CC BY
293
УДК 1/11:51
ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ:
РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ АБСТРАКЦИЙ В РАЗВИТИИ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ
Л.Д. ЖУЛЕВА
Статья представлена доктором философских наук, профессором Г араниной О.Д.
Рассматривается становление математики как науки, раскрываются особенности математических абстракций, показаны возможности применения математики в авиации.
Ключевые слова: математика, философские проблемы математики, метод, история математики, математическая абстракция.
Бурное развитие математики, появление современных компьютерных технологий и обусловленная этим процессом математизация наук, ранее весьма далеких от использования математических методов - медицины и педагогики, юриспруденции и психологии, лингвистики и теории искусств - все это повысило интерес к философским вопросам математики. Сегодня стало ясно, что решение этих вопросов способствует более глубокому пониманию природы и сущности, методов и структуры математики.
Ф. Энгельс в работе «Диалектика природы» писал о необходимости изучения последовательного развития отдельных отраслей естествознания. «Сперва астрономия уже из-за времен года абсолютно необходима для пастушеских и земледельческих народов. Астрономия может развиваться только при помощи математики» [1, с. 147]. С развитием крупных городов и ремесел развиваются механика, судопроизводство, военное дело, которые «нуждаются в помощи математики и таким образом способствуют ее развитию» [1, с.147]. Историки математики шаг за шагом прослеживают, как практические нужды людей приводят к развитию арифметики, затем алгебры, математического анализа и т. д.
Постепенно математические теории и понятия становятся все более и более абстрактными, они «отрываются» от физической реальности настолько, что создается иллюзия, что это никак не связанные вещи. Но сколько бы абстрактными не становились современные математические теории, сколько бы ни увеличивалась доля логических доказательств в математике, она не становится благодаря этому априорной наукой, не теряет своей связи с объективным миром и практикой.
В первой половине XVII в. возникла совершенно новая ветвь математики - аналитическая геометрия, устанавливающая связь между линиями на плоскости и алгебраическими уравнениями с двумя неизвестными. Произошло довольно редкое в развитии науки событие, когда за одно - два десятилетия появилось большое, совсем новое направление. Но это было неслучайно. Переход в Европе к новой капиталистической форме производства потребовал коренных преобразований в научном знании. Мощное развитие дальнего мореплавания настойчиво требовало открытий в астрономии и механике. В механике нуждалось военное дело. Галилеем, Ньютоном, Кеплером и другими учеными начали создаваться основы современной механики, во всех областях естествознания накапливались опытные данные, совершенствовались средства наблюдения, вместо устаревших схоластических теорий создавались новые.
В астрономии восторжествовало учение Коперника. Эллипс и парабола, геометрические свойства которых были известны еще древним грекам, перестают быть предметами только гео-
метрии, какими они были в античности. После того, как Кеплер открыл, что планеты обращаются вокруг солнца по эллипсам, а Галилей - что брошенный камень летит по параболе, надо было вычислять эти эллипсы и находить те параболы, по которым летят ядра из пушек, и надо было найти тот закон, по которому убывает с высотой атмосферное давление, открытое Паскалем. Гениальная догадка основателей греческой философии в том, что «вся природа, начиная от мельчайших частиц ее величайших тел, начиная от песчинки и кончая солнцем, начиная от про-тиста и кончая человеком, находится в вечном возникновении и уничтожении, в непрерывном течении, в неустанном движении и изменении» [1,с. 13] в математике является результатом строгого научного исследования. «Поворотным пунктом в развитии математики была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление» [1, с.208].
Начало современной математики относится к середине Х1Х в, когда теория стала настолько абстрактной, что перешагнула за пределы так называемой классической концепции математики, рассматривающей в качестве своего предмета числа и фигуры. Новые понятия и идеи привели к тому, что классическая концепция, хотя и продолжала официально признаваться большинством ученых, постепенно все более и более вступала в противоречие с действительным состоянием науки. XIX в. ознаменовал в науке поворот к строгости, к более точному определению понятий и к появлению понятийных конструктов, плохо поддающихся дефиниции, таких как кватернионы, тензоры, п-мерные пространства, булева алгебра и т.д.
Математика в этот период поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частным случаем объектов, изучаемых в современной алгебре. Под влиянием идей Лобачевского геометрия переходит к изучению «пространств», для которых «евклидово пространство» является частным случаем. Развиваются новые направления, такие как теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, математическая логика, функциональный анализ, теория множеств и др. Эти научные задачи требуют получения ответа в числовой форме. В связи с этим Х1Х-ХХ вв. характеризуются развитием численных методов, они вырастают в самостоятельную ветвь науки - вычислительную математику. С целью осмысливания новых понятий большое значение стали придавать построению моделей (абстракционная теория интерпретируется с помощью классической математики).
Абстрактный характер математических понятий, исключительная роль логических доказательств придает выводам математики характер всеобщности и необходимости. Выступая на II Международном математическом конгрессе, Д. Г илберт отметил важность приложения математики к различным областям естествознания и подчеркнул значение для развития математики ее связи с философией [2]. Большая степень самостоятельности по отношению к материальной действительности и практики, роль символики в ее развитии - все это повышает интерес к философским вопросам математики. Нельзя математику обойти такие философские категории, как форма и содержание, конечное - бесконечное, конкретное и абстрактное количество, качество, обобщение и идеализация, сходство - различие и т.д. Основной философский вопрос в математике - вопрос отношения математических понятий, аксиом, теорий, правил и выводов к реальному миру. Ф. Энгельс писал: «Какую бы позу ни принимали естествоиспытатели, над ними властвует философия. Вопрос лишь в том, желают ли они, чтобы над ними властвовала какая-нибудь скверная людная философия, или же они желают руководствоваться такой формой теоретического мышления, которая основывается на знакомстве с историей мышления и ее достижениями» [ 1 ,с. 167].
Ф. Энгельс писал, что математика, отражая определенные стороны действительного мира (пространственные формы и количественные отношения) имеет вполне реальное материальное происхождение. Вместе с тем, материал, изучение его принимает чрезвычайно абстрактную форму. Это позволяет применять математику к исследованию разнообразных объектов природы и общества. Аксиоматически построенная формальная теория перестает быть гипотетической
лишь в том случае, когда для нее находятся содержательные интерпретации либо в виде объектов действительности, либо в виде других теорий, уже нашедших применение в практике. Причем абстрактные аксиоматические теории строятся не только для существующих в реальной действительности объектов, но и для идеальных объектов, с опережением техники и естествознания. Отрываясь от практики и поднимаясь на вершины абстракции, математическая теория строит формальные модели для возможных объектов действительности и эти объекты в дальнейшем развитии науки, как правило, находятся. В истории математики такие ситуации известны: неэвклидова геометрия была использована для развития теорий современной физики; абстрактная алгебра Буля - при конструировании релейно-контактных схем, ЭВМ; теория групп - в кристаллографии. Леверье открыл планету Нептун с помощью математических расчетов задолго до того, как астрономы обнаружили ее.
Какова природа математических абстракций? Таких, например, как безразмерная точка, линия, не имеющая ширины, плоскость, не имеющая площади, то есть представляющих идеальные объекты геометрии. Математик оперирует исключительно идеальными объектами, находящимися на различных уровнях абстракции. Многие из них связаны с материальной действительностью через другие идеальные объекты, которые им исторически предшествовали. Такая многоступенчатость математических абстракций знаменует собой высокий уровень математического мышления. Отбрасывая в процессе абстрагирования частные и специфические признаки предметов, переходя от чувственных форм отражения действительности к рациональным, от конкретного к абстрактному, ученые не только не обедняют свое знание о предмете, а, наоборот, обогащают его.
Положения математики прекрасно согласуются с действительностью, успешно применяются к ней потому, что они, в конечном счете, отвлечены от этой действительности. При этом практика людей, и в первую очередь их производственная деятельность является критерием пригодности математических теорий для описания определенных отношений материальной действительности. Научная абстракция представляет собой отвлечение от несущественных, второстепенных признаков, мысленное выделение и обобщение наиболее существенных особенностей, свойственных той или иной группе явлений.
Научная абстракция дает нам более полное и глубокое представление о действительности, чем непосредственные ощущения. Посредством научных абстракций познание переходит от восприятия единичного к обобщению массы явлений, создавая понятия, категории, законы, в которых отражаются внутренние, существенные связи явлений действительности. Например, понятие стоимости, которое Карл Маркс вывел в результате научной абстракции, глубоко и верно отражает реальные общественные отношения товарного производства [1]. Маркс указывает, что при анализе экономических форм нельзя пользоваться ни микроскопом, ни химическими реактивами. То и другое должна заменить сила абстракции.
Значение математики для повышения технического уровня промышленности зависит от успешного применения метода математического моделирования в различных научных дисциплинах, образующих основу современной техники. Связь математики с техникой стала настолько сильной, что можно сказать, что мы живем в такое время, когда математика вынуждена вмешиваться в решение большинства серьезных технических проблем. Достаточно привести несколько примеров, чтобы показать роль и возможности математических методов и приемов в современном техническом и экономическом развитии:
1. Запуск первого искусственного спутника Земли, осуществленный с поразительной точностью гением советской науки и техники, еще раз подтверждает плодотворность применения математики в деле изучения естественных явлений и овладения ими. Однако новые проблемы, поставленные полетами в космос, потребовали улучшения математической модели (необходимость учета целого ряда факторов - влияние вращения Земли на запуск спутников и на постоянную связь между Землей и Луной, Землей и другими планетами). Запуск ракет и спутников в заданные районы требует от космической баллистики решения задач о выборе оптимальной
траектории полета. Здесь мы сталкиваемся с задачей оптимального управления. Долгое время исследователи стремились использовать методы классического вариационного исчисления для решения задач о нахождении оптимального решения.
2. Большой класс задач интересных по содержанию решается в рамках классической теории вариационного исчисления, созданной Эйлером. «Задача коммивояжера» - обойти всех клиентов так, чтобы длина пути была наименьшей - не решается в рамках классической теории вариационного исчисления в общем виде. Подобная задача встает и при решении многих задач разработки технологических процессов. Например: на панели самолета «Антей» необходимо просверлить нужное количество отверстий. В данном случае надо определить оптимальный путь движения сверла по панели (min длина ломаной) с точки зрения min времени, затрачиваемого на этот технологический процесс.
В настоящее время можно говорить о создании нового, неклассического вариационного исчисления, приспособленного к вопросам оптимального управления. Классическая теория вариационного исчисления при этом укладывается в новую теорию в качестве частного ее проявления.
3. В рамках нового метода вариационного исчисления становится и решается большой класс задач, относящихся к различным сферам человеческой деятельности: задача оптимального распределения ресурсов, задача о составлении расписаний о выборе оптимального закона управления - все эти задачи сводятся в той или иной мере к разысканию оптимальных решений. Применение математических методов в экономических исследованиях, планирование и организация производства позволяет не только рационально использовать имеющиеся ресурсы сырья рабочей силы, производственных мощностей, но и отчетливее уяснить общие экономические закономерности.
4. Математические методы и приемы мышления могут быть широко использованы в биологии и медицине. Математические методы, разработанные для исследования экономики, могут найти применение в изучении вопросов химиотерапии; теория, первоначально разработанная для расчета оптимальных орбит космических кораблей, может быть использована для конструирования протезов.
5. Для решения организационных задач поточного производства, разработки технологических процессов автоматических линий, оптимизации перевозок, расход запасных частей, распределения сырья и т.д. используют линейное программирование. Разработаны математические методы решения задач, относящихся к разным сферам человеческой деятельности: задача о диете, о распределении ресурсов, транспортная задача и т. д.
6. Появление и развитие методов теории вероятностей и математической статистики позволило проследить причинные зависимости и предсказать результат при исследовании случайных явлений. Существование случайностей вокруг нас объясняется одним из основных законов -законом всеобщей связи явлений: любое явление связано бесчисленными связями с огромным числом других явлений.
Любая наука, изучая то или иное явление, всегда выделяет небольшое число основных причин, влияющих на течение данного явления. Затем формулируются основные законы, управляющие данным явлением. Но закон беднее явления, так как он учитывает лишь небольшое число причинных связей. Теория вероятностей изучает действие большого числа причин, вводя для этого некоторые числовые характеристики. Математическая статистика устанавливает правила обработки результатов наблюдений. Теория вероятностей и математическая статистика проникли во все прикладные науки.
Необходимость применения теории вероятностей возникла и в области авиационной техники. Если сроки ремонтов, осмотров раньше устанавливались «на глаз», то сейчас, вследствие удорожания и усложнения авиационной техники, появилась необходимость в научной организации эксплуатации и обслуживания авиационной техники. Все эти расчеты должны указывать пути повышения надежности техники при минимальных трудозатратах на ее обслуживание.
Идет интенсивная работа по применению теории вероятности и математической статистики к обоснованию основных положений эксплуатации авиационной техники.
7. Вопросы оптимального управления процессами представляют интерес не только для техники. До сих пор вызывает множество нареканий такой массовый и волнующий всех процесс, как образование. Буквально во всех странах мира слышатся жалобы на то, что процесс обучения в значительном числе случаев не достигает цели. А ведь обучение - один из древнейших управляемых процессов! Ведущие вузы России занимаются вопросами оптимизации учебного процесса. Среди новых форм обучения особое внимание привлекает организация учебного процесса с применением компьютерных технологий, при которой четко выражены основные дидактические принципы - индивидуализация, активность, самостоятельность обучаемых [5].
Таким образом, специфическая особенность математики связана с внутренними потребностями ее развития, с ее абстрактно-логическим характером. Это позволяет применять математику к исследованию разнообразных объектов природы и общества. Эффективность этого процесса основывается на высоком уровне абстракции.
Выступая на II Международном математическом конгрессе, Д. Гильберт произнес: «Какое счастье быть математиком! Повсюду математика разрастается, пуская новые побеги. Все более важное значение получают ее приложения к естествознанию и ее связи с философией» [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Энгельс Ф. Диалектика природы. - М.: ОГИЗ, 1983.
2. Гилберт Д. Математические проблемы: Речь на II Международном математическом конгрессе // Жизнь науки. - М.: Наука, 1973.
3. Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: Изд.-во иностр. лит., 1957.
4. Жулева Л.Д. Некоторые философские вопросы математики // Материалы междунар. науч.-технич. конференции, посвященной 85-летию гражданской авиации России. - М.: МГТУ ГА, 2008. - С. 271.
5. Жулева Л.Д. Один из методов активизации познавательной деятельности иностранных студентов // Материалы науч .-практич. конференции «Международное сотрудничество ВУЗов на современном этапе». - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - С. 116-119.
PHILOSOPHICAL PROBLEMS OF MATHEMATICS: ROLE OF MATHEMATICAL ABSTRACTIONS IN MODERN SCIENCE AND ENGINEERING
Zhuliova L.D.
Mathematics coming into being as science is considered, peculiarities of mathematical abstractions are revealed, possibilities of application of mathematics in aircraft are shown.
Key words: mathematics, philosophical problems of mathematics, method, history of mathematics, mathematical abstraction.
Сведения об авторе
Жулева Людмила Дмитриевна, окончила МГУ им. М.В.Ломоносова (1953), кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы оптимизации динамических систем, проблемы вузовской педагогики, философские вопросы математики.
