ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ И АВТОМАТЫ VI:ω АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ТРАНСДУКТОРЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ИНФОРМАТИКА

УДК 681.3.07

С. И. Алешников, Ю. Ф. Болтнев, 3. Език,

С. А. Ишанов, В. Куих

ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ И АВТОМАТЫ VI: ш-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ТРАНСДУКТОРЫ

Это шестая статья в серии, дающей обзор некоторых разделов теории формальных языков и автоматов с использованием полуколец, формальны,х степенных рядов, матриц и теории неподвижных точек.

Рассмотрены основные результаты теории ш-алгебраических систем над квемикольцами, которые обобщают классические контекстно-свободны,е грамматики, порождающие языки над конечными и бесконечны,ми словами. Представление этих результатов базируется на парах непрерывное полукольцо со звездой — омега-полумодуль. ш

ваны их решения порядка к через поведение конечных алгебраических автоматов. Эти решения поставлены, в соот-ш

дятся рациональны,е и алгебраические трансдукторы, и аб-ш

ми и доказывается, что рациональны,е и алгебраические степенны,е ряды, конечных и бесконечны,х слов образуют такие ш

This is the sixth paper of a series of papers that will give а, survey on several topics on formal languages and a,utoma,ta by using semirings, formal power series, matrices and fixed point theory.

The sixth paper of this series deals with the basic results in ш

classical context-free grammars generating languages over finite and infinite words. The presentation of these results is based on continuous starsemiring-omegasemimodule pairs. ш

к

ш

Then we introduce rational, and algebraic transducers, and abstract ш

and algebraic power series of finite and infinite words constitute ш

Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2010. Вып. 10. С. 8 — 32.

Ключевые слова: формальный язык, автомат, полукольцо, формальный степенной ряд, матрица, неподвижная точка, ш-алгебраическая система, ш-адгебраические степенные ряды, ш-контекстно-свободная граммати-

ш

тор, алгебраический трансдуктор, трансдукция над парой полукольцо со звездой — омега-полумодуль.

Key words: formal languages, automata, semiring, formal power series, ш ш ш

ш

algebraic transducer, transductions over starsemiring-omegasemimodule pair.

1. Введение

Это птестая статья в серии, дающей обзор некоторых разделов теории формальных языков pi автоматов, в ней сообщается об обобщении некоторых классических результатов о формальных языках, формальных языках над деревьями, языках с конечными pi беско-нечнымрт словамрт, автоматах, автоматах над деревьямрт pi др. Предполагается, что чрттатель знаком с частямрт I—V [1—о] наптей серрш.

В данной статье мы рассмотрим ш-алгебраические системы, рациональные и алгебраические трансдукторы и абстрактные ш-семей-ства степенных рядов над квемрткольцамрт. Как pi в частрт V [о], папш-MPi базовымрт алгебраическршрт структура*™ будут пары полукольцо-полумодуль, в особетш octpi непрерывные пары полукольцо-пол у модуль. 'г)т и пары полукольцо-полумодуль 6ылрт введены в главе 2 ча-ctpi V [о], предполагается, что чрттатель знаком с этой главой. Настоящая статья coctopit ртз этой pi трех последутопщх глав.

шш браические степенные ряды. Решения порядка к этих ш-алгебраичес-kpix сртстем характерртзуготся поведетгаем алгебраическртх конечных ШЗТОМЕ1ТОВ.

шш ш ш

В главе 4 мы рассмотррш морфртзмы пар полукольцо со звездой-омега-полумодуль pi pix расптртретгая до матррщ. Мы введем ратщо-пальпые pi алгебраическрге трансдукторы pi трапсдукцрш над парамрт полукольцо со звездой-омега-полумодуль. Мы докажем, что ратцго-пальпая (соответственно алгебраическая) трапсдукцрш рацргопаль-пого (соответственно алгебраического) замыкапрш снова является рацргопальпым (соответственно алгебраическрш) замыкатшем. Затем мы копкретртзртруем naiTTPi результаты па прршере рацргопальпых pi алгебраическртх трапсдукторов в классртческом смысле pi определрш ш

Изложетгае в настоящей статье следует работам Езртка pi Kypixa [14; 17].

2. ш-алгебраические системы

В главах 2 и 3 Т — квемикольцо, У = {у\, ..., уп} является множеством переменных (квемикольца), Т^ = А и Т0 = V. Терм-произведение Ь имеет ВИД Ь(у1, . уп) = в0уг1 ...вк-\Угк вк,

к ^ 0 гДе в^ € А — {0} 0 ^ ] < к, в к € А, и yгj € У. Элементы выказывают коэффициентами терма-произведения. Если к ^ 1, мы не будем выписывать коэффициенты, равные 1.

Терм-сумма произведений р — сумма термов-произведений то есть

Коэфициенты всех термов-прозведений 1 ^ ^ ш, называют ко-

р

терм-сумма произведений представляет собой многочлен из квеми-

Т

У

А С А, обозначим набор всех термов-сумм произведений с коэффициентами в А через А1 (У). Заметим, что термы-суммы произведений из А(У) в точности представляют собой многочлены из подквеми-кольца квемикольца многочленов, порожденных множеством А и У.

Нас будут интересовать только отображения, порождаемые термами-суммами произведений. Эти отображения являются полиТ

гл. 1.6].

Каждый терм-произведение Ь (соответственно терм-сумма произведений р ОТ переменных у1, ..., уп индуцирует отображение £ (соответствнно р) из Тп в Т. Для терма-произведения Ь, представленного выше, отображение Ь определяется посредством

р

мой термов-произведений как указано выше, отображениер определяется посредством

для всех (ті, ..., тп) Є Тп.

Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль и пусть АхУ — квемикольцо, ею определяемое. Пусть А' С А. А'-алгебраическая система (относительно переменных у1, ..., уп) над квемикольцом А х V есть система уравнений

где каждый рг есть терм-сумма произведений в А1 (У). Решение этой А'-алгебраической системы определяется как (т1, тп) € Тп та-

кое, что тг = рг(т1, ..., тп), 1 ^ г ^ п.

10

1 ^.3

£(т1, . . тп) — ^0тгх ^1 * * * $к—1тік ,

1 ^.3

Часто удобно записывать А'-алгебрапческую систему уг = рг, 1 ^ ^ и, в матричной системе обозначений. Определив два вектор-

столбца

/ У* \ / Р1

У = I ! I и р = I :

V уп ) V рп

мы можем записать уг = рг, 1 ^ ^ и, в матричной форме

У = р(у) или у = р .

Решение системы у = р(у) определяется теперь ка к такое т € Тп, ЧТО т = р(т) где Р = (рг)1^п-

Рассмотрим терм-произведение 1(у1, ***, уП) = Зоуь $1 * * * $к-1угк $к и пусть тг = (ог, шг) € А х V, 1 ^ ^ и. Тогда

^(т1 , * * * , тп) — $0(ог1 , шг± )$1 * * * $к-1(®гк , шгк )$к —

= ($0Ог1 $1 * * * $к-1агк $к, $0Шг1 + $0Ог1 $1Шг2 + * * * +

+ $0Ог1 $1 * * * $к-2агк—1 $к-1шгк ) *

Согласно определению для о = (01, * * *, Оп) € Ап

^а(х 1, * * * 4 Хп) — $0Хг1 + $0Ог1 $1Хг2 + * * * + $0Ог1 $1 * * * $к-2агк—1 $к-1Хгк

И, еСЛИ р(у1у * * * , уп) — 1^7^т ^3 (y1, * * * у уп) ? ТО

Ра(хЬ ***, Хп) = ^ ^3)а(хЬ ***, Хп) *

1 ^ 3

Здесь Х1, * * *, хп — переменные над полу модулем V. Получим теперь

?(тЬ * * * , Тп) = ?(оь * * * , ап) + ?а(ш1, * * * , Шп)

р(Т1, * * * , Тп) = р(01, ***, Оп) + Ро(ш 1, * * * , Шп) *

Кроме ТОГО,

Р(Т1, * * * , Тп)1 = Р>(о 1, * * * , Оп) и р(Т1, * * * , Тп)*0 = ро-(Ш1, * * * , Шп) *

В следующей теореме у (соотвдтствеено д и г) ^означает вектор-

I у1 I I Х1 II Х1 I

столбец I : I (соответственно I : ^ I : I) ’ ГДе уг (соответ-

V уп ) \ Хп / \ Хп )

ственно Хг и Хг) — переменные над А х V (соответственно А и V).

В дальнейшем А будет всегда обозначать подмножество А, содержащее 0 тт 1.

11

Теорема 2.1. Пусть А х V — квемиколъцо и пусть у = р(у)

— А'-алгебщическая система над А х V. Тогда, (а, ш) Е (А х V)п является решением системы у = р(у) тогда и только тогда, когда а — решение А-алгебраической системы х = р(х) над А и ш — решение Шд(А')-линейной системы г = ра(г) на,д V.

Доказательство. Пусть т = (а, ш) — решен ие О т = р(т) = = р(а) + Ра(ш) О а = р(а) и ш = ра(ш). п

Рассмотрим А'-алгебраическую систему у = р(у) над непрерывным квемикольцом А х V. Тогда существует наименьшее решение А'-алгебраической системы х = р(х) над А, скажем а. Кроме того, запишем Шй(А')-линейную систему г = ра(г) над V в виде г = Мг, где М — п х п-матрица. Тогда по теореме 5.5 части V [5] МШк для

0 ^ к ^ п является решением системы г = ра(г). Следовательно, по теореме 2.1 (а, МШк), 0 ^ к ^ п, является решением системы у = р(у). Для данного к Е {0, 1, ..., п} назовем это решение решением порядка к системы у = р(у). Через ш-А{%(АГ) обок

А'-алгебраической системы над А х V.

А

А

фавит £. По теореме 5.5 части V [5] (А((£*)), А((£ш))) — непрерывная пара полукольцо-полумодуль.

Пусть АТ,* = {вы | в Е А, ы Е £*}. Тогда ш-Щд(А£*) равно совокупности компонент решений порядка к для А£*-алгебраической системы над А((£*)) х А((£ш)) уг = рг1 1 ^ г ^ п, где рг — многочлен из А((£ и У)*). Вследствие коммутативности А любая полиномиальная функция, которая порождается термом-суммой произведений из А£*(У), порождается также многочленом из

А((£иУ)*), и обратно. Обозначим ш-Щд(А£*) через А^а^((£*, £ш)). А£* ш

стемами (над А и £), а степенные ряды из А^а^6((£*, £ш)) — ш-алгебщическими степенными рядами (над А и £).

А((£ и У)*)

г(у\, уП) = вгшоуг1 ш. ..'ш—угк Ык,

где в Е А и ыг Е £*, 1 ^ г ^ к. По определению для

х = (хг )1^п tx(Xl, . . . , Хп, г1, . . . , гп) = вЫогг1 + вЫ0Хг1 Ыггг2 + ... + + выохг1 Ы1... Ык-2хгк-1 Ык-\ггк и в случае, если р(у\, ..., уп) = = ^21^3^т ^3 (у1, . . . , уп)’

рх(х1, ...,хп,г1,...,гп)=^2 (^ )х(х1, ..., хп, г1, ..., гп).

1 ^3

х1 , . . . , хп г1 , . . . , гп

А (соответственно V). Заметим, что для а Е (А((£*)))п получим рх(а1, ..., ап, г1, ..., гп) = р^ги ..., гп).

Пусть дана ш-алгебраическая система у = р(у) над Л((£*)) х х Л((£ш)). Назовем х = р(х), г = рх(х, г) смешанной ш-алгебраи-ческой системой над (Л((£*)), Л((£ш))), порожденной системой

У = р(у)-

Запишем г = рх(х, г) в виде г = М(х)г, где М(х) — п х п-матрица. Тогда (а, М(а)Шк) для 0 ^ к ^ п является решением системы х = р(х), г = рх(х, г). Кроме того, оно является решением порядка к системы у = р(у).

определяется через:

(1) алфавит X = {х1, хп} переменных для конечных выводов

и алфавит Z = {г1, гп} переменных для, бесконечных вы-

водов, п ^ 1 X П Z = 0;

(и) алфавит £ терминальных символов, £ П (X и Z) = 0;

(ш) конечное множество продукций вида х ^ а, х € X, а € (X и £)* или г ^ аг', г, г' € Z, а € (X и £)*]

(НГ) стартовую переменную х^ (соответственно гдля конечных (соответственно бесконечных) выводов, 1 ^ г ^ п;

(у) множество повторяющихся переменных для бесконечных выводов {г1, ..., гк}, 0 ^ к ^ п.

Конечный левосторонний вывод (относительно О) а ^*ь т, а € (X и £)*, т € £* определяется обычным образом. Бесконечный левосторонний вывод (относительно О) п : г т, г € Z, т € £ш определяется следующим образом:

п : г Ь а1ггх Ь т1гг1 ~^Ь т1а2г12 Ь т1т2гг2 Ь • • • Ь

тт ... ттггт ^ь тт ... ттат+1ггт+1 ^*Ь ,

Где г ► а1гг1, г%1 ► а2гг2, • • • , ггт ^ ат+1ггт+1 > ■ ■ ■ € Р;

т1, т2, ..., тт, ... € £* и т = т1т2 ... тт ....

Пусть ШУ(п) = {г € Z | г бесконечно часто записано в п}. Тогда имеем Ь(О) = {т € £* | х^ ^*Ь т} и {т € £ш | п : г^ т, ШУ(п) П{г1, ...,гк} = 0}.

Обсудим теперь связь между смешанными ш-алгебраическими системами над (Л((£*)), Л((£ш))), где Л есть ^п и смешан-ш

[2, перед теоремой 3.8]). Поставим в соответствие данной смепта-ноой ш-контекстно-свободной грамматике О^^ = (п, £, Р, з, к),

1 ^ 3 ^ п, 0 ^ к ^ п смешанную ш-алгебраическую систему

ш

ш

О = (п, £, Р, з, к)

13

14

хг = Рг(хг, ■■■, Хп), гг = дг(хг, ..., Хп, гг, ..., гп) 1 ^ г ^ п над

(А {{Е*)), А {{Е ш))) посредством

(рг, а) = 1, если Хг ^ а € Р, (рг, а) = 0 — в противном случае , (дг, а) = 1, если гг ^ а € Р, (дг, а) = 0 — в противном случае.

Обратно, поставим в соответствие смешанной ш-алгебраической системе хг = рг(хг,..., хп), гг = дг(хг,..., хп, гг,, гп), 1 ^ г ^ п, смешанную ш-коптекстпо-свободпую грамматику Оу%к = (п, Е, Р, ], к),

1 ^ .] ^ п, 0 ^ к ^ п посредством хг ^ а € Р, если (рг, а) = 0, и гг ^ а € Р, если (гг, а) = 0. Всякий раз, говоря о смешанной ш-контекстно-свободной грамматике, ассоциированной со смешанной ш-алгебраической системой или наоборот, будем понимать под этим соответствие в смысле приведенного выше определения.

В следующей теореме мы используем изоморфизм между *)) х В{{ЕШ)) и 2е* х 2е“.

Теорема 3.1. Пусть Су^к = (п, Е, Р, ], к), 1 ^ ^ п,

0 ^ к ^ п — смешанная ш-контекстно-свободная грамматика и хг = рг(хг, ..., хп), гг = дг(хг, ..., хп, гг, ..., гп), 1 ^ г ^ п

ш

(В{{Е*)), В{{ЕШ))). Пусть (а, т) — решение порядка к, 0 ^ к ^ п, системы хг = рг, гг = дг, 1 ^ г ^ п. Тогда, Ь(Су,к) = ау + Ту, 1 ^ ^ п,

0 ^ г ^ к.

Доказательство. По теореме 3.6 части II [2] получим ау = = {ш € Е* | ху ^*ь ш}, 1 ^ ,] ^ п, а по теореме 5.9 части V [5], примененной к А = В, получим Ту = {ш € Еш | п : гу ^*ь ш, ШУ(п) П {гг, ..., гк} = Щ, 1 ^ .] ^ п, 0 ^ к ^ п. □

Если нашим базовым квемикольцом является М^{{Е*))хМте{{Еш)), то мы можем вывести более сильные следствия.

Теорема 3.2. Пусть Су,к = (п, Е, Р, ], к), 1 ^ ^ п,

0 ^ к ^ п — смешанная ш-контекстно-свободная грамматика и хг = Рг(хг, ..., хп), гг = дг(хг, ..., хп, гг, ..., гп), 1 ^ г ^ п -

ш

(Щ^{{Е*)), Щ^{{ЕШ))). Пусть (а, т) — решение порядка к, 0 ^ к ^ п системы хг = рг, гг = дг, 1 ^ г ^ п. Обозначим через йу(ш), ш € Е* (соответственно ш € Еш) число (возможно ж) различных конечных левосторонних выводов (соответственно бесконечных левосторонних выводов п, где IЫУ(п) П {гг, ..., гк} = Ф) из перемен ной ху (соответственно г^), 1 ^ ,] ^ п. Тогда

Доказательство. По теореме 3.8 части II [2] и по теореме 5.9 части V [5], примененной к А = □

ш-контекстно-свободная грамматика (с повторяющимися переменными) С = (Ф, X, Р, А, Е) есть обычная контекстно-свободная грамматика (Ф, X, Р, А), дополненная множеством Е С Ф повторяющихся переменных (см. также [9]).

Бесконечный левосторонний вывод п относителъно С, начинающийся с некоторой строки а, определяется посредством

п : а а\ ^ь а2 ■ ■■ ,

где а, а € (Ф и X)* и ^ь определены как обычно. Этот бесконечный

п

в виде

а = РоБоУо ^*ь УоВоуо ^ь То ^Ь

^Ь УоУхБхУхУо ^ь УоУ1в2В2У21\10 ■■■ ,

где Уг € X* вг, Уг € (Ф и X)*; Вг ^ рг+1ВтУг+1 € Р; рг Уг]

особое вхождение переменной Вг не переписывается в подвыводе

вгВгУг ^*ь УгВгУг, а переменные в у г никогда не переписываются

п

пой Вг называется г-й значимой переменной вывода п. (Заметим,

п

ный путь, определяющий переменные Вг.) Мы будем также записы-

п : а ш

для ш = ш0ш1 ■ ■■шп ■ ■ ■. По определению ШУ(п) = {X € Ф | X бесконечно часто переписывается в п}. ш-язык Ь(С), порожденный ш -контекстно-свободной грамматикой С, определяется как

Ь(С) = {ш € X* I А ^ь ш}и{ш € Xш | п : А ш, ШУ(п)ПЕ = 0} ■

ш-язык Ь называется ш-контекстно-свободным, если он порож-шш ляется подмножеством Xш. Здесь от — подмножество X* и Xш.)

Соответствие между ш-адгебраической систем ой над А^*)) х хА{^ш)) и ш-контекстно-свободной грамматикой такое же, как обычно (см. также часть II [2, перед теоремой 3.8]). Поста-

ш

С = ({у1, ■ ■ ■, уп}, X, Р, уу, {у1, ■ ■ ■, ук}) ш-алгебраическую систему уг = Рг(у1, ■ ■ ■, уп) 1 ^ г ^ п над А{{X*)) х А^Г^) посредством

(рг, а) = 1, тел и уг ^ а € Р, и (рг, а) =0 — в противном слу-

ш

уг = Рг(у1, ■■■, уп), 1 ^ г ^ П ш-контекстно-свободную грамматику Су,к = ({у1, ■■■, уп}, X, Р, уу, {у1, ■ ■■, ук}), 1 ^ з ^ п 0 < к ^ п

посредством у г ^ а, есл и (рг, а) = 0.

шС шанную ш-коптекстпо-свободпую грамматику С1 следующим образом. Пусть С = (Ф, X, Р, А, Е), где без потери общности Ф = {уь^, уп}, А = уу и Е = {у1, ■ ■ ■, ук}■ Тогда С =

= (п, X, Р', з, к), где Р' определено следующим образом. Пусть

уг ^ а = шоуг-1 Ш1 ■■■ш—1уг1 шг € Р, где уг, угг, ■ ■ ■, угь € Фи

15

шо, Wl, ..., wt £ X*. Тогда определим следующее множество продукций

= {Хг ^ ШоЖг!Ш1 . . . Ш^ХкWt}U и {гг ^ Шогг!, гг ^ шоХгг гг ^ шоХгг Ш1Хг2 . } ,

и, кроме того,

Р = и иУ^а.

уг^аеР

Очевидно, что для бесконечного левостороннего вывода Уг ^Ь ш, Ш £ X* В С, существует конечный левосторонний ВЫВОД Хг ^Ь ш в С', использующий только Х-продукции. Кроме того, для каждого бесконечного левостороннего вывода в С

уг ^Ь р IУг 1Т1 ш1уг1 Т1 ^Ь Ш1 р 2уг2Т2Т1 ^*Ь Ш1Ш2Уг2Т2Т1 ^Ь Ш1Ш2 рЗУгзТэТ2Т1 ^Ь — ,

где уг есть 0-я, а уг^ — з’-я значимая переменная, существует следующий бесконечный левосторонний вывод в С':

гг ^Ь Р 1гг1 ^Ь Ш1 гг1 ^Ь Ш1 Р2гг2 ^Ь Ш1 ш2гг2 ^Ь ш1ш2 РЗггз ^Ь . . . ,

при этом, если в р г перемениые у заменить па Х, то получИМ Рг■ Здесь гг ^ Р 1гг1 £ иуг^в1Уг1 У1 и гг] ^ Р^'+1гг^+1 £ иуг, ^в]+1Уг^+1 У]+1- Оба бесконечных левосторонних вывода порождают Ш1Ш2Шз ... £ Хш.

Обратно, для каждого бесконечного левостороннего вывода гг ш в С' аналогичным образом существует конечный левосторонний вывод в С уг ш, ш £ Хш. Более того, если Р' является

несвязным объединением иуг^а для всех уг ^ а £ Р, то соответствие

С С'

однозн ачно.

Для бесконечного левостороннего вывода п в ш-контекстно-сво-бодной грамматике С определим ШБУ(п) = {уг £ Ф \ уг встречается бесконечно часто как значимая переменная в п}. Ясно, что если для всех бесконечных левосторонних выводов п в ш-контекстно-свободной грамматике С = (Ф, X, Р, А, Е) имеем ШУ(п) П Е = 0 тогда и только тогда, когда ШБУ(п) П Е = 0, то р(С') = Ь(С), где С' — смешанная ш-контекстно-свободная грамматика, индуцирован-С

Теорема 3.3. Пусть Су,к = ({уъ ..., уп}, Х,Р, уу, {у1, ..., ук})

1 ^ 3 ^ п, 0 ^ к ^ п — ш-контекстно-свободная грамматика иуг = = Рг(у1, ..., уп)> 1 ^ г ^ п — соответствующая ей ш-алгебраическая система над В((Х*)) х В((ХШ)). Предположим, что для каждого бесконечного левостороннего вывода п имеем Ш^п)П{у1,... ,ук} = = 0 тогда и только тогда, когда ШЗУ(п) П {у1,... ,ук} = 0. Пусть (а, т) — решение порядка к, 0 ^ к ^ п ш-алгебраической системы над (В((Х*)), В((ХШ))), индуцированной системой уг = рг, 1 ^ г ^ п. Тогда Ь(Су,к) = а у + т^, 1 ^ з ^ п, 0 ^ г ^ к.

Теорема 3.4. Пусть О-,к = ({ух, уп}, Х,Р, у-, [ух, ук}),

1 ^ .] ^ п, 0 ^ к ^ п — ш-контекстно-свободная грамматика и

У г = Рг(у\, ■■■,Уп), 1 ^ г ^ п — соответствующ ая ей ш-алгебраическая система над Щ^{{'Е*)) х М^{{£ш)). Предположим, что для каждого бесконечного левостороннего вывода п имеем ШУ(п) П [ух, ..., у к} = 0 тогда и только тогда, ко гда ШЗУ(п) П П [ух, ..., ук} = 0. Обозначим через й-(ш), ш е X* (соответственно ш е Т*ш) число (возможно ж) различных конечных левосторонних; выводов (соответственно бесконечных левосторонних выводов п таких, что ШЗУ(п) П [ух,... ,ук} = 0) из переменной у-,

1 ^ ^ п. Тогда

Заметим, что если к = п или п = 1, то ШУ(я) П {у1,..., ук} = 0 тогда и только тогда, когда ШБУ(п) П {уі,..., ук} = 0 для всех п.

Пример 3.1 (см. также [9, пример 3.1.6]). Рассмотрим ш-алгебраическую систему над В((£*)) х В((£ш)), ще £ = {а, Ь}: уі = ауіЬ + аЬ, у2 = уіу^. Она индуцирует смешанную ш-алгебраи-ческую систему над (В((£*)), В((£ш))) х1 = ах1Ь + аЬ, х2 = х1х2і г1 = аг^ г2 = г1 + х1г2. Наименьшее решение системы х1 = ах1Ь+аЬ,

х2 = х1х2 определяется как а = (52п^1 апЬп, 0) . г-уравнения мо-

ш-контекстно-свободная грамматика О, соответствующая ш-ал-гебраической системе, имеет продукции ух ^ аухЬ, ух ^ аЬ, у2 ^ уху2 ■ Бесконечные левосторонние выводы:

0) ух аухЬ ^ь ааухЬЬ ^ь ... апухЬп ^ь ..., то есть

ух аш с повторяющейся переменной ух;

у1

у1 у1 у2

стартовая переменная, то Ь(С1д) = Х]п>1 апЬп + а^п Ь(С2д) =

у1 у2 у1 у2

пая, то снова получим Ь(С1^) = 'Пп>1 апЬп + а^и ^(^2,2) =

17

и

тЄТ*

гут быть записаны в виде г = Мг, где М

(и) у2 у1у2 ^*ь апЬпіу2 =>ь апЬпіуу ^*ь апіЬпі ...

... апгЬпьу2 ^ь ..., то есть у1 апіЬпі ... апіЬпі... с повторяю-

у1 , у2

(ііі) у2 ^*ь апіЬпі ...апЬпу2 ^ь апіЬпі ...апЬпіуу

апіЬпі ...апіЬпаш, то єсть у2 апіЬпі ...апЬпаш, і ^ 0 с

соответственно. Еслрі повторя-

соответствеппо. Сравпрім это

18

с решениями порядка 1 или 2 ш-адгебрапческой системы у\ = = аУ1Ъ + аЪ, у2 = У1У2: (Ега>1 апЪп, °)Т + (аТ, (£п>1 апЪп)а>аТ)Т

или (Еп^1 anЪn, °)Т + (а™, (Еп>1 аПЪП)Ш + (Еп^1 аПЪиУ аШ)Т соответственно. Если у1 — едпнственная повторяющаяся переменная и У2 — стартовая переменная, то член ('%2п^1 апЪп) отсутствует.

у1

ное слово апэ Ъпэ посредством конечного левостороннего подвывода

У1 апэ Ъп и нигде не является значимой переменной.

Если все переменные — повторяющиеся, то это не имеет значения: каждый бесконечный левосторонний вывод приводит к порождаемому языку. Следовательно, если повторяющимися переменными являются У1 и У2, а У1 или У2 — стартовая переменная, то бесконечные часта решений порядка 1 или 2 соответствуют порождаемым языкам по теореме 3.3. □

В следующем примере существует только одна переменная. Следовательно, мы можем применить теоремы 3.3 и 3.4.

Пример 3.2. Рассмотрим ш-адгебрапческую систему У1 =

= аУ1У1 + Ъ над {{£*)) х М^{{£ш)), где £ = {а,Ъ}. Наи-

меньшее решение алгебраической системы х1 = аж1®1 + Ъ над М^{{£*)) определяется как а = О*Ъ, где О — характеристический ряд ограниченного языка Дика (см. Вегз1е1 [6]). Смешанная ш-алгебрапческая система над (Мте{{£*)),М^{{£ш))) х1 = ах1х1 + Ъ, г1 = аг1 + ах1г1 имеет решение порядка 1 (О*Ъ, (а + ах1)Т(О*Ъ)) = = (О*Ъ, (а + аО*Ъ)Т) = (О*Ъ, (а + О)Т) так как аО*Ъ = О.

ш

У1 = аУ1У1 + Ъ, имеет продукции У1 ^ аУ1У1, У1 ^ Ъ и порождает язык О*Ъ + (а + О)Т = О*Ъ + (а*О)Т + (а*О)*аш.

Поскольку каждое слово в (а*О)* ж в (а*О)ш имеет единственную факторизацию на слова в а*О, то все коэффициенты в О*Ъ+(а+О)Т

ш

дукциями У1 ^ аУ1У1, У1 ^ Ъявляется «однозначной» ш-контекстно-свободпой грамматикой. □

Пусть (А, V) — непрерывная пара полукольцо со звезд ой- омега-полумодуль. Проверим решения порядка к: если (а, ш) — решение порядка к А'-адгебрапческой системы над А х V, то а € А\$(А) и ш — к-е теоретико-автоматное решение конечной ЭД^А^-линейной

ш

ш = ^21<]<т 8з] г'п,е 8з, € ЭТа^Ш^А')) = А\$(А'). Следователь-

но, опять по теореме 4.9 часта V [о] получаем следующий результат.

Теорема 3.5. Пусть (А, V) — непрерывная пара полукольцо со звездой-омега-полумодулъ. Тогда следующие утверждения эквивалентны для (в, V) € А х V:

(г) (в, V) = ||А||, где А — конечный Шд(А')-автомат;

(И) (в, V) € ш-Шд(А');

(т) в € Ш$(А') и V = ^ 1<к<т вкгде вн, Ън € Ш$(А').

Теорема 3.6. Пусть (А, V) — непрерывная пара полукольцо со звездой-омега-полумодулъ. Тогда ш-А^(А') — обобщенное квеми-колъцо со звездой.

Доказательство. Поскольку по предположению 0, 1 Є А, то мы заключаем, что 0, 1 Є ш-А\$(А). Предположим теперь, что (о"і, ші) и (о2, ш2) лежат в ш-А^(А'). Тогда то теореме 3.5 0"і, 02 Є

Є Ш^(А) Ж ші = ^ 1^к^т1 ^ , ш2 = ^21^к^т2 8Ї+2 ДЛЯ

„1 „2 +1 +2 „к, „к, +к, +к

рых вк, в\, і^, ік Є Ш$(А). Получим

(о1, ш1) + (о2, ш2) = (о1 + о2, 22 вк4Ш + 22 вк+кШ)

1^к^ші 1^к^Ш2

(о1, ш1) • (о2, ш2) = (0102, 22 вк+кШ + 01 • 22 вк+кШ) ■

1^ к^ті 1^ к^Ш2

Следовательно, (01, Ш1) + (02, Ш2) ж (01, Ш1) • (02, Ш2) снова ле-

жат в ш-А\%(А).

Кроме того,

(01, Ш1)1 = (01, 0)

ж

(01, ш1)0 = (01, ^ + 0і • 22 +кШ) ■

1^ к^ті

Следовательно, (01, Ш1)^ и (01, Ш1)® снова лежат в ш-АІ^(А) и

ш-АІ$(А) рационально замкнуто. □

Замечание 3.1.5, определение 2.2.1 и теорема 4.1.8(а) різ работы [9] її теорема 3.5(ііі) дают следующий результат.

Теорема 3.7. СРЬШ = [Ь0 С £ш \ Ь0 Є Вш~а19((£*, £ш)), £ -алфавит].

Пусть і Є Ва1®((£*))■ Тогда і есть Х2-комионента наименьшего решения алгебраической системы хі = рі(х2, ..., хп), 2 ^ і ^ и, над Ва1®((£*))■ Рассмотрим ш-алгебранческую систему над В((£*)) х хВ((£ш))

У1 = У2У1, Уі = Рі(У2, ...,Уп), 2 < і < и

ш

(В((£*)), В((£ш)))

^1 = ^2 + Х2Х1, Хі = (Рі)х(х1, ..., Хп, г1, ..., гп), 2 ^ і ^ и, х1 = х2х1, хі = рі,(х2, ..., хп), 2 ^ і ^ и.

Первая компонента наименьшего решения системы Х\ = х2х\, хг = = Рг(х2, ..., хп), 2 ^ г ^ и, равна 0. Вычислим теперь решение порядка 1 системы г\ = г2 + х2г\, хг = (Рг)х{х\, ..., хп, г\, ..., гп),

19

2 <

20

г

(

М =

V

^ п. Запишем

х2 £ 0 ... 0

0

М'

0

Следовательно, первая компонента мат-

/

рпцы МШ1 равна х^, а первая компонента решения порядка 1 определяется как (0, £ш).

Рассмотрим теперь ш-контекстно-свободную грамматику О, соответствующую системе У1 = У2УЬ Уг = Рг, 2 ^ г ^ П, СО МНОЖвСТВОМ повторяющихся переменных {У1} И СТарТОВОЙ переменной У1. Единственный бесконечный левосторонний вывод п, где У1 встречается бесконечно часто, имеет вид

п : У1 У2У1 '^1У1 ^1У2У1 ^*ь 'Ш1 W2Уl . . .

Единственная значимая переменная такого вывода п есть У1, то есть ШБУ(я) = {У1} и ШБУ(тг) П {У1} = 0, если IКУ(я) П {у1 } = 0.

Следовательно, Ь(01^) = по теореме 3.3.

Обычные ПОСТрОеНИЯ ДаЮТ ТОГДа ДЛЯ в + V, ГДе V = ^1^к^п вк; в, вк, 1к € Ва1§{{£*)), ш-контекстно-свободную грамматику 0' такую,

что Ь(0') = в + V.

Следовательно, мы дали построение, снова доказывающее теорему 3.7. Но вдобавок к этому 0' имеет то приятное свойство, что для любого бесконечного левостороннего вывода п получим ШБУ(п) П Е = 0 тогда и только тогда, когда ШУ(я) П Е = 0, где Е — множество повторяющихся переменных в О'.

4. Трансдукции и абстрактные ш-семейства степенных рядов

В дальнейшем (А, V) и (А, У) будут обозначать пары полукольцо-полумодуль, а ^ и 7 (соответственно I), возможно снабженные индексами, будут обозначать конечные (соответственно произвольные) множества индексов. Отображение (На, Ну) пар полукольцо-полумодуль (из (А, V) в (А, V)) определяется отображениями На : А ^ А и Ну : у ^ V. Пусть (А, у) и (А, V) — пары полукольцо со звездой-омега-полумодуль. Тогда такое отображение (На, Ну) называется морфизмом пар полукольцо со звездой-омега-полумодуль (из (А., у) в (А, V)), тел и На : А ^ А — морфизм полуколец, Ну : у ^ V — морфизм моноидов, и следующие условия выполняются для всех в € А, V € у:

0) На (в) Ну (V) = Ну в);

(и) НА(в)* = НА(в*);

(ш) НА(в)ш = Ну(вш).

Пусть теперь (у, V) и (А, V) — полные пары полукольцо-полу-модуль. Тогда отображение (На, Ну) пар полукольцо-полумодуль (из

(А, У) в (А, V)) называется морфизмом полных пар полукольцо-полумодуль (из (Ах, V) в (А, V)), тел и На : А — А — морфизм полуколец, Ну : V — V — морфизм моноидов и следующие условия ВЫПОЛНЯЮТСЯ ДЛЯ всех в, Зі Є А, V Є V:

(i) На(з)Ну (V) = Ну в)

(ii) ^2ієіНа(зі) = На(Еієіві);

(iii) ГЬі На(зі) = НУ(Пі>1 ві)-

Отображение (На, Ну), где На : А — А®іх®'2 и Ну : V —

— V® , продолжим до (НА, Н'у), где Н'а : А®1х®2 — А(^іх^і)х(^2х^з) и НУ : V® — V^х^', посредством НА(М)(ді)^2^) = НА(Мдид2)^>д>2 и Ну(Р)(д,ді) = Ну(РдV для М Є Е®іх®2, Р є У®, ц Є Оі, і2 Є 02, іі є Оі, з2 є Я2, і є 0, і є 0'-

Пусть ді = 3 Я11 п°І = 0 Для іі = Зі д2 = ^і2^2 3

03 П О21 = 0 для З2 = і2, и произведем разбиение матрицы М Є

32 32 2

Є Е®іх®2 Я1 Я2

ки М(Оі, 022) то есть запишем М = (М(031, 0%))з1єл1,з2єл2-Тогда легко показать, что Н'а(М) = (Н'а(М(03-і, 0%)))з1єл1,з2єл2-Если Р Є Е® разбит па блоки Р(031), то есть Р = (Р(031 ))з1ел1,

то Н'у(Р) = (Н'у(Р(0І1 )))ПЄЛ1.

В дальнейшем мы будем использовать одинаковые обозначения для отображений (На, Ну) и (Н'а, Н'у).

Теорема 4.1. Пусть (А, V) и (А, у) — пары полукольцо со звездой-омега-полумодуль и пусть (На, Ну), где На : А — Ап хп и Ну : V — Vп , — морфизм пар полукольцо со звездой-омега-полумодуль. Тогда продолжение отображения (На, Ну), где На : Апхп — А(пхп1)х(пхп1) и Ну : уп — V(пхп1), - снова морфизм пар полукольцо со звездой-омега-полумодуль.

Доказательство. Легко устанавливается, что На : Апхп ^ ^ А(пхп )х(пхп) _ м0рфизм полуколец и Ну : Уп упхп — морфизм моноидов. Пункт (1) условий в определении морфизма пар полукольцо со звездой-омега-полумодуль также легко доказывается. Докажем только пункты (и) и (Ш) индукцией по п.

Для п = 0, 1 теорема очевидна. Если п > 1, разобьем М е Апхп согласно (1). Получим

на(мг=('нам нАй)*=(а в)=ца %))=

= На(М*),

21

где

а = (Нл(а) + Ьа(Ь)Ьа(()*Ьа(с))* = Нл(а')

5 = (Ьа(() + На(с)На(о)*На(Ь))* = Ьа(5'); в = На(о)*На(Ь)5 = Ьа^'У, у = НА((1)*Ь,А(с)а = Ьа(у');

а = а + Ь(*с; 5' = (I + еа*Ь; в' = а*Ь5'; у' = (1*еа!,

22

Ьа(М г =

Ьа (а) Ьа(Ь) Ьа(с) Ьа((

а

= Ьу (

а

в'

) = Ьу (М ш)

где

а = (ЬА(а) + Ьа(Ь)Ьа(<1)* Ьа(с))ш + + (Ьа(о) + Ьа (Ь)Ьа(()*Ьа(с))*Ьа(Ь)Ьа(()ш = = Ьа (а')ш + Ьа(о")Ьа ((,)ш = Ьу (а'ш) +

+ Ьа(о")Ьу ((Г) = Ьу (а'ш) + Ьу (аЧш) = Ьу (а'ш + а''(Г)

7*

а' = а + М*е; а!' = (а + Ы* с)* Ь;

в = (Ьа(() + ЬА(с)ЬА(а)*ЬА (Ь))ш +

+ (Ьа(() + Ьа(с)Ьа (0)*Ьа (ь)) * Ьа (с) ЬА(а)ш =

= Ьа (в'Г + Ьа (в'' )ЬА(а)ш = Ьу (в'ш) + ЬА(в'')Ьу (аш) =

= Ьу (в'ш) + Ьу (в''аш) = Ьу (в'ш + в''аш); в' = (( + см*Ь)ш ; в'' = (( + са*Ь)*с.

. . □ Следствие 4.2. Пусть (А, V) и (А, V) — пары полукольцо со звездой-омега-полумодуль и пусть (Ьа, Ьу), где Ьа : А ^ А и Ну : V ^ V, — морфизм пар полукольцо со звездой-омега-полу-модуль. Тогда продолжение отображения (Ьа, Ну), где На : Апхп ^ ^ Апхп и Ну : Vп ^ Уп, — снова морфизм пар полукольцо со звездой-омега-полумодуль.

Доказательство. Положим п' = 1 в теореме 4.1. □

В следующей теореме рассмотрим матрицу М'Шкп' для М' е Е А(пхп)х{пхп) ^ о ^ к ^ п. Эта матрица определена следующим образом (в соответствии с (1)): разобьем М' на блоки М' = аЬ с (

цы М' с индексами (1, 1), ..., (1, п'), ..., (к, 1), ..., (к, п') а ( есть (п — к, п') х (п — к, п') и содержит элементы матрицы М' с индексами (к + 1, 1), ..., (к + 1, п'), ..., (п, 1), ..., (п, п'). Тогда

, где а есть (к х п') х (к х п') и содержит элементы матри-

М'Шкп' =

(а + Ь(*с)ш (*с(а + Ь(*с)

Теорема 4.3. Пусть (А, V) и (А, V) — пары полукольцо со звездой-омега-полумодуль и пусть (На, Ну), где На : А ^ Ап хп и Ьу : У ^ Vп , — морфизм пар полукольцо со звездой-омега-полу-модуль. Тогда Ьа(М)шкп> = Ьу(МШк) для М е Апхп.

си

в

Доказательство. Разобьем М є Апхп та блоки: М = ^ ^ ^ где а теть к х к и (I есть (п — к) х (п — к). Получим тогда

ьаМ) = (На Іт ) є

Ьл (М )Шкп> = ( (ЬА(а) + Ьа(Ъ)Ьа(Л)*Ьа(с))Ш

Ьа(М ) =1 ПА(йуНА(е)(НА(а) + На(Ъ)На(^)*На(о)У

ІА(а + Ъ(!*с)ш \ = ( IV ((а + Ъй*е)ш)

Ьа(^с)Ьа(а + Ъ(1*с)ш ) = 1 Ьа^с)^((а + Ъ(1*с)ш)

= ( ^((а + М*с)ш) \ = ъ(( (а + Ы*с^ \ ) = ()

= ^ IV (й*с(а + Ъй*с)ш) ) = ^(\ й*с(а + Ъй*с)ш ) ) = ^(М )'

Далее (А, V) и (А, V) обозначают пары полукольцо со звездой-омега-полумодуль, а А', А' обозначают подмножества в А и А.

Морфизм (Ьа, IV) пар полукольцо со звездой-омега-полумодуль называется (А', А')-щциональным ((А, А')-алгебраическим), если для всех в є А', На(в) є ^аї(А)^х(^ (ІА(в) є Шд(А')®х®).

Если А = А, V = V ж А = А, то этот морфизм называется

А' А'

Теперь можно ввести понятие рационального и алгебраического трансдуктора над парами полукольцо со звездой-омега-полумодуль.

(А', А')-рациональный трансдуктор (над парами полукольцо со звездой-омега-полумодуль (А, V) и (А, V))

Т =(п', I', (Ьа, IV), Р')

определяется через:

(i) конечное множество состояний {1,... ,п'}, п' ^ 1;

(ii) (А, А')-рационадьный морфизм (Ьа, IV) пар полукольцо со звездой-омега-полумодуль, где Ьа : А ^ АПхП ж IV : V ^ Vй';

(iii) I' є ЭТаї(А)1хп — вектор начальных состояний;

(іу) Р' є ^аі(А)п'х1 — вектор конечных состояний.

Отображение ||Т|| : А х V ^ А х V из квемикольца А х V в кве-микольцо А х V, реализуемое (А, А')-рациональным трансдуктором

Т = (п', I', (Ьа, IV), Р'), определяется посредством

||Т||((в,^}} = (і'ІА(в)Р', I'Ьу(у)), в є А, у є V.

23

Мы будем также использовать обозначение

||Т||(в + у) = I'На(з)Р' + I'Ну(у).

Заметим, что ||Т||(в, 0) = (ГНа(з)Р', 0) и ||Т||(0, у) = (0, 1'Ну(у)). Следовательно, ||Т||(в + у) = ||Т||(в) + ||Т||(у).

Отображениет : АхУ ^ Ах V называется (А', А')-рациональной трансдукцией, если существует (у, А')-рациональный трансдуктор Т такой, что т((в, у)) = ||Т||((в, у)) для всех в £ А, у £ у. В этом случае говорят, что т реализовано посредством Т. (А', А')-рационадьный трансдуктор (в случае А = А и А' = А) называется А'-рациональным трансдуктором и (А', А')-рациональная трансдукция называется А -рациональной трансдукцией.

(А', А')-алгебщический трансдуктор Т = (п',1', (На, Ну),Р') определяется точно так же, как (А', А')-рациональный трансдуктор, за исключением того, что (На, Ну) является теперь (А', А)-ал-гебраическим морфизмом пар полукольцо со звездой-омега-полу-модуль, и элементы из I' ж Р' лежат в А\д(А). Определения понятий (А', А')-алгебщической трансдукции, А'-алгебраического трансдуктора и А-алгебраической трансдукции должны быть ясны.

Покажем теперь, что (А, А')-рациональные трансдукции отображают ш-Ла1(А') в ш-‘’Ла^А').

Теорема 4.4. Пусть (А, V) и (А, V) — пары полукольцо-полу моду ль Конвея. Предположим, что Т является (А, А)-рациональным трансдуктором и что (в, у) £ ш-Ла1(А'). Тогда

||Т||((в, у)) £ ш-ть(А').

Доказательство. Пусть (в, у) — поведение конечного А'-автома-та А = (п, I, М, Р, к). Предположим, что Т = (п', I', (На, Ну), Р'). Рассмотрим теперь конечный А-автоматА' = (пхп', I'На(I), На(М), На(Р )Р', к х п'). Поскольку элем енты На (в) лежат в Ла1(А') для в £ А', то А' фактически является конечным Ла1(А')-автоматом. Следовательно, по пункту (111) теоремы 4.9 часта V [о], существуют в, tk, вк £ Ла1(Ла1(А')) = Ла((А') такие, что ||А|| = в^Е вк^к-

Это влечет ||А'|| е ш-Ла1(А'). Получаем

||А'|| = I' На(1)На(М)* На(Р)Р' + ГНа(Г)На(М)шьп' =

= I 'На^ )На(М *)На(Р)Р' + I 'На^ )Ну (М Шк) =

= ГНа(Ш*Р)Р' + ГНу (ШШк) = ||Т||(||А||).

Справедливость второго равенства здесь следует из теоремы 4.1, а третьего равенства — по теоремам 4.1 и 4.3. Следовательно, ||Т||(||А||) е ЯаКА% □

Рассмотрим теперь функциональную композицию А'-рациональ-

ных трэ.нсдукции.

Теорема 4.5. Пусть (А, V) — пара полукольцо со звездой-омега-полумодуль. Тогда семейство А'-рациональных трансдукций замкнуто относительно функциональной композиции.

Доказательство. Пусть Т' = (и', I', (Н'а, Н'у), Р') и Т'' = = (и'', I'', (Н'А, Ну), Р'') — два А'-рациональных трансдуктора. Мы хотим показать, что отображение т : А х V ^ А х V, определенное посредством т((в, у)) = ||Т''||(||Т'||((в, у))), в Е А, V Е V, снова А'

Рассмотрим Т = (и' х и'', 1''Н'А(I'), (Н'А ◦ Н'а, Н'У о Н'у), Н'А(Р')Р'').

По теореме 2.3 части IV [4] и по теореме 4.3 отображение (Н'А о Н'а, Н'У о Ну) — А'-рациональный морфизм пар полукольцо со звездой-омега-полумодуль. Кроме того, элементы из 1''Н'А(I') и Н'а(Р')Р'' лежат в <^^(А'). Следовательно, Т есть А'-рациональный траттсдуктор над парами полукольцо со звездой-омега-полумодуль. Получим для в Е А, у Е V

иш* + у) = I ''Н'А (I ')н'а (НА(з))Н'А (Р')Р'' +1 ''н'а (Г)Н'у (Ну (у)) =

= р'н'А (Рн'а (в)Р')Р'' +1 ''ну (I' ну (у)) =

= I "н'а (||Т'||(*))Р''+1 "н'у (пад^ ттк*+у)).

Следовательно, наша теорема доказана. □

Предположим, что (Аг, Уг) — пары полукольцо со звездой-омега-полумодуль иА^ С Аг, I = 1, 2, 3. Тогда по аналогии с доказательством теоремы 4.5 получим следующий результат: если т1 — (А\, А'2)-рациональная трансдукция и т2 — (А'2, А'3)-рациональная трансдукция, то композиция т1 и т2 является (А'1, А'3)-рациональной трансдукцией.

Покажем теперь, что (А', А')-алгебраические трансдукции отображают ш-А1й(А') в ш-А1й(А'). Доказательство аналогично приведенному в теореме 4.4.

Теорема 4.6. Пусть (А, V) и (А, V) — непрерывные пары по-лукольцо-полумодуль, Т — (А', А')-алгебраический трансдуктор и (в, у) Е ш-Шд(А'). Тогда ||Т||((в, у)) Е шЯ!д(А').

Доказательство. Пусть (в, у) — поведение конечного А'-автома-та А = (и, I, М, Р, к). Предположим, что Т = (и', I', (На, Ну), Р'). Рассмотрим теперь конечный А-автоматА' = (ихи', РНа(I), На(М), На(Р )Р', к х и'). Поскольку элем енты На (в) лежат в А1д (А') для в Е А', то А' является фактически конечным А[д(А')-автоматом. Следовательно, по пункту (Ш) теоремы 3.5 существуют в, , вк Е Е А1д(А1д(А')) = А1д(А') такие, что ||А|| = в + Е Это

влечет ||А'|| Е ш-А1д(А'). Получим ||А'|| = ||Т||(||А||), как в доказательстве теоремы 4.4. Следовательно, ||Т||(||А||) Е А1д(А'). □

А'

ческих траттсдукций. Доказательство следующей теоремы аналогично доказательству теоремы 4.5.

25

Теорема 4.7. Пусть (А, V) — непрерывная пара полукольцо-полу модуль. Тогда семейство А'-алгебраических трансдукций замкнуто относительно функциональной композиции.

Доказательство. Пусть Т' = (п', I', (Н'а, Н'у), Р') и Т'' = = (п'', I'', (Н'А ,Ь!у), Р'') — два А'-алгебраических трансдуктора. Мы хотим показать, что отображение т : А х V ^ А х V, определенное посредством т((з, у)) = ||Т''||(||Т'||((з, у))), з Е А, V Е V, снова А'

Рассмотрим Т = (п' х п'', 1''Н'А(I'), (Н'А о Н'а, Ну о Н'у), Н'А(Р')Р'').

По теореме 2.6 части IV [4] и теореме 4.3 отображение (Н'А о Н'а,Н'У о Н'у) — А'-алгебраический морфизм пар полукольцо со звездой-омега-полумодуль. Кроме того, элементы I''Н'А (I') и Н'а (Р')Р'' лежат в Ша(А'). Следователь но, Т — алгебраический А'

Имеем для з Е А, V Е V ||Т||^ + у) = ||Т''||(||Т'||(з + у)), как в доказательстве теоремы 4.5. □

Пусть (Аг, Уг) — непрерывные пары полукольцо-полумодуль и Аг С Аг, I = 1, 2, 3. По аналогии с доказательством теоремы 4.7 получаем: если т1 — (А1, А2)-алгеб^ическая трансдукция и т2 — (А'2, А!3)-алгебраическая трансдукция, то композиция т1 и т2 — (А\, А'3)-алгебраическая трансдукция.

А

цом, Ете — бесконечный алфавит иЕ С Ете — конечный подалфавит в Е. Все элементы могут быть индексированы. Следовательно, по теореме 5.5 части V [5] (А((Е*,)), А((Е^))) до конца этой главы будет полной парой полукольцо-полумодуль.

Определим

А{{Е^,}} = {з Е А((Е*^)) | существует конечный алфавит Е С Ете

такой, что вирр(з) С Е*}

А{{Е^ }} = {у Е А((Е^)) | существует конечный алфавит Е С Ете

такой, что вирр(у) С Еш} .

Тогда (А{{Е^,}},А{{Е^}}) — пара полукольцо со звездой-омега-по-лумодуль. Пусть А((Е*)) С А{{Е|!0}} и А((ЕШ)) С А{{Е^}}.

А

звезда-омега-полукольцо. Определим теперь в дополнение к подобным определениям в части IV [4]

есть конечный алфавит Е С Ете И ЗкЕ Аа^((Е*)) такие, ЧТО V = Е 1^к^т Зк} , А {{Ете}} = {у Е А{{Ете}} | есть конечный ал фавит Е С Е^

и Зк^к Е Ага1((Е*)) такие, что V = Е 1^к^т Зк££} , А{Е^} = {з Е А(ЕШ) | Е С Е^ конечно} .

Пара (На, Ну) отображений На : ХО ^ (А{{Х0о)))п хп и Ну : ХО ^ (А{{ХО)))п называется представлением, если удовлетворяются следующие условия:

(1) отображение На — такой мультипликативный морфизм моноидов, что существует конечное Х С Хо такое, что На(х) = 0 для

х € Хо Х,

(и) На(^)Ну(и) = Ну(ти) для всех т € ХО, и € Х0;

(ш) Пг^о На^ъ) = Ну (Пг^о тг) для всех тг € Х*о, г ^ 0.

Заметим, что если (На, Ну) — представление, то существует лишь конечное число элементов На(х)ъ,з = 0, х € Хо. Следовательно, существует конечное Х' С Хо такое, что НА(т)%^ € А{{Х'*)) для всех т € Х^. Представление (На, Ну) называется рациональным (алгебраическим), если На : ХО ^ (А^^ХО}})^^ (На : ХО ^

^ (Аа1§{{Х0}})п/хп/).

Представление (На, Ну) может быть продолжено до отображения (ца, Цу), где ца : А{{Х0)) ^ (А{{Х0}})п/хп^ Цу : А{{Х0)) ^ ^ (А{{Х^}})п согласно определениям:

^а(э) = рл( 22 =22 ® Ьа(^), в Є Л((Х^)),

, ,т)

Цу (V) = Цу ( Е (V, и)и) =22 (1],и) ® Ну (и), V € А{{Х0)) ■

ивЯ£ ивЯ£

Здесь ® обозначает произведение Кронекера (см. КшсЬ, Ба1отаа [18]). Если (На, Ну) — представление, то его продолжение обозначается уже через (ца, Цу)■ Это применимо также к индексированным символам Ни ц.

Заметим, что в следующей теореме ((А{{Х0}})п хп , (А{{Х0}})п )

— полная пара полукольцо-полумодуль по теореме 5.6 часта V [5].

А

полукольцо. Если (На, Ну) — представление, то (ца, Цу) — морфизм полной пары полукольцо-полу модуль из (А{{Х0}}, А{{Х0}}) в

((А{{Х0}})п/хп/, (А{{Х0}})п/)■

Доказательство. Легко показать, что ца — морфизм полуколец и Цу — морфизм моноидов. Кроме того, получим для всех в, вг € € А{{Х0}} И V € А{{Х0}

(1) ЦА(в)цу(V) =

= (Еыв^ (в, т) ® НА(т))(£ие^ш (У, и) ® Ну (ь)) =

= ЕЕ„еЕ“ (в, w)(v, и) ® НА(т)Ну(и) =

= Еыв£* ЕпвЪ£ (в, w)(v, и) ® Ну (ти) ■

27

Здесь мы прріметшлрі теорему 4.33 різ [18] во втором равенстве, рі

28

то есть (п)

ИV (ву) = ИУ ((Е иЄЕ^ (*’ м)м)(Е «ЄЕ- и)и)) =

= ИУ (Е иЄЕ^ Е пЄЕ£ (^ и)ми) =

= ЕиЄЕ^Т<иЄЕ£ (8> ™)(У> и) ® НУ(ми) >

ИА^)ИУ (V) = ИУ №))

Т.ІЄІ ИаЫ =

= Еієі ИА(ЕиЄЕ^ (зі> м)м) =

= Е іеіЕив^ ^І, м) ® НА(м) =

= ЕиЄЕ* (Еієі(^ м)) ® НА(м) =

ИА(Е

ієі ві) ;

(ііі) Пі>і ИаЫ =

= Пі^іЕигеї*х((8І’ ші) ® На(мі)) =

= Е(иьи^.^ЄЕ^хЕ^х... Пі^1((зі, м) ® НА(мі)) = = Е(иь^^ОєЕ^хЕ^х... Пі^1(^, Мі) ® ПІ>1 На(мі)

ТО єсть

ИУ (Ц І>1 Зі') =

= ИУ (ПІ>1 ЕтЄЕ^ (8І’ МІ)МІ) =

= Иу(Е(иі.^...^ЄЕ^хЕ^х... Пі^1((^, Мі)Мі)) =

= ИУ(Е(и1 .и^.^ЄЕ^хЕ^х... Пі^1(зі, І>1 =

= Е(иі, и2,...)ЄЕ£0хЕ£0 х...Пі>1(*, Мі) ® Ну (ПІ>1 ,

ПиаЫ = ИУ (П -ві) ■

І>1

І>1

Конкретизируем теперь понятия А'-рацпонального и А'-алгебра-ического трансдукторов для фикспрованнного полукольца А и фиксированного алфавита £те. Рациональный трансдуктор

Т = (п', I', (На, Ну), Р')

определяется через

(і) конечное множество состояний {1, ..., п'} П ^ 1;

(И) рациональное представление (На, Ну);

(ііі) I' Є (Ага1 {{х^}})1х"/ - вектор начальных состояний;

(іу) Р' Є (Ага1{{Е^}})га/х1 - вектор конечных состояний.

Отображение ||Т|| : А((Т*СЮ)) х А((Е^)) ^ А((Т*СЮ)) х А((Е^)), реализуемое трансдуктором Т, задается посредством

НТН^ + V) = і'иа(з)Р' + і'иу (V) =

= ^ ЕиЄЕ^ ((з,м) ® НА(м))р' + ^ Е„ЄЕ- ^,и) ® НУ(и) =

= ЕиЄЕ^ м)1'НА(м)р' + ЕиЄЕа, ^, и)1'НУ(и) =

= ЕиЄЕ* ^, м)ІІШм) + Е«ЄЕ- и)ІМ(и) ■

Заметим, что существует конечное £ С £те такое, что На(х) = 0 для х € £те — £; На(х) € (А^{{£*)))п'хп' для х € £ I' € € (Ага1((£*)))1хп/ и Р' € (АгаЬ {{£*)))п’х1. Следовательно, фактически ||Т|| является отображением А{{£*)) х А{{£ш)) ^ А{{£*)) х А{{£ш)). Алгебраические тпрансдуктпоры с алгебраическим представлением (На, Ну) и I' € (Аа1§{{Е;^}})1^, Р' € (Аа1§{{£^}})п/х1 определяются таким же образом.

Рациональный или алгебраический трансдуктор Т, описанный выше, может рассматриваться как конечный автомат, оборудованный устройством вывода. При переходе из состояния г в состояние ] трансдуктор Т читает букву х € £ и выводит рациональный или алгебраический степенной ряд На(х)^. Конечная или бесконечная последовательность переходов дает па выходе произведение степетт-ных рядов отдельных переходов.

Все конечные последовательности, состоящие из п переходов из состояния г в состояние ] при чтении слова т € £*, |т| = п дают па выходе степенной ряд На('ш)^. Этот выход перемножается с подходящими компонентами векторов начальных и конечных состояний, и ЦНА('м)г,зР' называют трансляциеи слова т посредством конечных последовательностей переходов из г в ]. Суммируя, для всех г,] € € {1, п'} Е 1^г,'^п/ 1[НА(т)г,'Р' = 1'Нл(т)Р' = ||Т||(т) называ-

ют трансляцией слова т посредством Т. Степенной ряд в € А{{£^)) тогда транслируется посредством Т в Еше£* (в, т)1'НА(т)Р' = = IУА(в)Р' = ||Т||(в).

Все бесконечные последовательности переходов, начинающихся в состоянии г и читающих слово и € £ш, дают на выходе степенной ряд Ну (и) г. Этот выход перемножается с подходящей компонентой вектора начальных состояний, и 1'Ну(и)г называют транс-и

реходов, начинающихся в г. Суммируя, для всех г € {1, ..., п'} Е1^г^п/ 1'Ну (и) г = I 'Ну (и) = ||Т||(и) называют трансляцией слова и посредством Т. Заметим здесь, что если и = Пг^0 хг, хг € £&>, то I'Ну(и) = I'Пг^о На(х'). Степенной ряд V € А{{£^)) тогда транслируется посредством Т в ^ (V, и)Г Ну (и) = Гцу (V) = ||Т|| (V).

Пара степенных рядов в + V из квемпкольца А{{£^,)) х А{{£^))

Тв

V посредством Т, то теть в ||Т||(в) + ||Т||(V) = ||Т||(в + V).

Конкретизация теорем 4.4 и 4.6 дает следующий результат.

А

Т

ный (алгебраический) трансдуктор и что в € Ага1{{£^}}, V € € АгаЧ{££}} (в € Аа1§{{£^}}, V € Аа'Ц{££}}). Тогда ||Т||((вги)) € € Ага1{{£^}} х Ага1{{£^}} тШв^)) € Аа1§{{£^}} х Аа1§{{££}.

Заметим, что если А = В, то теорема 4.9 является утверждением о формальных языках.

30

Теорема 4.10. Пусть А — коммутативное полное звезда-омега,-полукольцо. Пусть (ЫА, Ну) и (Н'А, Ну) — рациональные представления с продолжениями (цА, Цу) и (ц"а, Цу) соответственно. Тогда, (На, Ну) = (ЦА ◦ ЫА, Цу ◦ Ыу) снова является рациональным представлением и его продолжения (ца, Цу) удовлетворяют равенствам ца(э) = цА(Ца(в)) в Е А{{Т1а)) и цу(у) = цу(ц'у(у)),

V Е А{{Т^)) соответственно.

Доказательство. Покажем, что все три условия в определении

(НА, Ну)

(1) Получим На(е) = цА(Н'а(£)) = ЦА(Е) = Е, где Е

и Е' — матричные единицы подходящих размерностей и для тьт Е Т*^ НА(т1т2) = цА(Н'А(^1т2)) = Ц'А(НА(т\)НА(т2)) = = ЦА (НА(т1))ЦА (Н'а(Ш2)) = На(^1)На(^2). Кроме того, существует Т С Тте такое, что На(х) = 0 для х Е Т^ — Т. В итоге, поскольку элементы Н'а(х) — рациональные степенные ряды, по теореме 4.4 заключаем, что элементы в На(х) = цА(Н'а(х)) х Е Т^ снова являются рациональными степенными рядами.

(и) Для т Е Т^ и и Е Т^ получим На(т)Ну(и) =

= цА (НА(т))Цу (Ну (и)) = цу (НА(т)Ну (и)) = ц' (Н'у (ти)) = Ну (ти). (ш) Для тг Е Т*^, г ^ 0 получим П^о НА(тг) = Пг^0 Ц'А(Н'А(тг)) =

= К (П г^0 НА(тг)) = К (Н'у (П г^0 тг)) = Ну (П г^0 тг)-

Докажем теперь последнюю часть нашей теоремы: для в Е

Е А({Т*с)и у е а{{тЗ получим цА(цА(в)) = цА(£(в, т) ® ® НА(т)) = £ше?*^(в,т) ® ЦА(НА(т)) = ЦА(в^ и цу(Цу(у)) =

= Цу (£ «еЕ“ (V,и) ® Ну (и)) = £ адеЕ“ (V, и) ® цу (Ну (и)) = Цу (и).

□

А

омега-полукольцо и пусть Т и Т' — рациональные трансдукторы. Тогда существует рациональный трансдуктор Т такой, что для каждого в + V Е А{{Т*СЮ)) х А{{Т^)), ||Т||(в + у) = ЦТ"||(||Т'||(в + у)).

Введем теперь понятие абстрактного ш-семейства степенных рядов. Перед этим необходимо ввести некоторые дополнительные определения. Любое подмножество £ квемикольца А{{Т*^}} х А{{ТМ}} называется ш-семейс^ом степенных рядов. Пусть теперь Т — рациональный трансдуктор. Тогда для каждого в + V Е А{{Т*^}} х хА{{Т^}} получим ||Т||(в + у) Е А{{Т|!0}} х А{{Т^}}. Следовательно, для ш-семейства £ степенных рядов

9Л(£) = {||Т||(в + у) | в + V Е £, Т — рациональный трапсдуктор}

снова является ш-семейством степенных рядов. По теореме 4.10 получим МЯ(МЯ(£)) = МЯ(£). Поэтому, еели £ = 9Л(£), то говорят, ш£

нальных гпрансдукций и называют его полным конусом. Теорема 4.9 немедленно дает следующий результат.

Теорема 4.12. Пусть А — коммутативное полное (непрерывное) звезда-омега-полуколъцо. Тогда квемиколъцо Ага1{{Х|1;о}} х хАга1{{ЕО}} (Аа1Н{ЕЮ>}| х Аа1§{{ЕО} является полным конусом.

Пусть (А((Е^)), А((Е^))) — полная пара полукольцо-полумодуль. Для заданного ш-семейства £ степенных рядов обозначение т?(£) будет использоваться для наименьшего ш-рационального замкнутого квемикольца, которое также замкнуто относительно рациональных трансдукций и содержит £. Очевидно, что 3"(£) снова является ш-семейством степенных рядов, ш-семейст во £ степенных рядов называется полным абстрактным ш-семейством степенных рядов, если £ = £(£). Это определение приводит к последнему результату этой статьи. Из теорем 4.12, 4.9 часта V [о] и 3.6 данной часта оно влечет следующую теорему.

А

рывное) звезда-омега-полуколъцо. Тогда квемиколъцо Ага1{{Е^}} х хАга1{{ЕОО}} Аа1Н{ЕЮ>}} х Аа1®{{ЕОО} есть полное абстрактное ш

31

Исследование частично поддержано акцией Австро-Венгерского научнопедагогического сотрудничества, проект 530eUl.

Supported by Aktion Osterreich-Ungarn, Wissenschafts- und Erziehungs-koopemtion, Projekt 530eUl.

Список литературы

1. Алеитиков С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы I: полукольца Конвея и конечные автоматы // Вестник Калининградского государственного университета. Вып. 3. Калининград. 2003. С. 7-38.

2. Алеитиков С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы II: непрерывные полукольца и алгебраические системы // Там же. Вып. 1—2. Калининград, 2005. С. 19—45.

3. Алеитиков С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы III: магазинные автоматы и формальные степенные ряды // Вестник Российского государственного университета им. II. Канта. Вып. 10. Калининград, 2006. С. 8—27.

4. Алеитиков С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы IV: трансдукторы и абстрактные семейства // Там же. Калининград, 2008. С. 6—23.

5. Алеитиков С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы V: пары полукольцо-полумодуль Конвея и конечные автоматы // Там же. Калининград, 2009. С. 6—41.

6. Berstel ,/. Transductions and Context-Free Languages.

7. Bloom St. L., Esik Z. Iteration Theories. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Springer, 1993.

8. By chi,/. R. On a decision method in restricted second order arithmetic // Proc. Int. Congr. Logic, Methodology and Philosophy of Science, 1960. Stanford University Press, 1962. P. 1-11.

9. Cohen R. S., Gold A. Y. Theory of ш-languages I: Characterizations of ш-context-free languages // JCSS. 15(1977). P. 169-184.

10. Conway ,/. H. Regular Algebra and Finite Machines. Chapman & Hall. 1971.

11. Droste М., Kuske D. Skew and infinitary formal power series. ICALP 2003, LNCS. 2719(2003). P. 426-438.

12. Elgot C. Matricial theories // J. Algebra. 42(1976). P. 391-422.

13. Esik Z., Kuich W. Inductive *-semirings // Theoretical Computer Science. 324(2004). P. 3-33.

14. Esik Z., Kuich W. A semiring-semimodule generalization of ш-context-free languages // LNCS. 3113(2004). P. 68-80.

15. Esik Z., Kuich W. On iteration semiring-semimodule pairs // Semigroup Forum. 75(2007). P. 129-159.

ш

languages II // Journal of Automata. Languages and Combinatorics. 10(2005). P. 243-264.

17. Esik Z., Kuich W. A semiring-semimodule generalization of transducers

ш

18. Kuich W., Salome,a, A. Semirings, Automata, Languages // EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Vol. 5. Springer, 1986.

19. Lausch H., Nobauer W. Algebra of Polynomials. North-Holland, 1973.

20. Perrin D., Pin J.-E. Infinite Words. Elsevier, 2004.

Об авторах

Сергей Иванович Алептников — канд. физ.-мат. наук, дон,., РГУ им. И. Каттта, e-mail: [email protected].

Юрий Федорович Болтнев — ст. преп., РГУ им. И. Канта, e-mail: [email protected].

Золтан Език — д-р, Сегедский ун-т, Венгрия.

Сергей Александрович Иптаттов — канд. физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта, e-mail: [email protected].

Вернер Куих — д-р, Венский техн. ун-т, Австрия, e-mail: kuich@ tuwien.ac.at.

Authors

Dr Sergey Aleshnikov - assistant professor, IKSUR, e-mail: elliptec@ iriail.ru.

Yuriy Boltnev - high instructor, IKSUR, e-mail: [email protected].

Dr Zoltan Esik - University of Szeged, Hungary.

Dr Sergey Ishanov - professor, IKSUR, e-mail: [email protected].

Dr Werner Kuich - Technische University Wien, Austria, e-mail: kuich@ tuwien .ac. at.