CC BY
308
8. Вечтомов Е. М. Философия математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004; Он же. Метафизика математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006; Он же. Основные структуры классической математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2007. Дополнение.
9. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.
10. Левитин К. Е. Геометрическая рапсодия. М.: ИД «Камерон», 2004.
11. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. М.: Изд-во МГУ, 1992.
12. Пайтген X. О., Рихтер П. X. Красота фракталов. Образцы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993.
13. Зенкин А. А. Когнитивная компьютерная графика. Применения в теории натуральных чисел. М.: Наука, 1991.
14. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. М.: Мир, 1993.
15. Сингх С. Великая теорема Ферма. История загадки, которая занимала лучшие умы на протяжении 358 лет. М.: МЦНМО, 2000.
16. Зенкевич И. Г. Эстетика урока математики. М.: Просвещение, 1981; Саранцев Г. И. Эстетическая мотивация в обучении математике. Саранск: ПО РАО, Мордов. гос. пед. ин-т, 2003.
УДК 161/162 (075.8)
А. Л. Жуланов ОБЪЕКТ И ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ
В статье обсуждается проблема соотношения объекта и предмета математики. В литературе существуют два противоположных подхода к ее решению. Первый подход их отождествляет, что ведет к эмпиризму в понимании математики. Второй фактически устраняет объект математики, вследствие чего она утрачивает статус научной теории и оказывается только методом познания (языком науки).
The article focuses on the problem of relation between the object and the subject of mathematics. There are two contrary approaches to its solution in scientific literature. The first approach identifies the object and the subject of mathematics, which leads to empiricism in understanding this discipline. The second one practically eliminates the object of mathematics, because of which mathematics loses the status of a scientific theory and turns out to be a mere method of cognition (language of science).
Ключевые слова: объект математики, предмет математики, абстракция, идеализация, эмпиризм.
Keywords: the object of mathematics, the subject of mathematics, abstraction, idealization, empiricism.
Задача определения предмета математики активно обсуждается как математиками, так и философами, начиная с Античности (пифагорейцы, Платон, Аристотель). С созданием арифметики
© Жуланов А. Л., 2012
возникла проблема числа, впервые поставленная пифагорейцами. В изложении Г. Гегеля она сформулирована следующим образом: «Где находятся числа? Обитают ли они отдельно в небе идей, отделенные от всего другого пространством? Они не суть непосредственно сами вещи, ибо вещь, субстанция, отнюдь не является числом; тело не имеет с ним никакого сходства» [1]. Здесь содержатся два различных, но взаимосвязанных вопроса: что такое число и как оно существует. Представляет интерес парадоксальное высказывание о сущности математики Б. Рассела: «...математика может быть определена как доктрина, в которой мы никогда не знаем ни того, о чем мы говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим» [2]. Правомерно поставить вопрос: существует ли нечто, о чем математика дает нам знание? Другими словами, что составляет объект математики? Если в классическом естествознании на эмпирическом уровне познания ответ на поставленный вопрос не вызывал затруднений (получаемое знание есть знание о предметах и процессах действительного мира, которые в совокупности составляют объект познания), то в современном естествознании ситуация существенно иная. Формулируемые на теоретическом уровне высказывания (гипотезы, законы) описывают не реальные предметы и процессы, а их идеальные модели. Так, в квантовой физике было введено понятие «физической реальности», которая на эмпирическом уровне познания представлена данными эксперимента (показаниями приборов), а на теоретическом уровне выступает в виде математических формул, уравнений и других математических конструктов. Созданная деятельностью ученых «физическая реальность» стала для них предметом познавательной деятельности. Поскольку микрообъекты (объект познания) непосредственно не наблюдаемы, физик вынужден судить о них на основании анализа «физической реальности» (т. е. предмета познания). Таким образом, развитие науки необходимо привело к постановке проблемы соотношения объекта и предмета науки.
В работах, посвященных философии математики, проблеме предмета математики уделяется много внимания, гораздо больше, чем подобной проблеме в других отраслях науки. Это обусловлено спецификой математики. В отличие от естественных наук, для которых можно с большей или меньшей точностью установить область изучаемых явлений, для математики эта задача трудно разрешима вследствие ее особого характера: высокой степени абстрактности ее понятий и не только. Главным обстоятельством является то, что математические объекты (число, фигура, функция и др.) - результат идеализации, мысленного конструирования. Если хотя бы некоторым по-
Философия математики
нятиям естественных наук можно поставить в соответствие вещи, свойства или отношения действительного мира, то связь математических понятий с действительностью многократно опосредствована. Если отдельную геометрическую фигуру или натуральное число еще можно, хотя и с большими оговорками, представить как объективное свойство какой-либо вещи или группы вещей, то отрицательные, мнимые числа, векторы, многомерные пространства и т. п. не имеют эмпирически устанавливаемого аналога в действительности. Положение еще более усугубляется, когда имеют дело с формальной математикой, строящейся на основе формализованного языка. Д. Гильберт в одном из докладов заявил: «...я каждое математическое высказывание превращу в доступную конкретному показу и строго выводимую формулу и тем самым перемещу весь комплекс вопросов в область чистой математики» [3]. Эта совокупность формул составляет предмет формальной математики и выступает для математика особой, как назвал ее В. И. Метлов, «математической реальностью» [4]. Здесь встает со всей определенностью проблема: имеет ли математика специфический объект и предмет исследования или нет, является она отражением какого-либо фрагмента, свойства объективной реальности или же она представляет собой только знаковую систему, особый язык, удобный для выражения мыслей?
В отечественной литературе по философии математики проблема предмета математики интенсивно обсуждается [5]. Их авторы опираются на положение, содержащееся в книге Ф. Энгельса «Анти-Дюринг»: «.чистая математика имеет своим объектом (выделено нами. - А. Ж.) пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть - весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира.» [6]. Данное высказывание различными авторами оценивается либо как классическое определение математики, либо как определение предмета математики или одной из его сторон. Итак, необходимо различать две вещи: объект математики и ее предмет. Под объектом математики, как и любой другой науки, в соответствии с категориальным смыслом этого философского термина (объект - это есть нечто, противостоящее субъекту деятельности) следует понимать те вещи, свойства и отношения реальности, которые находят в науке свое выражение. Для Платона объектом геометрии было пространство как особая реальность, расположенная между миром идей и миром вещей (пространство как «кормилица, восприемница идей»). В вышеприведенных словах Энгельса речь идет об опреде-
лении объекта математики, т. е. о выяснении свойств и отношений действительного мира, которые получили в ней теоретическое выражение.
С расширением понятийного аппарата математики, ее познавательных средств соответственно расширяется и объект математики, т. е. множество тех явлений, которые она может описывать. Например, с созданием тригонометрии стало возможным производить измерения таких расстояний (в геодезии и астрономии), которые средствами обычной геометрии были неосуществимы. Теория вероятностей дала метод количественной оценки случайных событий. Поэтому установить объект математики на каждом этапе ее развития - дело непростое. Задача определения объекта математики имеет два смысла: определение области действительности (вещи, процессы, свойства, отношения), послужившей прообразом для формирования новой теории, и определение области приложения данной теории. Первая задача - дело исторической науки, которая должна произвести реконструкцию форм культуры, обусловивших появление тех или иных математических понятий и методов. Ее решение зависит от наличия историко-культурного материала, его осмысления и систематизации. Здесь только не следует впадать в крайности эмпиризма, требующего для каждого математического понятия указывать его непосредственный аналог или прообраз. Дело в том, что новые понятия часто вводятся как обобщение уже существующих (например, рациональные, отрицательные, комплексные, гиперкомплексные числа), а новые теории или исчисления создаются на основе других математических теорий (например, теория групп как развитие классической алгебры или неевклидовы геометрии как результат замены пятого постулата евклидовой геометрии на другое суждение). Однако и в Новое время, а не только в глубокой древности, многие математические понятия, теории, исчисления первоначально возникают как прикладные для решения задач механики, физики и других наук, техники, экономики и лишь затем приобретают статус чисто математических (например, дифференциальное и интегральное исчисление, теория вероятностей, математическая статистика, теория информации и др.). Будучи абстрагированы из одной области явлений, они затем приобретают всеобщее значение, становятся универсальным аппаратом, техническим средством решения задач из многих других областей, как чисто теоретических, так и прикладных.
Можно ли считать достаточным для определения науки указания на объект ее изучения?
Если ограничиться определением математики как науки о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира, то
будет ли такая её характеристика определением её сущности? Можно ли на основе такого определения отличить математику от других наук? Что изучают астрономия, физика, химия и другие естественные науки? Всякая естественная наука, достигшая зрелости, изучает то же самое. Наряду с утверждениями качественного, содержательного характера они включают различные формулы, уравнения, схемы. Так, химия дает знания о количественном составе веществ, о пространственных конфигурациях молекул; механика - о пространственных свойствах движения (кинематика), о количественных отношениях между силами, массами, ускорениями и т. п. (динамика), кристаллография изучает типы пространственной симметрии кристаллов. Примеры можно приводить неограниченно. Но что из них следует? Все названные науки являются разделами математики? Вряд ли этот вывод правомерен и найдёт сторонников за пределами сообщества математиков, да и среди математиков таких встретится немного. Например, Дж. Кемени утверждал: «Я хочу доказать, что каждая наука есть прикладная математика» [7]. Но тогда возможен противоположный вывод: математики как особой науки вообще не существует. Поскольку объект её познания оказался занятым другими науками, она, подобно королю Лиру, разделившему королевство между дочерьми, оказывается лишней. Этот вывод оказывается ещё более экстравагантным на фоне величественного здания математики и огромной армии математиков, которые в таком случае оказываются как бы лишними. Следовательно, истина находится глубже. Значит, науки характеризуются не только объектом познания, не только тем, что они изучают, но и тем, как они подходят к объекту познания, каким способом они его осваивают. Это различие как раз и выражается в предмете науки. Что такое предмет математики?
Прежде чем говорить о предмете математики по существу, посмотрим, как он трактуется в литературе. Академик А. Д. Александров дал такое его определение: «В общем, в предмет математики могут входить любые формы и отношения действительности, которые объективно обладают такой степенью независимости от содержания, что могут быть от него полностью отвлечены. .непосредственным предметом математики оказываются: числа, а не совокупности предметов, геометрические фигуры, а не реальные тела и т. п.» [8]. В этих высказываниях авторитетного математика один и тот же термин - предмет математики - употребляется в различных значениях: для обозначения форм и отношений объективной действительности и для обозначения продуктов абстрагирующей деятельности людей (числа, фигуры и другие математические понятия).
«В качестве же своих объектов она рассматривает пространственные формы и количественные отношения действительности, точнее, идеализированные объекты, начиная с натурального числа и фигуры и кончая абстрактными фигурами» [9]. Так что такое, с точки зрения автора этих строк Н. И. Жукова, математический объект: объективные отношения или абстракции этих отношений? Примеры подобных рассуждений можно найти и в других работах. Причина неясных рассуждений о предмете математики видится в том, что, сознавая отличие математики (в этом пункте) от естественных наук, некоторые авторы не нашли адекватной логической формы для выражения этого отличия. Проблема решается введением понятий предмета и объекта математики.
Чтобы дать ответ на вопрос о том, что составляет предмет математики, необходимо рассмотреть предметы её отдельных частей: арифметики, геометрии, алгебры, математического анализа и др. Обобщая полученный материал, предмет математики можно представить в виде иерархии систем абстрактных идеализированных объектов, выступающих в единстве их идеального содержания и материальной, знаковой формы (числовые системы, системы функций, геометрических фигур и пр.). Они образуют своего рода «математическую реальность», с которой имеет дело математик в своей работе. Первые этажи этой иерархии являются абстракцией и идеализацией некоторых реальных свойств и отношений действительности, вышележащие - оказываются абстракциями второго, третьего и т. д. порядков.
Введение понятий объекта и предмета математики позволяет провести чёткое разграничение между формами и отношениями объективной реальности, которые потенциально могут получить математическое описание, и абстракциями и идеализациями этих форм и отношений, для которых математика выработала специальные понятийные и языковые средства выражения. Это делает возможным видеть как сходства «математической реальности» и объективной реальности, так и их принципиальное различие.
К чему ведёт отождествление понятий объекта и предмета математики, т. е. употребление терминов «объект математики» и «предмет математики» как синонимов? В логическом отношении некорректно использовать один термин для выражения двух понятий. С философской точки зрения, такое неразличение объекта и предмета науки приводило к наивно-созерцательному взгляду на математику, и, как следствие, к догматизму, к кризисам в её развитии. Что тормозило развитие понятия числа в истории математики? Почему математики различных эпох с уди-
История философии
вительным упорством повторяли одну и ту же ошибку, не желая признавать равноправия с другими вначале дробных, позднее - отрицательных, иррациональных, мнимых чисел (чисел вида 2/3,
-5, л/2 , V—3 )? Это происходило потому, что символические выражения этих чисел не имели смысла в системе тех понятий, которые использовались в соответствующую эпоху. Для древнего грека, не являвшегося математиком, числом было только натуральное число, ибо оно количественно характеризовало некоторую совокупность вещей. Обыкновенная дробь вида 1/п - это не число, а оперативный символ, указывающий на то действие, которое надлежало произвести с некоторой величиной, т. е. разделить ее на п частей. Даже Платон говорил, что математики умножают там, где надо делить. «Отрицательное число» стало числом, когда ему нашли истолкование в торговых расчётах как меры долга, убытка и т. п. С «мнимыми числами» мирились почти триста лет только потому, что они, встречаясь в промежуточных выкладках при решении кубических уравнений, не входили в конечный результат. Чисто прагматический подход к употреблению таких чисел можно видеть в словах французского математика Л. Карно: «В алгебре вводят в вычисления чисто мнимые понятия, фиктивные сущности, которые не могут существовать, ни даже быть понятыми и которые не теряют, однако, от этого своей полезности. Их употребляют вспомогательным образом, как термины сравнения для облегчения сопоставления истинных количеств... и затем их исключают посредством преобразований, представляющих, так сказать, чисто механическую работу» [10]. В этом высказывании характерно противопоставление «истинных количеств» «фиктивным сущностям» и «мнимым понятиям» (каковыми являются отрицательные и мнимые числа, бесконечно малые и бесконечно большие величины). Деление математических объектов на два сорта (истинные и фиктивные) является результатом эмпирического взгляда на математику, согласно которому «истинный» математический объект должен иметь содержательное истолкование, понятный смысл, т. е., в конечном итоге, он должен выражать некоторое свойство реальности, иметь непосредственный аналог. Понадобились столетия, чтобы в сознание подавляющей части математиков вошло новое понимание предмета математики как науки, изучающей особую реальность, сконструированную самими учёными. Объекты этой реальности образуют множество классов с особыми свойствами, однако здесь уже нет деления их на истинные, т. е. настоящие, полноценные, и фиктивные понятия. Фиктивность некоторых величин оказалась временной; они получили интерпретации в других понятиях, уже имеющих полно-
ценный статус в математике, и поэтому стали вполне равноправными. Например, комплексным числам была дана геометрическая интерпретация; проблема бесконечно малой и бесконечно большой разрешилась пониманием того, что это не постоянные, а переменные величины, имеющие пределом нуль и бесконечность соответственно. Единственное, что их отличает, - это их происхождение: одни являются абстракциями и идеализациями низшего, а другие - высшего порядка, одни, с точки зрения их происхождения, стоят ближе к объективному миру, другие - дальше от него.
Однако эмпиризм в понимании математики еще не изжит. Изжита его явная, очевидная разновидность, требовавшая для каждого математического объекта наличия его аналога в действительности. Более тонкая разновидность эмпиризма обычно выражается следующим образом: математика изучает «пространственные формы и количественные отношения действительности 6 чистом виде», т. е. полностью отделенными от содержания. Данное высказывание Ф. Энгельса также широко цитируется в работах по философии математики. На это следует заметить: сколько ни очищай пространственную форму (например, кристалла) от содержания (атомов или ионов), все равно геометрического объекта (тетраэдра, гексаэдра или другого правильного полиэдра) не удастся получить. Для этого необходимо совершить акт идеализации, только в результате такой мыслительной процедуры получится математический объект (фигура, функция, уравнение). Тот факт, что математика изучает исключительно системы идеализированных объектов, ставит ее при философском анализе в особое положение по сравнению с другими науками. Акт идеализации не является специфичным только для математического познания. Он необходимо присутствует в любом теоретическом познании («материальная точка» в механике, «абсолютно черное тело», «идеальный газ» в физике и т. д.). Однако в математике ее абстрактные объекты вследствие многоступенчатой идеализации стоят дальше от реальности, чем абстрактные объекты естествознания. Поэтому для них, во-первых, не существует непосредственных аналогов, которые можно было бы, «очистив» их от содержания, превратить в соответствующий абстрактный объект, и, во-вторых, нелегко найти и те объективные прообразы, абстракцией и идеализацией которых они стали.
Другая крайность в вопросе об отношении объекта и предмета математики выражается во взглядах, разрывающих их единство. В некотором роде классической является точка зрения на математику только как на метод познания, как на рабочий аппарат, своего рода язык для других наук. Подход к математике как к языку для
выражения отношений, трудно выразимых средствами обычной речи, укоренился среди физиков, что вполне объяснимо применительно к людям, пользующимся готовым формальным аппаратом. Вот суждение на этот счёт американского физика Е. Вигнера в статье с весьма характерным названием «Непостижимая эффективность математики в естественных науках»: «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны» [11]. Подобные взгляды на роль математики в естествознании можно встретить у Н. Бора, Р. Фейнмана и др. Действительно, математика продемонстрировала огромный эвристический потенциал в ряде наук, особенно в астрономии, механике, физике. Метод математической гипотезы, математическое моделирование, статистические методы обработки данных и другие методы позволили, что называется, на «кончике пера» сделать открытия явлений, недоступных прямому наблюдению (например, планеты Нептун, позитрона). Успехи применения математического инструментария породили некоторую фетишизацию математики как метода науки. С психологической точки зрения это даже неплохо. Но с философской точки зрения с такими представлениями нельзя согласиться. Чудеса остаются таковыми, пока их воспринимают как чудеса, не подвергая изучению. История математики показывает нам, что математические объекты - не дар свыше, а продукт многовековой познавательной и практической деятельности людей, в ходе которой они их создавали, подвергали многократной проверке, усовершенствовали, т. е. проводили селекцию не менее длительную и строгую, чем при выведении культурных сортов растений и пород животных. Именно потому, что математические объекты причастны действительному миру («плоть от плоти и кровь от крови этого мира»), т. е. отображают некоторые существенные его свойства и отношения, они позволяют не только описывать адекватно этот мир, но и предсказывать новое в нем, недоступное прямому наблюдению. Как сказал П. К. Рашевский во вступительной статье к книге Д. Гильберта «Основания геометрии», «законы геометрии обязательны для природы потому и постольку, поскольку они из нее извлечены» [12]. Рассмотрение математики только как метода, технического средства познания для других наук лишает ее объективного содержания, т. е. объекта познания, вследствие чего она утрачивает также и специфический, присущий только ей предмет познания, превращаясь в искусственную знаковую систему - искусственный язык подобно формализованному искусственному языку символической логики.
Однако следует заметить, что даже представление математики только как знаковой системы не лишает ее статуса теории, отражающей некий объект познания. Оставаясь в рамках чистой математики, следует подчеркнуть, что всякая математическая теория описывает свойства системы абстрактных идеализированных объектов, созданных в ее рамках (теория чисел, теория функций, теория вероятностей и т. п.). Поскольку эти объекты имеют в теории знаковое выражение, теорию можно рассматривать как искусственную знаковую систему, формулы которой можно преобразовывать по определенным алгоритмам. Это в той же мере относится и к математизированным физическим теориям (например, молекулярно-кинетическая теория описывает свойства идеального газа, т. е. абстрактного объекта физики). Однако отличие научных теорий, выраженных в виде знаковой системы, от искусственных знаковых систем состоит в том, что научные теории связаны со специфическим объектом познания, отображенным в системе абстрактных конструктов. Другими словами, в символах теории выражены понятия, фиксирующие свойства объекта познания. Следовательно, научная теория имеет два уровня содержания: непосредственно она является теорией своего предмета (системы абстрактных идеализированных объектов) и опосредованно теорией того фрагмента объективной реальности, который является ее объектом. Именно поэтому теории применяются для решения практических задач. Правда, применение теории связано с рядом проблем, одна из которых - исключение введенных абстрактных объектов.
Любой язык, как естественный, так и искусственный, способен выполнять свои функции как средства познания мира только при условии, что его символы имеют значение, т. е. что-то обозначают. При производстве формальных преобразований выражений этого языка можно временно абстрагироваться от этих значений, руководствуясь исключительно предписанными правилами (например, формулами тождественных преобразований в алгебре). «Комбинаторная игра в символы», как назвал формальную математику Дж. фон Нейман, - это промежуточный этап при решении научных задач. На первом этапе решения задачи производят формализацию содержания, превращая ее в совокупность формул, на втором - осуществляют формальные преобразования знаковых выражений в соответствии с принятыми алгоритмами, на третьем - дают интерпретацию формул в содержательных терминах той науки, к которой относится решаемая задача. Таким образом, формулы исчисления в рамках решаемой задачи отображают некое объективное содержание, затем они транслируют это
Истормя философии
содержание при производстве математических действий, преобразуя его, придавая ему новую структуру, благодаря чему итоговые формулы обнаруживают при интерпретации новые элементы содержания, которые не были видны ранее, но присутствовали там имплицитно. По-видимому, в этом и состоит тайна «непостижимой эффективности» математики в естественных науках: математические формализмы позволяют выявить новые элементы, в скрытом виде имевшиеся в исходном содержании. Согласно Г. Герцу при изучении теории Максвелла возникает чувство, «.как будто в математических формулах есть самостоятельная жизнь, собственный разум - как будто они умнее нас, умнее даже самого автора, как будто они дают нам больше, чем в свое время было в них заложено» [13]. Действительно, из четырех дифференциальных уравнений Д. К. Максвелла было извлечено богатое содержание, которое составило предмет новой отрасли физики - классической электродинамики - и привело к формированию новой физической картины мира - электромагнитной. Таким образом, математические теории, так же как и математизированные естественнонаучные теории, на определенном уровне абстракции можно рассматривать как знаковые системы, но это системы, которые не только допускают, но и предполагают содержательные интерпретации в понятиях соответствующих наук.
Итак, следует сделать вывод: будучи наукой о мире, математика посредством системы понятий - абстрактных идеализированных объектов -дает истинное отображение некоторых свойств этого мира, т. е. через предмет математики отображаются объективные свойства мира (количественные свойства и отношения, пространственные формы, которые составляют ее объект).
Именно поэтому между математикой как теорией и математикой как методом существует единство: теория вследствие ее истинности оказывается методологически эффективной (практически полезной), а метод - теоретически обоснованным (истинным). Математика подтверждает мысль Гегеля о том, что всякая наука есть прикладная логика.
Примечания
1. Гегель Г. Лекции по истории философии. Кн. 1. Соч. Т. IX. М., 1932. С. 195.
2. Рассел Б. Новейшие работы о началах математики // Новые идеи в математике: сб. 1. СПб., 1917. С. 83.
3. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948. С. 391.
4. Метлов В. И. Диалектика оснований и развития научного знания // Вопросы философии. 1976. № 1. С. 125.
5. Александров А. Д. Общий взгляд на математику // Математика, ее содержание, методы и значение. Т. 1. М., 1956. С. 68; Философия естествознания (выпуск первый). М., 1966. С. 268-288; Киселева Н. А. Математика и действительность. М: Изд-во МГУ, 1967. С. 5-14; Рузавин Г. И. О природе математического знания. М., 1968. С. 30-45; Беляев Е. А., Киселева Н. А., Перминов В. Я. Некоторые особенности развития математического знания. М.: Изд-во МГУ, 1975. С. 3-7, 13-15; Философские проблемы естествознания. М., 1985. С. 49-57.
6. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е. Т. 20. С. 37.
7. Жуков Н. И. Философские основания математики: учеб. пособие. 2-е изд. Минск, 1990. С. 32.
8. Александров А. Д. Математика // Философская энциклопедия. Т. 3. М., 1964. С. 329.
9. Жуков Н. И. Указ. соч. С. 43.
10. Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. М.; Л., 1933. С. 219.
11. См.: Успехи физических наук. 1968. Т. 94. Вып. 3. С. 546.
12. Гильберт Д. Указ. соч. С. 9.
13. Дягилев Ф. М. Концепции современного естествознания. М., 1998. С. 78.
