CC BY
95
- ФИЛОСОФСКИЕ НАУКИ -
УДК 1/14
В.С. Данилова, Н.Н. Кожевников
Философские предпосылки математической картины мира
СВФУ им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия
Аннотация. Рассмотрены такие наиболее общие черты математики, как тенденция к абстракции, тенденция к наглядности, выявление знания в результате размышления и доказательства, возможность построения научных теорий, которые могут быть связаны с любой реальностью. Исследование качественных изменений в предмете математики позволило (А.Н. Колмогоров) выделить четыре основных периода математики: зарождения, постоянных величин, переменных величин, абстрактных структур. Ключевым вопросом онтологии математики является вопрос о её реальности. При этом необходимо различать методологическое и философское понимание математического реализма. В философии математики имеются два основных направления: фундаменталистское - исследует проблему с целью выяснения её сущности, нефундаменталистское - связывает развитие математики с деятельностью ученых, их социальной или культурной детерминацией, историческим воздействием научных революций. Рассмотрены основные программы обоснования математики: формалистская, логистическая, интуиционистская, системного обоснования, а также ряд фундаментальных теорем и подходов.
Ключевые слова: абстракция, объяснение, доказательство, постоянный, переменный, реализм, онтология, методология, фундаментальные константы, реализм.
V.S. Danilova, N.N. Kozhevnikov
Philosophical Background of the Mathematical Picture of the
World
M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia
Abstract. The article reviews most common features of Mathematics such as the tendency to abstraction, tendency to clarity, acquisition of knowledge in the course of reflection and proof, and the possibility of constructing scientific theories that can be related to any reality. The study of qualitative changes in the subject of Mathematics allowed (A.N. Kolmogorov) to distinguish four main periods in Mathematics: nucleation, constant quantities, variable quantities, and abstract structures. The key question of the ontology of Mathematics is the question of its reality. It is necessary to distinguish between the methodological and philosophical understanding
ДАНИЛОВА Вера Софроновна - доктор философских наук, профессор кафедры философии, СевероВосточный федеральный университет имени М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия. E-mail: [email protected]
DANILOVA Vera S. - Doctor of Philosophy, Professor Department of Philosophy M.K. Ammosov NorthEastern Federal University, Yakutsk, Russia.
КОЖЕВНИКОВ Николай Николаевич - доктор философских наук, профессор кафедры философии, Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия. E-mail: [email protected]
KOZHEVNIKOVNikolay N. - Doctor of philosophical science, Professor Department of Philosophy, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia.
of mathematical realism. In the philosophy of Mathematics, there are two main directions: fundamentalist - exploring a problem in order to clarify its essence, and non-fundamentalist - linking the development of Mathematics with the activities of scientists, their social or cultural determination, the historical impact of scientific revolutions. The main programs of substantiation of Mathematics are considered: formalistic, logistical, intuitionistic, systemic justification, and a number of fundamental theorems and approaches.
Keywords: abstraction, explanation, proof, constant, variable, realism, ontology, methodology, fundamental constants, realism.
Общая характеристика математики
Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Математика ориентируется на целостность, на исследование явлений и взаимодействий между ними. В последнее время появились тенденции, ориентированные на процессы самоорганизации и саморазвития. Математика появилась в Древнем мире тысячи лет назад и очень долго была единственной наукой. Например, астрономическое знание также возникло очень давно, но в древности и в Средние века оно тесно переплелось с астрологией и наукой стало только в XVI в. К XVIII в. сформировалось всего четыре науки (математика, астрономия, классическая механика, физика), в настоящее время известно более пятнадцати тысяч наук и многие из них взаимодействуют с математикой или стремятся к ней. В XVII-XIX вв. математика развивалась необыкновенно быстро, что было обусловлено потребностями науки, техники, промышленности. В естественных науках больше всего проблем возникало в механике и астрономии, где все основные понятия и принципы оказалось возможным выразить в математической форме, а получаемые в итоге предсказания оказались достаточно точными.
Математика уже много веков играет объединительную роль для многих наук и, кроме того, способствует образованию устойчивых связей также между естествознанием и философией. Философия математики и математическая картина мира занимают особое место среди всех математически-ориентированных дисциплинарных онтологий и научных картин мира. Поскольку математика слабо связана с внешним миром, она опирается на «чистый разум», что открывает возможности для самых широких обобщений. В настоящее время математика наполняется всё более богатым содержанием, поскольку помимо естествознания и техники бурно развиваются информатика, сфера компьютера, науки о человеко-размерных комплексах, мозге, широчайшие классы междисциплинарных и трансдисциплинарных наук, которые непрерывно расширяют запас количественных отношений и временных и пространственных форм, доступных её изучению.
Особенности развития математики
Развитие математики наглядно характеризуется качественными изменениями в её предмете. А.Н. Колмогоров выделяет четыре основных этапа: «период зарождения математики, математика постоянных величин, математика переменных величин, современная математика или математика абстрактных структур» [1].
1. В период зарождения использовались только именованные числа и четко осознавался предел, до которого был возможен счет. Математика обрела внутреннюю структуру, значительно раньше всех остальных естественных наук и долгое время считалась для них эталоном. «Теперь уже нельзя сомневаться в сильно развитой доэллинской математике. Не только понятия целого, числа и меры величин (сами по себе уже очень абстрактные) употребляются в самых древних из дошедших до нас текстов Египта и Халдеи, но и вся вавилонская алгебра, с её изящными и уверенными приемами не может рассматриваться в виде простой совокупности задач, решенных эмпирически, на ощупь» [2, с. 9].
2. Период математики постоянных величин элементарной математики начался в Вавилонии (Месопотамии), продолжился в Древней Греции и закончился в Западной Европе в XVII в. Математика этого этапа вышла за пределы потребностей практики и занялась вопросами, по -рождаемыми развитием самого интеллекта. Аристотель первым преодолел различия между
математическими абстракциями и опытным знанием, сделав их пригодными для использования в естественнонаучных концепциях Принципы математики всегда были тесно связаны с философией. Ядро этой связи составляет априорное (доопытное) знание. Большинство философских систем стремилось к подобному априорному знанию, к которому всегда стремилась и математика [3].
3. В математике переменных величин на первый план выдвигаются понятия функции, предела, производной, дифференциала и интеграла. В Новое время, особенно в ХУШ-ХГХ вв., представление о роли математики в естествознании достигло своего апогея. Так, например, И. Кант считал математику основой преобразования главных принципов философии и принадлежностью к ней определял науку в целом. Многие философы и ученые отмечали, что наука только тогда становится наукой, когда она начинает широко использовать математику. Расцвет математики Нового времени готовился тысячелетиями. В него внесли свой вклад мыслители Древнего Мира, развивавшие, прежде всего, геометрию, представители Индии и арабских стран, создавшие основы алгебры, ученые других стран. Ньютон и Лейбниц дополнили математику дифференциальным и интегральным исчислениями, так что в ХУП-ХХХ вв. её методам были доступны любые естественнонаучные задачи [4]. В математике Нового времени выделяют две важнейшие даты: «выход в свет «Геометрии Декарта» (1637) и появление статьи Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления»... Та и другая работы посвящены изложению общих методов математики» [5, с. 195].
4. В современной математике возникло множество самостоятельных направлений и усиленное внимание к проблемам обоснования математики, «т.е. критическому пересмотру её исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также критическому рассмотрению логических приемов, употребляемых при этих доказательства» [6 с. 563]. В современной математике появились принципиально новые направления: геометрия Лобачевского, теория функций комплексного переменного, теория дифференциальных уравнений, теория уравнений математической физики, теория чисел. В то же время усилилось внимание к вопросам «обоснования» математики, то есть критическому пересмотру ее исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также критическому рассмотрению логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Во второй половине XIX в. возникла математическая (символическая) логика, где особое значение приобретают разработка и применение так называемого формализованного языка - языка символов (знаков). В настоящее время развиваются различные ее типы: многозначные, модальные, конструктивные, интуиционистские, паранепротиворечивые, релевантные и другие логики. Язык может быть определен как знаковая информационная система, продукт духовной деятельности человека, передающий накопленную информацию с помощью символов или слов языка. Современная математика характеризуется принципиальными изменениями. Во-первых, естествознание вступило, во многих своих пограничных областях, в контакты с вненаучными формами мышления. Во-вторых, сама математика в ХХ в. утратила свою определенность. Появились многие математические дисциплины, такие, как теория вероятностей, статистический и стохастический анализ, теория графов, которые основаны на принципах, совершенно отличных от принципов классических математических дисциплин.
Онтология и методология математических понятий и представлений
Ключевым вопросом онтологии математики является вопрос о её реальности, под которой понимаются «различные виды количественных отношений и пространственных форм, репрезентированные в виде множества разного рода идеальных математических объектов (чисел -арифметика, геометрических объектов - точка, прямая, окружность и т.д., функций - алгебра, математический анализ и т.д., конечных и бесконечных множеств - теория множеств и т.д.) и отношений между ними (абстрактных структур)» [7, с. 214].
«Необходимо различать методологическое и философское понимание математического реализма, сводящегося к утверждению, что в математике в качестве непосредственно истинных могут приниматься не только утверждения о конкретных предметах (числах, фигурах), но и утверждения об абстрактных сущностях, таких как множество действительных чисел и т.п. Номиналисты полагают, что подлинной надежностью обладают только высказывания о конкретных объектах, таких как натуральные числа и операции с ними. Этот спор в настоящее время можно считать законченным: методология математики в достаточной степени пояснила тот факт, что строго номиналистическое построение математики не может быть осуществлено. Для философии математики более важной и более трудной является идея философского (метафизического) реализма, который стремится найти за математическими абстракциями некоторого рода реальное существование» [8, с. 38].
Многие современные ученые считают математику не наукой, а методом, универсальным языком, позволяющим логически обработать любое содержательное утверждение. Математика ориентирована на поиск когерентной истины, то есть любое новое утверждение в этой области должно соответствовать системе предшествующих истин. Как формальная наука математика имеет своим предметом то, что полагается самим мышлением, которое должно быть согласовано с самим собой.
Математике присуще предвосхищение многих открытий в астрономии, практически во всех разделах физики, в химии и многих других науках. Хрестоматийным примером являются законы И. Кеплера, внутренняя гармония которых начинает осознаваться только в настоящее время. В свою очередь Кеплер сумел использовать эллипсы, значение которых в математике древности было понято очень односторонне. Таким образом, решение чисто математических задач способствует пониманию явлений и процессов в самых различных областях знания. Не менее ярким примером является открытие планеты Нептун математическими методами по искажению орбиты Урана вследствие притяжения последнего.
В настоящее время в философии математики имеются два основных направления - фундаменталистское и нефундаменталистское [9]. Фундаменталистское направление исследует проблему с целью выяснения сущности математики, которая при всех воздействиях окружающего мира остается одной и той же. Нефундаменталистское направление связывает развитие математики с деятельностью ученых, их социальной детерминацией, культурной детерминацией, историческим воздействием научных революций. Здесь сразу следует отметить, что научных революций таких как в физике и в других естественных науках в математике не было, поскольку она не отбрасывает ранее существовавшие теории. Эти теории просто становятся менее важными, но их использование допускается.
Фундаментальные константы математики и их анализ. В системе координат, формируемой самой природой числа 0,1,2 не являются простыми, наоборот, они очень сложны. Природа никогда не сможет их «понять». Действительно, возьмем, например, нашу планету. Где проходит ее граница: по литосфере, по атмосфере? Но точной границы атмосферы не существует: ученые называют цифры: 500 км, 1000 км, 2000 км. А как быть с взаимодействиями Земля-Луна, Земля-Солнце? Или взять, например, дерево: проведя границу по корням, охватим ли мы их все? А как быть с пространством (почвой) между корнями? То же самое можно сказать про крону (листья, хвою), ствол. Таким образом, природа всегда будет воспринимать единицу не как 1, а с некоторой небольшой добавкой (1, ...). Нуль тоже будет непонятен природе. Вакуум или любая другая пустота на самом деле являются очень сложными образованиями. Аналогичные доводы могут быть приведены и в отношении числа 2, откуда следует, что числа 0, 1, 2 придуманы человеком и не вписываются в природную «простоту».
Но вместе с тем есть числа, сформированные самой природой, хотя человек воспринимает их как трансцендентные и более сложные, чем вышеупомянутые е и п. Число е = 2,71... определяется алгебраическим рядом и, кроме того, дифференциальным уравнением ё/ / Л = к/, имеющим своим решением экспоненциальную функцию е/. Последнему уравнению соот-
ветствует ясный смысл: скорость изменения некоторой функции во времени равна самой этой функции. Огромное число процессов в физике, химии, биологии, географии, экологии, общественных науках описываются экспоненциальными зависимостями. Наиболее просто смысл числа п проявляется в том, что оно равно отношению длины окружности к ее диаметру. Число п входит в многочисленные формулы физики, математики, астрономии и других наук.
Фундаментальные константы математики e и п могут быть связаны в одном великом математическом законе (тождество Эйлера), определяющем единицу:
e п = - 1,
где i - мнимая единица, имеющее большое значение в математике, где она определяется как комплексное число i, квадрат которого равен минус единице ^ 2 = -1).
Различные направления философии математики
Философия математики начинается с пифагорейского союза, где создавались не только математические концепции, но и предпринимались попытки осмысления их связи с мировой гармонией, впервые был поставлен вопрос о подлинности математического знания. Главный тезис пифагорейцев «Все есть число» долго обладал значительным эвристическим потенциалом, обеспечивая развитие математики.
В ХУП-ХУШ вв. благодаря работам Р. Декарта, В. Лейбница, И. Канта сформировалась априористская концепция математики, где последняя рассматривается как внечувственное знание, основанное на априорной интеллектуальной интуиции [10]. Создатели этой концепции разделяли истины на математические, логические и случайные, выявленные в результате опыта. У Канта на априорные представления о пространстве опираются аксиомы геометрии, а подобные представления о времени составляют основание арифметики. Обоснование математики ориентировано, прежде всего, на исследование (решение) двух фундаментальных проблем: 1) строгость математических доказательств; 2) обоснование непротиворечивости математических теорий. Есть несколько основных подходов обоснования математики и её философии.
Формалистская философия математики, которую развивали Д. Гильберт, а также Г. Кантор, А. Пуанкаре. Главными из основных положений, сформулированных в этом направлении являются следующие: «1) математика не имеет предмета в объективной действительности, подобного физике, химии и другим наукам, она не является наукой, исследующей какие-то специфические аспекты объективной реальности, а представляет собой лишь метод логической систематизации опытного знания и состоит из совокупности формальных структур, пригодных для этой цели; 2) основным требованием к аксиомам теории является не их априорная очевидность или связь с опытом, а их непротиворечивость, которая необходима и достаточна для её приложения к опытным наукам; 3) к математике неприменимо понятие истины в смысле адекватного объективного содержания. Любая математическая теория сама по себе не истинна и не ложна. Она становится таковой только после соединения её понятий с понятиями опытных наук; 4) если обоснование содержательной науки состоит в эмпирическом подтверждении её истинности, то обоснование математической теории заключается в доказательстве логической непротиворечивости множества её аксиом и правильного логического вывода её соответствующих теорем» [8, с. 30].
Логистическая программа обоснования математики опирается на идеи В. Лейбница о сводимости математики к логике. Основными исследователями в этом направлении были Г. Фреге, А. Уайтхед, Б. Рассел. Несмотря на многочисленные аргументы, исследования парадоксов и доказательств, логистическая программа довольно быстро себя исчерпала и была признана несостоятельной.
Интуиционистская философия математики. Обоснование математики в рамках этого направления развивал Л. Брауэр, и их можно свести к следующим положениям. «1. Исходные математические объекты признаются в качестве существующих только на основе непосредственной содержательной суперпростой («глобальной») интуиции. 2. Новые производные
объекты должны строиться только из исходных под контролем той же глобальной интуиции. 3. Расширение математического знания посредством логики (дедукции) законно лишь в той мере, в которой оно соответствует возможностям его прямого интуиционистского контроля и обоснования» [8, с. 126]. Этот подход также, как и предыдущий оказался односторонним, поскольку далеко не все понятия и концепции математики могут быть рассмотрены на его основе.
Программа системного обоснования математики. Идеи, лежащие в основании этой программы, были высказаны Э. Гуссерлем. Основные понятия и принципы математической теории предполагают существование некоторого предела, что как раз может предоставить их система. Тогда и аксиоматика, и все доказательства достигнут полной стабилизации, устойчивости, надежности и однозначности. Система аксиом, благодаря этому подходу, обретает полноту, минимальность, элементарность и становится завершенной.
Теоремы К. Геделя о неполноте и о полноте, известные далеко за пределами математики, позволяют наглядно выявить границы математических теорий. Первую теорему (о неполноте) обычно разбивают на две самостоятельные теоремы. В соответствии с выводами К. Геделя система либо непротиворечива, либо неполна. Из данного результата также следует, что никакое строго фиксированное расширение аксиом этой системы не может сделать ее полной, так как всегда найдутся новые истины, невыразимые ее средствами и невыводимые из нее.
Математика природы, если она хочет быть достойной имени науки, по существу своему должна быть наукой о мерах (Г. Гегель). В качестве примеров можно назвать гармоническую меру, гармоническую форму, гармоническую функцию, гармонический анализ, гармонические координаты. В универсальной взаимосвязи математики и естествознания могут быть выделены два основных направления: тенденция к мировой гармонии и возможность описать любые природные структуры. Гармония присуща космосу, планетарным процессам, миру живого, человеку, что и позволяет считать гармонию мировой, пронизывающей всю Вселенную. Исследование математической гармонии начал еще Пифагор, в Новое время И. Кеплер связал её со своими знаменитыми законами, в современности эти проблемы рассматривали А. Уайт-хед и Б. Рассел.
Уайтхед связал математику с проблемой добра. Истоки такого подхода восходят к Платону. Уайтхед утверждал, что взаимосвязь математики и добра может быть сведена к нескольким основным проблемам. Никакую сущность нельзя характеризовать просто по ее индивидуальному характеру или же по ее взаимоотношениям. Каждая сущность изначально обладает индивидуальным характером и к тому же является пределом взаимоотношений, потенциальных или актуальных. Некоторые из факторов индивидуального характера включаются во взаимоотношения и, наоборот, взаимоотношения включаются в сам характер. Другими словами, никакую сущность нельзя рассматривать в абстракции от всей Вселенной, и никакая сущность не может быть лишена своей собственной индивидуальности. Согласно Расселу, математика имеет то преимущество, что формирует привычку мыслить без эмоций. Человек учится использовать свет разума прежде всего на материале, в который не вмешиваются страсти. Воспитанный подобным образом, он может затем направлять свой разум на беспристрастное исследование вещей, к которым обычно относится пристрастно. Вероятность получения правильных выводов в таком случае гораздо выше.
Группа французских математиков, выступающих под псевдонимом Н. Бурбаки, выдвинула понятие «структура» на роль основного математики. В природе существуют структуры различных качественных типов, но для математики в области возможного нет качественных градаций. Математика способна охватить своим языком все структуры, и именно это предопределило ее универсальную распространенность в естествознании. Математика исследует количественные отношения действительного мира, соответствующие качественно разнообразным областям действительности. С другой стороны, качественное разнообразие количе -ственных отношений, их структур вызывает потребность в новых математических теориях.
Таким образом, целостность и взаимосвязанность объективного мира воплощается в единстве и разнообразии математического знания. Следует отметить, что все эти программы и подходы обладают односторонностью и в настоящее время исследования в сфере обоснования математики и влияния различных её направлений друг на друга продолжаются.
Дискуссия
В математике часто подчеркиваются две тенденции: тенденция к абстракции, то есть к выработке логической точки зрения на основе различного материала и приведению всего этого материала в систематическую связь; и противоположная тенденция - к наглядности, то есть стремление к живому пониманию объектов и их внутренних отношений. Особую роль при этом играет геометрия как общая наука о пространственных формах, восходящая к топологии как разделу математики, имеющем своим назначением выяснение и исследование идеи непрерывности. Обобщение понятия непрерывности делает топологию наиболее универсальным разделом математики, который можно рассматривать как основание для многих других направлений этой науки. Интуитивно идея непрерывности выражает коренные свойства пространства и времени и, следовательно, имеет фундаментальное значение для познания. Широта топологии связана также с тем, что ее главной задачей является выделение и изучение топологических инвариантов (топологических свойств пространств), таких, как связность, компактность, размерность, вес и др. «Доказанное в математике - доказано навсегда, в то время как физике не ни одного утверждения, которое не стояло бы перед опасностью пересмотра и корректировки» [11].
Принципы математики всегда были тесно связаны с философией. Ядро этой связи составляет априорное (доопытное) знание. Большинство философских систем стремилось к подобному априорному знанию, к которому всегда стремилась и математика. Современная математика сосредоточена на выявлении критериев обоснованности математического знания и на проблеме поиска непосредственного созерцания оснований математики (в ней самой или за её пределами), «теоретическая физика великолепно описывает мир, в котором мы живём, с помощью специального, подобранного для этой цели математического аппарата. Но физика использует лишь небольшую часть существующей математики. Что же описывает остальная, несравненно более обширная часть математики? Выражаясь поэтическим языком, можно сказать, что математика изучает не только наш, «реальный» мир, но описывает совокупность всех возможных миров - например, с любым числом пространственных измерений, любой геометрией, топологией, или миров с дискретным пространством (состоящим из отдельных, изолированных точек), и т. п.» [12, с. 42-43]. В настоящее время математика уже не воспринимается как универсальная наука, которой доступны все разделы знания.
Заключение
Математика является наукой только отчасти. Её следует понимать как метод, состоящий из совокупности структур, пригодных для логической трансляции опытного знания. Математика опирается на аксиомы, главным признаком которых является непротиворечивость, что необходимо и достаточно для их применения к опытным наукам. Связь с опытом или очевидность не являются требованиями к этим аксиомам. В математике, в отличие от естественных наук, не было революций. Математика опиралась на программы обоснования математики. Среди них наибольшую известность получила формалистическая программа Гилберта с акцентом на аксиоматизацию основных математических дисциплин и на доказательство непротиворечивости аксиоматически заданных теорий в рамках метаматематики. Здесь «метаматематика» - это «теория, изучающая семиотические (синтаксические и семантические) и логические свойства теорий чистой математики» [13, с. 9]. «В математике, как и вообще в научных исследованиях, встречаются две тенденции: тенденция к абстракции - она пытается выработать логическую точку зрения на основе различного материала и привести весь этот материал в систематическую связь - и другая тенденция, тенденция к наглядности, которая в противоположность этому стремится к живому пониманию объектов и их внутренних отношений» [14, с. 6]. В математике впервые знание стало выявляться в результате размышления и доказательства,
что привело к возможности построения научных теорий, которые могут быть связаны с любой реальностью. Благодаря этому математика занимает особое место среди всех других наук.
Литература
1. Колмогоров А.Н. Математика БСЭ, 2-е изд. в 50 т., Т. 26. - М.: Советская энциклопедия, 1954. -С. 464-475.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. с фр. - М.: Наука, 1972. - 300 с.
3. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Просвещение, 1976. - 318 с.
4. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Логос, 2006. - 398 с.
5. Никифоровский В.А., Фрейман Л.С. Рождение новой математики - М.: Наука, 1976. - 200 с.
6. Математика. Математическая энциклопедия в 5 т. Т. 3. - М.: Советская энциклопедия, 1982. -С. 559-563.
7. Лебедев С.А. Философия науки: краткая энциклопедия (основные направления, концепции, категории). - М.: Академический проект. 2008. - 692 с.
8. Философия математики и технических наук / Под общ. ред. С.А. Лебедева. - М.: Академический Проект, 2006. - 779 с.
9. Математика и опыт / Под ред. А.Г. Барабашева. - М.: Изд-во МГУ, 2003. - 623 с.
10. Декарт Р. Первоначала философии // Сочинения: в 2 т. / Пер с лат. Т. 1. - М.: Мысль, 1989. -С. 297-422.
11. Современные философские проблемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук / Под общ. ред. В.В. Миронова. - М.: Гардарики, 2006. - 639 с.
12. Фет А.И. Собрание сочинений: в 7 т., Т.2. Пифагор и обезьяна. - Rehoboth, New Mexico, USA: American research press. - 2015. - 406 с.
13. Петров Ю.А. Философские проблемы математики. - М.: Знание, 1973. - 64 с.
14. Гилберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. - М.: Наука, 1981. - 344 с.
References
1. Kolmogorov A.N. Matematika BSEH, 2-e izd. v 50 t., T. 26. - M.: Sovetskaya ehnciklopediya, 1954. -S. 464-475.
2. Burbaki N. Ocherki po istorii matematiki / Per. s fr. - M.: Nauka, 1972. - 300 s.
3. Hrestomatiya po istorii matematiki. Arifmetika i algebra. Teoriya chisel. Geometriya / Pod red. A.P. Yushkevicha. - M.: Prosveshchenie, 1976. - 318 s.
4. Hrestomatiya po istorii matematiki. Matematicheskij analiz. Teoriya veroyatnostej / Pod red. A.P. Yushkevicha. - M.: Logos, 2006. - 398 s.
5. Nikiforovskij V.A., Frejman L.S. Rozhdenie novoj matematiki - M.: Nauka, 1976. - 200 s.
6. Matematika. Matematicheskaya ehnciklopediya v 5 t. T. 3. - M.: Sovetskaya ehnciklopediya, 1982. -S. 559-563.
7. Lebedev S.A. Filosofiya nauki: kratkaya ehnciklopediya (osnovnye napravleniya, koncepcii, kategorii). -M.: Akademicheskij proekt. 2008. - 692 s.
8. Filosofiya matematiki i tekhnicheskih nauk / Pod obshch. red. S.A. Lebedeva. - M.: Akademicheskij Proekt, 2006. - 779 s.
9. Matematika i opyt / Pod red. A.G. Barabasheva. - M.: Izd-vo MGU, 2003. - 623 s.
10. Dekart R. Pervonachala filosofii // Sochineniya: v 2 t. / Per s lat. T. 1. - M.: Mysl', 1989. - S. 297-422.
11. Sovremennye filosofskie problemy estestvennyh, tekhnicheskih i social'no-gumanitarnyh nauk / Pod obshch. red. V.V. Mironova. - M.: Gardariki, 2006. - 639 s.
12. Fet A.I. Sobranie sochinenij: v 7 t., T.2. Pifagor i obez'yana. - Rehoboth, New Mexico, USA: American research press. - 2015. - 406 s.
13. Petrov Yu.A. Filosofskie problemy matematiki. - M.: Znanie, 1973. - 64 s.
14. Gilbert D., Kon-Fossen S. Naglyadnaya geometriya. - M.: Nauka, 1981. - 344 s.
