ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

_ДОКЛАДЫ АН ВШ РФ_

2021_январь-март_№ 1 (50)

- ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ -

УДК 531.19, 535.233, 536.3

ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА

И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Е.А. Краснопевцев

Новосибирский государственный технический университет

Представлен новый сравнительно простой вывод флуктуационно-диссипационной теоремы (ФДТ). Обобщенная координата системы изменяется переменным внешним воздействием и выражается при помощи причинной восприимчивости, ее фурье-образа - передаточной функции, обобщенных импеданса и активного сопротивления. Эти характеристики описывают тепловыделение на резисторе, результат обобщается на диссипативную систему, находящуюся под действием макроскопической силы. Флуктуационное напряжение на резисторе получается разложением теплового хаотического движения свободных зарядов вдоль проводника в ряд Фурье. Число стоячих волн и средняя энергия квантового колебательного состояния при фиксированной температуре дают тепловую мощность перемещения зарядов. Путем сравнения с законом Джоуля-Ленца и обобщения результата на произвольную изотермическую систему получаются средний квадрат флуктуирующей силы и дисперсия обобщенной координаты, вызванные тепловым движением. Через рассмотренные характеристики выражаются автокорреляционные функции обобщенной координаты, случайной силы и их спектральные плотности. Содержанием ФДТ является то, что мощность тепловыделения, спектральные плотности флуктуирующей силы и автокорреляции пропорциональны мнимой части передаточной функции системы. Результат применяется для теплового излучения в полости, стенки которой содержат электрические диполи, возбуждаемые тепловым движением. Получены передаточная функция, флуктуирующая сила, действующая на заряд, дисперсия напряженности электрического поля, временная автокорреляция напряженности и ее спектральная плотность. Для комплексной относительной автокорреляции напряженности получены ее вещественная и мнимая составляющие, модуль и фаза, найдено время когерентности.

Ключевые слова: флуктуационно-диссипационная теорема, автокорреляционная функция, тепловое излучение.

Б01: 10.17212/1727-2769-2021-1-7-18

Введение

Если действие слабой обобщенной силы вызывает у системы макропроцесс, выводящий ее из равновесия и приводящий к диссипации энергии, то согласно ФТД в равновесном изотермическом состоянии существует микропроцесс преобразования тепловой энергии во флуктуации макрохарактеристик. Активности обоих процессов пропорциональны мнимой части передаточной функции, т. е. фурье-образу восприимчивости системы к внешнему воздействию [1]. Теорема описывает тепловые флуктуации в классических и квантовых системах [2-5]. Согласованность между локальными флуктуациями, разделенными интервалом времени, описывается автокорреляционной функцией, определяющей степень интерференции полей. Применение теории к равновесному тепловому излучению, изложенное в [7, 8], рассмотрено в настоящей работе на основе, доступной студенту технического вуза.

© 2021 Е.А. Краснопевцев

1. Флуктуационно-диссипационная теорема

Восприимчивость системы gc (t) показывает степень влияния причины - слабой обобщенной силы F (т) на следствие - обобщенную координату системы

x(t) = J gc (t -т) F(т) dT. (1)

-TO

Принцип причинности означает gc (t) = gc (t) H(t), где H(t) - функция включения. Применяем к (1) фурье-преобразование

i TO TO

gc (t) = to J gc (®) e~mtdЮ , ^c (®) = J gc (t) emtdt (2)

—TO —TO

и аналогичные формулы для x(t) и F(т), получаем

x(го) = gc (го) F(го), x(m) = -/го gc (го) F(го), (3)

где gc (го) - передаточная функция системы; X(t) = dx / dt. При |го|^то система не успевает реагировать на возмущение и gc (|го| ^то) ^ 0 . Из (2) и (3) находим

gc (-го) = g* (го) , | gc (-го) |2 = | gc (го) |2 ,

Re gc (-го) = Re gc (го), Im gc (-го) = - Im gc (го), (4)

- ( ) x(го) ix(rn)

gc (го) = —-= —--. (5)

F (го) го F (го)

У передаточных функций

S S

&;1(го) =-- , ggc;2 (го) = "-—--Т7 , (6)

го+ is (гo+i—)(гo+ib)

где — = +0; b > 0; S = const, отсутствуют особенности в верхней комплексной полуплоскости переменной го. По теории вычетов получаем соответствующие восприимчивости

1 - e-bt

gc i(t) = -iSH(t), gc 2 (t) = -S---H (t). (7)

b

Следовательно, в интеграле с причинной функцией множитель го в знаменателе передаточной функции заменяется на го + is, где — = +0 , что соответствует сдвигу полюса функции gc (го) в отрицательную сторону мнимой оси.

По аналогии с электрической цепью определяем для системы импеданс и активное сопротивление:

Z (го) = ^го), Я(го) = Re Z (го). (8)

:с(го)

Из (5) и (8) находим

gc (го) = , (9)

го Z (го)

тогда

1т 1 (ю)

Яе §с (ю) = _ 2

ю 11 (ю) |

Яе 1 (ю) = Я(ю) ю 11 (ю) | ю 11 (ю) |

1т§с (ю) = : = ^% , (10)

1т §с (ю) |2

Я(ю) =-осч ^ , Я(-ю) = Я(ю),

ю | §§с (ю)|

1т 1 (ю) = . (11)

ю | §с (ю)|

Диссипация энергии в макроскопической системе, вызванная действием слабой обобщенной силы Е(/), описывается слагаемым гамильтониана И1 = -хЕ, где х - обобщенная координата, канонически сопряженная с Е(/) и не зависящая явно от времени. Средняя по времени мощность выделения тепла

0 = ^ = -х& . (12)

ж ж Ж

Универсальность связи, устанавливаемой ФДТ, позволяет при ее выводе рассмотреть процесс в конкретной системе и обобщить полученные результаты на другие

случаи. Например, для электропроводности резистора 0 = Ш . Сравнение с (12)

дает соответствия: Е(/) ^ и(/) - напряжение; йх / Ж ^ dq / Ж = I(/) - ток;

х ^ q _ - ^ qixi - эффективный заряд резистора протяженностью I, где х\ -

1 г

расстояние от конца резистора до заряда qi, находящегося в объеме резистора. С учетом и (?) = Я1 (?) для вещественного ию (?) с периодом Т = 2л / ю из (12) находим

0 = q йию= Я(ю) q й1ю_ Я(ю) Т q й1ю С) . = дю = -qю—:— = -Я(ю) q(D — _ —— I q(D (/) ж = ж ж т о й(

= Я(ю) III«)* = и1(Г),

т

11 (ю) |

где выполнено интегрирование по частям и использовано 1ю = ию /1 (ю). Результат обобщаем на произвольную систему с диссипацией, тогда с учетом (10) мощность тепловыделения на частоте ю

ею = ""^(ю)2 Ею2 = ю 1т§с (ю) Ею2 . (13)

11 (ю) |2

Поскольку 0ю > 0 , то 1т§с (ю) > 0 при ю > 0. Для резистора 1 (ю) = Я, и из

(6), (7), (9) находим §с (ю) = ——, §с (?) = — И (?). Следовательно, восприимчи-

юЯ Я

вость резистора равна кондактансу О = 1/ Я .

Получим флуктуационное напряжение на резисторе при температуре Т, разлагая хаотические движения микрочастиц в ряд Фурье. Коллективные перемещения свободных зарядов вдоль проводника длиной I рассматриваем как стоячие волны смещений газа от равномерного распределения. Заряды не выходят за пределы проводника и на его концах возникают узлы смещений. В результате продольное смещение газа имеет дискретный спектр в виде стоячих волн п = 1, 2, 3,..., показанных на рис. 1. Колеблющийся градиент заряда создает переменный ток и флуктуирующую разность потенциалов на концах проводника. Для гармонической волны на длине I укладывается целое число полуволн п =-, где X - дли-

X /2

на волны. С учетом кратности вырождения волн с двумя проекциями спина электронов и/или дырок, находим число волн с частотой ю

лг „ 41 21

мт = 2п = — =-ю,

ю ХкУ

где X = 2л V / ю; V - скорость волны. При I >> X число волн в интервале ча-

21

стот (ю, ю + Сю) равно =-Сю . Волна с частотой ю имеет при темпера-

л V

туре Т среднюю энергию Е (ю, Т), тогда энергия волн

СЕю = Е(ю,Т) = Е(ю,Т)-2—йю.

л V

Рис. 1 - Смещения зарядов вдоль проводника Fig. 1- Displacements of charges along the conductor

Время распространения волны по проводнику т = l / V . Тепловая мощность пере-dE„ 2 -

мещения зарядов dPa =-= — E (ю, T) d ю связана с напряжением законом Джо-

т л

1 ~

уля-Ленца dPra =-Ua dю, где Я(ю) - активное сопротивление проводника.

Я(ю)

Для спектральной плотности среднего квадрата флуктуационного напряжения с

Ura = 0 находим иЮ = — Я(ю) E(ю, T). Результат обобщаем на произвольную изо-л

термическую систему, заменяя Ura (t) на обобщенную силу /ю (t). С учетом (11)

получаем ФДТ для спектральной плотности и среднего квадрата флуктуирующей силы

л 2 - 2 1т Вс (ю) /(О = -Л(ю) Е(ю, Т) =--с--Е(ю, Т),

^ -ю | ^с (ю)|-

(8/)2 = /2 = | /2 dю . (14)

0

Сравнение (13) и (14) показывает, что мощность диссипации энергии, происходящей под действием обобщенной силы Е(/), и спектральная плотность среднего квадрата случайной обобщенной силы /(/), вызванной тепловым движением, пропорциональны мнимой части передаточной функции системы.

Энергия квантового колебательного состояния с частотой ю складывается из

тепловой энергии Е^ю, Т) = ^^кт- и энергии нулевых колебаний

е — 1

Ео (ю) = Йю / 2:

Е(ю, Т) = Е1(ю, Т) + Ео(ю) = ^ сш|Т , (15)

причем Е(—ю, Т) = Е(ю, Т). Из (14) и (15) находим

"72 Й . , Йю Й 1тВс(ю) йю "7^ ""З" /ю2 = -юЛ(ю)сШ— = - ^ 2 сШ—, /—2ю = /I , л 2кТ -1 Вс (ю)|2 2кТ

й ^ й

(8/)2 =- |ю Л(юdю . (16)

- 0 2кТ

Вещественную монохроматическую силу /ю (/) = (/0 е~ш 1 + /0* егю 1) / 2 усред-

— — 1 Т 1

няем по времени: /ю = 0 , /^ =— | dt = -1 |2 . Из (1) и (2) находим реак-

Т 0 2 цию системы на приложенную силу

( то то

^ (t) = 2

/0 I Яс (t — X) е—гюхdх + /0* | Яс (t — X) ешх dт

—то —то ,

= 2 (/0 В с (®) е^t + /0* Я?* (ю) ^ ),

= 0, =l Вс(ю)|2 /». (17)

Из (14) и (17) получаем дисперсию обобщенной координаты, вызванную тепловым движением,

— 2 М ¡>с(ю ) - — ~

хю =--Е(ю , Т) , х— ю = хю ,

- ю

X2 =1 х2 dcD = 2 11т Вс (ю ) Е(ю, Т) dco . (18)

2. Автокорреляционная функция

Автокорреляция координаты характеризует взаимосвязь ее значений, разделенных промежутком времени т:

Кх (т) - х(0 х(Г + т). (19)

Усреднение ведется по времени /, или по фазовому ансамблю. Состояние равновесное, поэтому усреднение не зависит от начала отсчета /, выполняется

Кх (0) = х2(/), Кх (-т) = Кх (т), Кх (0) > | Кх (т> 0) |, Кх (т^+да) = 0. (20)

Из (2) с учетом (20) и (18) получаем

1 да _ да_

Кх (0) = — I Кх (ю) йю = х2 = I 4 й ю .

2л 0

-да 0

Сравнение подынтегральных выражений дает спектральную плотность автокорреляции координаты

К (ю) = л хюю = л | Ёс (ю) |2 /ю2 = 2 1т(ю) Е(ю, Т),

со

Кх (-ю) = Кх (ю), [Кх (ю)]*= ^ (ю), (21)

где использовано (17) и (18).

Для случайной силы, вызванной тепловым движением, автокорреляция

К/ (т) - /(() /((+ т) удовлетворяет

дада

Кг (т) = — I (ю) гЧюхйю , (ю) =1 Кг (т) в'ютйт,

Кг (0) = - л | К/ (ю) йю = /2 = | /ю2 Сю .

-да 0

Из (16) и (21) получаем спектральную плотность автокорреляции силы

Кх (ю) = 1т §с ((

| .с (ю)|2 | 5с (ю)

К ( ) ^ 2 Кх(ю) 1т..с (ю) ,, Йю (22)

К/(ю) = л ,/ю =-2 = Й-2 сЛ27Т, (22)

-1 | 5 (ю) |2 15 (ю) |2 27Т

где

кг (-ю) = (ю), [кг (ю)]* = (ю).

Интервал автокорреляции тс характеризует длительность согласованности процесса, причем К/- (т<< тс) и К/- (0), К/ (т >> тс) и 0 . Следуя [6], определяем

тс - --— = 77--, (23)

[ К/ (0)]2 2 Г да ^

11 Кг (т)|2 йт 11 К/ (ю) |2 йю

да

I К/ (ю) йю

где использовано

да 1 да 1 да

11 Кг (х)|2 dт =— 11 Кг (со )|2 dсo , Кг (0) = Кг (со ) dсo . 0 2л о л о

3. Тепловое излучение

Перемещения заряженных микрочастиц стенок полости с температурой Т и характерным размером Ь создают равновесное тепловое излучение. Ограничимся дипольным излучением в дальней зоне с длинами волн X << Ь . Заряд q массой

т, колеблющийся вдоль оси х относительно второго заряда с обратным знаком, образует диполь. На заряд действуют вдоль оси х: внешняя сила Р(/); упругая

возвращающая сила (/) = -тсоо х(/), где х(/) - смещение заряда от положения

г 2е d3х(/)

равновесия; сила торможения излучением ) = q С-з—, где в СИ

dt3

С =-1—-, в СГС С = —т, С - скорость света. Закон Ньютона

6ле0С3 3С3

2 3

d х 2 2Г d х

т—- = -тсо о х + q С—^ + Р (/)

dt2 dt после фурье-преобразования получает вид

(-тсо2 + тсо2 -iq2Ссо3 )х(со) = Р(со ).

Из (5) находим передаточную функцию

х(со ) 1

Ёе (с ) =

Р(ю ) -тс2 + тсо2 - iq2Ссо3

2 2 2 3 -тсо + тсо о + iq

(тсо2 - тсо2)2 + ^2С)2со 6 '

(24)

Из (16) и (24) получаем флуктуирующую силу, действующую на заряд q в вакууме,

,2е * * „2е Г ~ 3 Л

^2 ^ С 3^, ^со hq С /» = со 3сШ =

л 2кТ

/2 = ^^^^да со 3сШ— dсo . (25)

л о 2кТ

Результат не зависит от упругой связи заряда со о, поэтому применим для электрона в металле и в оболочке атома. Действующая на заряд сила создается электрическим полем излучения Ех со средним значением Ех = о . Из / = qEх и (25) для дисперсии проекции напряженности получаем

3 2со ^ со +-

йсв/кТ -1 е 1У

„2 2Сда| Йсо Йсо Л 2 ,

Е2=т /[т+е^ткгзг ус 2 ^.

С учетом равноправия декартовых направлений находим суммарную напряжен-2 2

ность Е = 3 Ех и среднюю плотность энергии излучения

Г с-2 КЙю , йю ) ®2 ,

=гЕ = Дт+титлЬс?

о

где в СИ Г = ео, в СГС Г = — • Первое слагаемое содержит «ультрафиолетовую

4л

расходимость», вызванную нулевыми колебаниями. Они создаются любыми телами вне зависимости от их температуры, образуют стоячие волны, не вносят вклада в средний поток излучения, дают вклад в плотность энергии излучения, вызывают спонтанные переходы и естественную ширину спектральных линий атома, проявляются в эффекте Казимира, в лэмбовском сдвиге. Второе слагаемое является формулой Планка. Используя плотность состояний в единице объема ®2

полости g (ю) =- и энергию фотона йю, в соответствии с

л2 С3

да

^ =| йю п(ю) g (ю) ёю получаем распределение Бозе-Эйнштейна для среднего

числа тепловых фотонов в одном состоянии п(ю) =

йю/кГ 1 е — 1

Из (22) и (25) находим спектральную плотность автокорреляции декартовой составляющей напряженности электрического поля

кЕ (ю) = -2 К г (ю) = ч

( 3 2ю3 ^

ю +

/кГ _ 1

/

Для тепловой части

~Г ю 3

КЕ( ю ) =2Й^ -йю/кт-т (26)

е — 1

получаем

да -I е да ^2п,гг\7

]кТЕ (ю) ёю = ^Т^кт-, № (ю)]2 ёю = 25.92 •

о 15 3 5

Использовано [10]

о 15 й3 ' 0' Е " " ■ й5

дахт-1 ёх г(ш) ч

о е _1 Ь

да-^т^Хг = Г(т)[С(т _ 1,2) _Г(т,2)].

0(еЬх _ 1)2 Ьт

где

п

Г(6, 2) _Г(7, 2) = X-7 = Г(6) _ Г(7) = 0.0090 ;

п=1 (п +1)'

1

да 1 да 1

С(т, а) _ ^-, С(т) _ ^— - дзета-функция Римана. Из (23) находим

п=о(п + а)т п=1 пт

время когерентности

5!• 6.о75 Й _ Й 1.84-Ю-12

те =----= о.758-=- с. (27)

е л6 лкТ лкТ Т (К)

В работе [9] численным расчетом получено те = 1.57Й / кТ .

Временная автокорреляция напряженности электрического поля

1 да 1 да

КЕ (/) = — Г КЕ (со ) в-шtdсo = - Г КЕ (со ) е-коtdсo ,

2л ; л •

-да о

вызванная тепловой спектральной плотностью (26)

л ^ я да 3 -iсс/ 7

КЕ (/) ■ ЁЭДГ+О = ^ , (28)

^ о е -1

определяет комплексную меру интерференции полей, разделенных интервалом t. Используя [1о], находим

да 3 -iсot 1 ¿г ^

г со е dсo 6 Л , , . t

С1 4,1 + i —

о елхш -1 (лтГ I лх

где

Й да 1 л4 х_ — ; С(4,е) =У-1—- ; С(4,1) =— .

лкТ ' ' ¿(л + е)4 9о

Для относительной автокорреляции

„Т (/) _ КЕ (/) = С [4,1 + и/(лх)] = 9о Г 4 , , ; /

„Е(/) = ' " = —С1 4,1 + i — \ (29)

кЕ (о) С(4,1) л4 I лху

из (28) и (29) получаем

да 3 да 3

Ке „Е (/) = 15 Г х-С^ Сх, 1т „Е (/) = -15 Г dх

о'лх 1 1

о е -1 о е -1

где г = t/х; х = хсо . Составляющие связаны преобразованием Гильберта

Ке„ \tldt' = Яе„Е(/)*

л/

1т„Е(t) =1Рда ^^с/'= Ке„Е(t)

л J t -1 л/

Из [1о] находим

1т„Е (го) = /' sgnго Яе „Е (го).

х3 соб(гх) 1 С3Ь(г) 3 2 3

I-Сх = -

л _лх 1

=--г + —

о е -1 2 Сг3 г4 бИ2 г бИ4 г

тх Ч „7 sin( zx) , , 1 где функция Ланжевена L(z) = 2 J ——-dx = cth z —, и получаем

-1

Re yE (z) = 15 I--3- + 2

sh2 z sh4 z

Видность интерференционных полос

|yE ( z) = {[im yE ( z )] 2 +[Re yE ( z ) ]2 }

(30)

1/2

уменьшается в е раз |уЕ (24 и 2.5) = 1/ е за время /4 и 0.796Й / (кТ), что близко к

(27). Функции Яе уЕ (х), 1туЕ (2), |уЕ (2), фЕ (2) = аг^ [¡т уЕ (г)/Яе уЕ (2)] , показаны на рис. 2. При 2 > 25 колебания происходят в противофазе, корреляция отрицательная. Плотность энергии излучения пропорциональна (26) и по закону

Вина максимальна при ют = 0.898

nkT 3.18

. Величина /5 порядка полупериода

й /5

излучения Тт / 2 и /5 с наибольшей плотностью энергии. Колебания, разделенные интервалом 0 < / < /5, происходят с близкими фазами, их корреляция положительная, амплитуда увеличивается в результате интерференции, фотоны группируются.

Re yT(z). 1.0

0.5

0.0

-0.5

|yET(z)| 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

Im yE(z) 0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

!z1 /

\ /

\ /

\ i/

0

0

1

2 z4 3 4 5

qE(z)i

900 450 00 -450 -900

0

Рис. 2 - Автокорреляция электрического поля Ex теплового излучения: z = nkTt / h , z1 s 1.043, z2 s 1.372, z3 s 2.361, z4 « 2.5, z5 s 3.547 Fig. 2 - Autocorrelation of the Ex electric field of thermal radiation: z = nkTt / h , z1 s 1.043, z2 s 1.372, z3 s 2.361, z4 « 2.5, z5 s 3.547

1

2

3

4

5

z

Заключение

Приведен вывод ФДТ, который может использоваться в вузовских курсах статистической физики. Для зарядов, создающих дипольное излучение, получена передаточная функция, тепловая флуктуирующая сила, действующая на заряд, напряженность электрического поля теплового излучения и временная автокорреляционная функция.

ЛИТЕРАТУРА

1. Callen H.B., Welton T.A. Irreversibility and generalized noise // Physical Review. - 1951. -Vol. 83, N 1. - P. 34-40.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. - Изд. 5-е, стер. - М.: Физ-матлит, 2010. - 616 с. - (Теоретическая физика; т. 5).

3. Лифшиц Е.М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. Ч. 2. Теория конденсированного состояния. - М.: Физматлит, 2015. - 440 с. - (Теоретическая физика; т. 9).

4. Левин М.Л., Рытов С.М. Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике. - М.: Наука, 1967. - 309 с.

5. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 1. Случайные процессы. -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1976. - 494 с.

6. Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. - М.: Наука: Физматлит, 2000. - 896 с.

7. Bourret R.C. Coherence properties of black body radiation // Nuovo Cimento. - 1960. -Vol. 18, N 2. - P. 347-356.

8. Kano Y., Wolf E. Temporal coherence of black body radiation // Proceedings of the Physical Society. - 1962. - Vol. 80, N 518. - pp. 1273-1276.

9. Donge A. The coherence length of black body radiation // European Journal of Physics. -1998. - Vol. 19. - P. 245-249.

10. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. - 2-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2003. - 632 с.

THE FLUCTUATION- DISSIPATION THEOREM AND THE AUTOCORRELATION FUNCTION OF THERMAL RADIATION

Krasnopevtsev E.A.

Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia

A new relatively simple derivation of the fluctuation-dissipation theorem (FDT) is presented. The generalized coordinate of the system is changed by an external force and is expressed by means of causal susceptibility, its Fourier transform - the transfer function, generalized impedance and active resistance. These characteristics describe heat dissipation on the resistor and the result is generalized to the dissipative system which is under the action of macroscopic force. The fluctuation voltage on the resistor is obtained by decomposing the thermal chaotic motion of free charges along the conductor into a Fourier series. The number of standing waves and the average energy of the quantum oscillation state at a fixed temperature give the thermal power of charge transfer. By comparing with the Joule-Lenz law and by generalizing the result to an arbitrary isothermal system, the mean square of the fluctuating force and dispersion of the generalized coordinate caused by the thermal motion are obtained. The autocorrelation functions of the generalized coordinate and the random force, and their spectral densities are expressed through the considered characteristics. The content of FDT is that the power of heat release, the spectral densities of the fluctuating force and the autocorrelation are proportional to the imaginary part of the transfer function of the system. The result is used for thermal radiation in a cavity the walls of which contain electric dipoles excited by thermal motion. The transfer function, the fluctuating force acting on the charge, the dispersion of the electric field strength, time autocorrelation of the electric field strength and its spectral density are obtained. Real and imaginary compo-

nents, the modulus and phase are found for complex relative autocorrelation of the electric field strength and the coherence time is determined.

Keywords: fluctuation-dissipation theorem, autocorrelation function, thermal radiation.

DOI: 10.17212/1727-2769-2021-1-7-18

REFERENCES

1. Callen H.B., Welton T.A. Irreversibility and generalized noise. Physical Review, 1951, vol. 83, no. 1, pp. 34-40.

2. Landau L.D., Lifshits E.M. Statisticheskaya fizika. Ch. 1 [Statistical physics. Pt. 1]. 5th ed. Moscow, Fizmatlit Publ., 2010. 616 p.

3. Lifshits E.M., Pitaevskii L.P. Statisticheskaya fizika. Ch. 2. Teoriya kondensirovannogo sos-toyaniya [Statistical 3hysics. Pt. 2. Theory of condensed state]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2015. 440 p.

4. Levin M.L., Rytov S.M. Teoriya ravnovesnykh teplovykh fluktuatsii v elektrodinamike [Theory of equilibrium thermal fluctuations in electrodynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 309 p.

5. Rytov S.M. Vvedenie v statisticheskuyu radiofiziku. Ch. 1. Sluchainyeprotsessy [Introduction to Statistical Radiophysics. Pt. 1. Random processes]. 2nd ed. Moscow, Nauka Publ., 1976. 494 p.

6. Mandel L., Wolf E. Optical coherence and quantum optics. Cambridge University Press, 1995. 1190 p. (Russ. ed.: Mandel' L., Vol'f E. Opticheskaya kogerentnost' i kvantovaya opti-ka. Moscow, Nauka Publ., Fizmatlit Publ., 2000. 896 p.).

7. Bourret R.C. Coherence properties of black body radiation. Nuovo Cimento, 1960, vol. 18, no. 2, pp. 347-356.

8. Kano Y., Wolf E. Temporal coherence of black body radiation. Proceedings of the Physical Society, 1962, vol. 80, no. 518, pp. 1273-1276.

9. Donge A. The coherence length of black body radiation. European Journal of Physics, 1998, vol. 19, pp. 245-249.

10. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integraly i ryady. T. 1. Elementarnye funktsii [Integrals and series. Vol. 1. Elementary functions]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. 632 p.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Краснопевцев Евгений Александрович - д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры полупроводниковых приборов и микроэлектроники Новосибирского государственного технического университета. Основное научное направление исследований - квантовая статистическая физика. Имеет более 80 публикаций, в том числе 10 учебных пособий. (Адрес: 630073, Россия, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20. E-mail: krasnopevcev@corp.nstu.ru).

Krasnopevtsev Evgeniy Aleksandrovich - Doctor of Sciences (Eng.), Senior lecturer, Professor of the Department of Semiconductor Devices and Microelectronics at the Novosibirsk State Technical University. His research interests are currently focused on quantum statistical physics. He is author of more than 80 publications, including 10 teaching textbooks. (Address: 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russia. E-mail: krasnopevcev@corp.nstu.ru).

Статья поступила 12 января 2021 г.

Received January 12, 2021

To reference:

Krasnopevtsev E.A. Fluktuatsionno-dissipatsionnaya teorema i avtokorrelyatsionnaya funktsiya teplovogo izlucheniya [The fluctuation-dissipation theorem and the autocorrelation function of thermal radiation]. Doklady Akademii nauk vysshei shkoly Rossiiskoi Federatsii = Proceedings of the Russian higher school Academy of sciences, 2021, no. 1 (50), pp. 7-18. DOI: 10.17212/17272769-2021-1-7-18.