CC BY
64
ФИЛОСОФИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ
3
Вестник Челябинского государственного университета. 2019. № 5 (427). Философские науки. Вып. 52. С. 95—104.
УДК 16 ББК 87.25
DOI 10.24411/1994-2796-2019-10515
ЭЛЕМЕНТЫ И АЛЬТЕРНАТИВЫ РЕАЛИСТИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ЛОГИЧЕСКОЙ КОМПОНЕНТЫ ОСНОВ МАТЕМАТИКИ
Е. И. Арепьев, В. В. Мороз
Курский государственный университет. Курск, Россия
Признание наличия в составе исходных основ математического знания логической составляющей, не выступающей в роли единственной универсальной компоненты, по-видимому, является наиболее адекватным и близким к реальному положению дел, в свете истории развития идей логицизма и других направлений. Однако такая установка предполагает необходимость ответа на ряд вопросов, связанных с онтологическим и гносеологическим статусом самих истин и объектов логики, или тех из них, которые принимаются в качестве базисных. Рассмотрение этого вопроса в историко-философском спектре предполагает обобщение представлений о логике в ряде течений философии математики XIX—XX вв. Попытаемся осуществить такое обобщение в свете перспектив реалистического истолкования онто-гносеологических основ математики.
Ключевые слова: философия математики, реализм, объекты логики, логицизм, онто-гносеологические основы математики.
Проблемы обоснования математики в аналитической философии и других течениях наиболее интенсивно разрабатывались на рубеже XIX—XX вв. Известно, что реализм или платонизм, является одной из доминирующих ветвей философского обоснования математики. В числе прочих аргументов адекватности такого подхода выступает, например, приверженность подавляющего большинства работающих математиков именно к реалистическому пониманию природы математических истин и объектов. Обрисовывая эту ситуацию, В. В. Целищев пишет: «Если платонизм как «рабочая» вера математика не вызывает никаких сомнений, то в философском отношении платонизм отягощен массой неприятных аспектов. Прежде всего весьма проблематично понятие существования в нематериальном мире, которое присуще широкому спектру философских учений, известных под названием «идеализм»» [14, с. 31—37]. Тем не менее, аргументами «за» выступают и устойчивость позиции философско-математического реализма в истории философии,
и наличие предпосылок в античных учениях, и критерий практики и др.
В концепциях представителей аналитической философии четко просматриваются реалистические установки. И явный реализм Фреге, и «реалистические» этапы эволюции взглядов Рассела, и вариации философско-математических исследований Витгенштейна и даже неявные, противоречащие общей позитивистской концепции установки Карнапа, входят в позитивное наследие разработки проблем онтологического и гносеологического истолкования математики. В наследии вышеперечисленных аналитиков присутствуют компоненты бытийно-познавательной трактовки логики в духе платонизма. Данные компоненты сформулированы, в большинстве своем, вполне эксплицитно, однако их дальнейшая разработка оказалась под вопросом в силу возникших теоретико-множественных аномалий, отчасти способствовавших усилению позиций конвенционализма, психологизма и позитивизма. Можно утверждать, что представители аналитической философии вполне
осознают интерсубъективность и даже реальность положений логики и математики, рассматривают множество доводов в пользу указанной точки зрения, однако никто из них не предлагает развернутой сущностной модели, истолковывающей включенность логико-математических утверждений в структуру бытия [3, с. 5—16].
Помимо ситуации в программах логицизма и неопозитивизма, формируется особое положение дел по этому вопросу в период развития аналитической традиции, который можно условно обозначить как постпозитивистский, имея в виду не столько временные рамки (середина XX в.), сколько сами установки. В частности, достаточно большой резонанс вызвали идеи У. Куайна, который испытывает влияние не только ранних аналитических концепций, не только неопозитивизма, но и прагматизма, конвенционализма и др. Одной из центральных установок его концепции является отрицание различия между аналитическими суждениями математики и логики, с одной стороны, и синтетическими суждениями эмпирических наук, с другой. При этом он также отрицает сводимость отдельных высказываний науки к эмпирическому данному, считая, что эмпирические факты проверяют теорию в целом, то есть всю систему взаимосвязанных предложений. Такое положение дел, считает Куайн, гарантирует устойчивость теоретических систем при взаимодействии с эмпирическим уровнем науки. Эта позиция в значительной степени базируется на конвенцио-налистском понимании научных законов. Что же касается собственно философии, то Куайн, так же, как и в случае с логикой и математикой, указывает на отсутствие ее принципиального отличия от естествознания. Философия, по мнению Куайна, обладает лишь несколько большей общностью утверждений. Исходя из такого понимания философии, Куайн предлагает свое видение онтологических проблем науки вообще и математики в частности. Собственно, его установки позволяют экстраполировать представления о естественных науках на науку вообще и, конкретно, на математику.
Онтологическое истолкование математики и логической составляющей ее оснований Куайн понимает как проблему, решаемую сугубо прагматическими мотивами. Он опирается на тезис об «онтологической относительности» и указывает, что онтологические проблемы, рассматриваемые не в относительном, а в абсолютном смысле, обессмысливаются, поскольку они являются логическим кругом: объяснить, что такое F мы способны лишь указав, что F это G, что подразумевает признание некой определенности поня-
тия G [7, с.52—53]. Здесь Куайн делает вывод о бесперспективности рассмотрения онтологических вопросов, поскольку каждое интерпретируемое понятие раскрывается через ряд терминов, среди которых, в конечном счете, начинают преобладать неопределяемые, или не определяемые с той степенью полноты и строгости, с которыми раскрываются исходные понятия.
Но ведь человеческое знание по большей части и развивается именно этим путем: мы описываем некоторое названное нами явление посредством общеупотребительных, более простых и понятных слов. Таким образом, название постепенно превращается в более или менее строгое понятие и т. д. Здесь можно вспомнить позитивистский тезис о специфичности онтологических проблем, состоящей в их неосмысленности в научном языке. На наш взгляд, несостоятельность идей позитивизма была давно продемонстрирована и кризисом классической науки — необходимостью пересмотра онтологических и гносеологических установок естествознания, и рядом других фактов — неверифицируемостью принципа верификации и пр.
Итак, нас интересует конкретный вопрос — вопрос о том, как в онтологическом смысле интерпретируется Куайном логика и математика. Куайн считает, что система логических истин существует независимо от математики [29, р. 86] (приводится по [11, с. 92]). В пользу этого утверждения, указывает он, говорит тот факт, что логическая истинность может быть определена без привлечения каких-либо математических понятий. Формальная составляющая отличий логики от математики, по Куайну, заключается в выполнимости процедуры разрешимости для логических исчислений, то есть в возможности алгоритмической проверки принадлежности определенным в них множествам каждого из их элементов, что не выполняется в математических теориях. Содержание понятий логики значительно беднее содержания математических понятий и, поэтому, логика не может служить фундаментом математики.
Куайн считает также, что хотя логика не является эмпирической наукой, она не может быть полностью противопоставлена эмпирическому знанию. Так как все науки есть взаимосвязанное целое, части которого лишь в той или иной степени удалены от опыта и всегда включены в систему, направленную на объяснение опыта, логика (и математика) косвенно подтверждается эмпирическим путем и, следовательно, опосредованно зависит от опыта. Поэтому Куайн допускает возможность корректировки некоторых принципов логики под влияние изменений содержания чело-
веческого знания в целом. Таким образом, как отмечает В. Я. Перминов, позиция Куайна по этому вопросу может характеризоваться как содержащая существенную долю эмпиризма и релятивизма. Математика и логика являются частью целостной системы человеческого знания, направленной, в конечном счете, на объяснение опыта. Логика, по Куайну, выводится из грамматического материала, как соответствующая ему структура. По сути, логика в таком случае может эволюционировать в зависимости от эволюции грамматики и содержания знания. Она обусловлена также понятием семантической истины, которое нуждается в качестве своего глубинного основания в онтологической истине. Эти две установки позволяют охарактеризовать онто-гносеологическую позицию Куайна в отношении логики как натуралистический индуктивизм [11, с. 92 и далее].
Утверждая необоснованность принципиального разделения аналитических и синтетических истин, а также необоснованность редукционистского убеждения в сводимости всякого осмысленного высказывания к логической конструкции, термины которой отсылают нас к непосредственному данному опыта, Куайн указывает на такие два следствия отказа от них, как стирание границы между метафизикой и естествознанием, и принятие установок прагматизма. Вся совокупность наших знаний, говорит он, является построением нашего разума, лишь на периферии взаимодействующим с эмпирией. Конфликт знаний с опытом на периферии вызывает перестройку внутренней части системы, причем это могут быть как знания, логически связанные с утверждениями об опыте, так и высказывания о характере самих логических взаимосвязей [6, с. 6]. Практически Куайн приходит к конвенционалистской трактовке истин логики (математики и прочих истин): «Всякое высказывание может считаться истинным при любых обстоятельствах, если мы производим достаточно радикальные изменения где-то в системе. Даже высказывание, находящееся в непосредственной близости к периферии, может считаться истинным перед лицом противоречивого опыта — путем ссылки на галлюцинации или путем исправления высказываний определенного вида, именуемых логическими законами. И наоборот, ни одно высказывание не гарантировано от исправления. Исправление даже логического закона исключенного третьего было предложено в качестве средства упрощения квантовой механики...» [6, с. 6].
И математические объекты, и понятия физики трактуются Куайном как единые по своей природе с мифологическими сущностями, богами. Един-
ственное отличие, говорит он, состоит в степени упрощения наших контактов с чувственным опытом, которое достигается при их помощи. Куайн отождествляет онтологические вопросы с вопросами естественнонаучного характера, разделяя позитивистский тезис Карнапа о том, что вопросы существования надо рассматривать лишь во «внутреннем» смысле, сводя их к выбору языкового каркаса научной теории. При этом Куайн распространяет подобный взгляд и на все научные гипотезы вообще, поскольку он отвергает разделение аналитических и синтетических высказываний, лежащее, по его мнению, в основе различия между онтологическими утверждениями и научными гипотезами [6, с. 6]. По существу, Куайн, отстаивая конвенционально-прагматические, позитивистские взгляды, предлагает и обосновывает отказ от серьезного рассмотрения онтологических вопросов, отказ от рассмотрения аргументов в пользу адекватного их решения так же, как это делает Карнап и другие неопозитивисты. Видимо, поэтому Куайн и не находит ничего противоречивого в своем эмпиристском, номиналистическом понимании логики и математики. Близкой позиции в этом вопросе придерживается Х. Пат-нем, допускающий возможность преобразования базисных истин арифметики и логики: «ревизия аксиом арифметики и даже пропозиционального исчисления ...вполне мыслима» [25, р. 302] (приводится по [11, с. 145]).
Таким образом, можно сказать, что реалистическое понимание природы логической составляющей оснований математики, присущее логицистской ветви аналитического течения, в более поздних концепциях аналитиков оспаривается, или точнее игнорируется и заменяется прагматистскими, конвенционалистскими, позитивистскими и другими принципами, которые могут выступать лишь как временное средство, отвлекающее от трудностей, приносящее определенную пользу, но не позволяющее формировать адекватную онтологию математики. Это означает фактическую капитуляцию перед очевидным отсутствием прогресса в преодолении проблем и развитии наиболее аргументированной, на наш взгляд, версии онтологического и гносеологического обоснования математики — версии реализма.
Примечательно, что схожая ситуация наблюдается в современной философии математики вообще. Структурализм, представленный работами таких авторов, как P. Benacerraf [16], S. Shapiro [32] и M. Resnik [31] и опирающийся на установки группы Н. Бурбаки, настаивает на неубедительности платонистской трактовки натурального ряда,
и прежде всего на неприемлемости теоретико-множественной интерпретации, к которой относятся и арифметическое исчисление Фреге, и «Основания математики» Рассела с Уайтхедом. Эти утверждения он аргументирует возможностью определения чисел через множества несколькими различными способами. Во всяком случае, делается вывод, числа не могут реалистически истолковываться как множества. Числа, согласно Бенацеррафу, не объекты, а лишь знаки некоторой системы и их свойства характеризуют лишь отношения в определенных структурах, природа элементов которых не имеет значения.
В онтологическом и гносеологическом обосновании математики, на наш взгляд, структурализм не может претендовать на роль доминирующего течения и на опровержение реализма по ряду причин. Так, структуралисты в философии математики не дают четких определений самого понятия структуры (паттерна) и, соответственно, оно не может претендовать на роль базисного онтологического понятия. Еще одним проблемным аспектом структуралистской позиции, присущим и другим подходам, выступает так называемый «буквализм», состоящий в том, что математические утверждения о существовании объектов математики в логическом и семантическом отношении не отличаются от аналогичных утверждений эмпирических наук и, в то же время, признаются всеми, в том числе и структуралистами, в качестве истинных утверждений [14, с. 20—25]. Если исходить из тезиса о том, что разработка структуралистских концепций направлена на прояснение философских вопросов математики, прояснение ее связи с действительностью, то можно сказать, что структурализм не очень преуспел в реализации этой установки, что создаваемые в его рамках теоретические системы скорее сами нуждаются во множестве прояснений и не дают ответов на вопросы об онтологическом статусе математических объектов и истин.
Направление номинализма, представленное исследованиями Х. Филда [18], трактует математические объекты как фикции, устранимые в теории, но полезные в математической практике, а математические утверждения рассматриваются Филдом как ложные. В его концепции номинализм сочетается с логицизмом, так как он утверждает, что математические выводы можно в принципе заменить на более длинные логические. Номинализм не признает абстрактных объектов, утверждая, что существуют только единичные конкретные физические объекты [14, с. 26—28]. Позиция Филда противоречит множеству аргументов и не удовлетворяет критериям истинности.
Так, математические объекты продемонстрировали свою связь с действительностью, а математические утверждения свою истинность уже тем, что они оказываются неизменно эффективными в применении к преобразованию действительности, то есть их адекватность реальности подтверждает критерий практики. При этом, в их отношении невозможна аналогия с эмпирическими утверждениями и объектами, так как математика никогда не корректируется на основе эмпирических фактов или в связи с результатами практического преобразования действительности. Итак, математические утверждения не ложны, а истинны. Уже это указывает на несостоятельность концепции Фил-да. Как отмечает В. Я. Перминов, «методология математики в достаточной степени прояснила тот факт, что строго номиналистическое построение математики не может быть осуществлено» [11, с. 56]. Поэтому номиналистический подход оставляет открытым вопрос об онтологическом статусе логики и логической составляющей математики.
Еще одной из альтернатив реализма выступает модализм, представленный работами раннего Х. Патнема [26, р. 43—59], Дж. Хеллмана [19] и др. В модализме, имеющем некоторые истоки в концепции Р. Дедекинда (идея просто-бесконечной системы), обосновывается сводимость математических утверждений об объектах математики к утверждениям о возможности тех или иных структур и, таким образом, отрицается существование математических объектов, но допускается объективность математических истин. Математика предстает здесь не как система утверждений об объектах, а как система утверждений об утверждениях [13, с. 198 и далее]. Математические истины — это описания абстрактных структур, выполняющихся на определенных областях объектов. Отказ от реализма, предлагаемый мода-лизмом, приводит к образованию новой позиции в основаниях математики, состоящей в том, что указание терминами математических объектов заменяется на схемы с понятиями возможного и необходимого. Патнем считает, что математика не делает утверждений о существовании и не имеет своих объектов. Математика модальна, а не экзистенциальна [27] (приводится по [13, с. 199]).
Однако, как отмечает В. В. Целищев [13, с. 202], принятие модальностей подразумевает принятие онтологии возможных миров, которая не менее проблематична, чем математические сущности. Проблема модального истолкования математических дисциплин состоит и в том, что оно может быть эквивалентно теоретико-множественному истолкованию при условии непротиворечивости системы аксиом интерпретируемой области.
А система, в свою очередь, непротиворечива, если она имеет модель. Но наличие модели подразумевает и наличие объектов, входящих ее структуру. Если мы стремимся, принимая позицию мода-лизма, избавиться от абстрактных объектов, то на роль объектов выполнимой модели остаются лишь реальные физические объекты, что, очевидно, неприемлемо в отношении математики, так как их явно может не хватить для описания чисел и множеств. Таким образом, модализм не в состоянии избавиться от абстрактных объектов, которые признает и рассматривает платонизм [13, с. 203—212; 21]. Тем не менее, в отношении связи модализма и реализма можно, по-видимому, заключить, что данные трактовки лишь раскрывают многообразные аспекты взаимосвязи истин математики с реальностью, а не вступают в прямое противоречие.
Версия квазиэмпирического реализма представлена программой П. Мэдди [24; 23]. Она утверждает, что математические сущности реальны и, более того, доступны человеческому восприятию. Математики имеют чувственный контакт с математическими множествами при восприятии совокупностей материальных вещей. Подобная трактовка предполагает признание локализации абстрактных математических понятий, в частности — множеств, в конкретных местах пространства, где находятся физические совокупности. Эта позиция направлена на оправдание платонизма посредством постулирования специальной когнитивной способности человека к определению множеств. При этом в определенном смысле происходит стирание различий между ментальным и чувственным, между рациональным и эмпирическим познанием [14. С. 28—31], что, несомненно, делает уязвимой такую версию.
Как известно, разработка проблемы математического реализма осуществляется в настоящее время как с традиционных позиций теории познания, ориентированных на поиск априорных оснований науки, так и с позиций «натурализи-рованной эпистемологии», в которой исследование способов познания рассматривается как часть самой науки. У. Куайн, характеризуемый и как натуралист, и как номиналист, и как конвенциона-лист в философии математики, по этому поводу указывает, что натурализированная эпистемология предлагает признать существование объектов макромира, поскольку данная установка позволяет наиболее эффективно объяснять исследуемые физикой явления и процессы, и что совершенно аналогичным образом нужно признать существование множеств, поскольку это упростит истолкование математических теорий [28] (приводится
по:[14, с. 36]). В то же время реалист К. Гедель приводит схожие аргументы, вполне приемлемые с научной точки зрения, которые сводятся к указанию на возможность избежать порочного круга и парадоксов в созданных системах оснований математики, при рассмотрении математических объектов — классов и отношений — как элементов действительности, а не как чистых конструкций, существующих лишь в разуме человека и в теоретических построениях [4, с. 244, 252, 260]. Причем его аргументы направлены на обоснование не конвенционалистской, а собственно реалистической позиции. В дополнение ко всему можно отметить, что наиболее распространенным является понимание проблем онтологического обоснования математики как проблем онтологического истолкования теории множеств.
Перспективы реалистического подхода в обосновании математики обсуждаются во многих работах. Так, С. Шапиро [32] указывает на вариативность толкований самого понятия реализма и, соответственно, вариативность перечня сторонников этой концепции. Ф. Китчер подчеркивает первичность психологической и историко-мате-матической составляющих в исследовании природы истин математики [22]. Р. Херш описывает и отстаивает установки гуманистической (нефундаменталистской, или социокультурной) философии математики, утверждающей понимание истин математики как эволюционирующих результатов социокультурного развития человека и, тем самым, принципиально отвергающей реалистическую позицию [20; 14. С. 46]
Одной из вариаций реалистического истолкования математики выступает так называемый «полнокровный платонизм», причисляющий к сущностям все возможные непротиворечивые объекты. Он представлен в работах М. Балагера [15, р. 303—325; 13, с. 77—81] и, что вполне естественно, его установки приводят к возникновению множества проблем, которые, по-видимому, уже намечались во времена формулировки принципа «бритвы Оккама». Так, множество объектов и ложных утверждений, образующих непротиворечивую систему, согласно позиции полнокровного платонизма, вполне вправе претендовать на статус существующих.
Проблемы обоснования логико-математических истин и, в частности, идеи логицизма развиваются в несколько преобразованном виде в современном течении неологицизма. Его представители — К. Райт, В. Хейл, Н. Теннант, Г. Хо-дес и др. Можно сказать, что неологицизм имеет несколько ветвей, к числу которых относится, например, развитие идей Фреге о соотношении
языка и реальности, утверждение в качестве базисной для математики логики второго порядка и др. Онтологические аспекты основ математики рассматриваются Н. Теннантом через формальную экспликацию утверждения о существовании нуля [34, р. 307—336; 13, с. 226]. В своем истолковании чисел Теннант использует понятие «числа нетождественных себе вещей», «точно на одного больше» [13, с. 226—227]. Это указывает на определенную онтологическую ограниченность истолкования. Кроме того, такое истолкование опирается на традиционный теоретико-множественный подход и, следовательно, сталкивается со всем спектром трудностей, порождаемых этим подходом.
Вопросы сущностного фундамента математики и логики решаются по-разному в аксиоматических и конструктивном подходах к построению математического знания. Можно указать на наличие оппозиции реализма и конструктивизма, которое нередко обозначается через противопоставление аналитической и конструктивной философии математики. Математический конструктивизм также противопоставляется теоретико-множественному обоснованию математики, поскольку в последнем в качестве важнейших принципов допускаются абстракция абсолютной логической осуществимости и абстракция актуальной бесконечности [9; 12]. Основополагающей идеей конструктивизма, противостоящей реалистическому пониманию математики, выступает принцип активности субъекта в познании математических объектов. Здесь отмечается непосредственное расхождение в сущностной трактовке логических и математических понятий и истин платонизмом и конструктивизмом. Платонизм настаивает на их самостоятельности по отношению к мышлению человека, на их реальности, а конструктивизм отвергает этот тезис, объявляя его истинность неразрешимым вопросом, и требует обоснования математики независимо от онтологических предпосылок. Тем не менее, конструктивистские версии онтологического истолкования математики не могут быть исчерпывающим образом охарактеризованы этим свойством [9, с. 88; 17, s. 9]. На основе указанного требования возникают принципиально отличные друг от друга конструктивные версии истолкования математики и, более того, некоторые теории, имеющие в онто-гносеологическом плане явные реалистические основания, выступают в то же время как конструктивные: «канторовская теория трансфинитных чисел, основанная на применении трех принципов порождения, действительно может рассматриваться как конструктивная (в смысле «теории конструктивного» Гейтинга)
часть канторовской наивной теории множеств, получившая многочисленные применения как в области чистой математики, так и в ее приложениях к эмпирическим наукам» [9, с. 98.].
Для многих течений характерна склонность к игнорированию в той или иной форме онто-гно-сеологических компонентов оснований математического знания. Например, Гильберт и его последователи, как мы знаем, природу математики усматривают в логике, что весьма характерно для конца XIX — начала XX столетий. Сама же логика понимается ими как набор формально заданных систем. Течение формализма, как и ряд других философско-математических течений по сути не содержит попыток построения развернутой онтологической и гносеологической интерпретации исходных истин и объектов логики (и математики) [1, с. 178—184]. Представители математического интуиционизма, основанного Л. Я. Брауэром, считают истины математики объективными, включенными непосредственно в саму действительность, однако при этом придерживаются мнения, что собственный онтологический фундамент математическое знание построить не может. Здесь также налицо сочетание платонистских взглядов с тезисами субъективистского характера и с определенным игнорированием бытийно-познавательных вопросов в духе позитивизма. А. Гейтинг, например, относит логику к области прикладной математики и отвергает ее статус основы математического знания [5, с. 4; 11, с. 139, 145; 8, с. 185—195].
В русской философии, в частности в фи-лософско-математической модели сознания В. В. Налимова, также утверждается онтологическая и гносеологическая первичность математики (числовых отношений), по сравнению с логическими законами. Такая позиция отчасти созвучна взглядам представителей философско-математической школы и П. А. Флоренского, то есть разработчиков русской версии философско-математического синтеза [10].
Обобщая вышеизложенное, можно отметить, что реализм, или платонизм, выступает в роли одного из направлений философского обоснования математики, что это весьма устойчивая тенденция, имеющая истоки в античных учениях и сохраняющая свои позиции до наших дней. Закономерно возникает вопрос о том, почему же будучи устойчивым, являясь идеологией работающих математиков, платонизм не становится доминирующим течением, не дает ключа к преодолению застоя в современной философии математики, и, напротив, почему он выживает, несмотря на интенсивную критику, если его установки неадекватны?
На наш взгляд, правомерно предположение, что реалистическое направление сохраняет свои позиции в современной философии математики, выступает в роли онтологической установки работающих математиков, поскольку реалистическое истолкование природы математических истин и объектов является вполне адекватным действительному положению дел. Основной же проблемой реалистического течения выступает,
по нашему мнению, отсутствие интерпретаций, непосредственно описывающих связь математических истин и объектов с действительностью, в том числе внеязыковой, то есть собственно онтологических интерпретаций, которые могли бы претендовать на соответствие требованиям современной научной философии, допускали бы возможность тех или иных форм проверки и, соответственно, возможность удовлетворительного обоснования.
Список литературы
1. Алябьев, Д. И. Онтологические и гносеологические аспекты формалистского истолкования основ математики / Д. И. Алябьев // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических естественных наук. — Курск : Изд-во Курск. гос. ун-та, 2008. — С. 178—184.
2. Арепьев, Е. И. О сущностном фундаменте математики и ее арифметической составляющей / Е. И. Арепьев // Философская Россия. — 2006. — № 1. — С. 99—108.
3. Арепьев, Е. И. Онто-гносеологические основания логической составляющей математического знания в логицизме и аналитической философии математики / Е. И. Арепьев // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук. — Курск : Изд-во Курск. гос. ун-та, 2008. — С. 5—16.
4. Гёдель, К. Расселовская математическая логика / К. Гедель // Б. Рассел. Введение в математическую философию. Избранные работы. — Новосибирск : Изд-во Сибир. гос. ун-та, 2007. — С. 237—261.
5. Гейтинг, А. Интуиционистские взгляды на природу математики / А. Гейтинг — М. : Рус. гуманитар. интернет-ун-т, 1999.
6. Куайн, У. Две догмы эмпиризма / У. Куайн // Слово и объект. — М. : Логос : Праксис, 2000. — 386 с.
7. Куайн, У. Онтологическая относительность / У. Куайн // Современная философия науки: знание, рациональность, ценности в трудах мыслителей Запада : учеб. хрестоматия. — М. : Логос, 1996. — С. 40—61.
8. Левченко, А. С. Онто-гносеологические аспекты интуиционистского истолкования логических оснований математики / А. С. Левченко // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук. — Курск : Изд-во Курск. гос. ун-та, 2008. — С. 185—195.
9. Мануйлов, В. Т. Конструктивность и существование в математическом знании / В. Т. Мануйлов // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических естественных наук. — Курск : Изд-во Курск. гос. ун-та, 2008. — С. 79—98.
10. Мороз, В. В. Онто-гносеологические основания логического мышления в философско-матема-тической модели сознания В. В. Налимова / В. В. Мороз // Проблема конструктивности научного и философского знания. — Курск : Изд-во Курск. гос. ун-та, 2008. — С. 95—104.
11. Перминов, В. Я. Философия и основания математики / В. Я. Перминов. — М. : Прогресс-Традиция, 2001. — 320 с.
12. Петров, Ю. А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости / Ю. А. Петров. — М. : Наука, 1967. — 164 с.
13. Целищев, В. В. Онтология математики: объекты и структуры / В. В. Целищев. — Новосибирск : Нонпарель, 2003. — 240 с.
14. Целищев, В. В. Философия математики. Ч. 1. / В. В. Целищев. — Новосибирск : Наука, 2002. — 212 с.
15. Balaguer, M. A Platonist Epistemology / M. Balaguer // Synthese. — 1995. — Vol. 103. — P. 303—325.
16. Benacerraf, P. What Numbers Could Not Be / P. Benacerraf // Philosophy Review. — 1965. — Vol. 74, no. 1. — P. 47—73.
17. Breitkopf, A. Untersuchungen über den Begriffen des finiten Schließens : Inauguraldissertation / A. Breitkopf. — München : Lüdwig — Max — Universität, 1968. — 90 s.
18. Field, H. Science without Numbers / H. Field. — Princeton : Princeton University Press, 1980. — 130 p.
19. Hellman, G. Structuralism without Structures / G. Hellman // Philosophia Mathematica. — Series III. — 1996. — P. 100—123.
20. Hersh, R. What is Mathematics Really? / R. Hersh. — Oxford : Oxford University Press, 1997. — 343 p.
21. Kessler, G. Mathematics and Modality / G. Kessler // Nous. — 1978. — Vol. 12, no. 4. — P. 421—441.
22. Kitcher, P. The Nature of Mathematical Knowledge / P. Kitcher. — Oxford : Oxford University Press, 1983. — 300p.
23. Maddy, P. Naturalism in Mathematics / P. Maddy. — Oxford : Oxford University Press, 1997. — 254 p.
24. Maddy, P. Realism in Mathematics / P. Maddy. — Oxford : Oxford University Press, 1990.
25. Putnam, H. Mathematics without foundations / H. Putnam // Philosophy of mathematics : selected readings. — New York, 1984. — P. 295—314.
26. Putnam, H. Mathematics without Foundations / H. Putnam // Philosophical Papers. — Vol. 1. Mathematics, Matter and Method. — Cambridge : Cambridge University Press, 1977. — P. 43—59.
27. Putnam, H. What is Mathematical Truth / H. Putnam // Philosophical Papers. — Vol. 1. Mathematics, Matter and Method. — Cambridge : Cambridge University Press, 1977. — P. 60—78.
28. Quine, W.V . Epistemology Naturalized / W. V. Quine // Ontological Relativity and Other Essays. — Harvard : Harvard University Press, 1969. — 165 p.
29. Quine W. V. Philosophy of Logic / W. V. Quine. — New York, 1970. — 109 p.
30. Resnik, M. Mathematics as a Science of Patterns / M. Resnik. — Oxford : Clarendon Press, 1997. — 285 p.
31. Shapiro, S. Mathematics and Philosophy of Mathematics / S. Shapiro // Philosophia Mathematica. — 1994. — Vol. 2, no. 3. — P. 148—160.
32. Shapiro, S. Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology / S. Shapiro. — Oxford : Oxford University Press, 1997. — 279 p.
33. Tennant, N. On Necessary Existence of Numbers / N. Tennant // Nous. — 1997. — Vol. 31, no. 3. — P. 307—336.
Сведения об авторах
Арепьев Евгений Иванович — доктор философских наук, профессор кафедры философии Курского государственного университета, Курск, Россия. arepiev@yandex.ru
Мороз Виктория Васильевна — доктор философских наук, профессор кафедры философии Курского государственного университета, Курск, Россия. victoriamoroz2014@yandex.ru
Bulletin of Chelyabinsk State University. 2019. No. 5 (427). Philosophy Sciences. Iss. 52. Pp. 95—104.
Elements and Alternatives of Realistic Interpretation of Logical Component of the Basis of Mathematics
E.I. Arepiev
Kursk State University, Kursk, Russian Federation. arepiev@yandex. ru
VV. Moroz
Kursk State University, Kursk, Russian Federation. victoriamoroz2014@yandex.ru
Recognition of the presence in the initial foundations of mathematical knowledge of a logical component that does not act as the only universal component seems to be the most adequate and close to the real state of affairs in the light of the history of the development of ideas of logicism and other directions. However, such a setting implies the need to answer a number of questions related to the ontological and epistemololical status of the truths themselves and the objects of logic, or of those that are accepted as basic ones. Consideration of this issue in the historical and philosophical spectrum implies a generalization of ideas about logic in a number of trends in the philosophy of mathematics of the 19th and 20th centuries. Let us try to make this generalization in the light of the prospects for a realistic interpretation of the ontological and epistemololical foundations of mathematics.
Keywords: philosophy of mathematics, realism, objects of logic, logicism, ontological and epistemololical foundations of mathematics
References
1. Alyab'yev D.I. Ontologicheskiye i gnoseologicheskiye aspecty formalistskogo ictolkovaniya osnov matematiki [Ontological and epistemological aspects of the formalist interpretation of the foundations of
mathematics]. Problemy onto-gnoseologicheskogo obosnovaniya matematicheskikh i yestestvennhykh nauk [Problems of the ontological and epistemololical substantiation of the mathematical and natural sciences]. Kursk, Kursk State University Publ., 2008. Pp. 178—184. (In Russ.).
2. Arepiev E.I. O sushchnostnom fundamente matematiki i yeye arifmeticheskoy sostavlyayushchey [On the essential foundation of mathematics and its arithmetic component]. Filosofskaya Rossiya [Philosophical Russia], 2006, no. 1, pp. 99—108. (In Russ.).
3. Arepiev E.I. Onto-gnoseologicheskiye osnovaniya logicheskoy sostavlyayushchey matematicheskogo znaniya v logitsizme i analiticheskoy filosofii matematiki [Ontological and epistemololical foundations of the logical component of mathematical knowledge in logicism and analytical philosophy of mathematics]. Problemy onto-gnoseologicheskogo obosnovaniya matematicheskikh i yestestvennykh nauk [Problems of the ontological and epistemololical substantiation of the mathematical and natural sciences]. Kursk, Kursk State University Publ., 2008. Pp. 5—16. (In Russ.).
4. Godel K. Rasselovskaya matematicheskaya logika [Russell's Mathematical Logic]. Russell B. Vvedenye v matematicheskuyu filosofiyu. Izbrannyye raboty [Russell B. Introduction to Mathematical Philosophy. Selected works]. Novosibirsk, Siberian State University Publ., 2007. Pp. 237—261. (In Russ.).
5. Geyting A. Intuitsionistskiye vzglyady naprirodu matematiki [Intuitionistic views on the nature of mathematics]. Moscow, Russian State University for the Humanities Publ., 1999. (In Russ.).
6. Quine U. Dve dogmy empirizma [Two dogmas of empiricism]. Slovo ob'yekt [Word and object]. Moscow, Logos Publ., Praxis Publ., 2000. 386 p. (In Russ.).
7. Quine U. Ontologicheskaya otnositel'nost' [Ontological relativity]. Sovremennayafilosofiya nauki: znani-ye, ratsional 'nost', tsennosti v trudakh mysliteley Zapada [Modern philosophy of science: knowledge, rationality, values in the works of the thinkers of the West]. Moscow, Logos Publ., 1996. Pp. 40—61. (In Russ.).
8. Levchenko A.S. Onto-gnoseologicheskiye aspecty intuitsionistskogo ictolkovaniya logicheskikh os-novaniy matematiki [Ontological and epistemololical aspects of intuitionistic interpretation of the logical foundations of mathematics]. Problemy onto-gnoseologicheskogo obosnovaniya matematicheskikh i yestestvennykh nauk [Problems of ontological and epistemololical substantiation of mathematical and natural sciences]. Kursk, Kursk State University Publ., 2008. Pp. 185—195. (In Russ.).
9. Manuylov V.T. Konstruktivnost' i sushchestvovaniye v matematicheskom znanii [Constructiveness and existence in mathematical knowledge]. Problemy onto-gnoseologicheskogo obosnovaniya matematicheskikh i yestestvennykh nauk [Problems of the ontological and epistemololical substantiation of the mathematical and natural sciences]. Kursk, Kursk State University Publ., 2008. Pp. 79—98. (In Russ.).
10. Moroz V.V. Onto-gnoseologicheskiye osnovaniya logicheskogo myshleniya v filosofsko-matematiches-koi modeli soznaniya V.V. Nalimova [Ontological and epistemololical bases of logical thinking in the V.V. Na-limov's philosophical-mathematical model of consciousness]. Problema konstruktivnosti nauchnogo i filosof-skogo znaniya [The problem of the constructivity of scientific and philosophical knowledge]. Kursk, Kursk State University Publ., 2008. Pp. 95—104. (In Russ.).
11. Perminov V.Y. Filosofiya i osnovaniya matematiki [Philosophy and foundations of mathematics]. Moscow, Progress-Traditsiya Publ., 2001. 320 p. (In Russ.).
12. Petrov Yu.A. Logicheskiye problemy abstraktsiy beskonechnocti i osyshchestvimosti [Logical problems of abstractions of infinity and feasibility]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 164 p. (In Russ.).
13. Tselishchev V.V. Ontologiya matematiki: ob'yekty i struktury [Ontology of mathematics: objects and structures]. Novosibirsk, Nonparel' Publ., 2003. 240 p. (In Russ.).
14. Tselischev V.V. Filosofiya matematiki. Ch. 1 [Philosophy of mathematics. Part 1]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2002. 212 p.
15. Balaguer M. A Platonist Epistemology. Synthese, 1995, vol. 103, pp. 303—325.
16. Benacerraf P. What Numbers Could Not Be. Philosophy Review, 1965, vol. 74, no. 1, pp. 47—73.
17. Breitkopf A. Untersuchungen über den Begriffen des finiten Schließens. Thesis. München, Lüdwig — Max — Universität Publ., 1968. 90 s. (In German).
18. Field H. Science without Numbers. Princeton, Princeton University Press Publ., 1980. 130 p.
19. Hellman G. Structuralism without Structures. PhilosophiaMathematica, series III, 1996, pp. 100—123.
20. Hersh R. What is Mathematics Really? Oxford, Oxford University Press Publ., 1997. 343 p.
21. Kessler G. Mathematics and Modality. Nous, 1978, vol. 12, no. 4, pp. 421—441.
22. Kitcher P. The Nature of Mathematical Knowledge. Oxford, Oxford University Press, 1983. 300 p.
23. Maddy P. Naturalism in Mathematics. Oxford, Oxford University Press Publ., 1997. 254 p.
24. Maddy P. Realism in Mathematics. Oxford, Oxford University Press, 1990.
25. Putnam H. Mathematics without foundations. Philosophy of mathematics. New York, 1984. Pp. 295—314.
26. Putnam H. Mathematics without Foundations. Philosophical Papers. Vol. 1. Mathematics, Matter and Method. Cambridge, Cambridge University Press Publ., 1977. Pp. 43—59.
27. Putnam H. What is Mathematical Truth. Philosophical Papers. Vol. 1. Mathematics, Matter and Method. Cambridge, Cambridge University Press Publ., 1977. Pp. 60—78.
28. Quine W.V. Epistemology Naturalized. Ontological Relativity and Other Essays. Harvard, Harvard University Press, 1969. 165 p.
29. Quine W.V. Philosophy of Logic. New York, 1970. 109 p.
30. Resnik M. Mathematics as a Science of Patterns. Oxford, Clarendon Press Publ., 1997. 285 p.
31. Shapiro S. Mathematics and Philosophy of Mathematics. Philosophia Mathematica, 1994, vol. 2, no. 3, pp. 148—160.
32. Shapiro S. Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology. Oxford, Oxford University Press Publ., 1997. 279 p.
33. Tennant N. On Necessary Existence of Numbers. Nous, 1997, vol. 31, no. 3. pp. 307—336.
