CC BY
49
УДК 514.75/.77
ФОРМА КИЛЛИНГА НА КОКАСАТЕЛЬНОМ И ТЕНЗОРНОМ РАССЛОЕНИИ ТИПА (0, 2) НАД ГРУППАМИ ЛИ
© 2012 Н. А. Опокина
канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель каф. математики и экономической информатики e-mail: opnadina,mail. ru
Казанский федеральный университет
В данной работе найдены и изучены алгебры Ли групп Ли кокасательного и тензорного расслоения типа (0, 2). Получены структурные уравнения этих алгебр Ли, а также найдены формы Киллинга на этих расслоениях.
Ключевые слова: кокасательное расслоение над группами Ли, тензорное расслоение типа (0, 2) над группами Ли, алгебра Ли группы Ли, форма Киллинга.
*
Алгебра Ли группы Ли T G Пусть G - группа Ли с умножением
( x,y )ЕG х G ^ z = xy ЕG.
Пусть n = dimG. Обозначим через L(a) и R(a) левый и правый сдвиги на группе Ли G соответственно, порожденные элементом a, x-1 - элемент обратный к элементу х .
*
Рассмотрим кокасательное расслоение T G над группой Ли G. Возьмем X ,Y Е T * G. При локальной тривиализации X и Y имеют вид (x,Q ) и
(у,6у ) соответственно. Известно [Опокина 2011: 104-105], что кокасательное *
расслоение T G является группой Ли относительно операции
* 1 * 1
( х,вх ) о ( у,ву ) ^ ( xy,L ( x )ву + R( у )вх ), (1)
* *
где L , R - кодифференциалы левого и правого сдвигов соответственно [Шапуков 2002: 34-36]. Введем следующие индексы: i, j, k,... = 1, n. В координатной форме (1) имеет вид
zk = gk (х', y),
в2) г = ц (хщ) s+r: (у)(вх) и.,
где (и^( а)), (Я. (а)) - матрицы дифференциалов левого и правого сдвигов,
соответственно [Шапуков 2002: 34],
~г'
( Ь 1 ( а )) - обратная матрица матрицы ( ^.( а )),
7
~7'
(Я 1 (а)) - обратная матрица матрицы (Я1, (а)).
Пусть А Е Т* О. При локальной тривиализации А имеет вид ( 0!,^ ). Всякое
*
левоинвариантные векторное поле на группе Ли Т G имеет компоненты [Опокина 2011:105-106]
~к
У( А) = Iі.(а)УНІ + (-дІЇ(а)(ва )у + Ц (ау + к )дп +і, (2)
где д « + ] = _д_, дв.
]
1 *
( V V ) - координаты вектора V в единице группы Т О. п + к
*
Пусть g0 - множество всех левоинвариантных полей (2) на группе Ли Т О.
*
Тогда g0 является алгеброй Ли группы Ли Т О. Поля £ ( а ) = (Е.(А ),Еп + ^(А))
(I = 1,2п), где
Е ( А ) " Ь{ ( а )д,/ - д ^ ( а )(ва к дП + * • (3)
Еп + 1 ( А ) = Ьк( а )дп + к
образуют её базис. Произвольное левоинвариантное векторное поле выражается через них линейной комбинацией с постоянными коэффициентами:
¥ (А) = ¥Ц( А) + ¥п + Еп + \ А).
Найдем структурные уравнения алгебры Ли g0. Для этого вычислим коммутаторы [ Е Е ] [ Е Еп + ^ ] [ Еп + ^ Еп + к ] Учитывая определение коммутатора [Кобаяси,
Номидзу 1981: 15] и вид базиса (3), получим
[Е.,Е ] = СкЕ + С.. ,Еп +к. (4)
у г у у к гу п + к
Подставляя в (4) базис g 0 (3) и сравнивая коэффициенты при ^ и дп + к, получим при
к
А=Е
Ск = (д Ьк -д ьк)
У v * У У I }е,
С.. , = 0,
у п + к
^ к к где е - единица группы Ли О, Е - единица группы Ли Т О. Таким образом, С • = С ■■,
У У
где с^ - структурные константы на алгебре Ли g группы Ли О [Шапуков 2002: 35].
У
п +
П+ К , ґС\
[Е.,Еп + ]] = С Е1 + Сп +] ,Еп + к. (5)
г 1 г к і п + к
Подставляя в (5) базис g0 (3) и сравнивая коэффициенты при векторах натурального репера и полагая А=Е, получим
с{к = 0
СПп+к =(д ^ д
~к к к
Известно, что Ц(а)Ь ] ( а ) = д. , где 6к - символ Кронекера. Тогда, дифференцируя
I I
обе части последнего равенства, получим
~ к ~ к (Э Ц (а)) Ц у (а) + Ц (а)(Э ,Ь у (а)) = 0.
Откуда при а=е следует, что
~ к
(д,1к (а)), - -(д,11 (а)),. (6)
Используя (6) и свойства структурных констант [Шапуков 2002: 26], получаем, что
- <э , 1к+д к1! > е - (-аА+д к1!) е - Ч - 4, ■
Очевидно, что последнее структурное уравнение
[ Еп +1 ,Еп + к ] = 0.
Итак, получаем следующий результат.
Предложение 1. Структурные уравнения алгебры Ли g 0 группы Ли ТО в базисе (3) имеют следующий вид:
[ Et ,Ej ] = cjjEk,[ £. ,En + j ] = cj.En + j,[ En + j ,En + j ] = 0.
(7)
Форма Киллинга кокасательного расслоения групп Ли
Как известно [Винберг, Горбацевич, Онищик 1990: 15], формой Киллинга на алгебре Ли называется аё-инвариантная симметричная билинейная форма:
В( и ,у) = ґг( ай (и) ° ай (V)).
Линейный оператор ай(и) действует на алгебру Ли по правилу ай(ы)\ = [и, V] [Шапуков 2002: 71]. Полагая, что В(и,у) = gijU,vJ и учитывая, что операторы присоединенной алгебры имеют компоненты ай ( и = с',ик, получим
Если форма Киллинга невырождена, то на группе Ли можно определить (псевдо)риманову метрику, называемую метрикой Киллинга [Шапуков 2002: 79].
Найдем присоединенную алгебру ай(£0 ). Ее операторы, соответствующие
элементам у = yip + у еп + j є действуют на базис следующим образом:
i n + j * 1 ’
ad (V )EJ = VCjEk + Vn+dljE^1, ad (V )En+j = VC :;jkEn+k.
Следовательно, их матрицы имеют вид
і Vick
V tck Vlcj
% n+k ij ki
ай (V) =
Поэтому
ай (и) ° ай (V) =
%
и, значит, форма Киллинга В( и ,У ) = Оци! У"1 алгебры g 0 равна
в( u ,v ) = gU'V1 + ckcip'V1
(clcSJUlVJ 0 #
: s i j
c.csUiVJ
si mj
glJUlVJ + clcjU'V-1 = 2 g jUVj
Следовательно,
G„ = 2 gtj ,Gn+J = 0,G J = 0.
В частности, он всегда вырожденная ранга г < п .
Предложение 2. Алгебра Ли g0 разрешима тогда и только тогда, когда алгебра Ли g разрешима.
Доказательство. Известно, что алгебра Ли g разрешима тогда и только тогда, когда Л([и,у],w) = 0для любых и,у,иЕg, то есть ет^тк = 0 [ Шапуков 2002: 84].
Пусть алгебра Ли g разрешима. Вычислим5([ Е1,EJ ],Ек ). Учитывая структурные уравнения (7) и формулы (8), получим
1) В([ Е1,Е} ],Ек ) = В(СЕ,Ек ) = 2с^к = 0;
2) В([ К,,Еп++ ],Ек ) = В(,Ек ) = 2с^Г = 0;
3) В([ Еп+1,Еп+1 ], Ек) = 0;
4) В([ Е1,EJ ], Еп+к) = 0.
Следовательно, алгебра Ли g 0 разрешима.
Обратно, пусть алгебра Ли g0 разрешима. Тогда 5([ Ег,EJ ],ЕК ) = 0. В частности, для І=і, 1=з, К=к имеем
В([ Е,,Е} ],Ек ) = В(С‘„Е,,Ек ) = Єр,, = 2е^к = 0.
Значит, алгебра Ли g разрешима.
Предложение 3. Алгебра Ли g 0 нильпотентна тогда и только тогда, когда алгебра Ли g нильпотентна.
Доказательство. Известно, что алгебра Ли g нильпотентна тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга В( и ,у ) = 0 [Шапуков 2002: 84].
Пусть алгебра Ли g нильпотентна. Тогда В( е і ,еі ) = 0, то есть g^j = 0 . Вычисляя В( Е1,EJ ), где Е1 - базис g0 (3), получим
1) В( Е ,,Е/) - О, - 2в„. 0;
2) В( Е,,Е"+ ) ■ 0.
Следовательно, алгебра Ли g 0 нильпотентна.
Обратно, пусть алгебра Ли g0 нильпотентна. Тогда В( Е1,EJ ) = 0 . В частности, для 1=1, 1=] имеем
В(Ег,Е, ) = В(Ег,Е,) = 0,= 2gl.ш 0.
Значит, алгебра Ли g разрешима.
Алгебра Ли группы Ли Т0 G
Рассмотрим тензорное расслоение Т0 G над группой Ли О.
Возьмем X Є Т20 О. При локальной тривиализации X и У имеют вид (х,Т ) и
соответственно. Известно [Опокина 2011: 106-107], что тензорное расслоение Т0О является группой Ли относительно операции
* 1 * 1
(х,Тх )!(у,Ту ) - (ху,Ь (х- 1)Ту + Я (у- 1)Тх ), (9)
* *
где Ь , Я - кодифференциалы левого и правого сдвигов, действующие на
ковариантных тензорах валентности 2, соответственно [Опокина 2011: 106]. В
координатной форме (9) имеет вид
7і = £ (X', у),
(Т) г]= Ц (х) Ц (х)(Ту) ^ + Я” (у) Щ (у)(Тх) ^.
При локальной тривиализации А Є Т220О имеет вид ( ). Всякое левоинвариантное
векторное поле на группе Ли Т0С имеет компоненты [Опокина 2011: 108-109]
~кш
>'-(Л)-ь‘](„уЫ, + (-а,4шта)к]-ь]1шшта)шVі + Ч <°Гк,У' (10)
где „ч .Л_’
ЗТ..
ч
~ кш ~ к ~ ш
Ьу (а):= и (а)Ьу (а^
( Vі гу ) - координаты вектора V в единице группы Т0О.
Пусть g0 - множество всех левоинвариантных полей (10) на группе Ли Т0С. Тогда g0 является алгеброй Ли группы Ли Т0О . Поля £ ( а) = (Е.(А),Е^(А)) (I = 1, п + п2), где
Е, (А) - Ч(«)д у + (-д А (аХТа )к - а <аХТа )^ )* ^, (11)
~а
Е1-> (А) - Ькт (а)д кт
образуют её базис. Произвольное левоинвариантное векторное поле выражается через них линейной комбинацией с постоянными коэффициентами:
V (А) = V Е( А) + У.кЕк (А).
]к
Найдем структурные уравнения алгебры Ли g0. Для этого вычислим коммутаторы [ Е. Е ] [ Е. Е^к ] [ Е^к Ер5 ] Учитывая вид базиса (11), получим
[Е.,Е ] = СкЕ + С.., Ект. (12)
1 V ] I] к г]кт
Подставляя в (12) базис g0 (11) и сравнивая коэффициенты при ^ и дкт, получим при
к
А=Е
Ск = (д .ьк -д Ьк)
У v I У ] 1)е,
С.., = о,
укт
где Е - единица группы Ли т2 G. Таким образом, Ск = Ск.
2 У У
Рассмотрим коммутаторы [е ] Пусть
[Е., Е]к ] = ЫкЕ + &кЕр!1. (13)
1 Г J г к щ
Подставляя в (13) базис g0 (11) и сравнивая коэффициенты при векторах натурального репера и полагая А=Е, получим
с{к = 0
~
С* = (д, ьР; (а))е+(д ^ (а))ебк + (в ^ тезр.
Вычислим структурные константы Ск , учитывая (6)
~
С* = ^Лр* (а)) е + (а рЦ (а)) е6$ + (д /к (а)) др =
~ ! ~ *
= (а г!р (а)) едв + (а ^ (а)) евр + (а рЬ!(а)) ед* + (В ^ (а)) евр =
= -(д Ь (а)) дк - (д Ьк (а)) д! + (д Ь! (а)) дк + (д Ьк (а)) д! = у г ру "е я у г "е р 4 р г 4 ''е * у я г у " е р
= с! вк + ск.д!. рг * *г р
Очевидно, что последнее структурное уравнение
o
Итак, получаем следующий результат.
Предложение 4. Структурные уравнения алгебры Ли g0 группы Ли Т0 G в базисе (11) имеют следующий вид:
[E.,E ] = ck.E, ,[E.,Ejk] = (cJ -dk + ck.dJ )Eps,[Ejk,Eps] = 0. i j ij k i pi s si p
o
V
Форма Киллинга тензорного расслоения Т ^ О
Операторы присоединенной алгебры ай(g0), соответствующие элементам = у*Б. + V кЕ-Ік Єg0 действуют на базис следующим образом:
ad(V)E, - V!C'E„ + Vm,C;',E, ad(V)EJk - V'Cf„E
7jk — J7Ps
і ps
или
adOEj = VCjEt - y„,C?n Ep,al(V)E11 = VCfrE.
Следовательно, их матрицы имеют вид
ad (V )
vl4 о
и
- Vml(cm 6l + c 6m ) Vі (cl б + ck.6l )
pj s sJ p
pi s si p'
Поэтому
іckcs. UVJ
is jm
ad (U) о ad (V) =
(cl dk + ck.dl )(cP ds + csdp)UVJ
v n/ e C7 Г) 7 v 111 1 t T1 111 '
pi s si pjy mj t tj m и, значит, форма Киллинга B(U,V ) = G IJUIVJ алгебры g0 равна
b(u -v )=giU,v’j+(c‘pfiks + 44)(cfp j
Поэтому форма Киллинга на группе Ли T° G имеет вид
к Л
B(U ,V) = ((2n +1) gj + 2^^ )UV
(14)
Следовательно,
G. - (2n + 1)g„ + 2cjkclil,G? -0,G'"” - 0
*
Форма Киллинга (14) всегда вырожденная ранга г < п . Из (15) следует, что алгебра Ли g2 не является полупростой.
Предложение 5. Пусть = 0. Тогда
1) алгебра Ли g0 разрешима тогда и только тогда, когда алгебра Ли g разрешима;
2) алгебра Ли g0 нильпотентна тогда и только тогда, когда алгебра Ли g нильпотентна.
Библиографический список
Винберг Э.Б., Горбацевич В.В., Онищик А.Л. Строение групп и алгебр Ли. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 41. ВИНИТИ. М.: Наука, 1990. 258 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.1. М.: Наука,1987. 344 с.
Опокина Н.А. Кокасательное и тензорное расслоения типа (0, 2) над группами Ли //«Современные проблемы математики и механики», К 100-летию со дня рождения Н.В. Ефимова. М.: Изд-во МГУ, 2011. Т. VI. Вып. 3. С. 104-109.
Шапуков Б.Н. Задачи по группам Ли и их приложения. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 256 с.
