Волны плотности кварковой материи в модели Намбу--Йона-Лазинио в магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

106

ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2010. № 6

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Волны плотности кварковой материи в модели Намбу-Йона-Лазинио

в магнитном поле

Б.Ч. Жуковский 1'а, К. Г. Клименко2,6, И.Е. Фролов1

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

2 Институт физики высоких энергий. 142281, Московская обл., Протвино, ул. Победы, д. 1.

E-mail: аzhukovsk@phys.msu.ru, ьkklim@ihep.ru

Статья поступила 03.06.2010, подписана в печать 02.07.2010

В рамках модели Намбу-Йона-Лазинио рассмотрена возможность образования статичных согласованных волн плотности скалярного и псевдоскалярного конденсатов в плотной кварковой среде при наличии внешнего магнитного поля. В приближении среднего поля найдено выражение для эффективного потенциала теории, проведено его исследование на экстремум численными методами; построена диаграмма состояния системы. Показано, что при низких температурах магнитное поле катализирует образование пространственно-неоднородных конфигураций конденсатов.

Ключевые слова: киральный конденсат, пионный конденсат, волны плотности, магнитный катализ.

УДК: 539.12.01. PACS: ll.30.Qc, ll.30.Rd, 12.38.Mh, 12.39.-х, 21.65.-f.

Введение

В настоящее время одной из наиболее распространенных эффективных теорий квантовой хромодинами-ки является модель Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ) [1]. Основываясь на механизме динамического нарушения киральной симметрии и образования кирального и пи-онного конденсатов, в ее рамках удается объяснить многие свойства кварков и легких мезонов.

При изучении физических явлений в рамках модели НЙЛ предполагается, как правило, что вакуумные конденсаты являются однородными и изотропными в пространстве. Это допущение, однако, может быть не вполне оправданным в области средних и больших плотностей материи и константы связи [2]. В литературе рассматривалась возможность образования статичных согласованных волн плотности кварк-анти-кваркового и пионного конденсатов (Dual-chiral density waves) [3] вида

фф^ = Д cos qr, (фЬ^т^ф^ = Д sin qr, (1)

(ф^п^ф^ = 0,

где Д — амплитуда конденсата, q — фиксированный

волновой вектор, п — матрицы Паули; при этом 2 2 фф^ + = Д2 в любой точке пространства.

Показано, что волны плотности в кварковой среде образуются при низких температурах в переходной области между массивной и безмассовой фазами модели НЙЛ. Поведение системы во внешних полях, однако, не исследовалось.

В настоящей работе мы рассмотрим возможность образования конфигурации кондесатов указанного типа при наличии внешнего магнитного поля.

1. Физическая модель

Будем исследовать модель, используемую в [3], учитывая Щ = 2 сорта кварков (и и d) с нулевой токовой массой и Nc = 3 цвета. При конфигурации вакуумных конденсатов (1) лагранжиан НЙЛ в приближении среднего поля имеет вид

С = ф (ijD + /ту0 - m ^cos qr + ¿75тз sin ф - —,

(2)

где m = -2GA, G — константа связи, ¡л — химпотенци-ал; D = д + iQeA, Q — оператор электрического заряда (с собственными значениями Qu = 2/3 и Qd = —1/3), А — потенциал электромагнитного поля; е > 0. Мы будем считать, что волновой вектор q и вектор напряженности магнитного поля Н направлены вдоль одной оси 2.

Легко видеть, что преобразование полей ф _}. е1^Ьхф, ф фе'1^Ьх, где b = q/2, q>* = (0,q), XV = (t, r), приводит (2) к виду

2

С = ф (iijD + - m + 7ST37bj i— ™fí. (3)

при этом мера континуального интеграла Т>фТ>ф остается инвариантной, в чем нетрудно убедиться, применяя метод Фуджикавы [4]. Слагаемое ф^т^фф в (3) представляет собой фоновое СРТ-нечетное аксиально-векторное взаимодействие фермионов.

2. Эффективное действие

Нетрудно видеть, что для теории, описываемой лагранжианом (3), в однопетлевом приближении задача формально сводится к нахождению эффективного

действия для одного электрона (с соответствующей заменой величины электрического заряда частицы е на \Qu\e и \Qa\e; при этом мы считаем частицу отрицательно заряженной):

r(i) =

d*x(-—) +N Г(1 , 4G ) *

+ ВД1

£i)|

e \e-y\Qd\e'

(4)

4U = j In Det (i7£> + p7° - m -1

= ylnDet + , (5)

где #D = olP + 7°m — T^b — модифицированный ди-раковский гамильтониан, Р = р + еА; здесь и далее № = (0,0,0, Ь), Я=(0,0,Я), Я> 0. Для вычисления выражения (5) нам необходимы собственные функции и спектр гамильтониана Я0.

Пусть А = (0,Нх,0). Поскольку [£3, (аР)2] = 0, то собственные функции Я0 имеют стандартный вид (подробности см. в [5]):

Ф nqp(x,y,z) =

1

1

V2tt V2TT

:>ЩУ

ic2un(0 \ /c4u„(£) /

(eH)

1/4

где и„(£) — функции Эрмита, £ = у/еНх + , {с;} — спиновые коэффициенты. При каждом фиксированном п> 0 мы имеем задачу на собственные значения для матрицы К (размером 4 х 4) и столбца {с;}, где

К = а\р± + а3р + 7°т - £3&, р± = у/2еНп.

Выполним унитарное преобразование К = , где

и = е»Е2}е'7%! ( тогда

К = а{р± + а3р + 7°ш + 7°£3 рЯ, р±=р, р=^р±, рН = Ь.

Матрица /Г соответствует задаче о движении электрона с аномальным магнитным моментом р; решения такой задачи известны1 [6]. Случай п = 0 требует, однако, отдельного рассмотрения в явном виде; оно не представляет сложностей.

Окончательное выражение для спектра имеет вид

„ е\ ((\/т2+р2 + ь) +2еНп, п> 0,

ЕпрСе={ V V У / (6)

т2 +р2 + Ь, п = 0,

где и = 0,1,..., ^оо < р < оо, £ = ±1, е = ±1. При и = 0 спиновое квантовое число £ не входит в спектр, кроме этого, всегда имеет место вырождение по д (—оо < < оо). Отметим, что асимметрия спектра частиц и античастиц при п = 0 связана с СРТ-нечетно-стью рассматриваемого нами взаимодействия и наличием выделенного направления Н.

Зная явный вид волновых функций, мы можем по теории возмущений найти поправку к энергии АЕ±,

обусловленную отклонением 6 от направления Н. Пусть Ь = (Ь±,0,Ь). Опуская промежуточные выкладки, приведем соответствующее асимптотическое выражение (построенное с учетом возможного пересечения близких невозмущенных уровней):

AE±=J2(f±U'=e+g±\

\п'=п±1,С=-С

где

/± = 2

^Е + Е' + sgn± (Е - E')yJ(Е - Е')2 + 4£>±^ ,

ё±

£>4

Е^Е1'

D± = 2b{ 1 тСЛ/1

2 еНп'\

1 ± Сел/ 1

2 еНп

Е2 )'

и мы ввели обозначения: Е = Епр^е, Е' = Еп/р/^е/; функция sgn±(x) возвращает знак своего аргумента при х ф 0 и подчиняется условию sgn±(0) = ±1. Ее использование обусловлено тем, что мы хотим сохранить за АЕ± смысл малой поправки к исходному энергетическому уровню Е с определенным набором введенных нами квантовых чисел пр(е (по крайней мере, вдали от точек пересечения невозмущенных уровней).

Вводя нормировочный 4-объем ¿¡ЬхЬуЬ?, мы можем теперь вычислить (5):

1

ri° = -т In Det (/а0 + р - Я0)

_1

2/

J_

2/

(п)

d4x ■

: eip ' Ф х

xln ^(idPf + (HD^pf)

Vb:

e-ip°t ф =

21

ф°]Г In (Чр°)2 + (^р)2) (n)

Et Ez Ly 2тг27г2тг'

В последнем выражении (п) обозначает совокупность всех квантовых чисел, при этом

(я) п(,е

dp

dp eHLx,

dq = J2

п£е

так как д = где хо — координата «центра»

волновой функции Ф по оси х. Для получения термодинамического потенциала системы при конечной температуре Т мы применим технику Мацубары [7]:

dp0 2ж

dp0 2ж

dp* .1 Й

2тг ^ 1Я ■

/3

при этом р4 -¥ ши = Щ- (к + , где /3 = 1 /Т; сумма по к может быть взята аналитически.

Окончательно для термодинамического потенциала

г(1)

fi =

L,LXL„LZ

получим

?

ffr

ft = -^Q + Nc£h\e-*\Qu\e + Nc£h\e-*\Qd\e,

Отметим, что вид спиновых коэффициентов не зависит от выбора калибровки потенциала А.

108

ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2010. № 6

1 еН

2 (2тг)2

(8)

Выражение (8) содержит расходящийся вакуумный вклад (соответствующий ¡л = 0, Т = 0). Для его регуляризации мы применим метод собственного времени [8]:

1 еН

2 (2тг)2

"С6

1 еН

(2тг)2

"С6

1/Л=

rfs s^/s

где Л — размерный параметр обрезания. Следует отметить, что, несмотря на конечность выражения — его явное вычисление (как разности расходящихся объектов) также требует введения промежуточной регуляризации для получения корректного ответа при отсутствии симметрии между спектрами частиц и античастиц. В частности, возможно введение обрезающего множителя 0(Л' — |£|), где Л' > Л.

3. Диаграмма состояния

Для изучения фазовых переходов в системе было проведено численное исследование потенциала (7) на минимум относительно независимых параметров т и Ь при различных значениях химпотенциала ¡л и напряженности внешнего магнитного поля Я при 7 = 0. Найденный минимум проверялся на стабильность относительно малых отклонений Ь от направления Н. При вычислениях использовались величины, обезразмерен-ные с помощью параметра обрезания Л; мы обозначим их теми же символами, что и исходные. Максимальная величина относительной ошибки была задана на уровне 10~3, абсолютной — 10^8.

Зависимость параметра Ь от внешних условий при 6 = 6 представлена на рис. 1. Фазовая диаграмма для

0.8 д

Рас.

1. Зависимость параметра b от химпотенциала /х при G = 6 и 7 = 0 для у/еН = 0.15 (I), 0.3 (II) и 0.45 (III) (все величины безразмерны). На графике I наблюдается участок с 0 = 0, соответствующий симметричной фазе с т = 0

ш 0.8

0.6

0.4

0.2

' с

В

D

0

0.2

0.4

0.6 ц 0.8

Рис. 2. Фазовая диаграмма кварковой материи при 0 = 6 и 7 = 0. Параметры /х и \/еН безразмерны. Наряду с симметричной фазой А и массивными фазами В и С отмечена фаза Ь с выраженной пространственной неоднородностью конденсатов при Я -»• 0

этого случая изображена на рис. 2. При Н-¥ 0 наш результат непрерывно переходит в результат, полученный в [3]. При Я > 0 наблюдается модификация характерной для модели НЙЛ в магнитном поле структуры фаз1 (подробности о последней см., например, в [9]). Пространственно-неоднородные конфигурации конденсатов (для которых Ьф 0) образуются всюду в области массивных фаз В и С (кроме случая ¡л = 0), при этом параметр Ь плавно увеличивается с ростом напряженности магнитного поля; последнее способствует также дальнейшему развитию новой (обнаруженной в [3]) фазы О с выраженной пространственной неоднородностью конденсатов при Н -¥ 0 (в фазах В и С указанная неоднородность отсутствует при Я = 0); симметричная безмассовая фаза А ограничена фазой О при больших значениях Я.

Заключение

Исходя из полученных в настоящей работе результатов, мы можем говорить о магнитном катализе образования пространственно-неоднородных конфигураций конденсатов в рамках модели НЙЛ. Нетрудно установить, что данное явление обязано своим существованием особенности в спектре (6) при п = 0, а именно нарушению симметрии между спектрами фермионов и антифермионов. Йсключение слагаемых с п = 0 из (8) при численных расчетах приводит к исчезновению эффекта. Как отмечено в [3], линейный рост параметра & с увеличением химпотенциала ¡л характерен для одномерных систем; это согласуется с тем фактом, что, как известно, движение фермионов в сильном внешнем магнитном поле носит эффективно одномерный характер.

Авторы выражают благодарность А. Е. Лобанову, а также А. В. Тюкову за ценные замечания и участие

1 В настоящей работе мы не выделяем рассмотренные в [9] осцилляционные последовательности фаз одного типа, считая

их за единую фазу.

в плодотворной дискуссии при проведении нашего исследования.

Список литературы

1. Nambu Y., Jona-Lasinio G. 11 Phys. Rev. 1961. 124. P. 246.

2. Deryagin D.V., Grigorieu D.Y., Rubakov V.A. 11 Int. J. Mod. Phys. A. 1992. 7. P. 659.

3. NakanoE., Tatsumi Т. 11 Phys. Rev. D. 2005. 71. P. 114006.

4. Fujikawa К. 11 Phys. Rev. D. 1980. 21. P. 2848.

5. Соколов A.A., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М., 1983.

6. Тернов И.М., Багров В.Г., Жуковский Б.Ч. // Вестник Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1966. № 1. С. 30.

7. Matsubara Т. // Prog. Theor. Phys. 1955. 14. P. 351.

8. Schwinger J. 11 Phys. Rev. 1951. 82. P. 664.

9. Ebert D., Klimenko K.G., Vdovichenko M.A., Vshivtsev AS. 11 Phys. Rev. D. 1999. 61. P. 025005.

Density waves in quark matter within the Mambu-Jona-Lasinio model in an external magnetic field

V.Ch. Zhukovsky1,0 , K.G. Klimenko2 \ I.E. Frolov1

1 Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

2Institute for High Energy Physics, Pobedy str. 1, Protvino, Moscow Region 142281, Russia. E-mail: a zhukovsk@phys.msu.ru, bkklim@ihep.ru.

A possibility of formation of static dual scalar and pseudo-scalar density wave condensates in a dense quark matter is considered for the Nambu-Jona-Lasinio model in an external magnetic field. Within a mean-field approximation, the effective potential of the theory is obtained and its extrema are numerically studied; a phase diagram of the system is constructed. It is shown that the presence of a magnetic field favours the formation of spatially inhomogenious condensate configurations at low temperatures.

Keywords: chiral condensate, pion condensate, density waves, magnetic catalysis. PACS: 11.30.Qc, 11.30.Rd, 12.38.Mh, 12.39.-x, 21.65.-f. Received 3 June 2010.

English version: Moscow University Physics Bulletin 6(2010).

Сведения об авторах

1. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@phys.msu.ru.

2. Клименко Константин Григорьевич — докт. физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотр; тел.: (496) 77-1-40-33, e-mail: kklim@ihep.ru.

3. Фролов Игорь Евгеньевич — аспирант; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: igor.e.Irolov@gmail.com.