустое множество).
XX ный алфавит символов листьев, то T^(X) порождается контекстносвободной грамматикой G = ({S}, X U X,P,S), где P = {S ^ w(S,... ,S
Иногда более наглядно использовать графическое представление: дерево ш £ Ео и X представляет корневое дерево с одним единственным узлом, маркированным ш; дерево си(^1,..., ), ш £ Ек,
Ь1,... ,Ьк £ Тт(Х), к ^ 1, представляет корневое упорядоченное дерево, где корень, маркированный ш, имеет дочерние узлы Ь1,... ,Ьк (в указанном порядке).
Множество ТТ(Х) можно преобразовать в Е-алгебру, определив, что для каждого а £ Ек и всех Ь1,... ,Ьк £ Тт(Х) атЕ(х)(Ьъ ■ ■ ■ Лк) является деревом а(^1,...,Ьк)■ Хорошо известно, что оснащенное этими операциями Тт (X) является свободно порожденным посредством X: каждая функция Н : X ^ О, где И — Х-алгебра, продолжается до единственного морфизма Е-алгебр ТТ(Х) ^ О.
Обратимся теперь к формальным рядам деревьев. Они образуют дистрибутивную Е-алгебру. Пусть А — полукольцо. Обозначим через А{{Тт(Х))) множество формальных рядов деревьев над ТТ(Х), то есть множество отображений в : ТТ(Х) ^ А, записанных в виде 'Пиет^(х)(в, ^)£, где коэффициент (в, Ь) есть значение функции в для дерева Ь £ Тт(Х). Для формального ряда деревьев в £ А{{Тт(Х))) определим носитель ряда в вирр(в) = {Ь £ Тт(Х) | (в,Ь) = 0}.
А{Тт (Х)) А{{Тт (Х)))
имеющих конечный носитель. Степенной ряд с конечным носителем называется многочленом.
Сначала определим для в1,в2 £ А{{Тт(Х))) сумму в1 + в2 £ £ А{{Тт (Х)))
в1 + в2 = ^ ((в1,Ь) + (в2, Ь))Ь . гет^(х)
Нулевой ряд деревьев 0 определяется как ряд деревьев, имеющий все коэффициенты, равные 0. Ясно, что {А{{Тт(Х))), +, 0) является коммутативным моноидом.
Для ш £ Ек, к ^ 0 определим отображение ш : (А{{Тт(Х))))к ^ ^ А{{Тт(Х))) посредством
сй(в1,...,вк )= ^ (въ^) ... (вк ,Ьк)ш(Ь 1,...,Ьк) ,
Ь1,...,Ьь€Гт,(Х)
в1,...,вк £ А{{Тт(Х))). _ _
Ясно, что {А{{Тт(Х))), +, 0, Е), где Е = (си | ш £ Е), является дистрибутивной Е-адгеброй, так же как и {А{Тт(X)), +, 0, Е) с теми
А
ственно полное или непрерывное) полукольцо, то А{{Тт(Х))) снова (естественно) упорядоченная (соответственно полная или непрерывная) дистрибутивная Е-алгебра. Порядок на А{{Тт(Х))) является поточечным порядком. К тому же если А упорядочен, то А{Тт(Х)) — упорядоченная дистрибутивная Е-алгебра.
Пример 2.3. Формальные ряды деревьев имеют то достоинство, что коэффициент дерева в ряду может использоваться для получения некоторой количественной информации об этом дереве.
(I) (см. пример 2.1 в [8]). Определим высоту Н(Ь) дерев а £ в Т^(Х):
0 , если £ € Е0 и Х,
1 + шах{Л,(^) | 1 ^ г ^ к} , еслъ £ = со(£1,...,1к), к ^ 1.
Теперь высота есть формальный ряд деревьев в М((Те(Х))):
высота ^ ^ Д(£)£ .
*еТЕ(Х)
(II) Рассмотрим формальный ряд деревьев з в М+((Тх;(Х))) такой, что 0 ^ (з, £) ^ 1 для всех £ € Т^(Х). Тогда (з, £) можно интерпретировать как вероятность, ассоциированную с деревом £. Здесь К+ — полукольцо неотрицательных вещественных чисел.
(Ш) Рассмотрим формальный ряд деревьев з в М^((Т^(Х))), где = Ми{го}. Тогда коэффициент (з, £) при £ € Т^(Х) можно интерпретировать как количество (возможно, то) различных вычислений £ с помощью некоторого механизма (см. теорему 3.1).
Другие примеры можно найти в [8]. □
Выразим универсальное свойство рассмотренных выше конструкций. Заметим, что А((Т^(Х))) можно наделить скалярным умножением А х А((Те(Х))) ^ А((Те(Х))), (а, з) ^ аз, определенным посредством (аз,£) = а(з,£) для всех £ € Т^(Х). Если з € А(Т^(Х)), то и аз € А(Т^(Х)). Эта операция удовлетворяет тождествам
а(Ьв) в, (а (1)
1в = в, (2)
(а + Ь)в = ав + Ьв, (3)
а(в + в') = ав + ав', (4)
а0 =0 (5)
для всех а,Ь Є Аж в, в' Є А((Т^(Х))). Отсюда следует, что 0в = 0 для всех в. Кроме того, если А коммутативно, то имеем также
си(аі ,...,ан вк) = аі ...ак <м(ві,... ,вк) (6)
для всех ш Є Ек, к ^ 0, и для всех аі Є А, ві Є А{{Т^(Х))), 1 ^ і ^ к.
Теорема 2.2. Пусть А — коммутативное полукольцо и Б — дистрибутивная Е-алгебра, наделенная скалярным умножением А х Б ^ Б, (а,й) ^ ай, удовлетворяющим тождествам (1—6). Тогда любая функция ф : X ^ Б продолжается до однозначно определенного морфизма, дистрибутивных Е-алгебр ф^ : А(Т^(X)) ^ Б, сохраняющего скалярное произведение.
ф
позначно определенного морфизма Е-алгебры ф : Т^(Х) ^ Б. Продолжим далее ф до ф^, определив
ф“(в) = 2 (в,і)ф(і) ієШХ )
для всех в € А(Т^(X)). Остается показать, что ф^ продолжает ф и ф^ — морфизм дистрибутивных Х-алгебр, сохраняющий скалярное умножение, а это стандартная задача. Поскольку определение ф^ было принудительным, продолжение определен о однозначно. □
А
такое, что А((Те(Х))) — полная дистрибутивная Х-алгебра.
А
луколъцо и И — полная дистрибут ивная Х-алгебра, наделенная скалярным умножением А х И ^ И, (а,д) ^ ад, удовлетворяющим тождествам (1—6). Кроме того, предположим, что
(^ (ц)(1 = ^ (цй, (7)
ге1 ге1
= ^2 адг (8)
а
ге1 ге1
для всех а,аг € А и й,йг € И, г € I, где I — произвольное множество индексов. Тогда всякая функция ф : X ^ И продолжается до однозначно определенного морфизма полных дистрибутивных Х-алгебр ф^ : А((Те(Х))) ^ И, сохраняющего скалярное умножение.
Доказательство полностью соответствует доказательству теоремы 2.2. Сначала продолжим ф до ф : Те(Х) ^ И, а затем определим
ф“(в) = 2 (в,£)ф(£)
)
для всех в € А((Те(Х))). Сумма имеет смысл, так как И полно. Детальное доказательство того, что ф^ — гомоморфизм полных дистрибутивных Х-алгебр, сохраняющий скалярное умножение, — стандартная процедура. Определение ф^ снова принудительно. □
Если А упорядочено то можно упорядочить А((Те(Х))) и, соответственно, А(Те(Х)) с помощью поточечного порядка. Определим в ^ в' для в, в' € А((Те(Х))) тогда и только тогда, когда (в,£) ^ ^ (в', £) для всех £ € Те(Х). Наделенные этим порядком А((Те(Х))) и А(Те(Х)) — упорядоченные дистрибутивные Х-алгебры. Кроме того, скалярное умножение сохраняет порядок по обоим аргументам. Наконец, если А — непрерывное полукольцо, то А((Те(Х))) также непрерывно, и скалярное умножение сохраняет точную верхнюю грань направленных множеств по обоим аргументам.
А
цо, И — упорядоченная дистрибутивная Х-алгебра с порядком, сохраняющим скалярное умножение А х И ^ И, (а,д) ^ ад, удовлетворяющее (1—6). Тогда всякая функция ф : X ^ И продолжается до однозначно определенного морфизма дистрибутивных Х-алгебр ф^ : А(Те(Х)) ^ И, сохраняющего скалярное умножение. Кроме
11
12
того, если A — непрерывное коммутативное полукольцо и D — непрерывная дистрибутивная Х-алгебра, наделенная непрерывным скалярным умножением A х D ^ D, (a,d) ^ ad, удовлетворяющим (1—6), то всякая функция ф : X ^ D продолжается до однозначно определенного морфизма непрерывных дистрибутивных Х-алгебр ф^ : A((TS(X))) ^ D, сохраняющего скалярное умножение.
A
мутативное полукольцо, где суммы определены предложением 2.1 части II [3]. Пусть s — формальный ряд деревьев в A((Ts(X))) и пусть D — непрерывная дистрибутивная S-алгебра, наделенная скалярным умножением A х D ^ D, удовлетворяющим (1—6), которое также непрерывно. Множество DX всех функций X ^ D также является непрерывной дистрибутивной Е- алгеброй с определенными поточечно операциями pi упорядоченной как множество всех непрерывных функций DX ^ D. Кроме того, оно наделено поточечным скалярным умножением, которое снова удовлетворяет
s
отображение sD : DX ^ D, h ^ h^(s), да я h £ DX.
Предложение 2.5. Функция sD непрерывна. Кроме того, соответствие s sD определяет непрерывную функцию от s.
Доказательство. Известно, что если t £ TS(X), то функция tD : DX ^ D, индуцированная с помощью t, непрерывна, так как она может быть построена из непрерывных функций (а именно про-
D
Е) с помощью композиции функций (см. [33]). Поскольку скалярное умножение и + непрерывны, то это — любая функция, индуцированная рядом ИЗ A(Ts(X)). Но sD есть поточечный супремум функций, индуцированных многочленами (s,t)t, где F — конечное под-
множество bT^(X). Поскольку поточечный супремум непрерывных функций непрерывен (см. [33]), получаем требуемый результат.
Для того чтобы показать, что соответствие s ^ sD определяет непрерывную функцию, пусть S обозначает направленное множество в A((Ts (X))). Нам нужно доказать, что
(sup s)D = sup sD. seS seS
Но для любого h : X ^ D
(sup s)D (h) = h*(sup s) =
seS seS
= sup h^(s) =
seS
= supsD (h) =
seS
= (sup sD )(h).
seS
□
В дальнейшем мы будем писать hh^ и обозпачать sD как s.
В частности, формальные ряды деревьев индуцируют непрерывные отображения — подстановки. Пусть У — непустое множество переменных, где У П (Х и X) = 0, и рассмотрим отображение Н : У ^ А{{Т^(Х и У))). Это отображение может быть продолжено до отображения Н : Т^(Х и У) ^ А{{Т^(Х и У))), полагая Н(х) = х, х £ X. Теперь, согласно предыдущему результату, для любого ряда в £ А{{Т^(Х и У))) отображенпе Н ^ Н(в) — непрерывная функция от Н. Согласно рассуждению, проведенному выше, Н(в) может быть
Н
Н(ш(^, ..., гк)) = ш(Н(^),..., Н(4)) =
= Е иу^Н^^^... (Н(и ^к )ш(4.. .,г'к)
для ш £ Хк и tl,... ,tk £ Т^(Х и У), к ^ 0. Еще одно расширение Н дает отображение Н : А{{Т^(Х и У))) ^ А{{Т^(Х и У))) при определении Н(в) /• ^ет^(хиу)(в,^Н(^. Теперь в(Н) есть просто значение
этой продолженной функции в в. Если У = {у',...,уп} конечно, мы используем следующие обозначения: Н : У ^ А{{Т^(Х и У))), где Н(уг) = вг, 1 ^ г ^ п, обозначается как (вг, 1 ^ г ^ п) ИЛИ (в' ,..., вп), а значение функции в от аргумента Н обозначается как в(вг, 1 ^ г ^ п^и в(в', ..., вп). Неформально это является просто подстановкой формальных рядов деревьев вг £ А{{Т^(Х и У))) в переменные уг, 1 ^ г ^ п, в £ А{{Т^(Х и У))). По предложению 2.5 отображение в : (А{{Т^(Х и У))))у А{{Т^(Х и У))), то есть подУ
непрерывным отображением. Кроме того, в(в',..., вп) также непре-
в в вг
что в(вl,..., вп) = Егет^(хиу)(в t)t(вl,..., вп)-
В некоторых случаях формулы легче читаются, если использовать обозначение в[вг/уг, 1 ^ г ^ п] для подстановки формальных рядов деревьев в г в перемени ые уг, 1 ^ г ^ п, в в вместо обозначения в(вг, 1 ^ г ^ п). Поэтому мы иногда будем использовать это обозначение в[вг/уг, 1 ^ г ^ п].
Подобным же образом в £ А{{Т^(Х и У))) также индуцирует отображение в : (А{{Т^(Х))))у ^ А{{Т^(Х))).
Наша подстановка па формальных рядах деревьев является обобщением 01-подстановок па формальных языках па деревьях. Мы пе будем рассматривать обобщения Ю-подстаповки. В работах [15; 21; 27] рассматриваются эти обобщения па формальные ряды деревьев. За точными определениями 01- и Ю-подстановок отсылаем к [22], определение 2.1.1.
Конструкция ряда деревьев и вышеописанные результаты о сво-бодности допускают весьма широкое обобщение. Пусть О — произвольная Х-алгебра и А — произвольное полное полукольцо. Тогда множество функций О ^ А, обозначаемое А{{О)), есть полная дистрибутивная Х-алгебра. Назовем элементы из А{{О)) рядами и обозначим их Е^ед(в,д)й или Ейевирр(«)(в, &)й. Сумма любого семейства рядов есть их поточечная сумма. Нулевой ряд — это пуль. Кроме того, для каждого ш £ Хк, к ^ 1, и для каждого в',... ,вк £ А{{О)),
14
ш(в', ...,вк) = ( (в',^1)... (вк,йк))й.
4еО й=ш(в,1,...,)
А{О)) наделена скалярным умножением А х А{{О)) ^ А{{О)), и вы-
А
цо, то наделенная поточечным порядком А{{О)) — непрерывная дистрибутивная Х-алгебра, и скалярное умножение в пей непрерывно. Теперь сформулируем обещанное обобщение теоремы 2.3.
А
полукольцо и О — дистрибутивная Х-алгебра, наделенная скалярным умножением А х О О, которое удовлетворяет тождествам (1)—(6), а также (7) и (8). Кроме того, предположим, что О — Х-алгеб^. Тогда всякий морфизм Х-алгебр ф : О ^ О продолжается до однозначно определенного морфизма полных дистрибутивных Х-алгебр ф^ : А{{Б)) О, сохраняющего скалярное
А
О — непрерывная дистрибутивная Х-алгебра, а скалярное умножение А х О Б' непрерывно, то такова же и функция фК
ф
ФВ (в) = ^ (в^)ф(^ (9)
аев
для всех в £ А{О)). С другой стороны, является рутинной процедурой проверка того, что (9) определяет морфизм полных дистрибутивных Х-алгебр ф^ : А{{О)) ^ О, продолжающий ф.
Пусть теперь А и О непрерывны и скалярное умножение Ах О' ^ ^ О также непрерывно. Для доказательства того, что ф^ непрерывно, предположим, что 5 — направленное множество в А{{О)). Тогда для каждого d £ О множество {(в,^) : в £ Б} также является направленным, более того, (вир Б, d) = 8ир^^(в^). Используя это и непрерывность скалярного умножения и сложения, имеем
ф^ир Б) = ^(вир 5^)ф^) = аев
V(sup(s,d)^(d)
deD s^S
sup(s, d)y(d) =
deD seS
sup E (s,d^(d)
seS deD = sup^^(s) : s £ 5} =
= sup ф^(5).
□
Теорема 2.2 может быть обобщена тем же методом. Дальнейшие сведения о рядах над Х-алгебрами смотрите в [41; 43].
Далее У, У', Z будут обозначать множества переменных, дизъюнктные сХи Х, а Ук, к ^ 1, будет обозначать множеств переменных {у',..., ук}■ Причем У0 = 0. Кроме того, I и I' обозначают произвольные множества индексов.
Для заданного множества Б пусть Б11x12 обозначает множество матриц с индексами в 11 х 12 Б
мер, (А{{Т^(Х))))1 х1к обозначает множество матриц М такое, что (г, ({',...,{к))-й элемент матрицы М лежит в А{{Т^(Х))), г £ I', г1,...,гк £ I.) Матрица М £ (А{{Т£(X))))11х 12 называется конечнострочной, если для всех %' £ I Мг1уг2 = 0 лишь для конечного числа индексов %2 £ I.
Наши автоматы над деревьями будут определяться с помощью матриц переходов. Матрица М £ (А{{Т^(Х и Ук))))1х1к, к ^ 1, где I' ж I произвольные множества индексов, индуцирует отображение
М : (А«Те(X и У'))))1 х1 х ... х (А«Те(Х и У'))))х1 ^ ^ (А{{ТЕ(Х и у'))))Гх1
к
ты результирующего вектора следующим образом. Для Р1,... ,Рк £ £ (А{{Т^(Х и У'))))1 х1 определим для всех г £ I'
М (Р1 ,...,Рк )г = Т,г1,...,гк е1 Мг,(п,..,гк )((Р1)*1,..., (Рк )ik ) =
= 1^11,..,1ке1^геТъ(ХиУк)(Мг,(п,..,1к) , . . . , (Рк )гк ) .
Следовательно, М(Р1,..., Рк)г определена как результат подстановки компонент (Р1)г1,..., (Рк )гк элементов Р1,..., Рк для У1,... ,ук соответственно в Мг,(г1,..,гк) и затем суммирования по всем возможным
наборам (г1,... ,%к) £ Iк.
В следующей теореме используется символ Кронекера Ьг^ £ А над Р. для г, ] £ I, Ьг , j = 1, тел и г = ] и Ьг ^ = 0, тел и г = ].
Теорема 2.7. Пусть М £ (А{{Т^(Х и Ук))))Гх1\ к ^ 1. Определим М £ (А{{Т^(Х и Ук))))1х1т, т> к, как
Мг,(г1,...,т) = Ьг ,гт Ьт,гт-1 ''' Ьгк+2,гк+1 Мг,(п, ... , гк)
для г £ I', г1,... ,гт £ I.
Тогда для Рь...,Рт £ (А{{Т^(Х и У'))))1х1
М(Р1,...,Рт) = М (Р1,...,Рк) .
Доказательство.
M(pl,..., Рт)г =
= Ег1,...,гте1 Мг,(г1,...,гт)((Р1)п,..., (Рт)гт) =
= Ег1,...,гте1 Ьг,гтЬгт,гт-1 • • • Ьгк+2,гк+1 Мг,(п,...,гк)((Р1)г1,..., (Рк)гк) = = Ег1,...,гке1 Мг,(г1,...,гк)((Р1)г1,...,(Рк)гк) =
= М (Р1,...,Рк )г, г £ I'.
□
Для определения траттсдукторов рядов деревьев нам потребуется обобщение подстановки, определенной матрицей в (А««Т^(Х и и ^к))))ГхІ\ к > 1. Матрица (А«ТЕ(Х и Ут))))г*(І*2к)т, Zk = = {г1,..., г к}, к ^ 1, индуцирует отображение
М : (А««Т^ (X и У'))))1 *1 *•••* (А«Т^(Х и У'))))1 *1 ^
^ (А««Т^(Х и У')))У'х1
к
зультирующего вектора следующим образом: для Р\,...,Рк Є Є (А««Те(Х и У'))))1 х1 определим для всех і Є I'
М [Рі,...,Рк ]* =
^ ' Мг,((г\,х^1 ),...,(гт,х^т ))((РІі )ч ;•••; (Р]т )гт ) •
іі,...,ітЄІ, 1^jl,...,jm^k
Теорема 2.8. Пусть С = {((і1,г1),..., (ік, гк)) | і1,...,ік Є I} и М Є (А««Т^(Х и Ук)))У'х(Іхгк)к> к ^ 1, такая, что Мі>а, = 0 для і Є I' и а Є (I х Zk)к — С Определим М Є (А««Т-^(Х и Ук))))Іхік как Мфи..,ік) = М^ъг1)...,(гк,гк)) для і Є I', н,...,ік Є I. Тогда для Р1,...,Рк Є (А««Т^(Х и У'))))1 х1
М(Р1,...,Рк) = М[Р1 ,...,Рк].
Доказательство.
М [Р1,...,Рк ]і =
= Еіі,...,ікЄІ Мг,((гі,гі),...,(ік,гк))((Р1)іі , - - - , (Рк)ік) = = Е іі,...,ік ЄІ Мі,(іі,...,ік)((Р1)іі, . . . , (Рк)ік ) =
= М(Р1,...,Рк)і, і Є I'.
□
3. Автоматы над деревьями и системы уравнений
В этой главе мы определим автоматы над деревьями и системы уравнений (над полукольцами). Данные понятия являются основой для рассмотрения конечных автоматов и магазинных автоматов над деревьями и полиномиальных систем. Определения несколько видоизменены по сравнению с приведенными в [37; 42]. Главный результат этой главы состоит в том, что (конечные, полиномиальные) автоматы над деревьями и (конечные, полиномиальные) системы являются эквивалентными механизмами.
Наши автоматы над деревьями являются обобщением недетерминированных «гооі-іо-ігопііег распознавателей» над деревьями (см. [28; 29; 37]). Автомат над деревьями (с входным алфавитом £ и алфавитом листьев Х над полукольцом А) А = (I, М, Б, Р) определяется следующими компонентами:
(1) непустое множество I состояний;
(И) матрица переходов М Е (Л{{Т^(ХиУт))))1 х1т для некоторого т ^ 1;
(ш) конечный вектор-строка Б Е (Л{{Т^(Х и У\))))1х1, называемый вектором начальных состояний;
(Ьг) вектор-столбец Р Е (Л{{Т^,(Х))))1 х1, называемый вектором конечных состояний.
Аппроксимирующая последовательность (а-7' | ] Е М), а7 € € (Л{{Т%(Х))))1х1, ] ^ 0 ассоциированная с А, определяется следующим образом: а0 = 0, а7+1 = М(а7,..., а7) + Р, ] ^ 0 (существуют т-элементные век торы а7). Поведен ие ||А|| Е Л{{Т^ (X))) автомата над деревьями А определяется как
І|А|| =£ £(«) = 5 (т)
(аі
іЄІ
где т Є (А((Тх;(Х))))іх1 — точная верхняя грань аппроксимирующей последовательности, ассоциированной с А. Поскольку а7 ^ а7+1 для всех і (по непрерывности подстановки) и так как (А««Т^(Х и и Уm))))IХІт имеет все направленные точные верхние грани относительно поточечного порядка, то эта точная верхняя грань и, следо-
А
Заметим, что £ может быть бесконечным и может не существовать ограничений на ранг символов в £. Но в любом случае в матрице М
Наши автоматы над деревьями несколько видоизменены по сравнению с [42]. В [42] автомат над деревьями (с конечной последовательностью матриц перехода) А' = (I, М', Б, Р) определен так
М'
ность матриц перехода М' = (М!к | 1 ^ к ^ ш), где Мк Є Є (А««Т^(Х и Ук))))IХІк, 1 ^ к ^ ш, и аппроксимирующая последовательность (а'7 І і Є М), а'7 Є (А««Т^(Х))))іх1, і ^ 0, определена как
а'0 = 0, а'7+1 = ^ М'(а'7а'7)+ Р
1^ к^т
(существуют к-элементные век торы а'7 в МДля данного автомата над деревьями А' = (I, М', Б, Р), согласно [42], построим эквивалентный автомат над деревьями А = (I, М, Б, Р) в соответствии с нашим определением: определим матрицы Мк Є (А««Т^(Х и Ук))))]:ХІт, 1 ^ к ^ ш, их элементами
(Мк)і,(іі,...,іт) = &і,іт &іт,іт-і&ік+2,ік+і (Мк)і,(іі,...,ік) ,і,і1, . . . , іт Є I,
17
и матрицу М Є (А««Т%(Х и Ут))))]:ХІт как М = ^ ^к^. Мк. Мы утверждаем, что аппроксимирующие последовательности автоматов
А и А' совпадают, то есть а7 = а'7 для всех ] ^ 0, и докажем это
индукцией по ]. Случай ] =0 очевиден, и мы будем исходить из условия ] > 0. Для всех % Е I по теореме 2.7 получим
Следовательно, доказали, что ||А|| = ||А'||. Сформулируем это как замечание.
Замечание. Определения автоматов над деревьями, данные
Автомат над деревьями А = (I, М, Б, Р) называется конечным, если I конечно. Автомат над деревьями А = (I, М, Б, Р) называет-
М
БР
дуюхции СПбЦИШТЬНЫИ ВИД1
(I) элементы М вида ^1^к^т^ 0>е^к Ш(У1, ■ ■ ■ , Ук) +
+ Еш€Е0иХ ашш + аУ1’ аш’ а Е Л;
(II) элементы Р вида Еше£0их аш^ аш Е Л;
(Ш) элементы Б гада йу1, d Е Л.
аУ1
метим, что член ау1 в (1) соответствует е-иереходам в обыкновенном автомате.
А
ет дерево £ Е ТЕ(Х) с коэффициентом (||А||,£), как следует ниже, недетерминированным образом.
В корне дерева £ автомат А может находиться в любом начальном состоянии % Е I, то есть в состоявии с (Б, %) = 0. Опишем теперь вычисление, начинающееся в начальном состоянии %о Е I,
А
поддерева в £ гада ш(£1,...,£^), ш Е Ек, к ^ 1, в состоянии % и (Мг,(г1,... ш(у1, ■ ■ ■ ,Ук)) = аг = 0, ТО А первХОДИТ ОДНОВремвП-но в состояния % 1, ■ ■ ■, %к в корнях £1, ■■■ ,1к соответственно. Если в процедуре распознавания А анализирует лист дерева £, маркированный посредством ш Е Ео и Х в состоянии % и (Рг, ш) = аг = 0 или (Мг , (г1, ... ,гт), ш) = аг = 0 для некото рых %1, ■ ■ ■ ,%т Е I,то А завершает
А
рует корень поддерева В £ В СОСТОЯНИИ % И (Мг,(г1,...,гт),У1) = аг = 0,
А %1
дерева.
Вес такого вычисления, начинающегося в начальном состоя-%0 (Б, %0)
аг
(||А||,£) равен тогда сумме всех весов всех возможных вычислений.
а7 = (М (а7 1,^^ а7 1) + Р )г = £] = Е 1<к<т Мк (а'j-1,■■■, а
г А^1<к^т
Мк (а7-1, ■ ■ ■ , а7-1)г + Рг
18 здесь и в [42] (с конечной последовательностью матриц перехода)
эквивалентны относительно поведения этих автоматов.
□
Проанализируем случай, когда Л — иолукольцо то есть рас-
смотрим ряд деревьев в М^((Тх;(Х))). Элементарный автомат над де-
аш, а
в (1), аш в (11) и ^ ^ ^^^^^дажат множеству {0,1}. Согласно [50],
предложение 3.1, коэффициент (||А||,£) поведения авто мата А равен числу (возможно то) различных вычислений для £.
Теорема 3.1. Рассмотрим 1-элементарный автомат над деревьями А, и пусть d(t), £ Е Т^(Х), есть количество (возможно, то) различных вычислений автомата А для £. Тогда
||А|| = £ d(t)t Е Н~«ТЕ(Х))) ■
teтs(x)
Теперь обратимся к системам.
Системой (с переменными в Z = {гг | % Е I}) назовем систему формальных уравнений гг = рг, % Е I, I — произвольное множество индексов, где каждый рг лежит в Л««Т%(Х и Zг))). Здесь Zг для каждого % Е I есть конечное подмножество в Z такое, что |Zг| ^ т для некоторого т ^ 0. Система может быть записана в матричных обозначениях как г = р(г). Здесь г и р обозначают векторы, %-е компоненты которых есть гг и рг соответствен но, % Е I. Решение системы г = р(г) определяется как а Е (Л««ТЕ(Х))))1х1 такое, что аг = рг[а/г], % Е I. Решение а системы г = р(г) называется наименьшим решением, если а ^ т для всех решений т системы г = р(г).
Аппроксимирующая последовательность (а7 | з Е М), а7 Е Е (Л««ТЕ(Х))))1х1, з ^ 0, ассоциированная с системой г = р(г), определяется следующим образом: а0 = 0, а7+1 = рг[а/г],з ^ 0 ■
Так как а7 ^ а7+1 для всех з и (Л««Т^(Х))))1 х1 имеет точные верхние грани всех направленных множеств, точная верхняя грань а = 8ир(а7 | з Е М) этой аппроксимирующей последовательности существует. Более того, она — наименьшее решение системы г = р(г).
Наши системы являются обобщением систем линейных уравнений в [8]: мы допускаем бесконечное число уравнений, а правые части уравнений — ряды деревьев вместо многочленов простых деревьев. Система гг = рг, % Е I, называется правильной, если (рг,г7) = 0 для всех г7 Е Zг, % Е I. Она называется конечной, если I конечно.
Теорема 3.2. Для каждой системы существует правильная система с тем же наименьшим решением. Правильная система имеет единственное решение.
Доказательство. Рассмотрим систему г = р, как определено выше. Запишем ее в виде г = Мг + г, где М Е Л1 х1 и (гг,г7) = 0 для г7 Е Zг, % Е I. Тогда по диагональному тождеству (предложение 2.10 ч. II [3]) системы г = Мг + г и г = М*г имеют одно и то же наименьшее решение и, по построению, г = М*г — правильная система. Путем модификации доказательства 6.1 в [8] доказывается второе утверждение нашей теоремы. Очевидно, что это единственное
□
Покажем теперь, что автоматы над деревьями и системы являются механизмами с равными возможностями. Для данного автомата над деревьями А = (1,М,Б,Р), определенного выше, построим систему с переменными в Z = {гг | і Є I}:
гг 'у \ Мг,(гі,...,гт) (гіі, ■ ■ ■ , ггт )+ Рг , і Є І-
Здесь мы подставили переменные гг1, ■ ■ ■, ггт вместо переменных уі, ■ ■ ■ ,ут в Мг(г1...,гт)(уі, ■ ■ ■ ,Ут)- В матричных обозначениях эта система может быть записана как г = М(г, ■ ■ ■, г) + Р ■ Здесь г есть I х 1-вектор, і-й компонентой которого является переменная гг, і Є І.
Как и ранее, аппроксимирующие последовательности, ассоциированные с этой системой и с автоматом над деревьями А, совпадают. Рассмотрим теперь систему с переменными в {го} и Z:
го = ^2 Бг(гг), г = М (г,---,г) + Р■
геї
Тогда компонента го ее наименьшего решения равна ||А||.
Обратно, рассмотрим систему г = р(г), определенную, как описано выше. Пусть Zг = {гг1, ■ ■ ■, ггк}, і Є I, и рг = рг(ггі, ■ ■ ■, ггк), к ^ т. Построим теперь автомат над деревьями А = ^,М,Б, 0), где для всех і, ]1, ■ ■ ■, ]т Є I
Мхі , (гіі,..., )(у1, ■ ■ ■ , ут) =
= §г,]т,зт-1 • • • &ік+2,зк+і7,гк • • • 7 гіРг(уі, ■ ■ ■ ,ук) ■
Выберем гг0 Є и пусть Бгі0(уі) = уі, БХі(уі) = 0 для гг = гг0.
Пусть (а7 | і Є М) и (т7 | і Є М) — аппроксимирующие последовательности, ассоциированные с г = р(г) и А соответственно. Покажем это индукцией по і что а7 = т7 для і ^ 0. Случай і = 0 очевиден, и мы будем исходить из условия і > 0. Получим тогда для всех і Є I:
7 = М (тj-l,■■■, т7-1)гі = і і
^—і0і,...,0теІ Мгі,(гіі ,...,хіт) (т^іі ,■■■, Тг3т ) ^ і ^ і
= Т,7и..,7теї Ьг,7т&іт,іт-і • • • §7к+2,7к+і§ік,гк • • • §іі,гіРг(тгіі , ■ ■ ■, тхік ) = = Рг(тІ-\ ■■■, тІ-1) = Рг(аі-\ ■ ■ ■, = аі ■
Поэтому ||А|| равно компоненте гг0 наименьшего решения г = р(г). Заметим, что для к = 0 мы могли бы подставлять рг в РХі вместо
МХі,(гі,...,Хі)-
Теорема 3.3 суммирует приведенные выше рассуждения (см. также [42], теорема 2.3, и [37], следствие 3.9).
Теорема 3.3. Степенной ряд в Є Л{{Т^(Х))) является компонентой наименьшего решения системы тогда и только тогда, ков
Рассмотрим полиномиальные автоматы над деревьями и полиномиальные системы и покажем, что это механизмы равной возможности. Автомат над деревьями А = (I, М, Б, Р) называется полиномиальным, если удовлетворяются следующие условия:
(1) элементы матрицы М — полиномы в А{Т^(Х и Ут))',
(И) элементы вектора начальных состояний Б имеют вид Бг = йгу\, &г £ А, % £ I',
(ш) элементы вектора конечных состояний — полиномы в А{Т% (X)).
Система (с переменными в Z) гг = рг, % £ I, называется полиномиальной, если каждый рг есть полином в А{Т^(Х и Zi)), % £ I.
Те же построения, что и в доказательстве теоремы 3.3, доказывают теорему (см. также [42], теорема 2.4, и [37], следствие 4.4).
Теорема 3.4. Степенной ряд в £ А{{Т^(Х))) — компонента наименьшего решения полиномиальной системы тогда и только тогда, в
Система гг = рг, % £ I, называется элементарной, если рг является суммой слагаемых следующего вида:
(I) аш(гг1,..., ггк), а £ А, ш £ Е^, %\,... ,%к £ I, 1 ^ к ^ т, для некоторого т ^ 1;
(И) аш, а £ А, ш £ Ео и X;
(ш) агг, а £ А, % £ I.
Сравните следующую теорему с теоремой 4.2 в [37].
Теорема 3.5. Пусть в £ А{{Т^(Х))) — компонента наименьшего решения конечной полиномиальной системы. Тогда существует такая конечная полиномиальная система, являющаяся элементар-
в
Доказательство. По теореме 3.2 и лемме 6.3 в [8]. □
Следствие 3.6. Следующие утверждения о формальных рядах деревьев в А{{Т^(Х))) эквивалентны:
в
ной системы; в
альной системы, а также элементарной и правильной; в
вьями;
в
ревьями с одним начальным состоянием веса 1, а также элементарным и правильным.
Доказательство. По теоремам 3.5 и 3.4 утверждения (1), (и) и (111) эквивалентны. По построению в доказательстве теоремы 3.3 утвер-
□
Если формальный ряд деревьев в A((Ts(X))) удовлетворяет одному и, следовательно, всем утверждениям следствия 3.6, то мы будем называть его распознаваемым. В случае полей это то же самое понятие распознаваемости, что pi введенное в [8]. Совокупность всех распознаваемых рядов деревьев в A((Ts(X))) обозначается Arec((Ts(X))). В теории языков над деревьями распознаваемые языки над деревьями определены только для конечных алфавитов £ и X. Мы допускаем также бесконечные алфавиты £ и X. Это объясняется тем, что для s Е ATec((Ts (X))) существуют конечные алфавиты £; и X', £' С £ X' С X такие, что supp(s) С Ts' (X'). Кроме того,
A™c((Ts(X))) = U A™((Ts(X'))).
S'CS finite, X' СХ finite
Пример З.1.1 (см. [8], примеры 6.2 pi 4.2). Напшм базовым полукольцом будет Z, полукольцо целых чисел. Пусть £ = £1 U £2, £1 = {©}, £2 = {®, ®}- Будем вычислять арифметические выражения с операторами ©, ®, ® и операндами из алфавит а листьев X.
Определим интерпретацию функции eval от элементов из X, то есть eval : X ^ Z. Продолжим ее до отображения eval : Ts(X) ^ Z, положив eval(©(t)) = —eval(t), е\га1(®(^,^)) = eval^) + eval(t2), eval(®(t1,t2)) = e\ral(t1) ■ eval(t2) для t,t1,t2 Е Ts(X). Тогда eval =
/• teT^(x) eval(t)t есть формальный ряд деревьев Z((Ts(X)))■
Рассмотрр™ правртльпуго сртстему
Z1 = ®(Z1,Z2) + ®(Z2,Z1) + ®(Zb Z1) + (—1) © Ы + £xeXeval(x)x,
Z2 = ®(Z2,Z2) + ®(Z2,Z2)+ ©(Z2) + ExeX X ■
Пусть (o"1, 02) — ее единственное решение. Тогда мы утверждаем, что о 1 = eval, 02 = char, где char = ^teTs(х) t- Утверждение дока-
( , )
®(eval, Aar) + ®(char, eval) + ® (eval, eval) —
— © (eval) + xex eval(x)x =
= E t1,t2eTs(X) eval^ ® (t1,t2) + Et1,t2eTs(X)e™l(t2) ® (t1,t2) +
+ Et1,t2€TE(X) eval(t1)eval(t2) ® (t1,t2) + EteT^(X) —
— eval(t) © t + Exex eval(x)x =
= Etut2eT^(x) eval(®(t1, fo)) ® (t1, t2) +
+ Et1,t2eT^(X)^aK^(t1,t2)) ® (t1,t2) +
+ EteTs(x)eval(©(t)) ©t + Exex eval(x)x =
= E teT^ (X ) eval(t)t = ста 1,
®(char, char) + ®(char, char) + ©(char) + Exex x =
= E ti,t2eTs(X) ®(t1,t2) + E t! ,t2ETs(X) ®(t1,t2) +
+ EteTs(x) ©(t) + Exex x = °har ■
гВ примерах мы часто нарушаем наше соглашение о том, что базовое полукольцо непрерывно.
Рассмотрим конечный автомат над деревьями А = ^,М,Б,Р), где Q = {21,22}, БХ1 = уь Бг2 = 0 РХ1 = ^хеЕеуа1(ж)ж, Рг2 =
= Ехе2 X и ненулевые элементы матрицы М заданы как
М.
М.
МУ
г\,(г\,г\)
= (“І) © Ы,
= ©(У1,У2),
= ©(Уі,У2),
М
М
22, (-22,-22)
^.21,(.22,-21) ®(у1,'у2), Мг2,(г2,г2)
Тогда получим ||А|| = а1 = е\га1.
Пусть X = {а, Ь, с} апс1 £ = ©(©а, ©( вычисления для £, начинающиеся в 21 и не начинающиеся в 22. Эти два вычисления заданы следующей диаграммой:
21,(21,22)
= ©(Уі),
= ©(У1,У2),
= ©(У1,У2) +
1,У2) •
, с)). Тогда существуют два
23
Следовательно, (||А||,і) = —еуаі(а) + еуа1(Ь)еуа1(с). □
Пример 3.1 дает, таким образом, интуитивное ощущение того, как конечный недетерминированный ґооі-іо-іґопіієґ распознаватель па деревьях моделируется конечным автоматом па деревьях над полукольцом В.
Теорема 3.7 ([37], теорема 3.6). Для каждого конечного недетерминированного гооЫоф-опМег распознавателя на деревьях А в смысле [28] существует элементарный правильный конечный полиномиальный автомат на деревьях А над булевым полукольцом В такой, что ||А|| = Т(Л), и обратно.
4. Свойства замыкания и теорема Клини для распознаваемых рядов деревьев
В этой главе мы докажем теорему Клитти для распознаваемых рядов деревьев (см. [14; 28; 29; 32; 36; 53]). Согласно этой теореме Клитти, можтто определить выражения, аналогичные регулярным выражениям, которые характеризуют распознаваемые ряды деревьев. Покажем сначала, что Атес((Т^(Х))) — дистрибутивная Х-алгебра. Этот результат является частным случаем теоремы 6.5 в [37].
Теорема 4.1. (А^^Те^))), +, 0, £) — дистрибутивная Х-алге-бра, которая содержит A(Tx;(X)) и замкнута относительно скалярного произведения.
Доказательство. Пусть 63 £ Arec((Ts(X))) — первые компоненты единственного решения элементарных правильных конечных полиномиальных систем (записанных в матричных обозначениях) г3 = рр (г3), 1 ^ ^ тс попарно дизъюнктными алфавитами переменных, о3 — единственное решение г3 = р3(г3), 1 ^ ^ т, о31 = в3-
(I) Рассмотрим систему г0 = р1(г1) + р'^(г2),г1 = р1(г1),г2 = = р2(г2). Она также элементарная и правильная. Мы утверждаем, ЧТО ее единственное решение есть (81 + в2, о1, о2), и покажем это подстановкой в1 + в2 в г0, о1 в г1 и о2 в г2-. р1 [о1/г1] + р1 [о2/г2] = = о1 + о2 = в1 + в2,р3[о3/г3] = о3= 1, 2 .
(II) Пусть ш £ Х&, к ^ 0, и рассмотрим систему го =
= ш(г1,...,гк),г3 = р3(г3), 1 ^ ^ к. Она также элементар-
ная и правильная. Мы утверждаем, что ее единственное решение есть (ш (в1,..., в к), о1,..., ок), и опять покажем это подстановкой компонент требуемого решения в уравнения: си (о1,..., о1) = = ш(в1,... ,вк),р3[о3/г3] = о3, 1 ^ ^ к .
(Ш) Пусть а £ А и рассмотрим систему г0 = ар1(г1), г1 = р1(г1) . Она также является элементарной и правильной. Мы утверждаем, что ее единственное решение есть (ав1, о1), и покажем это подстановкой ар1[о1/г1] = а81,р1[о1/г1] = о1.
(НГ) в £ А^е^)) есть единственное решение системы го = в.
Поскольку ))) содержит А(Те^)) и замкнута отно-
сительно сложения и конкатенации с вершиной, то она является Х-подадгеброй в А^Те^))). Следовательно, она является дистрибутивной Х-алгеброй. □
В дальнейшем Z = {г3 | ] ^ 1} Zn = {г3 | 1 ^ ^ и}, Z0 = 0.
Введем следующие обозначения: пусть в £ A((Ts(X и Zn))). Тогда обозначим наименьшее о £ A((TE(X и {г1,..., гг—1, гг+1 ,...,гп}))) такое, что в(г1,..., г—1, о, гг+1,..., гп) = о через ^-гг.в(г1,..., гп),
1 ^ г ^ и. Это означает, что ц.гг.в — наименьшее решение системы гг = в(г1,..., гг,..., гп); эта система состоит только из одного уравнения и ее единственной переменной является гг.
Операция ^.г.в, где г £ Z апс1 в £ A((Ts(XиZ))), является некоторой модификацией и обобщением (до полуколец) операции «звездочка Клитти» для языков над деревьями, которая определена в работе [29]. Связь этих двух операций в случае булева полукольца объясняет ниже теорема 4.7.
Дистрибутивная Х-алгебра (V, +, 0, X), V С A((Ts(X и Z))) называется рационально замкнутой, если V замкнута относительно скалярного произведения и для всех в £ V и г £ Z формальный ряд деревьев цг.в также лежит в V. По определению, Arat((Tx;(XиZ))) есть наименьшая рационально замкнутая дистрибутивная Х-алгебра, содержащая А (Те(XиZ)). Заметим, что для каждого в £ А1аЬ((Те^и и Z))) существует т ^ 0 такое, что 8ирр(в) С TE(X и Zm).
Докажем, что Arat{{Tx;(X U Z))) = Arec{{Ts(X U Z))). Перед доказательством главного результата этой главы применим некоторые результаты теории неподвижных точек непрерывных функций к системам (см. предварительные сведения часта II [3]).
(1) Параметрическое тождество. Пусть r Е A{{T^(X U Y))), и обозначим Г = py.r, у Е Y. Пусть yi = у и Ti Е A{{T^(XU(Y— {y})))),
1 ^ i ^ п. Тогда r'[Ti/yi,..., Tn/Уи] = py.(r[Ti/yi,..., T„/y„j).
(2) Правило Бекича — Де Баккера — Скотта (Bekic-De Bakker-Scott). Рассмотрим систему yi = r^ 1 ^ i ^ п, ri Е A{{T^(X U Y))) с переменными yi,... ,yn ъ m Е {1,... ,п — 1} Пусть (om+i,..., on) — наименьшее решение системы yi = r^ m + 1 ^ i ^ п. Кроме того, пусть (ti, ..., Tm) — наименьшее решение системы yi = = ri[om+i/ym+i,..., On/yn], 1 ^ i < m. Тогда
(ti, ... , Tmj Om+i [Ti/yi, . . . , Tm/ym], ... , On[т1/y1, . . . , Tm/ym])
есть наименьшее решение первоначальной системы yi = r^ 1 ^ i ^ п.
Покажем сначала, что Arat{{T^(X U Z))) замкнуто относительно
ПОДСТАНОВКИ.
Теорема 4.2. Пусть s(zi,..., zn) и Oj, 1 ^ j ^ п, лежат в Arat{{Ts(X U Z))). Тогда s(oi,..., o„) лежит в Arat{{Ts(X U Z))).
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу применений операций си Е Е, + , скалярного умножения и р для порождения s(zi, ..., zn) из многочленов.
(i) Пусть s(zi,..., zn) Е A{T^(X U Z)). Так как s_(oi,..., on) порождается из oi,..., on путем суммиров ания, си е Ей скалярного умножения, мы заключаем, что s(oi,..., on) Е Arat{{T^(X U Z))).
(ii) Случаи сложетшя, конкатенации с вершиной pi скалярного
умпожетшя очеврщпы. Такртм образом, докажем только случай оператора р. Предположим, что для 1 ^ j ^ п, supp(oj) С T^(X U Zm) для некоторого m ^ 0. Выберем z = zk Е Z с k > m. Без уменьшения общности предположим, что s(zi,..., zn) = pz.r(zi,..., zn, z) (переменная z — «граница»), где r(zi,..., zn, z) Е Arat{{T^(X U Z))). По предположению индукции имеем r(oi,. . . , On, z) Е Arat{{Ts(X U Z))). Следовательно, s(oi,..., on) = pz.r(oi,..., on, z) Е Arat{{T^(X U Z))) по параметрическому тождеству. □
Теорема 4.3 ([14], раздел 5). Arat{{Ts(XUZ))) = Arec{{Ts(XUZ))).
Доказательство.
(i) Покажем, что Arec{{T^(X U Z))) С Arat{{T^(X U Z))). Доказательство проведем ршдукцртей ПО ЧР1СЛУ переменных конечной по-лртомрталыгой сртстемы. Используем следующее предположите piti-дукцпп: если T = (т1, ..., Tn), Ti Е Arec{{Ts(X U Z))), 1 ^ i ^ п, является иар1мепыттр1м рептетшем конечной полрпгомргалыгой сртсте-мы zi = qi(zi,..., zn), 1 ^ i ^ п, с п переменными zi,..., zn, где Qi(zi, ...,zn) Е A{Te(X U Z)), to Ti Е Arat{{Ts (X U Z))).
(1) Пусть п = 1 и предположим, что s Е Arec{{T^(X U Z))) — наименьшее решение конечной полиномиальной системы zi = p(zi). Так как p(zi) - многочлен, то s = pzi.p(zi) Е Arat{{T^(X U Z))).
(2) Возьмем конечную полиномиальную систему Хі = qi(zl,...,
2™+і), 1 ^ г ^ п + 1 п ^ 1. Пусть т(хі) = (Т2(хі),..., тп+і(хі}), Ті(хі) Є Лгес{{Те(Х и Z))), 2 ^ г ^ п + 1, — наименьшее решение конечной полиномиальной системы Хі = qi(zl,..., хп+і),
2 ^ г ^ п + 1. По предположению индукции заключаем, что Ті(хі) Є ЛГЗіІ{{Те(Х и Z))). Так как q1(z1,..., хп+1) — полином, то он принадлежит ЛгаЬ{{Т^(Х и Z))). По теореме 4.2 р(х1) = = q1(z1,т2(хі),...,тп+1(х1)) лежит в ЛгзХ,{{Те(Х и Z))). Тогда ц.хі.р(хі) лежит в Лгаі {{Те(Х и Z))). По теореме 4.2 ті(цх1.р(х1)) Є Є Лга^{{Те(XUZ))), 2 ^ г ^ п+1.По правилу Бекпча — Де Баккера— Скотта, (цх.р(хі), т2(цхі.р(хі)),..., тп+і(цхі.р(хі))) — наименьшее решение конечной полиномиальной системы Хі = qi(zl,..., хп+і),
1 ^ г ^ п + 1. Следовательно, компоненты наименьшего решения системы хі = qi(z1,..., хп+і), 1 ^ г ^ п + 1 лежат в ЛгзЬ{{Те(ХиZ))).
(іі) Покажем, что Лтєс{{Те(Х и Z))) есть рационально замкнутая дистрибутивная Х-алгебра, содержащая Л{Те(Х и Z)). Это повлечет, что Лга1{{Т^(Х и Z))) С Лгєс{{Те(Х и Z))). По теореме 4.1 (с X и Z вместо X) Лтєс{{Те(Х и Z))) есть дпстрибутпвпая Х-алге-бра, замкнутая относительно скалярного произведения и содержащая Л{Те(Х и Z)). Следовательно, нам остается только показать, что цх.в, в Є Лгєс{{Те(Х и Z))), лежит в Лгєс{{Те(X и Z))). Пусть (т2(хі),..., тп+і(хі)) является наименьшим решением конечной полиномиальной системы Хі = Рі(хі, ..., хп+і), 2 ^ г ^ п + 1,и возьмем в = Т2 (хі) . Рассмотрим теперь конечную полиномиальную систему Хі = Р2(хі,...,Хп+і), Хі = Рі(хі,...,хп+і), 2 ^ г ^ п + 1. Тогда, по правилу Бекича—Де Баккера—Скотта, цхі.Т2(хі) является первой компонентой ее наименьшего решения. □
Аналогично рациональным выражениям (см. ч. II [3], раздел 3) и ХZ-выpaжeниям (см. [29]) определим рациональные выражения рядов деревьев. Пусть Л, Х,Х, Z и и = {+, •, ц, [, ]} попарно дизъюнктны. Слово Е над Л и Х и X и Z и и называется рациональным выражением рядов деревьев над (Л, Х,Х, Z), если:
(i) Е — символ из X и Z, или
(ii) Е — одна из следующих форм: [Е1 + Е2], ш(Е1,..., Ек), аЕ1 или цх.Еі, ще Еі, Е2,..., Ек — рациональные выражения рядов деревьев над (Л, Х, X, Z), ш Є Хк, к ^ 0 а Є Лих Є Z.
Каждое рациональное выражение рядов деревьев Е над (Л, Х, X, Z) обозначает формальный ряд деревьев \Е\ в Л{{Те(Х и Z))) в соответствии со следующими соглашениями.
(i) Если Е лежит в X и ^^о ^ ряд деревьев Е, то есть \Е\ = Е
(ii) Для рациональных выражений рядов деревьев Еі,..., Ек над (Л, Х,Х^), ш Є Хк, к ^ 0 а Є Л, х Є Z, определим \[Еі + Е2]\ = \Еі\ + \Е2\,\ш(Еі ,...,Ек )\ = ш( \ Еі \,...,\Ек\) ,
\ аЕі \ = а\Еі \, \ цх.Еі \ = цх. \Еі \.
Пусть ф1 и ф2 — отображения из множества рациональных выражений рядов деревьев над (А, Е, X, Z) во множество конечных подмножеств в X и Z, определенные следующим образом.
(1) ф 1 (х) = 0 ф2(ж) = {X}, X е X,
ф1(г) = {г} ф2(<г) = 0 г е Z.
(и) ф, ([Е1 + Е2]) = ф, (Е1) и фз (Е2),
фз(ш(Еь .. .,Ек)) = фз(Е1) и ... и ф,(Ек),
фз (аЕ{) = ф, (Е1) а = 0 ф, (ОЕ1) = 0 а = 0, фз(^г.Е1) = фз(Е1) - {г} 3 = 1 2
для рациональных выражений рядов деревьев Е1, Е2,..., Ек над (А, Х,Х^), ш е Ек, к ^ 0 а е А, и г е Z.
Данное рациональное выражение рядов деревьев Е над (А, Е, X, Z), ф1(Е) С Z, содержит «свободные переменные» в Е, так как ф2(Е) С X содержит используемые символы алфавита листьев X. Это означает, что \Е\ — формальный ряд деревьев в А((Т^(ф2(Е) и и ф1(Е)))). Из теоремы 4.3 и определений, данных выше, вытекают некоторые следствия.
Следствие 4.4. Ряд деревьев 8 принадлежит Arat((Ts(XиZ)))П П A((Tx;(x/ и Z/))), г£?е X' С X, ^ С Z, тогда и только тогда,
Е
(А, Е, X, Z) такое, что в = \Е\, где ф2(Е) = X и ф1(Е) = ^.
Следствие 4.5. Ряд деревьев в принадлежит Arat((Ts(XиZ)))П ПA((Ts(X/))), X С X, тогда и только тогда, когда существует рациональное выражение рядов деревьев Е над (А, Е,X,Z) такое, что в = \Е\, где ф1(Е) = 0 и ф2(Е) = X
Следствие 4.6. Ряд деревьев в принадлежит Arec((Ts(X'))), X С X, тогда и только тогда, когда существует рациональное выражение рядов деревьев Е над (А, Е,X,Z) такое, что в = \Е\, где ф1(Е) = 0 и ф2(Е) = X
Заметам, что наше следствие 4.4 является более сильным, чем теорема Клитти в [14], раздел о, так как мы можем использовать нашу теорему 4.2 и не нуждаемся в «замыкании относительно подстановки» в определении рационально замкнутой дистрибутивной Е-алгебры. Суммируем паши результаты в теореме типа теоремы Клитти (см. [14]).
Теорема 4.7. Следующие утверждения о степенном ряде г е A((T%(X))) эквивалентны:
(г) г - компонента наименьшего решения конечной полиномиальной системы;
(гг) г - поведение конечного полиномиального автомата над рядами деревьев;
Е
(А, Е,X, Z), где ф1(Е) = 0 такое, что г = \Е\.
Доказательство. По следствию 3.6 и теореме 4.3. □
В характеризации распознаваемых языков над деревьями в [29] используют следующую операцию замыкания для языка над деревьями т(уі, ...,Уп,у) Є В((Те(Х и {уі,.. .,уи,у})))1 у = Уп+1-
т0,у (уі,--,уп,у) = {у},
т3+і,У(уі,..., Уп, у) = г(уі,..., Уп, Т3’У(уі, ... , Уп, у)) и т3,У(уі, ... , Уп, у), і ^ 0,т*У (уі,...,уп,у) = Ц,>о т3,У (Уі, ..., Уп, у).
(Здесь мы используем изоморфизм между Р(Т^(У)) и В((Те(У))).)
Рассмотрим конечную полиномиальную систему над В, содержащую одно уравнение и переменную уо Уо = т(уі,... ,уп,уо) + у , и обозначим через (т3(у1,..., уп, у) | і ^ 0) ее аппроксимирующую по-
СЛбДОВеІТбЛЬНОСТЬ
т0(уі,...,уп,у) = о,
т3+1(уі, ...,уп,у) = т(уі,...,уп, Т3 (уі,...,уп,у))+ у,І ^ 0 .
С равенством т3+іу (уі,...,уп ,у) = т(уі,... ,уп,т3,у (уі, ...,уп,у)) +
у, і ^ 0, простое доказательство индукцией по элементам аппроксимирующей последовательности показывает, что для і ^ 0:
(i) У < т3,у (уі,..., уп, у), у < т3+і(уі,..., Уп, у)]
(ii) т3 (уі,...,уп,у) < т3,у (уі,..., уп, у);
(iii) т3,у (уі, ...,Уп,У) < т3+і(уі,...,уп,у).
Поскольку т3,У (уі, . . . ,уп,у) = ^0^г^3' т%,У (уі,...,уп ,у), ПОЛуЧПМ
8ир(т3(уі,... ,уп,у) І і ^ 0) = т*У(уі,... ,уп,у). Следовательно, т*У(уі, ..., уп, у) — наименьшее решение у0 = т(уі,..., уп, у0) + у, то есть цуо.(т(уь ..., уп, уо) + у) = т*У (уі,... ,уп,у). Эти соображения
В
Бозапалидис [14] предложил заменить цуо.(т(уі,..., уп, Уо)+у) на цу.т(уі,... ,уп,у). (Для контекстно-свободных языков Грушка [32] неявно использовал этот оператор замыкания; см. Куих [36].) Мы использовали этот оператор замыкания різ [14] в нашей статье. Существенное разлрічріе между этршрт двумя операторамрі замыкатшя состоит в том, что т*У(уі,..., уп, у) Є В((Т^(Х и Уп и {у}))), тогда как цу.т(уі, ...,уп,у) є В«Те(Х и Уп))).
Согласно параметрріческому тождеству мы даже можем сказать больше: цу.т(уі,..., уп, у) = т*У(уі,..., уп, 0). Следовательно, наша рітітерпретацрія рацргопальпых вьіражетіРій рядов деревьев над [(В, £, X, Z), приведенная ниже, отличается от интерпретации в [29].
Каждое рациональное выражение рядов деревьев Е над (В, £, X, Z) означает язык над деревьями Е| С Т^(Х и Z) в соответствии со следуюіцрімрі соглаіттепріямрі.
(0) Язык над деревьями, обозначенный символом 0, есть 0.
(1) Язык над деревьями, обозначенный символом х Є X, есть {х}.
(И) Язык над деревьями, обозначенный символом z Е Z, есть {z}.
(iii) Для рациональных выражений рядов деревьев E\, E2,..., Ek над (B, X,X, Z) ш Е Xk, k ^ 0 z Е Z \[Ei + E2]\ = \E\\ U U \E2\,\w(Ei, .. .,Ek)\ = cu(\Ei\,...,\Ek\),\^z.Ei\ = цz.\Ei\.
В следующей теореме мы используем обозначения из [29].
Теорема 4.8. Следующие утверждения о языке над деревьями L С T^(X) эквивалентны:
(i) L порождается регулярной XX-грамматикой;
L
XX -распознавателем;
L = E E
(B, X,X,Z) и m(E) = 0.
Заметим, что теорема 4.8 сильнее, чем предложение 9.3 (теорема Клитти) в [29], так как мы не нуждаемся в «замыкании относительно подстановки» для наших выражений над деревьями над (B, X, X, Z).
Пример 4.1. Пусть X = X0 U X1 U X2, Xo = {c,d}, X1 = {g},
X2 = {f}, z, zi Е Z, и рассмотрим рациональное выражение рядов деревьев [g(c) + цz1.[f (c, z1) + z]] тад (B, X, X, Z). Оно означает
\ [g(c) + M-zi.[f (c,zi) + z]]\ = g(c) + z + f (c, z) + f (c, f (c, z)) + f (c, f (c, f (c, z))) + ...
Кроме того,
\[g(c) + ^zi.[f(c,zi) + d\} \ = \[g(c) + ц-zif (c,zi) + z]]\[d/z].
Сравните это со вторым параграфом [29, с. 21]. □
Исследование частично поддержано акцией Австро-Венгерского научнопедагогического сотрудничества, проект 530eUl.
Supported by Aktion Osterreich-Ungarn, Wissenschafts- und Erziehungs-koopemtion, Projekt 530eUl.
Список литературы
1. Aho A. V. Indexed grammars—an extension of context-free grammars // JACM. 1968. V. 15. P. 647-671.
2. Алеитиков С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы I: полукольца Конвея и конечные автоматы // Вестник Калининградского государственного университета. 2003. Вып. 3. С. 7—38.
3. Алеитиков С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы II: непрерывные полукольца и алгебраические системы // Там же. 2005. Вып. 1-2. С. 19-45.
4. Алеитиков С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы III: магазинные автоматы и формальные степенные ряды //
29
Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2006. Вып. 10. С. 8-27.
5. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы IV: трансдукторы и абстрактные семейства // Там же. 2008. Вып. 10. С. 6-23.
6. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы V: пары полукольцо-полумодуль Конвея и конечные автоматы // Там же. 2009. Вып. 10. С. 6—41.
7. Berstel ,/. Transductions and Context-Free Languages. Teubner, 1979.
8. Berstel J., Reutenauer C. Recognizable formal power series on trees // Theor. Comput. Sci. 1982. Vol. 18. P. 115-148.
9. Block R. E., Griffing G. Recognizable formal series on trees and cofree coalgebraic systems // J. of Algebra 1999. Vol. 215. P. 543-573.
10. Bloom St. L., Esik Z. Iteration Theories. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Springer, 1993.
11. Bozapalidis S. Effective construction of the syntactic algebra of a recognizable series on trees // Acta Inf. 1991. Vol. 28. P. 351-363.
12. Bozapalidis S. Alphabetic tree relations // Theoret. Comput. Sci. 1992. Vol. 99. P. 177-211.
13. Bozapalidis S. Convex algebras, convex modules and formal power series on trees // .J. Automata. Languages and Combinatorics 1996. Vol. 1. P. 165-180.
14. Bozapalidis S. Equational elements in additive algebras // Theory Comput. Systems 1999. Vol. 32. P. 1-33.
15. Bozapalidis S. Context-free series on trees // Information and Computation 2001. Vol. 169. P. 186-229.
16. Bozapalidis S., Rahonis G. On two families of forests // Acta Inf. 1994. Vol. 31. P. 235-260.
17. Bucher W., Maurer H. Theoretische Grundlagen der Programmierspra-chen. В. I. Wissenschaftsverlag, 1984.
18. Сотой H., Da/u.chet М., Gilleron R„, Jaquemard F., Lugiez D., Ti-son S., Tommasi M. Tree Automata-Techniques and Applications. Manuscript.
19. Courcelle B. Equivalences and transformations of regular systems— Applications to recursive program schemes and grammars // Theor. Comp. Sci. 1986. Vol. 42. P. 1-122.
20. Engelfriet J. Bottom-up and top-down tree transformations—a comparison // Math. Systems Theory. 1975. Vol. 9. P. 198-231.
21. Engelfriet J., Fiilop Z., Vogler H. Bottom-up and Top-down Tree Series Transducers // .J. Automata. Languages and Combinatorics. 2002. Vol. 7. P. 11-70.
22. Engelfriet J., Schmidt E. M. IO and OI. I // .J. Comput. Systems Sci. 1977. Vol. 15. P. 328-353.
23. Esik Z. Completeness of Park induction // Theor. Comput. Sci. 1997. Vol. 177VP. 217-283.
24. Ifsik Z., Kuich W. Formal tree series // .J. Automata. Languages and Combinatorics.'2003. Vol. 8. P. 219-285.
25. Fischer M. J. Grammars with macro-like productions // 9th Annual Symposium on Switching and Automata Theory. 1968. P. 131-142.
26. Fiilop Z., Vogler H. Syntax-Directed Semantics. Springer, 1998.
27. Fiilop Z., Vogler H. Tree series transformations that respect copying // Theory of Computing Systems. 2003. Vol. 36. P. 247-293.
28. Gecseg F., Steinby M. Tree Automata. Akademiai Kiado, 1984.
29. Gecseg F., Steinby M. Tree Languages / Handbook of Formal Languages. Springer, 1997. Vol. 3. Chapt. 1. P. 1-68.
30. Ginsburg S. Algebraic and Automata-Theoretic Properties of Formal Languages. North-Holland, 1975.
31. Gratzer G. Universal Algebra. Springer, 1979.
32. Gruska ,/. A characterization of context-free languages // Journal of Computer and System Sciences. 1971. Vol. 5. P. 353-364.
33. Guessarian I. Algebraic Semantics // Lect. Notes Comput. Sci. 1981. Vol. 99.
34. Guessarian I. Pushdown tree automata. Math. Systems Theory. 1983. Vol. 16. P. 237-263.
35. Kuich W. Semirings and formal power series: Their relevance to formal languages and automata theory // Handbook of Formal Languages. Springer. 1997. Vol. 1. Chapt. 9. P. 609-677.
36. Kuich W. Gaufiian elimination and a characterization of algebraic power series j j MFCS 98, Lect. Notes Comput. Sci. 1998. Vol. 1450. P. 512-521.
37. Kuich W. Formal power series over trees // Proceedings of the 3rd International Conference Developments in Language Theory. Aristotle University of Thessaloniki, 1998. P. 61-101.
38. Kuich W. Tree transducers and formal tree series // Acta Cybernetica. 1999. Vol. 14. P. 135-149.
39. Kuich W. Full abstract families of tree series I // Jewels are Forever. Springer, 1999. P. 145-156.
40. Kuich W. Abstract families of tree series II // Proceedings of the International Workshop on Grammar Systems 2000. Schlesische Universitat Troppau, 2000. P. 347-358.
41. Kuich W. Formal series over algebras // Proceedings of MFCS 2000, Lect. Notes Comput. Sci. 1893. Springer, 2000. P. 488-496.
42. Kuich W. Pushdown tree automata, algebraic tree systems, and algebraic tree series // Information and Computation. 2001. Vol. 165. P. 69-99.
43. Kuich W. Formal power series over sorted algebras // Discrete Math. 2002. Vol. 254. P. 231-258.
44. Kuich W., Salomaa A. Semirings, Automata, Languages. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Vol. 5. Springer, 1986.
45. Lausch H., Nobauer W. Algebra of Polynomials. North-Holland, 1973.
46. Rounds W. G. Trees, transducers and transformations. PhD thesis, Stanford University, 1968.
47. Rounds W. G. Context-free grammars on trees // ACM Symposium on Theory of Computing. 1969. P. 143-148.
48. Rounds W. G. Mappings and grammars on trees // Math. Systems Theory. 1970. Vol. 4. P. 257-287.
49. Salomaa A. Formal Languages. Academic Press, 1973.
50. Seidl H. Deciding equivalence of finite tree automata // STACS88, Lect. Notes Comput. Sci. 1989. Vol. 349. P. 480-492.
51. Thatcher J. W. Generalized2 sequential machine maps. IBM Research Report RC 2466, 1969.
52. Thatcher ,/. W. Generalized sequential machine maps // J. Comp. Syst. Sci. 1970. Vol. 4. P. 339-367.
53. Thatcher J. W., Wright ,/. B. Generalized finite automata theory with an application to a decision problem of second-order logic // Math. Systems Theory. 1968. Vol. 2. P. 57-81.
54. Wechler W. Universal Algebra for Computer Scientists. EATCS Monographs on Computer Science, Vol. 25. Springer, 1992.
Об авторах
Сергей Иванович Алешников — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, e-mail: elliptec@mail.ru.
Юрий Федорович Болтнев — ст. преп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, e-mail: boltnev59@list.ru.
Золтан Език — д-р, Сегедский ун-т, Венгрия, e-mail: kuich@ tuwien.ac.at.
Сергей Александрович Ишанов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, e-mail: sergey.ishanov@ya.ru.
Вернер Куих — д-р, Венский техн. ун-т, Австрия, e-mail: kuich@ tuwien.ac.at.
Authors
Dr Sergey Aleshnikov - assistant professor, I. Kant Baltic Federal University, e-mail: elliptec@ mail.ru.
Yuriy Boltnev - high instructor, I. Kant Baltic Federal University, e-mail: boltnev59@list.ru.
Dr Zoltan Esik - University of Szeged, Hungary, e-mail: kuich@ tuwien.ac.at.
Dr Sergey Ishanov - professor, I. Kant Baltic Federal University, e-mail: sergey. ishanov® ya. ru.
Dr Werner Kuich - Technische Universit;i,t Wien, Austria, e-mail: kuich@ tuwien.ac.at.
