Замечание о перенормировке эффективного действия и квантовых уравнений движения для модели sin-Гордона в формализме фонового поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2010. Вып. 1

УДК 53:51, 530.145.1, 517.9 А. А. Багаев

ЗАМЕЧАНИЕ О ПЕРЕНОРМИРОВКЕ ЭФФЕКТИВНОГО ДЕЙСТВИЯ И КВАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ 8Ш-ГОРДОНА В ФОРМАЛИЗМЕ ФОНОВОГО ПОЛЯ

Вычислим однопетлевые бесконечные части эффективного действия и полной одночастичной вершины («головастика») модели вш-Гордона [1—3]:

Б(п)

— д^ид^и — то2(1 — сов и)

С х,

(1)

где у - малая безразмерная константа связи. Расчёты проведём в формализме фонового поля V [4-7],

и = V + л/уд; (2)

будем считать V и квантовое поле ц удовлетворяющими соответствующим граничным условиям [8].

Подставляя (2) в (1) и представляя 8т(^/уд) и сов(у/уд) рядами Тейлора, получаем

^ д^уд^у - т2( 1 - сову)

в2х------— I \д2у + т2 эт-у] дс]2х —

2 , 2 1 72

т соб V] аа х

т {

] (}32х + д/у &туд3(1‘2х-\-

1

УУ-1 и+ л_

У л/у .

Эффективное действие в однопетлевом приближении имеет вид Ш = 1/уШ_1 + Шо,

= ^ УУ-х{у) + -^= J ^дсРх - ^ J дК(у)дг]2х + ^/у J Г(у)д3г]2х + 0(у). (3)

где

Т^о(г>) = — - 1пс1е1 К(у).

Вычислим бесконечную часть детерминанта методом собственного времени Фока [9] по формуле

1 г г а§

1пс1е1 ^(-у) =---------а\{х,х)(12х —,

4я у ] в

где а1(х,у) - коэффициент разложения 0к (х,у, в) - решения задачи Коши для параболического уравнения

(К(у)вк(х, у,в) = -£ вк(х, у, в),

1 0к(х, у, 0) = 6(х - у)

© А. А. Багаев, 2010

по степеням собственного времени s при первой его степени. Диагональное значение коэффициента о,\ выражается через предыдущий коэффициент: a1(x, x) = д2a0(x, y)\y=x+ + m2 cosv(x). Нетрудно показать, что для модели (1) ao(x,y) = 1. С учётом того, что мы работаем в евклидовой версии теории поля для расходящейся части эффективного действия получаем

1 2 Г Л

T-Fi ii) = - W-Av)----------------cos (ж)ci2ж In —, (4)

Y 4n J ц

где 1пЛ/ц -регуляризованный интеграл по собственному времени.

Теперь вычислим полную вершину 3(ж) с точностью до однопетлевого приближения:

AvIvA

Г» 1 тп?'

z{x) = (§§§§§§}----------= х-----------ь [Gv f—-— = — J-i{x) + a/y — sini!(x)G„(x, x),

Оу и Г(-у) - пропагатор и трёхчастичная вершина теории (1) в формализме фонового поля, соответственно. Для вычисления функции Грина воспользуемся её представлением в методе собственного времени

Gv(x,y)= J Qk(x,y,s)ds,

0

из которого следует, что расходящаяся часть на диагонали регуляризуется так: Gv ^ ^ 1/(2я)1пА/ц,. Таким образом,

3(ж) = ~^=j-i{x) + y/у sinv(x) In —. (5)

у/y 4jt [i

Сравнивая (4) и (5) и учитывая SW_i(v)/Sv = J_i, наблюдаем соотношение

bWYiO ^

Vj bv =Ф)- (в)

Равенство (6) означает совпадение перенормировок эффективного действия и «головастика» в однопетлевом приближении. С другой стороны, его можно интерпретировать так: квантовые уравнения движения J(x) = 0 [4, 5] являются условиями стационарности эффективного действия.

Отметим, что (6) не выполняется для таких теорий как поля Янга-Миллса [10] и нелинейная сигма-модель [11, 12]. В этом случае требуется дополнительная перенормировка «головастика». Её, в свою очередь, можно свести к множителям перенормировки волновой функции. Заметим, что для модели sin-Гордона, как известно [1, 13], такой множитель отсутствует.

Автор благодарит академика Л. Д. Фаддеева за внимательное прочтение рукописи статьи и ценные замечания.

Литература

1. Faddeev L. D., Korepin V. E. Quantum theory of solitons // Phys. Rep. (C). 1978. Vol. 42. N 1. P. 1-87.

2. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М., 1986. 592 с.

3. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М., 1985. 415 с.

4. Фаддеев Л. Д. Замечания о расходимостях и размерной трансмутации в теории Ян-

га-Миллса // Теор. мат. физика. 2006. Т. 148. № 1. С. 133-142.

5. Faddeev L. Mass in quantum Yang-Mills theory (comment on Clay Millennium Problem) // Bull. Braz. Math. Soc. 2004. Vol. 33. N 2. P. 1-12.

6. Девитт Б. С. Динамическая теория групп и полей / пер. с англ. М., 1987. 288 с.

7. Jack I., Osborn H. Two-loop background field calculations for arbitrary background fi-

elds // Nucl. Phys. (B). 1982. Vol. 207. P. 474-504.

8. Faddeev L. D. Inroduction to the functional methods // Methods in field theory (Les Houches Session XXVIII) / ed. by R. Balian, J. Zinn-Justin, Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1976. P. 3-40.

9. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля. Л., 1957. 160 c.

10. Багаев А. А. Перенормировка квантовых уравнений движения для полей Янга-Миллса в формализме фонового поля // Записки научн. семин. ПОМИ РАН. 2005. Т. 325. С. 5-12.

11. Багаев А. А. Замечание о перенормировке квантовых уравнений движения для матричной сигма-модели // Записки научн. семин. ПОМИ РАН. 2007. T. 347. С. 30-33.

12. Багаев А. А. Применение метода собственного времени Фока к исследованию нелинейной сигма-модели в формализме фонового поля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2009. Вып. 4. C. 183-204.

13. Dashen R. F., Hasslacher B., Neveu A. Particle spectrum in model field theories from semiclassical functional integral techniques // Phys. Rev. (D). 1975. Vol. 11. N 12. P. 3424-3450.

Статья поступила в редакцию 29 сентября 2009 г.