CC BY
47
С.И. Алешников, Ю.Ф. Болтнев, 3. Език,
С.А. Ишанов, В. Куих
ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ И АВТОМАТЫ IV: ТРАНСДУКТОРЫ И АБСТРАКТНЫЕ СЕМЕЙСТВА
Это четвертая статья в серии, дающей обзор некоторых разделов теории формальных языков и автоматов с использованием полуколец, формальных степенных рядов, матриц и теории неподвижных точек. Рассматривается обобщенная версия рациональных трансдукторов, что приводит к обобщению понятия (полного) абстрактного семейства языков вплоть до понятия абстрактного семейства элементов.
This is the fourth paper of a series of papers that will give a survey on several topics on formal languages and automata by using semirings, formal power series, matrices and fixed point theory. This fourth paper deals with a generalized version of rational transducers. This leads to a generalization of the concept of a (full) abstract family of languages to the concept of an abstract family of elements.
Ключевые слова: формальный язык, автомат, полукольцо, формальный степенной ряд, матрица, неподвижная точка.
1. Введение
Данная статья является четвертой в серии статей, дающих обзор некоторых разделов теории формальных языков и автоматов. В статье сообщается об обобщении некоторых классических результатов о формальных языках, формальных языках над деревьями, языках с конечными и бесконечными словами, автоматах, автоматах над деревьями и др. Предполагается, что читатель знаком с частями I, II и III [1-3] нашей серии.
В главе 2 мы обобщим понятие рационального трансдуктора путем замены в общепринятых определениях рациональных представлений некоторыми рациональными морфизмами полных полуколец. Кроме того, мы введем алгебраические трансдукторы. Оказывается, что Rat(A') и Щд(А;) замкнуты относительно рациональных и алгебраических трансдукций соответственно.
В главе 3 эти обобщенные рациональные трансдукторы приводят к обобщению понятия полных AFL-семейств (сокращение от “abstract family of languages” — абстрактное семейство языков) до понятия AFE-семейств (сокращение от “abstract family of elements” — абстрактное семейство элементов): это полные рациональные замкнутые полукольца, которые замкнуты относительно приложения обобщенных рациональных трансдукторов. Затем AFE-семейства характеризуются автоматами некоторого вида. В дополнение понятие AFE-семейства обобщает понятия AFL-семейства, AFP-семейства (сокращение от “abstract family of power series” — абстрактное семейство степенных рядов) и полного AFP-семейства.
Изложение в настоящей статье следует работам Kuich [11] и Karner, Kuich [9].
2. Трансдукторы
Начнем с некоторых базовых определений. В дальнейшем А и А будут обозначать непрерывные полукольца. Отображение h : А ^ А определяет морфизм полуколец, если h(0) = 0 h(1) = 1, h(a1 + a2) = = h(ai) + h(a2) и h(a\ ■ a2) = h(a\) ■ h(a2) для всех ai,a2 E А. Оно является морфизмом полных полуколец, если для всех семейств (ai | i E I) в А, h(Y^ai) = i^i h(ai). Заметим, что морфизм
полных полуколец являетя непрерывным отображением.
Пусть дано отображение h : А ^ aQixQ2. Определим следующие отображения: h' : AIlXl2 ^ a(IixQi)x(I2xQ2) и h'' : AIlXl2 ^
(AQixQ2)I1XI2 как
h'(M W),^) = (h''(M )ib« ^ = Wb* W
для M E AI1XI2, ii e h, i2 E I2, q1 E Q1; q2 E Q2. В дальнейшем
будем использовать одно обозначение h для отображений h, h' и h''.
Рассмотрим два отображения h : А ^ AQxQ и h1 : А ^ AQ1XQ1. Композиция отображений hо h1 : А ^ a(Q1xQ)x(Q1xQ) определяется как (h о h1)(a) = h(h1(a)) для a E А.
Нетрудно получить следующие два технических результата.
Теорема 2.1 Пусть h : А ^ AQxQ — морфизм полных полуколец. Тогда h : AIxI ^ A(IxQ)x(ixQ) u h : AIxI ^ (AQxQ^xI снова являются морфизмами полных полуколец.
Теорема 2.2 Пусть h : А ^ А — морфизм полных полуколец. Тогда, для, всех a E А; h(a*) = h(a)*.
В дальнейшем А' и А' обозначают подмножества в А и А соответственно, содержащие нейтральные элементы 0 и 1.
Морфизм полуколец h : А ^ AQxQ называется (А', А')-рациональным, или (А', А')-алгебщическим, если для всех a E А' выполняется h(a) E Rat(A')QxQ или h(a) E Alg(A')QxQ соответственно. Если А = А и А' = А', то эти морфизмы называются А'-рациональным,и или А'-алгебраическими соответственно.
Теорема 2.3 Пусть Н : А ^ А®х® и Н' : А ^ А^х^ — А'-рациональные морфизмы полных полуколец. Тогда композиция отображений Н о Н' : А ^ А(^ х^)х№ х^) _ снова Л1 -рациональный морфизм полуколец.
Доказательство. Ясно, что Н'(а)д1 € ЭТа1(А') для а € А',
91,92 € ф'. Поскольку ЭТа1(А') порожден рациональными операциями в А', из теорем 2.1 и 2.2 следует, что элементы Н(Н'(а)), а € А', снова лежат в ЭТа1(А'). □
А'
А'
браические системы.
Пусть Н : А ^ А^х^ — морфизм полуколец, продолжим его до отображения Н : А(У) ^ А^х^(У) следующим образом.
(I) Если многочлен над полукольцом представляется одночленами аоУгха1... а^у^а^ к ^ 0, где а? € А и у^. € У, то его образ — одночленами Н(а0)у^Н(а1)... Н(а^-1)у^йН(а^).
(II) Если многочлен над полукольцом представляется суммой одночленов А?) т0 ег0 образ — суммой одночленов
Н(А?)-
Тогда, согласно доказательству теорем 1.4.31 ЬашсЬ, ШЬаиег [13], это продолжение корректно определено и снова является морфизмом полуколец.
Теорема 2.4 Пусть Н : А ^ А^х^ — морфизм полных полуколец. Рассмотрим А-алгебраическую систему у = р с наименьшим решением а. Тогда Н(а) — наименьшее решение А^х^-алгебраической системы у = Н(р).
Доказательство. Пусть (а? | з € М) — аппроксимирующая последовательность системы у = р. Тогда (Н(а?) | з € М) — аппроксимирующая последовательность системы у = Н(р) и мы получим
йх(Н(р)) = 8ир(Н(а?) | з € М) = Н(8ир(а? | з € М)) = Н(а).
Второе равенство следует из того факта, что морфизм полных полуколец является непрерывным отображением. А поскольку йх(Н(р)) есть наименьшее решение системы у = Н(р) по теореме 3.3 части II [2], то наша теорема доказана. □
Следствие 2.5 Если Н : А ^ А^х^ — А'-алгебраический морфизм, полных полуколец, то Н(а) € Шд(А')^х^ для а € Шд(А').
Доказательство. По теореме 2.4 Н(а), а € Шд(А') есть компонент наименьшего решения Щд(А')^х^-алгебраической системы. Следовательно, элементы Н(а) лежат в Щд(ЭДд(А')). Теперь применим теорему 3.13 части II [2]. □
Теорема 2.6 Пусть Н : А ^ А^х^ и Н' : А ^ А^х^ — А'-алгебраические морфизмы полных полуколец. Тогда, композиция отображении Н о Н' : А ^ А(^ х^)х№ х^) снова, являєтся А'-алгебра ическим, морфизмом полуколец.
Доказательство. Очевидно, что Н'(а)ді Є ЭДд(А') для а Є А',
9і,92 Є ф'. Тогда из следствия 2.5 вытекает, что элементы Н(Н'(а)), а Є А' снова лежат в Щд(А'). □
Теперь мы готовы к тому, чтобы ввести понятия рационального и алгебраического трансдукторов.
(А', А')-рациональный трансдуктор
Т = (ф,Н,5, Р)
задается посредством:
(i) конечного множества ф состояний;
(ii) (А', А')-рациопалъпого морфизма полных полуколец Н : А ^ ^ А^х^;
(iii) 5 Є ^аі(А')1х^ называемого вектором начальных состояний; (іу) Р Є ^аі(А')^х15 называемого вектором конечных состояний.
Отображение ||Т|| : А ^ А, реализованное посредством (А', А')-рационального трансдуктора Т = (ф, Н, 5, Р), определено как
||Т||(а) = 5Н(а)Р, а Є А.
Отображение т : А ^ А называет ся (А', А') -рациональной, тран-сдукцией, если существует (А', А')-рациональный трансдуктор Т такой, что т(а) = ||Т||(а) для всех а Є А. В этом случае мы говорим, что т реализовано посредством Т.
(А', А')-рациональный трансдуктор (при А = А и у!' = А') называется А'-^Ц^шльным трансдуктором, а (А', А')-рациональная
А'
(у!', А!)-мгебщический трансдуктор Т = (ф, Н, 5, Р) определяет-
(А4 ', А')
ключением того, что Н является теп ерь (у!', А')-алгебраическим морфизмом полных полуколец, а элементы из 5 и Р лежат в Щд(А'). Определение (у!', А')-алгебраической трансдукции, А'-алгебраи-А'
Следующие две теоремы показывают, что (А', А')-рациональные (соответственно (у!', А')-алгебраические) трансдукции отображают ^аі(А') (соответственно Щд(А')) в ^аі(А') (соответственно в Шв(А')).
Теорема 2.7 Предположим, что Т — (А', А') -рациональный трансдуктор и что а Є ^аі(А'). Тогда ||Т||(а) Є ^аі(А').
Доказательство. Пусть а — поведение конечного А'-автомата А = (ф,М, 5, Р). Положим Т = (ф', Н, 5', Р'). Рассмотрим теперь конечный ^аі(А')-автомат А' = (ф х ф',Н(М),5'Н(5),Н(Р)Р'). Поскольку ^аі(^аі(А')) = ^аі(А'), получим ||А'|| Є ^аі(А'). А так как ||А'|| = 5'Н(5)Н(М)*Н(Р)Р' = 5'Н(5М*Р)Р' = ||Т|(|А|), и наша теорема доказана. □
Теорема 2.8 Предположим, что Т — (А', А')-алгебраический трансдуктор и что а Є Шд(А'). Тогда ||Т||(а) Є Шд(А').
Доказательство. Пусть а — поведение магазинного А'-автомата Р = (ф, Г,М, 5,р0,Р) а Т = (ф',Н, 5',Р'). Рассмотрим теперь магазинный Щд(А')-автомат Р' = (ф х ф', Г,Н(М), 5'Н(5),р0, Н(Р)Р'). По следствию 4.9 части III [3] и теореме 3.13 части II [2] получим ||Р'||Є Шв(А').
||Р' || = 5'Н(5)(Н(М)*)ро>еН(Р)Р' = 5'Н(5)Н((М*)ро>£)Н(Р)Р' = = 5'Н(5(М*) £Р)Р' = ||Т||(||Р||), и наша теорема доказана. □
А'
А'
А'
А'
композиции.
Доказательство. Пусть Т/ = (ф/, Н/,5/, Р/), ] = 1, 2 — два А' А'
Мы хотим показать, что отображение т : А ^ А, определенное как т(а) = ||Т2||(||Ті||(а)), а Є А является А'-рациональной (соответ-А'
Рассмотрим Т = (ф1 х ф2,Н2 о Н1,52Н2(51),Н2(Рі)Р2). По теореме 2.3 (соответственно теореме 2.6) отображение Н2 о Ні являет-А' А'
мом полных полуколец. Далее, элементы из 52Н2(51) и Н2(Р1)Р2 лежат в ^аі(А') (соответственно в ЭДд(А')). Следовательно, Т — А' А'
а Є А
||Т|(а) = 52Н2 (5і)Н2(Ні(а))Н2(Рі)Р2 = 52Н2(5іНі(а)Рі)Р2 =
= 52Н2 (|Ті|(а))Р2 = ||Т2|(ПТіП(а)),
то наша теорема доказана. □
Большинство определений и результатов, приведенных до сих пор в этой главе, содержатся в работе КиісЬ [10]. Они являются
обобщением определений и результатов, которые мы будем рассматривать здесь. Мы ограничим наши результаты на случай полуколец формальных степенных рядов (см. Nivat [14], Jacob [7], Salomaa, Soittola [15], Kuich, Salomaa [12]). До конца этой главы сделаем следующие соглашения: множество £0 — фиксированный бесконечный алфавит, £ (возможно, снабженное индексами) — конечный подал-фавит алфавита £0.
В связи с формальными степенными рядами нашим базовым полукольцом будет A((£0)), где A коммутативно. Полукольцо, содержащее все степенные ряды, носители которых содержатся в некотором £*, обозначим A{{£0o}}, т. е.
A{{£^}} = {r € A((£0)) | существует конечный алфавит £ С £0
такой, что supp(r) С £*}.
Его можно отождествлять с подполукольцом A((£^)). Для £ С £0, A((£*)) изоморфно подполукольцу в A{{£^,}}. Следовательно, мы можем заключить, что A((£*)) С A{{£^,}}.
Далее определим три подполукольца в A{{£^,}}, а именно полукольцо алгебраических степенных рядов Aalg{{£^,}}, полукольцо рациональных степенных рядов Arat{{£^ }} и полукольцо многочленов A{£J, как
Aalg}} = {r € A{{£^}}| существует конечный алфавит
£ С £0 такой, что r € Aalg((£*))},
Arat{{£^}} = {r € A{{£^}} | существует конечный алфавит
£ С £0 такой, что r € Arat((£*))}, и A{{£^o}} = {r € A{{£0}} | supp(r) конечно}.
Кроме того, определим
A{£o U е} = {r € A{£0} | supp(r) С £o U {e}},
A{£o} = {r € A{£0} | supp(r) С £o}.
Причем Arat{{£0}} = Rat(A{£oUe}), Aalg{{£0}} = Alfl(A{£oUe}).
Мультипликативный морфизм ц : £^ ^ (A{{£^,}})QxQ называется представлением, если существует £ такой, что ц(х) = 0 для х € £0 — £. Заметим, что если ц — представление, то существует лишь конечное число элементов ц(х) = 0, x € £0, q1, q2 € Q.
Следовательно, существует £' такой, что ц(^) € A((£'*)) для всех
w € £^. Представление может быть продолжено до отображения ц : A((£0)) ^ (A((£0)))QxQ определением
Ц(г) = ц( ^ (r,w)w) = ^ diag((r,w))ц(w), r € A((£0)),
где diag(a) — диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны а. Заметим, что diag((r, w)^(w) = (r, w) ® ц(w), где ® обозначает произведение Кронекера.
Определения и результаты, связанные с произведением Кроне-кера, см. КшсЬ, 8а1отаа [12].) Отметим, что мы используем одно и то же обозначение л для обоих отображений. Однако это не должно привести к путанице. Заметим, что фактически л является отображением л : А((£^)) ^ (А{{^^}})дхд.
Следующая теорема выражает важное свойство расширенного отображения л и доказывается путем несложных вычислений.
Теорема 2.10 Пусть А — коммутативное непрерывное полукольцо. Если л : Х0 ^ (А{{Х0}})^Х^ — представление, то расширенное отображение л : А((Х0)) ^ (А{{Х0}})^Х^ является морфизмом полных полуколец.
Представление л называется рациональным или алгебраическим, если соответственно
Л :Х0 ^ (А^ЙХОо}})^ или л : Х0 ^ (Аа1§{{Х^}})^.
А
ным полукольцом и л : Х0 ^ (А{{£0}})^^Х^'? ^ = 1,2 _ рациональное (соответственно алгебраическое) представление. Тогда
Л : Х0 ^ (А{{Х0}})(^1Х^2)х(^1х^2^^е л(х) = Л2(Л1 (х)) для всех х € Х0;^ снова, рациональное (соответственно алгебраическое) представление. Кроме того, для всех г € А((Х0)), л(г) = Л2(Л1(Г))-
Доказательство. По теореме 2.3 (соответственно теореме 2.6) элементы из л(х) лежат в Ага1{{Х^}} (соотв. в Аа1§{{£0о}}) для всех х € Х0. Следовательно, л _ рациональное (соответстенно алгебраическое) представление.
Докажем теперь вторую часть нашей теоремы. Мы заключаем, что для всех г € А((Х*^)) имеет место
Л2(Л1(г)) = Л^ ^ diag((r,w))лl(w^ =
= ^ diag((r,w))л2(ЛlМ) =
= ^ diag((r, ад))л(^) = л(г).
□
Уточним теперь понятие А'-рационального (соответственно А'-адгебраического) трансдуктора и рассмотрим А{Х0 и ^-рациональные (соответственно А{Х0 и е}-алгебрапческие) трансдукторы Т = (ф,л, $, Р) вде л _ рациональное (соответственно алгебраическое) представление. Следовательно, существуют конечные алфавиты Х и Х' такие, что л(х) = 0 для х € Х0 — Х и элементы из л(ад), ■ш € Х* лежат в Ага1((Х'*)) (соответственно в Аа1§((Х'*))). Кроме того,
предположим, что элементы из 5 и Р лежат в Ага1((Х'*)) (соответственно Аа1®((Х'*))). Будем называть эти А{Х0 и е}-рацпональные (соответственно А{Х0ие}-алгебрапческие) трансдукторы просто рациональными (соответственно алгебраическими) трансдукторами.
Рациональный или алгебраический трансдуктор Т = (ф, л, 5, Р), описанный выше, может рассматриваться как конечный автомат, снабженный устройством вывода. При переходе из состояния ^1 в состояние ^2 автомат Т читает букву х € Х и выводит рациональный или алгебраический степенной ряд л(х)91 Я2 - Последовательность переходов дает на выходе произведение степенных рядов отдельных переходов. Все последовательности длины п переходов из состояния ^1 в состояние ^2 читают слово w € Х*, |ад| = п, и дают на выходе степенной ряд л(^) . Этот выход перемножают с соответствую-
щими компонентами векторов начального и конечного состояний, и £д1 л(ад)^ Я2 Р92 называют трансляцией слова ад при переходе из д1 в д2- Суммирование по всем ^1,^2 € ф, ^д1 д2ед 5^1 лМд1, д2Р^ = = 5л(ад)Р называют трансляцией слова ад посредством Т. Говорят,
что степенной ряд г € А((Х^)) транслирован посредством Т в степенной ряд
||Т||(г) = 5л(г)Р = 5^ £ diag((г,w))л(w)jР =
= £ (г^)5лИР = £ (г^)||Т||М € А((Х'*)).
Заметим, что ||Т||(г) = ||Т||(г 0 char(Х*)). Поэтому фактически Т транслирует степенной ряд из А((Х*)) в степенной ряд из А((Х'*)).
Специализация теорем 2.7 и 2.8 дает следующий результат.
Следствие 2.12 Пусть Т — рациональный (соответственно алгебраический) трансдуктор и пусть г € Ага1((Х*)) (соответственно г € Аа1®((Х*))^. Тогда ||Т||(г) € Ага1((Х'*)) (соответственно Аа1§((Х'*))) для некоторого Х'.
Введем теперь понятие подстановки. Предположим, что а : Х0 ^ А{{Х0}} — представление, где а(х) = 0 для х € Х0 — Х и элементы а(х), х € Х, лежат в А((Х'*)). Тогда отображение а : А((Х0)) ^ А((Х'*)), где а(г) = (г, w)а(w) для всех
г € А((Х^)), является морфизмом полных полуколец. Будем называть этот морфизм полных полуколец подстановкой. Если а : Х^ ^ ^ Ага1((Х'*)) или а : Х*, ^ Аа1§((Х'*)), то будем называть эту подстановку рациональной или алгебраической соответственно. Ясно, что рациональная или алгебраическая подстановка есть частный случай рациональной или алгебраической трансдукции соответственно.
а
г
а(г)
ответственно алгебраический) степенной ряд.
Вернемся теперь к теории формальных языков (см. Berstel [4]. За базовое полукольцо теперь примем 2е°°. Пусть £(Х0) — подмножество в 2е°°, содержащее все формальные языки, т. е.
£(Хо) = {Ь | Ь С Х*, Х С Хо}.
Представление теперь есть мультипликативный морфизм Л : Х^ ^ £(Х0)^Х^. Если представление рациональное или алгебраическое, то элементы из л(х), х € Х0 являются регулярными или контекстно-свободными языками соответственно. Рациональный или алгебраический трансдуктор Т = (ф, л, 5, Р) определяется раци-
л
ше; кроме того, элементы из 5 и Р — регулярные или контекстносвободные языки соответственно.
Следствие 2.14 Пусть Т — рациональный (соответственно алгебраический) трансдуктор. Тогда, ||Т||(Ь) — регулярный (соответственно контекстно-свободный) язык, если Ь — регулярный (соответственно контекстно-свободный).
Подстановка теперь есть морфизм полных полуколец а : Х^ ^ ^ £(Х0), такой, что а(х) = 0 для х € Х0 — Х. Она определена а(х) с Х'* х € Х а
полуколец, получим а^) = а(х1)... а(хп) С Х'* для w = х1 ... хга, х* € Х, 1 < * < п, и а(Ь) = иа(w) С Х'* для Ь С Х*.
Подстановка называется регулярной или контекстно-свободной, если каждый символ отображается в регулярный или контекстносвободный язык соответственно.
Следствие 2.15 Регулярная (соответственно контекстно-свободная) подстановка отображает регулярный (соответственно контекстно-свободный) язык в регулярный (соответственно контекстно-свободный) язык.
3. Абстрактные семейства элементов
А' С А
определим [А'] С А как наименьшее полное подполукольцо в А, содержащее А'. Полукольцо [А'] называется полным полукольцом, порожденным А'. Каждый элемент а из [А'] может быть порожден А'
конечное суммирование»):
а € [А'] тогда и только тогда, когда а = £а*1... а*п,
где I — множество индексов, ау € А' и п* ^ 0.
[А'] = А
ся, что все множества ф, возможно, снабженные индексами, конечны и непусты и являются подмножествами некоторого фиксированного бесконечного счетного множества обладающего следующим свойством: если д1; д2 € то (д1, д2) €
Рассмотрим семейство всех морфизмов полуколец Н : А ^ А^х^, Я С Я0 Я конечно, и пусть Н — непустое подсемейство этого семейства. Затем определим подмножество [Н] в А следущим образом. Для Н € Н Н : А ^ А^х^ пусть Вы = [{Н(а)91, 92 | а € А, д1,^2 € Я}]. Тогда [Н] = иыеН Вы- Семейство морфизмов Н называется замкнутым относительно матричной композиции, если следующие условия выполняются для произвольных морфизмов Н : А ^ А^Х^ и Н' : А ^ А^Х^ в Н-
(О А' С [Н].
(11) Для любого а € [Н] существует На € Н такой, что На(а) = а.
(Ш) Если Я С Я0 и существует биекция п : <5 ^ Я, то Н : А ^ ^ А'5Х(5) определенный как Н(а)91 ;(?2 = Н(а)п(91),п(92) для всех а € А д1,д2 € Я, лежит в Н-
(Ьт) Композиция отображений Н о Н' : А ^ а(^/х^)х(^/х^) снова лежит В Н
(у) Если Я П Я' = 0, то отображение Н + Н' : А ^ А(^и^/)х(^и^/), определенное как
(Н + Н'>(а>= ( Н0а) Н'0а) ) , а € А,
где блоки индексируются С ПОМОЩЬЮ Я И Я') снова лежиТ В Н
Далее будем полагать, что Н — непустое семейство А'-рациональных морфизмов полных полуколец, которое замкнуто относительно матричной композиции.
Рассмотрим далее свойства [Н] и обозначим В = {Вы | Н € Н}-
Лемма 3.1 В — направленное относительно включения множество и для каждого конечного Р С [Н] существует Н € Н такое, что Р С Вы.
Доказательство. Рассмотрим Вы1, Вы2 € В, где Н1 : А ^ ^ А^1Х^1 и Н2 : А ^ А^2Х^2. Предположим, что Я1П Я2 = 0 по (ш). Тогда Вы1 , Вы2 С Вы1+ы2. Отсюда, Р С Вы следует непосредственно.
□
Теорема 3.2 [Н] — полукольцо со звездой.
Доказательство. Так как А' С [Н], заключаем, что 0,1 € [Н]-Замкнутость [Н] относительно сложения и умножения следует из леммы 3.1. Рассмотрим теперь а € [Н]- Тогда существует В € В такое, что а € В. Поскольку В — полное подполукольцо в А, то а* € В С [Н]. " " □
Н-А'-рациональный трансдуктор есть А'-рациовальный трансдуктор Т = (Я, Н, 5, Р), где Н : А ^ А^х^ лежит в Н- Отображение т : А ^ А называется Н-А'-рациональной трансдукцией, если существует Н-А'-рациопальпый трансдуктор Т такой, что т(а) = ||Т||(а) а€А
Н-А'-семейство эл^ентов есть подмножество из [Н]. Пусть £ есть Н-А'-семейство элементов. Определим
М(£) = {т(а) | а € £, т : А ^ А — Н-А'-рациопальпая трансдукция}.
Заметим, что всегда £ С М(£) по (и). Семейство £ называют замкнутым относительно НА'-рациональных трансдукций, если М(£) С £.
Обозначение 3"(£) использовано для наименьшего подполукольца со звездой в А, которое замкнуто относительно Н-А'-рациопальпых трансдукций и содержит £. Заметим, что М(£) С $(£)• (Мы пытались использовать в наших обозначениях символы, общепринятые в АЕЬ-теории для удобства читателя, знакомого с этой теорией. См. СшвЬи^ [6].)
Н-А'-семейство элементов £ называется Н-А'-абстрактным семейством элементов (коротко Н-А'-АЕЕ), если £(£) С £. Эти Н-А'-абстрактные семейства элементов будут теперь здесь охарактеризованы. Положим, что Н фиксировано. Напомним, что, в соответствии с нашими соглашениями, Н есть непустое семейство А'
тельно матричной композиции.
Начнем с некоторых общих замечаний о Н-А'-АЕЕ-семействах. Во-первых, мы будем рассматривать два важных частных случая. Нам потребуется один вспомогательный результат и из-за этого реА
А
полукольцом.
А'' А
гда ЭДд(А'') С [А''].
Доказательство. Предположим, что а € Шд(А'') задано и рассмотрим А''-адгебраическую систему у* = р*, * = 1,..., п с паимепь-а а1 = а
последовательность, ассоциированную с ней, через (а-7' | ] € М). Рассмотрим теперь алгебраическую систему в [А''], где [А''] частично упорядочено относительно собственого естественного порядка Еа". (Здесь необходима некоторая осторожность, поскольку полное под-полукольцо непрерывного полукольца в общем случае не является непрерывным; см. Кагпег [8], предложение 5.1. Так что мы не можем
А''
решение в [А''].) Тогда в се а7, ) € М, лежат в [А'']га. Кроме то го, а7 монотонная по КшсЬ и 8а1отаа [12], лемма 14.4. Тогда по определению С а// существует последовательность вект ор-столбцов (т7 | ] € М), где т7 € [А'']га, такая, что а0 = т0, а7+1 = а7 + т7+1, ^ € N. Итак, а = £7-еНт7 € [А'']п по КшсЬ [11], теоремы 3.2 и 3.3 из части II [2]. □
Доказательство. По теоремам 2.7 и 2.8 достаточно показать, что Шд(А') С [Н]. Пусть задано а € Шд(А') и рассмотрим А'-алге-браическую систему у* = р*, * = 1,..., п, с наименьшим решением а а1 = а
нов р* через Р* С А' и положим Р = Р1 и... и Рга. Теперь Р конечно и наша А'-адгебрапческая система фактически Р-алгебраическая. Согласно леммам 3.3 и 2.1, имеем а = а1 € [Р] С [Н]. □
Напомним, что каждое Н-А'-АЕЕ-семейство £ удовлетворяет условию ЭТа1(А') С £ то определению. Тогда по теореме 3.4, ЭТа1(А') является наименьшим Н-А'-АЕЕ-семейством.
В дальнейшем обозначим алфавит А = {а | а € А} и 2. Здесь {а | а € А} — копи я А и 2 — бесконечный алфавит переменных. Мультипликативный морфизм моноидов Н : А* ^ А^х^ совместим с Н, если удовлетворяются следующие условия.
(1) Отображение Н' : А ^ А^х^, определенное как Н'(а) = Н(а), а € А, есть А'-рационадьный морфизм полных полуколец в Н-
(и) Н(а),Н(г) € ЭТа1(А')^х^ для а € А', г € 2, и Н(г) = 0 для почти всех переменных г € 2.
Если Н : А* ^ А^х^ совместим о с Н и есл и Н1 : А ^ А^1Х^1 — А'-рациональный морфизм полных полуколец в Н, то Н1 о Н : А* ^ ^ А(^х^1)х(^х^1) снова совместим с Н-
Введем теперь понятия типа, Т, Т-матрицы, Т-автомата и автомата, представляющего Т. Неформально говоря, это означает Т
Т
ТТ
восстановлена с рабочей ленты. Например, магазинный автомат может рассматриваться как автомат специального типа.
Тип есть четверка (Гу, Ат, Т, пу), где:
(I) Гу — множество символов памяти;
(II) Ау С {а | а € А'}и 2 — алфавит инструкций',
(ш) Т € (№{Ау})ГтхГт — матрица типа;
(1у) пу € Гу — начальное содержимое рабочей ленты,.
В дальнейшем мы будем часто говорить О типе Т, есл И Гу, Ау и пу подразумеваются.
Матрица М € (ЭТа1(А')^х^) т т называется Т-матрицей, если существует морфизм моноидов Н : А* ^ А^х^, совместимый с Н, такой, что М = Н(Т). Есл и М = Н(Т) — Т-матрица и Н' : А ^ ^ А^ х^ — А'-рациопадьпый морфизм полных полуколец в Н, то, по теореме 2.5 части II [2] и по теореме 2.3, Н' о Н совместим с Н и Н'(М) = Н'(Н(Т)) снова является Т-матрицей.
Я
ТМ
(ш) 5 € ЭТа1(А')1х^5 называемого вектором, начального состояния; (1у) Р € ЭТа1(А')^х15 называемого вектором конечного состояния.
Гу пу Т Т
А задается как
||А|| = 5(М *)пт , еР.
Очевидно, что для каждого такого Т-автомата А существует ЭТа1(А')-автомат А' = (Гу х Я, М', 5', Р') такой, что ||А'|| = ||А||. Это достигается выбором М^, ^(^2, ы = (МП1 п)91, 5'пт ,,) =
5'п ,,) = 0 п = пу> Р('в ,,) = Р9> Р('п,д) = 0 п = е> € Я,
п1, п2, п € Гу.
Автомат Ау, представляющий тип (Гу, Ау, Т, пу), является №{Ау}-автоматом, определенным как Ау = (Гу, Т, 5у, Ру), где (5у)пт = е> (5у)п = 0 п € Гу> п = пу> (Ру)£ = е> (Ру)п = 0 п € Гу, п = е. Поведение авто мата Ау есть || Ау || = (Т *) £.
Ау А'
Пусть А = №((Ау)) и А' = {й | й € Ау} и {е, 0}. Рассмотрим (А', А')-рациопадьпый трансдуктор Т = (Я, Н, 5, Р), где Н : А* ^ ^ А^х^ — морфизм моноидов, совместимый с Н- Пусть задан (у!', А')-рациопадьпый трансдуктор Т = (Я, Н, 5, Р), рассмотрим Т-автомат А = (Я, Гу, М, 5, пу, Р), где М = Н(Т). Применим Т к ||Ау || и получим
||Т||(||Ау II) = 5Н((Т*)пт ,е)Р = 5(М *)пт >еР = ||А|.
Обратно, для каждого Т-автомата А существует (у!', А')-рациональный трансдуктор Т такой, что ||А| = ||Т||(||Ау ||).
Определим теперь множество
ЭТа1у(А') = {||А|| | А есть Т-автомат} С А.
Следовательно, ЭТа1у (А') содержит в точности все элементы НТКНАу II), где Т = (Я, Н, 5, Р) есть (у!', А')-рациональный трансдуктор и Н : А* ^ А^х^ совместим с Н- Заметим, что в определениях Т-матрицы, Т-автомата и ЭТа1у(А'), А' и Н представлены неявно.
Оказывается, что ЭТа1у(А') является семейством вида Н-А'-АРЕ, если Т является типом перезапуска. Здесь тип (Гу, Ау, Т, пу) называется типом, перезапуска , если пу = ей ненулевые элементы Т удовлетворяют условиям Т£;£ = г0 € 2 Т£;П € №{2 — {г0}}, Тп,п/ € №{Ау — {г0}} для всех п € Г+, п' € Гу, и для некоторой отмеченной инструкции г0 € Ау. Заметим, что рабочая лепта в начале вычислений пуста.
Т
запуска, то ЭТа1у(А') — полукольцо со звездой, содержащее ЭТа1(А') и замкнутое относительно Н-А'-рациональных трансдукций.
Доказательство. Докажем только включения относительно операции звезды и относительно Н-А'-рациональных трансдукций.
Предположим, что А = (Я, Гу, М, 5, е, Р), где М = Н(Т), есть Т-автомат. Проведем построение Т-автомата А' = (Я, Гу, М', 5, е, Р) такого, что ||А'|| = ||А||+.
Пусть Н' : А* ^ А^х^ определяется как Н'(г0) = Н(г0) + Р5, Н'(й) = Н(й), й € А — {г0}. Тогда Н' совместим с Н- Определим
М € (ЭТа1у(А')дхд)ГТхГТ как М^ = Р5, ЛМп1;п2 = 0 для (п1,п2) = = (е, е). Пусть М' = Н'(Т). Получим М' = М + М и М'* = = (М*М)*М*. Вычислим (М*М)£П = 0 для п € Г+, (М*М)£ £ = = (М*)е>еР5, ((М*М^)*)£,£ = ((М*)^)* и ((М*М)\п = 0, п € Г+. Следовательно,
(М'*)е,е = ((М *М)\£(М *)е>е = ((М *)£;£Р5)*(М *)£)£,
||А'| = 5 ((М *)£,£Р5)*(М *)£,£Р = ||А|| + .
Так как ЭТа1(А') — подмножество в ЭТа1у(А') а ЭТа1у(А') замкнуто относительно сложения, то ||А||+ + 1 = ||А|* лежит в ЭТа1у(А').
Докажем теперь включение относительно Н-А'-рациональных трансдукций. Пусть А = (Я, Гу, М, 5, е, Р), где М = Н(Т), является Т-автоматом и Т = (Я', Н', 5', Р') есть Н-А'-рациопальпый трапсдук-тор. Так как Н : А* ^ А^х^ совместим с Н и Н' : А ^ А^ х^ лежит в Н т0 морфизм моноидов Н' о Н : А* ^ А(^х^)х(^х^) снова совместим с Н- Докажем теперь, что поведение Т-автомата А' = (Я х Я', Гу, (Н' о Н)(Т),5'Н'(5), е, Н'(Р)Р'^но ||Т|(|А|):
||А'|| = 5'Н'(5)(((Н' о Н)(Т))*)£,£Н'(Р)Р' =
= 5'Н'(5)Н'((Н(Т)*)£,£)Н'(Р )Р' = 5' Н'(5 (Н(Т)*)£,£Р )Р' =
= 5'Н'(||А||)Р' = ||Т||(||А||). п
Теорема 3.6 -Белы Т есть тип перезапуска, то ЭТа1у(А') есть Н - А'-АЕЕ-семейство.
Доказательство. По теореме 3.5 нужно только показать, что ЭТа1у(А') С [Н]. Пусть а = 5(М*) £Р. По лемме 2.1, существуют
В^ и Вр € В содержащие элементы из 5 и Р соответственно. Аналогично, для любого г € 2 найдется Вг € В, содержащий все элементы из Н(г), г € 2. Кроме того, Вы € В содержит все элементы всех Н(а), а € А. Теперь по лемме 2.1 существует В0 € В, содержащий В^, Вр, Вы, и все Вг, г € 2, где Н(г) = 0. (Заметим, что нужно рассмотреть конечное число В^ г € 2.) Тогда а € В0 С [Н]. □
Для того чтобы дать полную характеризацию семейств Н-А'-АРЕ, потребуется «обращение» теоремы 3.6. Пусть £ С [Н] — семейство Н-А'-АРЕ. Построим тип перезапуска Т такой, что £ = ЭТа1у(А'). Построение будем производить относительно фиксированного ЭТ С £, где 3”(^) = £• Для любого Ь € ЭТ найдется множество индексов /5 такое, что Ь = £а*1... а*^, а*/ € А', т. е.
Такое представление £ возможно, так как ЭТ С £ = $(£) С [Н]. Тип перезапуска (Гу, Ау, Т, е) определяется посредством:
(i) Гт = UbGL Ab , где Аь = {аь | a G А'} есть копия А' для b G R;
(ii) Ат = {а | a G А'} и {z0} U {zb | b G R};
T£,ab = Zb для аь G A^ b G R,
Tnab,nabab = a Для n G A*> a^ ab G A^ b G R,
Тпаь ,e = (£ 1)a для n G A*, аь G A^ b G R, где интервалы суммирования по всем i G /ь таковы, что (а^)ь ... (aini)ь = паь.
Теорема 3.7 Пусть £ — семейство fi-A'-AFE. Тогда для типа перезапуска T, построенного выше, справедливо RatT(А') = £.
Доказательство. Вычислим сначала (T*)££. Эти вычисления легко выполнить, если рассмотреть блоки T, соответствующие разбиению {{е}} U {A+ | b G R} U {Г}, где Г = Г+ — UьеRA+. Единственные ненулевые блоки, соответствующие этому разбиению, суть {е} х {е}, {е} х A+, A+ х {е}, A+ х A+, b G R. Следовательно, по
теореме 2.4 части III [3] получим
(T*)£,£ = (T({е}, {е}) + £ T({е}, A+)T(A+, A+)*T(A+, {е})) * =
Покажем теперь, что £ С ЭТа1у(А'). Зафиксируем Ь € ЭТ. Так как ЭТ С £ С [Н] и Н замкнуто относительно матричной композиции, то существует некоторый Н5 € Н такой, что Нь(Ь) = Ь. Пусть теперь Н : А* ^ А2х2 — морфизм моноидов, определенный как
ieib
bER i£lfr
h(z&/) = h(z0) = 0 дая b' G R, b' = b.
Так как H замкнуто относительно матричной композиции, то h совместим с H Получаем
h«T*).,) = (g( 0 0 )( Wa“ 0-am) hb(an 0.a,) ))
= ( 0 hb(b) )* = ( 1 b
= V 0 0 j ^0 1
и заключаем, что b G RatT (А') Следователь но, R С RatT (A'). Поскольку RatT (А') есть семейство H-A'-AFE, то получаем, что £ = F(R) С RatT (A').
RatT(A') С £
a G RatT (А'). Тогда существует морфизм моноидов h : A* ^ aQxQ, совместимый с H, и S G Rat(A')1xQ, P G Rat(A')Qx1, такие, что a = Sh((T*)££)P. Рассмотрим теперь элементы этого произведения
матриц: элементы матриц h(b), S, P, h(z0) и h(zb) лежат в £. Поскольку лишь конечное число элементов h(z^ отлично от нуля, то элементы h(z0) + £^^ h(zb)h(b) лежат в £. Так как £ — полукольцо со звездой, то элементы h((T*)£ £) лежат в £. Это влечет a G £. □
Мы получили наш главный результат этой главы — полную ха-H A'
£ H A'
T
что £ = RatT(А').
H
ний. По теореме 2.11, семейство всех отображений л : А((£^)) ^ ^ (A{{S;!0}})QxQ Q с Q^, Q конечно, где л _ рациональное представление, является замкнутым относительно матричной композиции. Кроме того, легко видеть, что [H] = А{{£^,}}. Тогда подмножества из А{{£*,}} являются семействами степенных рядов. Семейство £
ством степенных рядов (сокращенно полным AFP), если F(£) С £. Ясно, что £ — полное AFP-семейство, если F(£) = £• Это означает теперь, что семейства H-A'-AFE являются в точности полными AFP-семействами.
Следующая теорема вытекает из равенств Rat(A{S^ U е}) = = Arat{{£^}} Alfl(A{S^ U е}) = Aalg{{S^}} и теоремы 3.4.
Теорема 3.9 Arat{{S|!0}} и Aalg{{S^}} — полные AFP-семейства.
Теорема 3.10 £
ным AFP-семейством тогда и только тогда, когда существует тип перезапуска T такой, что £ = RatT(A{S^ U е}).
H
ний. По теоремам 6.12, 6.14 и 9.6 Kuich, Salomaa [12], семейство H
ем [H] = А{{£^,}}, и тогда семейства H-A'-AFE суть в точности AFP-семейства в смысле Kuich, Salomaa [12].
Теорема 3.11 £
cm,во тогда и только тогда, когда существует тип перезапуска (Гг, At, T, е) где At С {a | a G A{{S|!0}}, (a, е) = 0}; такой, что £ = RatT(A{x^ U е}).
Доказательство. Видно, что доказательства теоремы 3.5, т. е.
AT
ме того, по теореме 11.31 и следствию 11.33 Kuich, Salomaa [12], каждое AFP-семейство порождено семейством квазирегулярных степен-
T
волы а, гДе (a, е) = 0, не нужны. □
T
теореме 6.10 Kuich, Salomaa [12].
Рассмотрим теперь формальные языки, т. е. нашим базовым полукольцом будет 2S“. Любое подмножество в £(Хте) называется
£
страктпым семейством языков (сокращенно полным AFL), если F(£) С £. Ясно, что £ — полное AFL тогда и только тогда, когда F(£) = £• Теоремы 3.9—3.11 дают сразу три следствия.
Следствие 3.12 Семейство регулярных языков и семейство контекстно-свободных языков суть полные AFL-семейства.
£
T
что £ = RatT({{x} | x G U {е}}).
£
и только тогда, когда существует тип перезапуска (Гт, At, T, е); где At С {a | a G £(EjI0), a П {е} = 0}; такой, что £ = Ratr({{x} |
| x G U {е}}).
Читателю, котрый интересуется AFL-теорией, следует обратиться к Ginsburg [6]. Превосходное изложение полной теории AFL приведено в Berstel [4]. Дальнейшие результаты можно найти в Berstel, Boasson [5].
Частично поддержано акцией Австро-Венгерского научно-педаго-гичсского сотрудничества, проект 530U1.
Supported by Aktion Osterreich-Ungarn, Wissenschafts- und Erzie-hungskooperation, Projekt 530U1.
1. Алешпиков С.И., Болтнев Ю.Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы I: полукольца Конвея и конечные автоматы. (Formal languages and automata I: Conway semirings and finite automata.) // Вестник Калининградского государственного университета. Вып. 3. Сер. Информатика и телекоммуникации. 2003. С. 7—38.
2. Алешников С.И., Болтнев Ю.Ф., Език 3. и др. Формальные языки и
автоматы II: непрерывные полукольца и алгебраические системы. (Formal languages and automata II: Continuous semirings and algebraic systems.) // Вестник Калининградского государственного университета. Вып. 1—2. Сер. Информатика и телекоммуникации. 2005. С. 19 15.
3. Алешников С.И., Болтнев Ю.Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы III: магазинные автоматы и формальные степенные ряды. (Formal languages and automata III: Pushdown automata and algebraic power series.) // Вестник Российского государственного университета им. И.Канта. Вып. 10. Сер. Физико-математические науки, 2006, с. 8^27.
4. Berstel, J. Transductions and Context-Free Languages. Teubner, 1979.
5. Berstel, J., Boasson, L. Context-free languages // J. van Leeuwen, ed. Handbook of Theoretical Computer Science. Vol. B. North-Holland, 1990. P. 59-102.
6. Ginsburg, S. Algebraic and Automata-Theoretic Properties of Formal Languages. North-Holland, 1975.
7. Jacob, G. Representations et substitutions matricielles dans la theorie algebrique des transductions / These de doctorat d’etat, Universite Paris, VII, 1975.
8. Earner, G. On limits in complete semirings // Semigroup Forum. 45(1992). P. 148-165.
9. Earner, G., Euieh, W. On abstract families of languages, power series, and elements // Lect. Notes Comput. Sci. 1337(1997). P. 117-124.
10. Euieh, W. The algebraic equivalent of AFL theory // ICALP95, Lect. Notes Comput. Sci. 944(1995). P. 39-50.
11. Euieh, W. Semirings and formal power series: Their relevance to formal languages and automata theory // Handbook of Formal Languages (Eds.: G. Rozenberg and A. Salomaa), Springer, 1997. Vol. 1. Chapter 9. P. 609-677.
12. Euieh, W., Salomaa, A. Semirings, Automata, Languages // EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Vol. 5. Springer, 1986.
13. Lauseh, H., Nobauer, W. Algebra of Polynomials. North-Holland, 1973.
14. Nivat, M. Transductions des langages de Chomsky // Ann. Inst. Fourier. 18(1968). P. 339-455.
15. Salomaa, A., Soittola, M. Automata-Theoretic Aspects of Formal Power Series. Springer, 1978.
Об авторах
С.И. Алешников — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, cyber@mathd.albertina.ru.
Ю.Ф. Болтнев — ст. преп., РГУ им. И. Канта, cyber@mathd.albertina.ru.
3. Език — д-р, Сегедский ун-т, Венгрия.
С.А. Ишанов — канд. физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта, math@dekan.albertina.ru.
В. Куих — д-р, Венский техн. ун-т, Австрия.
