CC BY
73
УДК 512.64, 517.37, 530.145.1
Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 1 (59). 2014. Вып. 4
А. А. Багаев, Ю. М. Письмак
ФОРМАЛИЗМ ФОНОВОГО ПОЛЯ ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ*
Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Обсуждается вариант формализма фонового поля, предложенный Л. Д. Фаддеевым, возникающие при этом граничные условия специального вида и квантовые уравнения движения. Рассмотрены новые конструкции типа производящих функционалов ¿-матрицы. Функциональные (или континуальные) интегралы заменены кратными интегралами Римана по конечномерному вещественному евклидову пространству Rn, а действие свободной теории является квадратичной формой, заданной скалярным произведением на Rn. Действие теории со взаимодействием — некоторая скалярная функция многих переменных или нелинейный функционал на этом пространстве. Получившаяся «0-мерная теория поля», во-первых, вещественна, во-вторых, свободна от любых расходимостей, в частности, отсутствуют объёмные множители, и, в-третьих, все квантовые величины однозначно определены. Предложен «дискретный» аналог версии Фаддеева производящего функционала. Для этого потребовалось ввести расширенное пространство интегрирования — прямую сумму основного и вспомогательного пространств, и сингулярную меру интегрирования. Дискретный функционал в варианте Васильева—Письмака может быть записан непосредственно. Найдено условие согласования двух вариантов производящих функционалов. Работа носит методический характер. Библиогр. 46 назв.
Ключевые слова: формализм фонового поля, производящие функционалы, гауссовы интегралы, асимптотические разложения.
A. A. Bagaev, Yu. M. Pis'mak
BACKGROUND FIELD FORMALISM FOR MULTIPLE INTEGRALS
St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation
L. D. Faddeev's version of background field formalism and its attributes — special boundary conditions and quantum equations of motions — are discussed. Some new constructions like the ¿■-matrix generating functional are considered. Now the functional integrals (Feynman's path integrals) are replaced by usual multiple Riemannian ones over finite-dimensional real Euclidean space; a free field action becomes a quadratic form provided by scalar product on that space. An action with interaction now is some scalar function on multiple variables or non-linear functional on our integrating space. The obtained "0D field theory", firstly, is real, secondly, is divergence-free and thirdly, all the quantum quantities are defined without any ambiguities. In particular, there are no volume factors. A "discrete" analog of Faddeev's generating functional is proposed via introducing of extended integration space. It is equal to direct sum of basic and auxiliary spaces and has singular integration measure. Vassil'ev—Pis'mak's discrete generating functional can be written down directly. The compatibility condition for both functionals is founded. This paper is methodical. Refs 46.
Keywords: background field formalism, generating functionals, Gaussian integrals, asymptotic series.
Введение. Формализм фонового поля [1-3] является современным подходом квантовой теории поля. С его помощью удаётся наиболее просто решать задачи вычисления эффективных действий и наблюдать эффекты, выходящие за рамки теории возмуще-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 12-02-00412-а.
Основной объект изучения метода фонового поля — это производящий функционал ¿"-матрицы [4, 5]. Его вариационные производные суть коэффициентные функции матрицы рассеяния, через которые выражаются амплитуды рассеяния. В традиционной теории поля чаще используется производящий функционал функций Грина, который содержит информацию обо всех п-точечных функциях Грина.
Производящие функционалы ^-матрицы. Производящие функционалы удобно выражать через функциональный или континуальный интеграл [6-8]. Примем, что действие исходной теории поля ф имеет вид ¿(ф) = ¿о (ф) + ¿¡(ф), где ¿о — действие свободной теории, т. е. квадратичная часть 5; ¿I — действие взаимодействия. Тогда производящий функционал коэффициентных функций ¿-матрицы имеет вид
д(ф0) = J е^^+^^+^^ф, (1)
т
где пространство функционального интегрирования Т — множество полей, удовлетворяющих условиям излучения Фейнмана [5, 16]; фо €£ С Т.
Интересна реализация формализма фонового поля, которую предложил Л.Д.Фаддеев [9-11]. Она позволяет наиболее просто проводить перенормировку асимптотически свободных теорий, имеющих одну константу связи, например, полей Янга—Миллса, нелинейной сигма-модели. В этом подходе удобнее другое представление производящего функционала ¿-матрицы [12-16]:
е'г<"1':=2-Чф, (2)
т
где фоновое (внешнее) поле фрь имеет фиксированные асимптотики при х0 ^ Будем считать фрь ЭТ, подробнее — см. [17].
Связная часть (2), т. е. показатель экспоненты Г тогда и только тогда является эффективным действием, когда фоновое поле фрь удовлетворяет квантовым уравнениям движения. По определению [9], левая часть квантовых уравнений движения — сумма левой части классических уравнений движения S¿(фр^/6ф^ и вкладов всех одночас-тично-неприводимых диаграмм с одной внешней линией. Также квантовые уравнения движения — это условия согласования преобразования Лежандра [8, 18] функционала ЖррЬ (3) — логарифма модернизированного производящего функционала функций Грина
С(1 ) = У ехр{^(ф + фрь) + ф3ф
т
при 3 = 0 и нулевом среднем поле [17].
Уравнение Швингера. Если использовать вышеописанный метод для конкретных практических вычислений, например, эффективных действий различных полевых моделей, нет необходимости учитывать граничные условия ф^ € Т>, можно де-факто игнорировать квантовые уравнения движения и считать ф^ некоторым классическим внешним полем [19, 20]. Имеющиеся результаты вычислений эффективного действия [10, 21-27] подкрепляют справедливость такого подхода.
Как известно, имеет место уравнение Швингера [8, 28]: функциональный интеграл от вариационной производной равен нулю. Поэтому
8фрЬ У } бфрЬ } 6ф
т т т
т. е. производящий функционал (2) оказывается равным константе. Очевидно, что цепочка равенств (3) не приводит к нулю в том и только том случае, когда
6 &
где Е = ехр{Б}. Разумеется, неравенство (4) не противоречит определениям фаддеев-ской версии формализма фонового поля, ибо переменные ф и фph принадлежат разным функциональным пространствам.
Поставим задачу явно построить конструкцию типа (2), для которой выполнялось бы неравенство (4), и, следовательно, она давала бы нетривиальный функционал внешнего поля. В нашей модели предполагается вместо функционального пространства интегрирования использовать конечномерное вещественное евклидово пространство К", а вместо континуального интеграла риманов интеграл. Помимо очевидного упрощения всех возможных вычислений такой подход обеспечивает существование и однозначное определение квантово-полевых величин — производящих функционалов, амплитуд рассеяния, критических индексов и т. п.
Нульмерная теория поля. Методы квантовой теории поля, такие как фейнма-новская диаграммная техника [29], могут быть применены для анализа интегралов от функций специального вида.
Одномерным гауссовым интегралом, или интегралом Эйлера—Пуассона, называется
+ оо ._
/ е~^ах2Лх = \ а > 0. (5)
.] V а
—ж
Пусть показатель экспоненты Б(х) подынтегральной функции имеет вид
Б(х) = — ах2 + Б\{х),
где функция Б\(х) ^ 0, х ^ ±сю. В реальных ситуациях Б\(х) — это полином степени, старшей 2, но, вообще говоря, может быть любой аналитической функцией, удовлетворяющей условиям неотрицательности. Чтобы вычислить интеграл от ехр{—Б(х)}, представим ехр{—Б[(х)} рядом Тейлора по переменной х. Вклад члена нулевого порядка — правая часть формулы (5). Вклады мономов нечётной степени суть нечётные функции, их интегрирование по симметричной области даёт ноль. Оставшиеся интегралы от мономов чётной степени легко вычислить:
е~*ах х/пс1х= {-2)п— / е-*ах с1х = \ —
¿ап I У М а 2пп! а"'
—ж —ж /
Правая часть может быть интерпретирована следующим образом. Квадратный корень — (с^^)-1/2 — это детерминант оператора квадратичной формы [8], так как матрица над пространством М является вещественным числом; а—1 — это интегральное ядро обратного оператора, т. е. функция Грина, или пропагатор; коэффициент при а—п — число способов спаривания множителей монома х2п. Согласно основным принципам квантовой теории поля [29-32], усреднённому спариванию полей соответствует
пропагатор — линия диаграммы Фейнмана; степеням мономов Sj(x) — вершины диаграммы соответствующих степеней [33]. Если сопоставить этим вершинам степени некоторой величины — константы связи X (например, Si(x) = (X/4!)x4), можно заметить, что рассматриваемый интеграл будет иметь вид разложения по степеням X. Очевидно, что это разложение асимптотическое [34, 35].
Для однократных интегралов диаграммная техника тривиальна. В случае п-крат-ных интегралов ax2 заменяется на невырожденную положительно определенную квадратичную форму над К". Поле x e К" теперь зависит от дискретной переменной i — номера координаты вектора x = |xj|, i е{1,...,п}. Таким образом, имеем векторное или изотопическое поле [36, 37], которое является функцией не пространственно-временных координат и изотопических индексов, а только изотопических индексов. Поэтому такую теорию поля иногда называют 0-мерной, или дискретной. Кратный интеграл играет роль функционального интеграла D-мерной теории.
Нульмерная теория поля иначе называется теорией случайных матриц [38]. Однако мы используем не «матричный» подход, где действие — функционал типа следа, а функциональное интегрирование производится с мерой Хаара [39], а описанный выше «векторный». Он представляется авторам более общим.
Теория поля определяется функционалом действия S : К" ^ К:
S = ^ (ж, К0х) + Sj(x),
где первое слагаемое — So — невырожденная положительно определенная квадратичная форма, угловыми скобками обозначено скалярное произведение на евклидовом пространстве К"; Ko — симметричная квадратная матрица пхп, det Ko = 0; Sj — «действие взаимодействия» [7, 8] — новый функционал К" ^ К — сумма старших порядков S. Потребуем, чтобы
Sj(x) > 0, \x\ ^ ж. (6)
Гауссов интеграл теперь равен
(det ir)~1/2- Линиям диаграмм соответствует про-пагатор Д := K—1 — матрица — зависит от двух изотопических координат. Выражения вершин содержат комбинации символов Кронекера. Поэтому вклады диаграмм — конструкции типа различных матричных следов и их произведений.
Дискретные производящие функционалы ^-матрицы. Построим аналог формулы (1) — производящий функционал S-матрицы в форме Васильева—Письмака:
ñv-p(y) = j (7)
Положительная определенность и невырожденность Ko, а также условие (6) обеспечивают сходимость интеграла (7) У y e К". Функционал коэффициентных функций понимается как ряд Тейлора функции п переменных [40]:
ñv-p(y) = const+ £ saya,
|a| = 1
где a — мультииндекс [41], т. е. a = (a1,..., a"), a¿ e N, ya = y^1 • ... • y"n, \a\ = a1 + + ... + an. «Коэффициентные функции» sa = sa ...an также зависят от изотопических индексов.
Таким образом, представление производящего функционала Б-матрицы через функциональный интеграл в варианте Васильева—Письмака непосредственно переносится на случай «0-мерной» теории поля. Так же перенести производящий функционал в варианте Фаддеева (2) нельзя — необходимо обеспечить выполение (4).
Поставим задачу предъявить такой нетривиальный функционал, который:
1) вместо конструкции (1/2)(х, Кох) + Б\(х + у) содержит Б(х + у);
2) даёт (7), когда переменная у удовлетворяет некоторым условиям.
Рассмотрим пространство Мп+т. Оно, очевидно, раскладывается в прямую сумму:
К"+т = М" ф Мт [42], поэтому вектор х € М"+т можно обозначить: х = (х,х')т, где х € М", х' € Мт. Вторую компоненту прямой суммы (Мт) будем называть вспомогательным пространством. Любую симметричную матрицу (п + т) х (п + т) можно представить как
п т
\ п
{ , КТ = Ко, ат = а. (8)
Ко . В
К=
\ВТ . а У
Примем дополнительное условие
det К0 = 0
и рассмотрим вместо (7) следующий функционал Яр : М"+т ^ М:
ЕР(у)= I е-^Рх+У'к<-Рх+У»-Ых+У)@х, (9)
где мера интегрирования <3х := Ь((1 — Р)х)3"+тх = Ьт(х')3"+тх, Ь, Ьп — Ь-функции Дирака соответствующей размерности, а Р — первый проектор прямой суммы М"+т = = М"фМт. Скалярное произведение здесь берётся в «большом» пространстве М"+т. По определению, (9) зависит только от «вспомогательной» части у', так как мера является сингулярной.
Коэффициентные функции Б-матрицы суть коэффициенты тейлоровского разложения Яр (у). Выясним, при каких условиях на фоновое поле у они равны соответствующим коэффициентам в функционала Ду—р(у).
Во-первых, действия взаимодействия должны быть естественным образом связаны:
Б1(Рх)= Б1(х). (10а)
Во-вторых, преобразуем интеграл (9). Используя явный вид матрицы К, раскроем квадратичную форму:
(Рх + у, К(Рх + у)) = (х + у + ДБу', Ко (£ + у + ДБу')^ + {у', [а — ВТДВ] у')2 ,
где цифрами 1, 2 обозначены скалярные произведения в пространствах М", Мт соответственно. Имеем
ДрЫ = ехР (у', [я - вТдв] у')2} х
х J е^^-\{х + у + АВу\К0{х + у + АВу'))1-81{х + у)^с1х =
= exp j-i (у', [a - ВТДВ] y')2 J • J exp (x, R'ox), - S^x - ABy')} dx,
Rn
где последний знак равенства — замена переменной интегрирования: x ^ x — y — ДВу'. Если принять
y := —ДВу', (10б)
функционал Rf(v) становится равным Ry—p(y) с точностью до внеинтегрального множителя. Выясним условия отсутствия этого множителя.
Можно показать [43], что rang (а — ВТДБ) = rang K — n. Поскольку матрица K0 невырожденная, n ^ rang K ^ n + m, следовательно, 0 ^ rang (а — ВТДВ) ^ m. Возможны два принципиально различных случая:
1) rang (а — ВТДВ) = m, т. е. матрица K невырождена. Тогда равенство нулю показателя экспоненты эквивалентно тому, что у' = 0. Это означает, что (7) и (9) совпадают только при нулевом фоновом поле;
2) 0 < rang (а — ВТДВ) < m, т. е.
det K = 0. (10е)
Теперь показатель экспоненты равен нулю, если вектор у' — решение уравнения
(а — ВТДВ) у' = 0. (10г)
Такой у' параметризуется вектором y'' G R™+m-rangK: y' = Cy'', где C — некоторая матрица m х (n + m — rang K), rang C = m.
Первый случай бессодержательный, поскольку внешнее поле оказывается равным нулю. Следовательно, остаётся второй. Таким образом, условия (10) обеспечивают равенство
RF(y) = Rv-p(v). (11)
Обратим внимание на то, что система уравнений (10б), (10г) равносильна уравнению
Ky = 0, (12)
которое является условием стационарности действия свободной теории (1/2) (y, Ky). Уравнение (12) можно назвать также классическим уравнением движения. Значит, в левой части (11), как говорят, фоновое поле y «на массовой поверхности» (терминология отсылает к псевдоевклидовой версии теории поля в импульсном представлении [32, 44]). Этот факт полностью соответствует фаддеевскому определению производящего функционала ¿-матрицы [9-16], где называется граничными условиями, которые реально являются условиями излучения Фейнмана.
Условие (12), очевидно, более сильное, чем (10г):
Ky = 0 ^ (Px + y, K(Px + y)) = (Px, KPx) = (x, K0x)
и мы сразу получаем (11). Однако для совпадения коэффициентных функций и параметризация (10^) непринципиальна, потому что они равны на общей области определения:
если а — в как мультииндексы.
1
Таким образом, фадцеевский вариант производящего функционала (9) корректно определён.
Заключение. Основной результат нашей работы — корректное построение фадде-евской версии формализма фонового поля — носит методический характер. Это важная задача теоретической и математической физики. Её изучение позволит глубже понять математическую природу основных объектов квантовой теории поля: эффективного действия, производящих функционалов и т. п. Например, граничные условия, благодаря которым выполняется неравенство (4), удалось интерпретировать с помощью введения расширенного пространства интегрирования, которому принадлежит фоновое поле.
Ожидаются результаты применения разработанного подхода к квантово-полевым вычислениям. Так, планируется рассмотреть дискретный аналог векторной модели ф4, т. е. S\(x) = (x,x)2, x G RN, и построить l/N-разложение для критических индексов вплоть до четвёртого порядка. Разложение 1/N для критических индексов модели ф4 построено во втором и третьем порядках в работах [45, 46].
Интересно также сопоставить рассмотренную версию нульмерной теории поля и теорию случайных матриц [38].
Использование квантово-полевых методов и, в частности, формализма фонового поля для вычисления кратных интегралов может быть полезным при построении асимптотических разложений интегралов специального вида.
Авторы благодарят академика Людвига Дмитриевича Фаддеева за ценные консультации и многолетнее научное руководство (А. А. Багаев).
Литература
1. AbbottL. F. The background field method beyond one loop // Nucl. Phys. (B). 1982. Vol. 185, N 1. P. 189-203.
2. Коулмен С. Тайная симметрия: введение в теорию спонтанного нарушения симметрии и калибровочных полей // Квантовая теория калибровочных полей: сб. статей / пер. с англ.; под ред. Н. П. Коноплёвой. М.: Мир, 1977. С. 23-119.
3. De Witt B. S. Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory // Phys. Rev. 1967. Vol. 162, N 5. P. 1195-1239.
4. БоголюбовН. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984. 604 с.
5. ИциксонК., ЗюберЖ.-Б. Квантовая теория поля: в 2 т. / пер. с англ. М.: Мир, 1984. Т. 1. 448 с.
6. Фрадкин Е. С. Метод функций Грина в теории квантованных полей и в квантовой статистике // Квантовая теория поля и гидродинамика. Некоторые вопросы квантовой теории релятивистских статистических систем и гидродинамика: труды физ. ин-та им. П. Н. Лебедева. Т. XXIX / под ред. Д. В. Скобельцина. М.: Наука, 1965. С. 7-138.
7. Васильев А. Н., ПисьмакЮ.М. Унитарность виковской Т-экспоненты // Теор. мат. физика. 1973. T. 15, № 2. C. 182-196.
8. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 295 с.
9. Faddeev L. Mass in quantum Yang—Mills theory (comment on Clay Millennium problem) // Bull. Braz. Math. Soc. 2004. Vol. 33, N 2. P. 1-12.
10. Фаддеев Л. Д. Замечания о расходимостях и размерной трансмутации в теории Янга—Мил-лса // Теор. мат. физика. 2006. Т. 148, № 1. С. 133-142.
11. Faddeev L. D. Separation of scattering and selfaction revisited // Subtleties in quantum field theory: Lev Lipatov Festschrift / ed. by D. Diakonov. Gatchina: PNPI, 2010. P. 1-6.
12. Попов В.Н., Фаддеев Л. Д. Теория возмущений для калибровочно-инвариантных полей. Препринт ИТФ-67-036. Киев, 1967. 28 c.
13. Попов В. Н., Фаддеев Л. Д. Ковариантное квантование гравитационного поля // Усп. физ. наук. 1973. T. 111, № 3. C. 427-450.
14. Арефьева И. Я., Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Производящий функционал ¿-матрицы в калиб-ровочно-инвариантных теориях // Теор. мат. физика. 1974. T. 21, № 3. C. 311-321.
15. FaddeevL.D. Inroduction to the functional methods // Methods in field theory (Les Houches session XXVIII) / eds R. Balian, J. Zinn-Justin. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1976. P. 3—40.
16. Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978. 240 с.
17. Багаев А. А. Эффективное действие в формализме фонового поля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2012. Вып. 3. C. 56-65.
18. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.
19. Поляков А. М. Калибровочные поля и струны / пер. с англ. Ижевск: изд. дом «Удмуртский университет», 1999. 312 с.
20. Jackl., OsbornH. Two-loop background field calculations for arbitrary background fields // Nucl. Phys. (B). 1982. Vol. 207. P. 474-504.
21. Багаев А. А. Перенормировка квантовых уравнений движения для полей Янга—Миллса в формализме фонового поля // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. 2005. Т. 325. С. 5-12.
22. BagaevA. A. Renormalization of the quantum equation of motion for Yang—Mills fields in the background formalism // J. Math. Sci. 2006. Vol. 138, N 3. P. 5631-5635.
23. Bornsen J.-P., van de VenA. E. M. Three-loop Yang—Mills ^-function via the covariant background field method // Nucl. Phys. (B). 2003. Vol. 657. P. 257-303.
24. Багаев А. А. Замечание о перенормировке эффективного действия и квантовых уравнений движения для модели sin-Гордона в формализме фонового поля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2010. Вып. 1. C. 162-164.
25. Багаев А. А. Применение формализма фонового поля к исследованию матричной а-моде-ли // Труды молодёжн. научн. конф. «Физика и прогресс». СПб., 2007. C. 84-88.
26. Багаев А. А. Двухпетлевые вычисления эффективного действия матричной а-модели в формализме фонового поля // Теор. мат. физика. 2008. Т. 154, № 2. С. 354-362.
27. Багаев А. А. Об устранении квадратичной по импульсу расходимости нелинейной сигма-модели в формализме фонового поля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2011. Вып. 4. C. 4-7.
28. Schwinger J. On the Green's functions of quantized fields. I // Proc. Nat. Acad. Sci. 1951. Vol. 37, N 7. P. 452-455.
29. Feynman R. P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. Vol. 20, N 2. P. 367-387.
30. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.: Физматгиз, 1959. 656 с.
31. ХенлиЭ., ТиррингВ. Элементарная квантовая теория поля. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. 316 с.
32. Берестецкий В. Б., ЛифшицЕ. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория, ч. 1. М.: Наука, 1968. 480 с.
33. ХарариФ. Теория графов / пер. с англ. М.: Мир, 1973. 300 с.
34. ЭрдейиА. Асимптотические разложения / пер. с англ. М.: Физматлит, 1962. 127 с.
35. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988. 312 с.
36. YangC.N., Mills R.L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance // Phys. Rev. 1954. Vol. 96, N 1. P. 191-195.
37. Янг Ч., МиллсР. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля: сб. статей / под ред. Д. Д. Иваненко. М.: Мир, 1964. С. 28-38.
38. Di Francesco P. 2D Quantum gravity, matrix models and graph combinatorics // Applications of random matrices in physics: Proc. NATO advanced study institute (Les Houches, France) / eds E. Brezin, V. Kazakov, D. Serban, P. Wiegmann, A. Zabrodin. Dordrecht, The Netherlands: Springer, 2006. P. 33-88.
39. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. 519 с.
40. Смирнов В. И. Курс высшей математики: в 5 т. М.: Наука, 1974. Т. 1. 479 c.
41. Saint Raymond X. Elementary introduction to the theory of pseudodifferential operators. Boca Ration, Florida: CRC Press, 1991. 116 p.
42. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 416 с.
43. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.
44. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Теория поля. М.: Наука, 1973. 504 с.
45. Васильев А. Н., ПисьмакЮ.М., ХонконенЮ.Р. l/n-Разложение: расчёт индекса п в порядке 1/n3 методом конформного бутстрапа // Теор. мат. физика. 1982. T. 50, № 2. С. 195-206.
46. Васильев А. Н., ПисьмакЮ. М., ХонконенЮ. Р. l/n-Разложение: расчёт индексов п и v в порядке 1/n2 для произвольной размерности // Теор. мат. физика. 1981. T. 47, № 3. С. 291-306.
Статья поступила в редакцию 1 июля 2014 г.
Контактная информация
Багаев Алексей Анатольевич — кандидат физико-математических наук; e-mail: bagaew@mail.ru Письмак Юрий Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: ypismak@yahoo.com
Bagaev Aleksei Anatolievich — Candidate of Physics and Mathematics; e-mail: bagaew@mail.ru Pis'mak Yurii Mikhailovich — Doctor of Physics and Mathematics, Professor; e-mail: ypismak@yahoo.com
