CC BY
7
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 539.12.01
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПЛОТНОЙ КВАРКОВОЙ СРЕДЕ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
В. Ч. Жуковский, А. В. Тюков, Д. Эберт*'
(.кафедра теоретической физики) E-mail: zhukovsk@phys.msu.ru
Изучается влияние гравитационного поля на образование жваржового и дижваржо-вого жонденсатов в рамжах расширенной модели Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ). В приближении среднего поля получено выражение для эффежтивного потенциала с учетом жонечной температуры и плотности жваржовой среды в статичесжом гравитационном поле постоянной жривизны.
Введение
При достаточно большой плотности барионов (температура мала) в КХД предсказывается возникновение фазы с цветовой сверхпроводимостью (ЦСП). В ней возможно образование связанных состояний двух кварков — куперовских пар, конденсат которых <дд> в вакууме отличен от нуля, что свидетельствует о нарушении цветовой симметрии. По аналогии с обычной сверхпроводимостью это явление получило название цветовой сверхпроводимости.
Свойства ЦСП-фазы обсуждались в работах [1-3] более 20 лет назад. Недавно возможность образования ЦСП в плоском пространстве рассматривалась на основе различных низкоэнергетических приближений КХД, таких как инстантонная модель [4-8], модель Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ) [9] и др. [10-12]. В то же время при изучении свойств кварковой материи внутри компактных нейтронных и кварковых звезд, а также эффектов в ранней Вселенной нельзя не учитывать влияние внешнего гравитационного поля [13, 14].
В данной работе в рамках модели НЙЛ изучается влияние гравитационного поля на образование ЦСП. Также рассмотрено влияние температуры и химического потенциала (плотности барионов). Для учета эффектов гравитации рассматривается статическая Вселенная Эйнштейна. Рассмотренная модель, однако, может быть применима не только ко Вселенной в целом, но и давать качественное представление об образовании дикваркового конденсата в ядрах нейтронных звезд.
Модель и эффективный потенциал
Будем рассматривать расширенную модель НЙЛ с двумя ароматами кварков. В искривленном О-мер-
ном пространстве с сигнатурой (+, • лагранжиан теории имеет вид
С = q
iYv„ + ßj
2 Nr.
(qqf + (qrfrq]
9i
Nc
iqc£€bj5q
iqe€bj5qc
(1)
В формуле (1) через обозначена спинорная производная V,, = д^+Т^, где Г^ = —
спинорная связность, а Еай = \[^уа,7ь]№ хи~ мический потенциал кварков. В дальнейшем будем считать Щ = 2, а Ыс = 3. Кварковое поле q = qía является дублетом ароматов и цветовым триплетом, где ¿=1,2; а =1,2,3. Через т = (т1,т2,тг) обозначены матрицы Паули в пространстве ароматов; (е)1к = е1к, (е6)а/3 = £а/36 — полностью антисимметричные тензоры в пространстве ароматов и цветовом пространстве соответственно.
Сделаем в лагранжиане (1) преобразование Хаб-барда-Стратоновича, вводя вспомогательные бозон-ные поля:
С = q
3/2 2G\
ß ■ ßl + 7Г2)-
q — q [a + rfrirj q
—A*bAb G2
iq'Ceebnf5q
iqee^Cq* . (2)
Поля а и 7Г являются цветовыми синглетами, а Аь — цветовым антитриплетом и синглетом по отношению к киральной группе. Следовально, если <а> ф 0, то динамически нарушается киральная симметрия, а если <АЬ> то нарушается цвето-
Humboldt University, Berlin, FRG.
вая симметрия, так как поле <АЬ> несет цветовой заряд.
Эффективное действие для бозонных полей выражается через интеграл по кварковым полям:
ехр | г'5е||(сг, я\ Д6, Д*6)|
[йд\ [йд] ехр< г
с1°х^С\. (3)
= Л/'
Проводя 1/Л/ разложение и ограничиваясь старшим членом, поля а, 7Г, Д6 и А*ь можно заменить их средними по вакууму значениями <а>, <7Г>, <АЬ> и <А*Ь> соответственно, которые мы обозначим теми же буквами. Выберем основное состояние нашей модели: <Д'> = <Д2> = <7Г> = О и <сг>, <Д3> ф 0. Очевидно, что подобный выбор нарушает цветовую симметрию до остаточной группы Зис( 2).
Найдем эффективный потенциал, глобальная точка минимума которого определит величины <а> и <Д3>. По определению 5еп = — У^^^х^/^1^. Тогда получим
где
За ЗАЬА*
2С,
■+У, V7 =
5
V '
и =
(4)
ехр (г5(сг, Д)) = ¿V' сИ (¿V -а + /27°)
х
с|е|;1/2
41Д1
(-¿V - а + /27°)(г'У - а + /27°)
(5)
Будем рассматривать статическую .О-мерную Вселенную Эйнштейна с метрикой
йБ2 = й? - а2(с1в2 + эт2 0<ШО_2),
(6)
где а — радиус Вселенной, связанный со скалярной кривизной соотношением /? = (£) — 1)(0 —2)оГ2. Используя результаты [14, 15], получим эффективный потенциал при конечной температуре:
9 М
1=0
+ Т\п М+е-№+''»)]-
оо -
2 + 4|Д|2 +
2Л/,
(Е, +/7,)2 + 4|Д|2+2Г 1П (1+е-М'ч-/')2+4|ДГ
где V — объем Вселенной:
27Го/2ао-
У(а) =
¡¿/ =
2КО+1)/2|Г(д + /_1)
(8)
(9)
(10)
/!Г(£>-1)
(в последнем выражениие [х] обозначает целую часть х).
Фазовые переходы
В дальнейшем мы фиксируем константу б2 соотношением б2 = дб] (см. [7, 15]). Для численных оценок выберем константу таким образом, чтобы симметрии были полностью нарушены в вакууме. Будем считать в] = 10 (сильная связь) и .0 = 4.
Случай Т =О
На рис. 1 представлена фазовая диаграмма системы при нулевой температуре, где цифрами 1, 2 и 3 обозначены симметричная, киральная и сверхпроводящая фазы соответственно. Для точек фазы 1 глобальный минимум эффективного потенциала достигается при ст = 0, Д = 0 (киральная и цветовая симметрии не нарушены). В области фазы 2 нарушена только киральная симметрия и а ф О, Д = 0. Точкам фазы 3 соответствует образование дикваркового конденсата (цветовой сверхпроводимости) и минимум при ст = 0, Аф 0. Пунктирной линией на рисунке обозначен фазовый переход первого рода, а сплошной кривой — второго рода.
10
20
30
Я
40
Рис. 1. Фазовая диаграмма при Т = О
Видно, что граница ЦСП-фазы представляет собой осциллирующую кривую. Похожие осцилляци-онные эффекты были подробно исследованы в целом ряде работ, посвященных нарушению киральной симметрии в магнитном поле [16, 17]. Подобный эффект встречается в самых различных областях физики и обусловлен дискретностью энергетических уровней.
Случай Т ф О
Заметим, что, как и в плоском случае (см. [7]), в широком диапазоне параметров /?,/./,, Т не возникает смешанной фазы, в которой оба конденсата а и Д отличны от нуля. Фазовые кривые при Тф 0 изображены на рис. 2 и 3.
3.5 3 2.5 2 1.5 1
0.5
8 10 12 14
R
Рис. 2. Фазовая диаграмма при Т = 0.7
1 2 3
Рис. 3. Фазовая диаграмма при Я = 3
Из рис. 2 следует, что при увеличении кривизны происходит фазовый переход второго рода, и симметрии восстанавливаются. При увеличении температуры также происходит переход второго рода. Такое поведение, а также сходство графиков в осях и ц-Т говорит о том, что параметры /? и Т играют похожую роль в восстановлении нарушенной симметрии.
В настоящей работе был проведен последовательный учет влияния гравитационного поля, химического потенциала и температуры на возникновение
цветовой сверхпроводимости. Было получено точное по кривизне решение, позволяющее рассматривать фазовые переходы вблизи критической точки Rc. Рассмотренная модель может качественно отражать особенности образования дикваркового конденсата в компактных нейтронных звездах.
Один из авторов (В.Ч.Ж.) признателен проф. М. Мюллеру-Пройскеру (Университет Гумбольдта) за гостеприимство. Авторы также благодарять И. Е. Фролова за консультации по вопросам численных расчетов и К.Т. Клименко за плодотворные дискуссии.
Работа поддержана DAAD.
Литература
1. Barrois B.C. // Nucl. Phys. 1977. В129. P. 390.
2. Frautschi S.C. 11 Proc. Workshop on Hadronic Matter at Extreme Energy Density / Ed. N. Cabibbo. Erice, Italy, 1978.
3. Bailin D„ Love A. 11 Phys. Reports. 1984. 107. P. 325.
4. Rapp R., Schafer Т., Shuryak E.A., Velkovsky M. 11 Phys. Rev. Lett. 1998. 81. P. 53.
5. Alford M., Rajagopal K., Wilczek F. 11 Phys. Lett.
1998. B422. P. 247; Nucl. Phys. 1999. B537. P. 443.
6. Langfeld K., Rho M. 11 Nucl. Phys. 1999. A660. P. 475.
7. Berges J., Rajagopal К. 11 Nucl. Phys. 1999. B538. P. 215.
8. Schmarz T.M., Klevansky S.P., Papp G. 11 Phys. Rev.
1999. C60. P. 055205.
9. Nambu Y., Jona-Lasinio G. // Phys. Rev. 1961. 122. P. 345; 124. P. 246.
10. Hufner J., Klevansky S.P., Zhuang P. 11 Ann. Phys. 1994. 234. P. 225.
11. Mishustin l.N. et al. 11 Phys. Rev. 2000. C62. P. 034901.
12. Hanauske M., Satarov L.M., Mishustin I.N. et al. 11 Phys. Rev. 2001. D64. P. 043005.
13. Inagaki Т., Odintsov S.D., Muta T. 11 Prog. Theor. Phys. Suppl. 1997. 127. P. 93; hep-th/9711084.
14. Huang X., Нао X., Zhuang P. 11 hep-ph/0602186.
15. Ebert D., Khudyakov V.V., Klimenko K.G., Zhukovsku V.Ch. //Phys. Rev. 2002. D65. P. 054024; hep-ph/0106110.
16. Ebert D., Klimenko K.G., Vdovichenko M.A., Vshiv-tsev /1.5. 11 Phys. Rev. 2000. D61. P. 025005; hep-ph/9905253.
17. Vshivtsev Л.5., Zhukovsky V.Ch., Klimenko K.G. // J. Exp. Theor. Phys. 1997. 84. P. 1047; Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1997. 111. P. 1921.
Поступила в редакцию 27.12.06
