CC BY
20
Profesor dr Miroslav Demtf«*
dipl. inž. MaJimki fakulcet. Kragujcvac Mr Jovanka Lokić, dipl. inž.
Maiimki fakultei. Kngujevsc Profesor
dr Constantinos Spentzsas,
National Technical University of Athens. Greece
FORMALIZOVANO MODELIRANJE UPRAVUIVOSTI MOTORNIH VOZILA
UDC: 629.1.075:519.711
Rezime:
U ovom radu prikazana je primena simboličke matematike i programs za automatsko generisanje diferencijalnih jednačina pri modeliranju upravljivosti vozila. Pri tome je metoda najpre verifikovano na poznatom Rokardovom modelu vozila, a zatim je razvijen formalize-vani posiupak za modeliranje upravljivosti vozila. Analize su pokazale da se korišćeni postupak mote uspešno primeniti u ovakvim slučajevima, pri čemu se javljaju teškoće pri ukljućivanju elasto-prigušnih elemenata u razmatranje, a Što je u vezi sa performansama računara.
Ključne reči: vozilo, dinamika, upravljivost, automatsko modeliranje.
FORMALIZED MODELLING OF VEHICLE HANDLING
Summary:
In this paper an application of symbolic mathematics and procedure for automated setting of differential equations of vehicle handling were shown. The method was verified on the Rocard’s model and the formalizam for vehicle handling modelling was developed. The analysis showed that the used procedure can be applied in these cases, but there are some dificulties when elasto-damping elements are included and they are caused by PC performances.
Key words: vehicle, dynamics, handling, automated modelling.
Uvod
Upravljivost spada u grupu vcoma značajnih parametara za sveobuhvatniju ocenu karakteristika motomih vozila. Zbog toga se analizi parametara upravljivosti poklanja velika pažnja, još u fazi projektovanja vozila. Pri tome značajnu uiogu imaju metode dinamičke simulacije koje se zasnivaju na modeliranju vozila.
* Autor je redovni £tin Inlenjerske akadetnijc Jugoslavs je, akadetnik Akadctnijc transport* i Akademije kvaliteta Ruske Federadje.
Opisivanje dinamičkog ponašanja vozila, zbog njegove složenosti i postojanja veli-kog broja podsistema, predstavlja veliki problem. Da bi se pomenuta aktivnost olakšaia, poslednjih desetak godina veoma se intenzivno radi na definisanju postupaka i izradi programa za automatsko generisanje diferencijalnih jednačina za opisivanje kretanja dinamičkih siste-ma. U tome posebno mesto zauzimaju manipulatory ali postoje pokušaji i kod vozila. Ovi postupci narodito su populami kod stručnjaka u razvijenim zemljama
VOJNOTEHNIĆK1 GLASNIK 2/2000.
157
sveta (II, 13, 17-20, 26). U našoj zemlji, takode, postoje rezultati u ovoj oblasti [13, 26], ali se oni odnose prvenstveno na opisivanjc dinamike manipulatora. Kako kod nas postoji potreba za analizom dinamike vozila, ovde je razvijen postu-pak za formalizovano modeliranje uprav-Ijivosti vozila, na bazi dogradenog pro-grama iz [13]. Treba naglasiti da sc difc-rencijalne jednačine dobijaju u analitič* kom kovarijantnom obliku, i da sc mogu koristiti za različite simulacije ponašanja vozila.
U radu su, kao primer, posmatrana dva slučaja kretanja vozila: ravansko i prostomo.
Modeliranje vozila
U literaturi [1, 3, 4, 6, 9, 15, 21, 22] postoji veći broj modela za analizu uprav-ijivosti vozila. Njihova struktura kreće se od jednostavnih (mode) bicikla) [3, 21, 22], do veoma složenih prostornih modela (1, 9]. Opisivanje složenog prostor-nog kretanja vozila, kao i sistema vcćeg broja masa, medusobno povezanih ela-sto-prigušnim elementima, predstavlja veliki problem. Pri tome se, svakako, mogu učiniti i odredenc greške, tako da su dobijcni rezultati praktično neupotreb-ijivi. Zbog toga se poslcdnjih godina čine pokuSaji da se proces generisanja diferen-cijalnih jednačina automatizuje. U tom smislu razvijen je veći broj programskih paketa, kao na primer: NUBEM, SYM, CAMS, AUTOLEV, NEWEUL, AU-TODYN, MEDINA, SIMPACK, DY-MAC, DYSPAM, MESA VERDE, ADAMS. PLEXUS, AUTOSIM i dr.
Većina nabrojanih programa auto-matski postavlja diferencijalne jednačine kretanja dinamičkih sistema i numerički ih rešava. Neki od njih uzimaju u obzir i
problemc clastodinamikc. Vredi napo-menuti da su cene pomenutih paketa izuzetno visoke (do 20 000 USA $), te su vrlo ncdostupni.
Dati programi prvenstveno su name-njeni za analizu manipulatora, a samo neki od njih za simulaciju dinamike vozila [17—19]. Imajući u vidu ove činjenice napori su usmereni na dogradnju programa iz [13], koji je namenjen prvenstveno modeiiranju manipulatora, u ana-litičkom obliku. Ovaj programski paket dobijcn je korišćenjem Lagranžeovih di* ferencijalnih jednačina druge vrste [13] i simboličke matematike [27], a dogradnja sc sastojala u prošircnju mogućnosti defi-nisanja generalisanih sila, radi stvaranja mogućnosti za rešavanje problema neho-lonomnih sistema. Time je na drugačiji način obuhvaćen uticaj težine na parame-tre kretanja dinamičkih sistema. Uz to je uvedena i mogućnost modeliranja neli-neamih opruga i amortizera, što u [13] nije bio slučaj.
Za analizu upravljivosti vozila, u ovom radu je učinjen pokušaj da se zahva-Ijujući izmenama, kao i primeni odrede-nih formalizama, program primeni za generisanje diferencijalnih jednačina kretanja vozila (upravljivost). Pri tome treba imati u vidu da je program postavljen tako da sva kretanja krutog tela opisujc u odnosu na nepokretni koordinatni si-stem. To dovodi do odredenih problema, jer sc vcćina modela koji se koriste pri analizi upravljivosti vozila definišu u odnosu na pokretni koordinatni sistem [6, 21, 22). Problem se može prevazići da-Ijom dogradnjom programa iz [13], što nije ocenjeno celishodnim. Naimc, u ovom radu prvenstveno se želelo pokazati da se program razvijen za opisivanje dinamike manipulatora može koristiti za ana-litičko opisivanje modela za analizu
158
VOJNOTEHNIĆKI GLASN1K 2^000.
(3)
upravljivosti vozila. Zbog toga će sc mo-deli vozila definisati u odnosu na nepokretni koordinatni sistem, što nije tako često u praksi [4).
Radi verifikacije koriSćenog formali-zma posmatran je model vozila koji je razvio Rokard, jcr je on dcfinisan u odnosu na nepokretni koordinatni sistem.
Rokardov model vozila
Jedan od najstarijih modela za ana-lizu upravljivosti vozila je Rokardov model [4] koji je ovde prikazan u najužcm obliku. Radi daljc analize posmatran je model na slici 1.
Xj j = x + a ± d v,
yu = y + a V ± d.
(4)
Ugao povođenja prednjih točkova može sc izračunati iz izraza (4):
dy/dt
dx/dt
- V-
(5)
PoSto je dx/dt *» v, znači da je:
6,.2 *
y + aty v
- V.
(6)
Odavde sc može zaključiti da su za mala pomeranja uglovi povodenja prednjih točkova medusobno jednaki. Koordi-nate zadnjih točkova date su relacijama:
x3,4 = x - b cos y ± d sin y, (7)
y3>4 = y - b sin y ± d cos y. (8)
Za mala pomeranja imamo, [4]: x3,4 = x - b ± d v, (9)
Rokard je pretpostavio da se vozilo bez zaokretanja kreće konstantnom brzi-nom v. Radi opisivanja kretanja vozila uvedena su dva koordinatna sistema: ne-pokretan XOY i pokretan (vezan za vozilo) $Cr\. Neka su koordinate težišta vozila Cy u odnosu na nepokretni koordinatni sistem x i y. Prema slici 1 koordinate prednjih točkova su:
y*.4 = y - b y ± d.
(10)
Uglovi povodenja zadnjih točkova su:
§3,4
dy/dt
dx/dt
(H)
na osnovu čega sledi da je:
Xu = x + a cos (y) ± d sin y, (1)
yu = y + a s*n (y) ± d cos y. (2)
Za male uglove može se napisati da je [4]:
y — b *1/
63.4 = ^------— - V- (12)
v
Rokard je pretpostavio da su uglovi povodenja mali, tako da su bočne sile pneumatika njima proporcionalne. Tada
vojnotehniCki glasnik 2/2000.
159
se dobijaju diferendjalne jednadne kreta-nja vozila u obliku [4]:
my = Cj8i + c2S2 + Y, (13)
l2y = acjSi - bc252 + N, (14)
gde su Y i N odgovarajuće rezultujuće bočne sile i momenti u odnosu na težiSte vozila. U slučaju da su one jednake nuli, diferencijalne jednačine dobijaju oblik:
my = CiSi + c262, (15)
I= acjSj - bc2S2. (16)
Pri analizama ovih jednačina treba imati u vidu da su one definisane za male uglove i da velidne Ci5i i C2&> predstav-Ijaju rezultujuće bočne sile pneumatika za prednju i zadnju osovinu. Dobijeni modeli mogu se i dalje proširivati, što nije bio cilj ovog rada, a detaljnije infor-macije mogu se nad u [4].
Formalizovani model vozila sa tri
stepena slobode kretanja
Pri simboličkom modeliranju dina-mičkih sistema oni se prikazuju struktu-rom drveta ili grafovima [11, 13, 17-20, 26). U [13] dinamički sistem je predstav-Ijen pomoću strukture drveta.
Posmatraće se nešto širi model (u osnovi sličan Rokardovom) sa slike 2, koji ima tri stepena slobode kretanja. Imajući u vidu da svaki segment u stmk-turi drveta dopušta jedan stepen slobode kretanja [8], vozilo u formalizovanom obliku ima tri segmenta, kao što je prika-zano na slid 3.
Generalisane koordinate x, y (q[l] i q(2]) opisuju segmente 1 i 2 sa translator-nim zglobovima a i b, a koordinatu xp
(q[3j) segment 3 sa rotacionim zglobom c. Masa vozila M i moment inerdje J2 pridodati su segmentu 3. Ovom segmentu pridodate su i sve bočne sile (Yu, Yu, Y2, i Y22), kao i težina G, Cije su projek-dje i koordinate napadnih tačaka fiksi* rane u lokalnom koordinatnom sistemu ^Cq. Radi ilustradje pripremljena je da* toteka za unos podataka u skladu sa [13], a koja je prikazana u tabeli 1.
Aktiviranjem dogradenog programa iz [13] u simbolidkoj matematid [27], posie nekoliko minuta rada računara Pen* tium 90 MHz, dobijene su diferendjalne jednačine u kovarijantnom obliku, prika* zane u tabeli 2.
Analizom dobijenih jednačina može se utvrditi da su one, po svom karakteru, slične onima iz modela Rokarda. Razlike su se javile zbog toga što u ovom radu
SI. 2 - Proiireni Rokardov model
SI. 3 - Struktura drveta za Rokardov model
160
VOJNOTEHNIĆKI GLASNIK 2/2000.
»121-0
hiheta 1
■-{0,1,2} ■{3]oM
W-<M,0) H11 o {{0,0,0}, (0,0,0), (0,0,0)}
Itfl- {(0,0,0),{0,0,0).{0,0,0))
•{21o{0,l,0} ll31o (0x,O,O),(O,)y,O},{O,O,Jx))
•{3]e(0,0,t} InMI i«5
ro[0,l}o {0,0,0} rfU[ll-{3.{i.d,0),{-Yll ShiULYll Coi£q],0)>
*—{ 1,2] ■ (0,0,0} dbI2)o(3,(j,-4,0},{-Yl2 Sta{q].YI2 Co»(<|LO))
r»[2,31s (0,0,0} *fcI31«{3,(-k,d,0},(0,Y2l,0})
~[l]o{0,0,0) «M4J« <3. {-b,-d,0),{0, Y22,0}>
r»[21e(0,0,0) r»[3]o{0,0,0) a[1]oO 4ft{$]o <3,{0,0,0),{0,0.-G» tnlyO
Tahefa 2
Qmi/ioij- (-50.0*Mqdd|1| + (Yl1 ♦ YI2)Sln|q) ==0,
-Y21 - Y22 - (Y11 + Y12) Cot{qj - 5 0.0 + M qdd(2] »= 0,
-1.0- I .<-bY2l)- I .<-bY22) -
1 .(aYl 1 Cos[q] ♦ dYl I Sln|q))- 1 .(aY12Cos(q]-dY12$ln(q]) + )zqdd(3) ==
01
nisu pretpostavljena mala pomeranja. Na osnovu toga može se zaključiti da se program iz [13] može koristiti za generi-sanje diferencijalnih jednačina za analizu upravljivosti vozila.
Model vozila sa šest stepeni slobode kretanja
Posmatran je složeniji slučaj prostor-nog kretanja vozila. Da bi se definisao prostomi položaj vozila, neophodno je uvesti odgovarajuće koordinatne sisteme.
Uvodenje koordinamih sistema
Posmatran je opšti slučaj prostomog kretanja vozila koje će se aproksimirati krutim telom konačnih dimenzija. Pri tome važi pretpostavka da se ono kreće po putu sa makroreljefom koji je karakte-risan krivinama, uzdužnim i poprečnim nagibima kolovoza. Pošto ovde nije cilj proučavanje vibracija vozila, uticaj mi-kroreljefa puta na kretanje vozila biće zanemareno. Za opisivanje kretanja vozila u datim uslovima, potrebno je uvesti
VOJNOTEHNlCKI OLASNIK 2/2000.
161
67. 4 - Medusobnt potoioj nepokretnog (global’ SI. 5 - Simboličko predstavljanje vozdu strukiu-nog) i pokretnog (lokalnog) koordinatnog sistema rom drveta
162
VOJNOTEHNIĆKI GLASNIK 2/2000.
6 nezavisnih generalisanih koordinata. Radi toga usvaja se nepokretni koordi-natni sistem Txyz (globalni koordinatni sistem), čiji se koordinatni početak u početnom trenutku poklapa sa težištem vozila, a ravan Txy je horizontalna. Uvodi se i pokretni (lokalni) koordinatni sistem Co£oq<£o koji se u početnom trenutku poklapa sa globainim koordinat-nim sistemom.
Zbog kretanja vozila, težište T će se nad posle vremena t u položaju C defini-sanom nczavisnim generalisanim koordi-natama q[l], q[2j i q[3] u odnosu na globalni koordinatni sistem. Usled pro* stornog kretanja vozila, a i zbog bočnog nagiba q[4], podužnog nagiba puta q[5) i zaokretanja vozila q[6] lokalni koordinatni sistem zauzeće položaj Oči-
gledno je da je sada prostorni položaj vozila potpunodefinisan. Radi ilustracije, međusobni položaj uvedenih koordinat-nih sistema prikazan je na slid 4.
Generalisane koordinate q[l], q[2) i q[3] opisuju segmente 1, 2 i 3 sa transla-tomim zglobovima a, b i c, a koordinate q[4], q[5] i q[6] segmente 4, 5 i 6 sa rotadonim zglobovima d, e i f. Masa vozila M biće pridodata segmentu 6, dok će segmenti 1 do 5 formalno imati nulte mase i nulte dimenzije.
Na isti način definisani su i tenzori momenata inereije, pri čemu se pretpo-stavlja da ose r\ i £ predstavljaju glavne ose inereije vozila, pa su centrifugalni momenti inerdje jednaki nuli.
Treba napomenuti da su momenti inerdje, sile i njihove napadne tačke definisani u lokalnom koordinatnom si-stemu (slika 6). Radi ilustracije, priprem-tjena je datoteka za unos podataka, koja je prikazana u tabeli 3.
Aktiviranjem dogradenog programa iz [13] u simboličkoj matematici [27],
Tabela 3
IriMi"*
!■ {0,1.1,3,4,5)
Um (1,1,1,0,0,0)
•f2]«<0*l,0)
t(2]«{0,0,i)
*4].<»,0,0)
*{J)«(0,I.0)
*{*1-{0AI>
r*{0,1 ]b {0,0,0}
**(l,2)a<0,0,0> ro(2,3) a {0,0,0)
<0.0.0} ra(4,5)a (0,0,0) r*[S.«]a<0,0,0) f»t«J»<0.0.0) r*U)a<0,0,0) r»{31 ■ (0,0,0) r^4I«<0,0,0) r*(S]«{0,0,0) r*[4)a (0,0,0)
■ri]Bo
a(l)«0
-[4]-0
-15J-0
«(4]«M
)[l] ■ {(0,0,0), (0,0,0). (0,0,0)}
)(2]a «0,0,0),{0,0,0},(0.0,0)}
H3]s{(0,0,0},(0,0,0), (0,0,0)) l(4]a«0,0,0),(0,0,0},{0,0,0)) H*)*{(0,0,0),(0,0.0),{0,0,0))
II4J «(Ol *0,0), (0,12,0), {0,0,)3)) fcuNtoall
*•( U><*.<^< ,4m), <-ltr 11,0,0)} iMX] ■ <4.(*,-* I .•*},<•« 11.0.0)) rfU<Jla<4.(-0^2,-fct>.<-lini.0,0)) *44)«{4,<-k,-t2,-fr«),{ltft2,0,0)} <M**0,fcv*l),(-*v,0.0))
«K4)tt(4,(4,il*-lK},<r«l 1,0,0)) *C71*<4,<«,-»l,-li»),<F*l 1,0,0)) 4«(0]«{4,{*,il,>ft'),{0,’VI 1,0)) «fcCtl»<4,<*,**l,-fct},<0,*TI2,0}) lM lOJa <4,{-*,»2,*k'),{0,-Y21,0)}
*•*1M1 ■ <4.(-k,-i2,*hl).<0,Y22,0)) **1»*]«<4,<0.0,0).(G Co«UI4)] C*t[<(«)J MM5)]
■C SkM4Jl fcW*lL C C«i(«<4]) Sb('[4)]
•O CmM4)) »•(«<$]] Sto[«I«)). C C«M4)] Cw(4(SII»
WiNwiibO
Nai
dobijene su diferencijalne jednačine u kovarijantnom obliku prikazanom u tabeli 4.
Analizom dobijenih jednačina utv-rdeno je da su one medusobno spregnute i da u njima figurišu nehoionomne veze. Radi njihovog reSavanja moraju biti Iran*
VOJNOTEHNIĆKI GLASNIK 2/2000.
163
Tabela 4
o*p*V- {-Fol I - Fol2 + Rfl I + Rfl 2 ♦ Rf21 ♦ RI22 + Rv-
80.0-0.(-ht Y1 l)-0.(-htYI2) - 0.(-hlY21)-0.(-hcY22) +
M qddf 11 - G Cosfqf41) Cos(qf6)) Sbi|q|5}] + C $bi[Q[4n an)q{6]] == 0,
Yl I + YI2 + Y2I + Y22 - 50.0- 0. (-Fol I ht)-0.(-Fol2ht)-
0.<hiRfl1)-0.(ht Rri2)-0.(heRf21)-0.(htRf22)-0.((ht-hv)Rv) +
Mqdd(2) * C Cos|q|61| SWi|q|4|] * G Cos[ql4)I S^qjS)) $ln{q(6]) .= 0, GCos)ql4||CoHq|S)|-20.0-0.(-Follsl)-
0. (Fol 2 si)-0. (Rfl I sl)-0.(-Rfl2sl)-0.(RI2l s2)-0.(-Rf22*2)-
0. (-jY1 l)-0.(-a Y12) - 0.(bY2l)-0.(bY22) + Mqdd(3) ** 0, -ei.O-I.(-hiYll)- 1 .(-htYI2>- l.(-htY2D-
1. (-hi Y22). )3 qdd|4) * )2 CoslqlS))2 qdd|4| - J3 Cos(q[5|)zqd44} +
)1 Co*)q|S||z Cos[q|6)jz qdd(4) - )2Cos|qiS|]z Cos[qt6))zqdd[4| ♦
)3 qdd(6| Sln[q|5)] + 01 -12) Cos{q[5)) Coi|ql61)qdd(5) S(n)qf6}| == 0, -1.0- I .((he - hv)RvCos)ql4)))-
1 .{-iYI I Stniq|4||) - I .(-aYI2Stn)q|4)l)- I .<bY21 Slnlql4n)-I .(bY22 Sln[q|4|J) - 1 .(-Fol I (htCos(q|4ll + sl Sln[ql4)l))-I.(-Fol2 htCos(q{4|) ♦ Fo12si Sbi{q|4))) -I .(heRfl I CosJq|4)| + Rfl 1 si Sbi|q(4))>-I.(he Rfl2 Cos|q|4|) - Rfl 2 si Slnlq(41)) -I .(he Rf21 Cos|q|4)| ♦ Rf21 *2 Sln|q|4))> -I .(htRf22Cos|q|4)| - Rf22s2 Sln|ql4]]) +
J1 qdd(S) + (-)l ♦ )2)Cos(q|6]|3qdd[5] +
Cos(qf5)lqd[4]()3qd|6| ♦ (-)2 ♦ )3 + (-)l + JfcCosMWfJqeM)Sln(ql5]}) + (]l -)2jCoslq(6|](Cos|q|S)lq<W|4l - qd)4lqd[5]ShlqlSn)Sln[ql6l| ==0,
-1.0- I .((-ht + hv>RvCos|q(5||S!nlq{4]])-1 .(Rfl l Cos)q|5|)(sl Cos(q|4]] - htSln|q[4|))) -I. (Rf21 Coslq[5)l (s2 Coslq|4)] - he S(n(q(4)D) -I .(Fol I Cos|qlS)|(-sl Cos|q[4)| + heSln(q(4n»-I.(Fol2 Cos(q(S)l(si Cos[q|4)) + heSln)q[4)l» -I .(-Rfl2Cosfq|5]](s1 Coslq|4)| + htSk*lql4]]))-I. (- Rf22 Cos[q| 5» (s2 Cos)q|4l) ♦ ht Slnlql4)D) -I .(Y2I (bCos|q|4||Coslq|5|| -htSInlqlSll))-1. (Y22 (b Cos|q| 4| | Cos)q| 511 - ht Sh|q(5)])) -I .(-Yl 1 (aCos(q(4)|Cos[q|5|) + htStn(q{5))))-I ,(-Y12(aCos(q|4||Cos(q|5|] ♦ ht Slnlq|5))))+ )3qdd(6| +
J3 qdd[4) Stn|q[5|) + 01 - WlCaslqlSllCottfqldHqdHlqdlSj-Caslqfdll {Cos)q(5|)J qd)4|z - qd(5(2) Sfc(q|6]])
0)
164
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2000.
sformisane i uvedena u razmatranje i dodatna ograničenja neholonomnih veza (npr. bočne sile, sila otpora kotrljanja i si.)* Kako je cilj rada bio da $e ukaže na mogućnost generisanja diferencijainih jednačina kretanja vozila (upravijivost), imajući u vidu da su postupci definisanja neholonomnih veza poznati iz [1, 4, 6, 14], ocenjuje se da je njihovo uvodenje u ovaj model necelishodno. Diferenci-jaine jednačine pokazuju da se dogradeni program iz [13] može koristiti za generi-sanje diferencijainih jednačina za opisiva-nje upravljivosti vozila. Treba naglasiti da se u modeliranje može uključiti i upravljanje vozilom. Postupak bi se sasto-jao u tome da se u izraze za bočne sile Yjj (i = 1, 2; j = 1, 2) uključi ugao zao-kretanja točka upravljača 6. Pošto cilj ovog rada nije bila dalja analiza upravljivosti uz pomoć razvijenog modela, već samo defmisanje postupka za automatizo-vano formalizovano modeliranje, to ovde neće biti učinjeno, tim pre Sto su ovi postupci poznati iz literature [4, 6, 9, 17, 20, 21,22].
Treba naglasiti da neki modeli [22, 24] u obzir uzimaju tzv. ,,plivanje“ koje je defmisano pravcem trenutne brzine težišta u odnosu na podužnu osu simetrije vozila (zbog bočne elastičnosti pneuma-tika tokom zaokretanja). Ovaj slučaj nije analiziran zbog Činjenice da se pomenuti fenomen može uključiti u analizu dodat-nim kinematskim vezama tli uvodenjem jednog stepena slobode kretanja (novog segmenta nultih parametara inercije), čija bi se kinematika detaljnije definisala iz uslova zaokretanja vozila [8].
Analize su pokazale da se program može koristiti i u slučaju da se uvedu elasto-prigušni elementi, ali u tom slučaju vreme realizacije je mnogo duže. Pri
tome stečeno iskustvo pokazuje da se javlja i ograničenje vezano za perfor-manse računara.
Zaključak
Na osnovu prethodnih analiza može se zaključiti da se program iz [13], uz odgovarajuće izmene, može koristiti za automatsko generisanje diferencijainih jednačina kretanja vozila. Pored toga, razvijeni formalizovani postupak i mo-gućnost uvodenja neholonomnih veza omogućavaju analizu upravljivosti vozila.
Formalizovano modeliranje i simbo-lička matematika pokazuju slabosti u slu-čajevima uvođenja većeg broja elasto-pri-gušnih elemenata u model.
Liter Mura:
(I| Cućuz. N.. Rusov, L.; Dinamika motomih vozila. Pnvredm pregkd. Beograd. 1973.
[21 Cudakov. E. A.: tzabranie Tmdi 1-2. AN SSSR. 1961.
(3J Demk. M.: Teonja kretanja motomih vozila, Tehnitki fakultet u Cadku. 1999.
|4| Ellis. J. R.: Vehicle Dynamics. Bussittes Books. London. 1973.
{5| Ghazjzadch. A.. Fahrm. A.. El Cindy. M.: Neural network representation of a vehicle model. Neura-Vehicle (NV), Ini. Journal of Vehicle Design, vol. 17. No I.. 1996.
(6| Gillespie. T.: Fundamentals of Vehick Dynamics, SAE. 1990.
{7| Golubovid. D.: Development methodology of nonlinear models for qualitiative estimate vehicle stability control. MVM, No3. 1992.
[8] Gotubovid. D.: Dinamika srstema - stabilnost upravljaoja automobila. monografija. TF Cadak. 1990.
[9] Hadaturov, A. A. et al: Dinamika sistemi: daroga-avtomobil - fina-voditclj. Malinostrojenijc. Moskva, 1970.
[10] Long. R. R.: Engineering Science Mechanics. Prentice -Hall. 1963.
(1!) Kecskcmciy. A. i dr.: Symbobe Processing of Multiloop Mechanism Dynamics Using closed Form Kinematics Solutions. Multibodz System Dynamics, No. I. 1997.
(12} Min, $. K. et al.: Multubody Dynamics Response Optimization with ALM and Approximate Line Search. Multibody System Dynamics. No. I. 1997.
[13} Markovk. S.: Automatsko formiranje diferencijainih jedna-Cina kretanja sistema kmtih tela u analitkkom obliku. Magistarski rad. Malinsfci fakultet Beograd. 1992.
[14} Mitschke.M.: DynamikderKraftfahrzcuge.Springer. 1973. [SSJ Millikcn. W.,MilhkenD.: Race Car Dynamics. SAE. 199$.
VOJNOTEHNIČKl GLASN1K 2/2000.
165
116) Paccjka. H. B. (editor): Tyre models (or vehicle dynamics model analysis. Proceedings of 1st Internationa] Coloquium on Tyre model of Vehicle Dynamics analysis. Delft. 1991.
(17) Sayers. M. W.: Symbolic Computer Method to Autoroati-caiy Formulate Vehicle Simulation Codes. 1%. D.. 171« University of Michigan. 1990.
(18) Sayers. M. W.; A. Symbolic Vector-Dydaic Multibody Formal mm ForTrcc Topology Systems. Journal of Guidance. Control and Dynamics, vol. 14. No 6. 1991.
119) Sayers. M. W.: A Symbolic Computer Language for Multibody stucms. Journal of Guidance. Control and Dynamics, vol. 14.. No 6. 1991.
(20) Shah. M. et al.: Symbolic Method for Modelling Rail Vehicle Systems. Ini. Journal of Vehicle Design. No 5/1997.
(21) Simić. D.: Motoma voxila, Naudna knjiga. Beograd. 1968.
(22) Sunić. D.: Dinanuka motomih voziia - »tabtlnost upravljanja. MaJinski fakultet. Kragujevac. 1975.
(23) Shnid. D.. Golubovid. D.: Optimal Safety of Vehicle Control. SAE Technical Paper Series 901733. 1990.
(24) Simić, D.. Golubovid. D.: Subilnost upravljanja automobile sa konsuntnim ubrsanjem, NMV79. Bled. 1979.
(25) Stavkkij. A. I.: MatematiCeskaja modeli issledovanija dina-miki i toplivnog ekooomidnosti avtomobilja na evra. Avto-mobtljnaja promifljcnost. No8. 1968.
(26) Schichlen. W.: Multybody Systems. Handbook. Springer, 1990.
(27) Wolfram. S.: Malhematka, A System for Doing Mathematics by Computer. Second Edition. Addhon-Wesley Publishing Company Inc.. Advanced Book Programm. 1991.
166
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2000.
