CC BY
19
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Д-р экон. наук М. А. Халиков Р. М. Расулов
ФАКТОРЫ ДИНАМИКИ «ЗАТРАТЫ - ВЫПУСК»: ПРОБЛЕМАТИКА ОЦЕНКИ И УЧЕТА В МОДЕЛЯХ ПРЕДПРИЯТИЯ
В статье представлен подход к динамическому моделированию пары «затраты - выпуск» на основе однородных разностных уравнений второго порядка, использующий в качестве основных категории выпуск в стоимостном выражении и затраты производственной деятельности, учитываемые в производственном капитале. Приведены необходимые и достаточные условия устойчивости этой динамики на уровне соотношений экзогенных и эндогенных параметров предприятия, позволяющие определить стратегию его устойчивого развития.
Ключевые слова и словосочетания: производственный капитал, собственное и заемное финансирование предприятия, структура капитала, модель «затраты - выпуск», однородное разностное уравнение второго порядка, корни характеристического уравнения, устойчивость динамики предприятия.
Постановка задачи моделирования оптимального отношения в паре «затраты - выпуск»
Проблематика моделирования оптимальной по критерию рентабельности собственных средств структуры производственного капитала предприятия, финансирующего совокупные издержки производственной деятельности, рассматривалась К. В. Анциборко и М. А. Халиковым в статье «Оптимальная структура производственного капитала компании»1. Для частного случая (стабильность параметров внутренней и внешней (рыночной) сред) авторами на основе дифференциального подхода были получены необходимые и достаточные условия оптимальности структуры производственного капитала, понимаемой как сочетание долей собственного и заемного финансирования производственной деятельности. Особый интерес, однако, представляет изменчивая динамика пары «затраты - выпуск» в случае непостоянства финансовой политики предприятия как реакции на изменения регулируемых и нерегулируемых параметров внутренней и внешней среды.
Для моделирования экономической динамики предприятия в общем случае предлагается использовать инструментарий однородных разностных уравнений второго порядка, позволяющий учесть особенности финансирования затрат и оценки результатов производственной деятельности в текущем производственном цикле и воспроизводства оборотного капитала в следую-
1 См.: Анциборко К. В., Халиков М. А. Оптимальная структура производственного капитала компании // Вестник Российской экономической академии имени Г. В. Плеханова. - 2007. -№ 4 (16).
щем цикле. Для упрощения приводимых формул и расчетных алгоритмов рассмотрим важный частный случай однопродуктового предприятия, описываемого неоклассической производственной функцией.
Если в границах его экономической области производственная функция предприятия является однородной степени а, то зависимость в паре «издержки1 - выпуск» может быть представлена в виде
с(у,) = с(1) • у1/а, (1)
где ^ - величина выпуска (в натуральном или стоимостном выражении) для периода планирования
с(у) - совокупные производственные издержки на объем выпуска у; с(1) - издержки на единицу выпуска (удельные издержки).
Отсюда следует, что у( =
Гс( у, ^ "
(2)
с(1)
Если использовать понятие производственного капитала как активов, финансируемых за счет собственных и заемных средств, полностью расходуемых на покрытие производственных издержек (в том числе постоянных и переменных) в рассматриваемом периоде, то
у, 1 (3)
а
где К - величина производственного капитала, сформированного в конце периода ^ и направляемого на финансирование производственной деятельности следующего периода2 , +1;
а = (е(1))а .
Если - доля заемного, а Кя( - величина собственного капитала в производственном капитале, то
Кя,
К, =-. (4)
' 1" в,
Собственный капитал Кя(, включаемый в производственный капитал по
завершении периода I, образуется за счет доли от чистой прибыли предприятия периода ^ и покрытых из выручки прямых и косвенных затрат производственной деятельности этого периода:
Г в ^
Кя( = 0, • (1 - т) • р( • у, - р, --в-1- • Кя(_1 , (5)
V 1 - в,-1 У
где т - ставка налога на прибыль;
1 Термин «издержки» используется в значении «совокупные затраты» (удельные или общие) в расчете на объекты производства, включенные в производственную программу планового периода.
2 Здесь и далее предполагается, что сформированный в начале планового периода производственный капитал полностью расходуется на выпуск адекватного объема товарной продукции в этом периоде.
Р{ - рыночная цена единицы продукции для периода V,
- стоимость заемных средств, включенных в производственный капи тал в периоде г — 1.
Используя соотношения (3), (4), (5), получим уравнение
Г о Л
т 1 (1 —т) • 0t
с(1) • У+1 =- t
Pt • У — Pt 'А1-• , (6)
(1 — вг) I 1 — в—1
устанавливающее баланс между выпуском и величиной издержек, включенных в производственный капитал предприятия, для последовательных интервалов планирования: ( - 1, I, ^ + 1.
Сделаем небольшое отступление и вернемся к уравнению (6).
1
Если учесть (3) и (4), то К^ = с(1) • у" ,
1
а К г—! = (1 — вг—!) • Кг—г = (1 — в{—г) • с(1) • у» .
Подставим полученное выражение для в уравнение (6):
1 (1 — т) • 0 1 С(1) • У": = — ) г • (Рг ■ Уt — Рг ■ вг—1 • С(1 • ). (6.1)
1 — Рг
Уравнение (6.1) формально связывает значения выпусков на последовательных интервалах планирования ^ и ^ + 1. Однако присутствие в явном виде параметра в?_1 (доля заемных средств, включенных в производственный капитал на шаге ^ - 1) приводит к необходимости в общем случае (нефиксированная по расчетным шагам доля заемных средств) рассматривать динамическую модель на трех, а не на двух последовательных интервалах планирования, что позволяет утверждать корректность модели (6) и ее обобщений, рассмотренных ниже.
Возвращаясь к уравнению (6), отметим, что оно задает возможные траектории результатов производственной деятельности предприятия в зависимости от проводимой менеджментом политики в сфере финансирования. Последняя включает выбор структуры производственного капитала (управление долей заемных средств) и его объема (управление долей собственных средств, вкладываемых в производство).
Экзогенными параметрами являются элементы наборов {р(}, } и величина т ставки налогообложения.
Практическое значение уравнения (6) в случае, если период ^ - 1) рассматривать как начальный (стартовый), заключается в возможности решения следующих задач производственного и финансового планирования:
- выбор оптимального по рыночному критерию объема производства, величины и структуры производственного капитала для следующего интервала планирования исходя из финансово-ресурсного потенциала предприятия, соответствующего величине производственного капитала текущего периода;
- определение оптимальном величины производственных издержек для планируемого объема производства и последующий контроль отклонений фактических издержек от планового уровня;
- выбор оптимальной структуры и элементного состава производственного капитала с учетом изменений экзогенных и эндогенных параметров модели «затраты - выпуск».
Рассмотрим важный для теоретических обобщений частный случай динамической модели «затраты - выпуск», задаваемой рекуррентным соотношением (6).
Пусть зависимость (2) выпуска от затрат является линейной (а = 1), рынок готовой продукции не подвержен ценовым колебаниям (pt = const), ставка кредитования фиксирована (р = const), а выбираемые менеджментом доли
заемного (Р^) и собственного (0f) финансирования производственной деятельности постоянны на всем горизонте планирования и являются управляемыми параметрами модели, задаваемой соотношением
m 9(1 - т) f Р • Р ^ 1 c(1) • ^<+1 = 1 и • p • yt -т~;г Kst-i • (62)
1 - Р V 1 - р У
Так как в линейном случае выпуск пропорционален издержкам, то логично предположить наличие зависимости
Kst-1 = Y • yt-1,
где у - коэффициент пропорциональности (двойственная оценка собственного капитала1), с учетом которой запишем (6.2) в следующем виде:
У<+1 = ■
9(1 - т) f p р Р ^
У-----Y • y
1 - Р V c(1) " c(1) 1 - Р 1 *
(6.3)
р р
где коэффициенты - (обозначим к1) и - (обозначим к2) определяют со-
с(1) с(1)
отношение удельных издержек производимой продукции и цен соответственно рынков готовой продукции и финансового. С учетом введенных коэффициентов
У<+1 = ■
9(1 - т)
Г Р • Y 1
к • yt - k2 • • У<-1 • (6.4)
1 - в V1 ' 2 1 - в
Так как (1 - в) - доля собственного финансирования производственного капитала (обозначим рс), то получим следующее результирующее соотношение, задающее динамику оптимальных (по указанному выше критерию) выпусков предприятия для последовательных интервалов , -1, I, , +1 (, -1 > 0) :
1 В случае конкурентного рынка для предприятия с линейной производственной функцией можно принять значение у, равное с(1).
0(1 — т) ,, , 0(1 — т) Уг+1-----к1 • Уг --(1 — вс) • У • к2 • У—1 = 0 . (6.5)
вС вС
Последнее уравнение является однородным разностным уравнением второго порядка:
У+1 + ЪУг + с • Уг—1 = 0, (7)
0(1 — т) 0(1 — т)
где Ъ=—Й— к; с —(1—вс) •у • ,
вС вс
для решения которого известно аналитическое выражение, получаемое на основе следующих рассуждений.
Запишем характеристическое уравнение
А2 + ЪА + с = 0 . (8)
Общее решение уравнения (7) имеет следующий вид:
У = с • +С2 • А2, (9)
где А, А2 - различные корни характеристического уравнения (8);
С, С2 - константы, получаемые на основе известных значений у0 и у1 выпусков для первых двух периодов.
В случае совпадения корней характеристического уравнения общее решение уравнения (7) записывается в виде
У = А • (С! + г • С2). (10)
Исходя из уравнения (9) запишем начальные условия
Г У0 = С, + С2;
Г0 1 2 (11)
[ У1 = С1 • А1 + С2 • А 2 и определим значения констант:
С = У1 — А2 • У0 , с = А1 • У0 — У1 . (12)
А — А —
Если подставить найденные значения С1 и С2 в (9) и учесть, что А — А2 = -/о , а А • А2 = с (где О - дискриминант характеристического уравнения), то получим следующее выражение для решения разностного уравнения (7):
У' (^1 • (А1—А2)—У0 •с • (А1—1 — А2—1)),
• (А1 А2) У0 •с • (А1 А2 )), (13)
связывающее оптимальное1 значение выпуска на интервале планирования ^ с оптимальными значениями выпусков на первых двух интервалах.
1 Оптимальность в смысле соответствия выпуска объему запланированных (аккумулированных
в производственном капитале) издержек.
Рассмотрим условия существования и аналитическое представление корней характеристического уравнения (8):
D = -(0• С1 -т)• ki2 -4• (1 -ßc)• Y• k2). (14)
Знак дискриминанта определяется знаком выражения, стоящего в круглых скобках: D > 0, если
0 • (1-т) ki2 > 4 • (1 - ßc) • у • k2 (15)
или
0 . (15.)
ß (1 - т) • ki
Напомним, что 0, ß е (0; 1) - выбираемые менеджментом (соответственно) норма накопления (роста) производственного капитала (издержек) и доля внешних заимствований (заемного капитала).
Таким образом, в левой части неравенства (15.1) находятся управляемые параметры модели «затраты - выпуск», в правой части - экзогенные (описывающие внешние условия деятельности предприятия) параметры (например, т), их комбинации в виде отношений (k. - рентабельность продукции, k2 - отношение цены продукции к ставке заемного финансирования), а также y -двойственная оценка собственного капитала на первом интервале планирования. Выполнение условия (15.1) в соответствии с (13) гарантирует устойчивость динамики выпуска: экспоненциальный рост (падение) в случае, если больший корень характеристического уравнения (8) больше (меньше) 1. Отметим, что форма представления характеристического уравнения (8) в свою очередь гарантирует положительный знак корней и X2.
Если неравенство (15.1) не выполняется (D < 0), то корни X. и X2 характеристического уравнения являются комплексными и решение уравнения (6.5) выглядит следующим образом:
y = А/ • (C1 • cosí ф + C2 • sin t ф ), (16)
где А = = |Х2|, ф = arg А = argX2, C и C2 - константы, определяемые, как
и выше, на основе y0 и y1.
В этом случае динамика выпуска описывается колебательным процессом, не гарантирующим его положительность на всех интервалах планирования, что инициирует риск потери финансовой устойчивости предприятия.
Таким образом, знак дискриминанта характеристического уравнения (8) линейно-разностной модели (6.5), связывающей значения составляющих пары «затраты - выпуск» на последовательных интервалах планирования t -1, t, t +1 (t > 1) позволяет сделать обоснованное заключение о динамике выпуска предприятия.
В случае D > 0 предполагается экспоненциальное изменение (рост или спад) в зависимости от величины большего корня характеристического уравнения (8), в случае D < 0 - волнообразная динамика выпуска (растущая или затухающая), сопровождаемая риском потери финансовой устойчивости.
Практические расчеты динамики «затраты - выпуск» для различных комбинаций параметров 9 и вс проведены для следующего условного примера: т = 0,13; р = 2; с(1) = 1,2; р = 0,14; у0 = 15; у = 16 (таблица).
Корни характеристического уравнения и динамика «затраты - выпуск» для различных комбинаций параметров 0 и рс
9 вс Корни характеристического уравнения Динамика «затраты - выпуск»
^2
0,1 0,1 -(0<0) -(0<0) -
0,1 0,6 0,156 0,085 Стремительный экспоненциальный спад
0,1 0,9 0,151 0,010 Стремительный экспоненциальный спад
0,5 0,1 6,407 0,843 Смена медленного экспоненциального роста на стремительный
0,5 0,7 0,999 0,037 Незначительный экспоненциальный рост сменяется на линейный спад
0,5 0,9 0,619 0,009 Экспоненциальный спад
0,9 0,1 12,257 0,793 Смена незначительного экспоненциального роста на стремительный
0,9 0,9 1,441 0,009 Устойчиво невысокий экспоненциальный рост
Результаты расчетов позволили констатировать:
- наличие порога величины производственного капитала, обеспечивающей устойчивый рост выручки (в нашем случае рассчитанное пороговое значение нормы накопления 9 равно 0,23);
- значительное снижение эффективности затрат с ростом доли в производственном капитале собственных средств (по причине неиспользования налогового щита);
- возможность экспериментальным путем определить значения управляемых параметров 9 и вс, обеспечивающих устойчивый рост выручки в условиях конкурентных товарных и финансовых рынков с приемлемым уровнем риска финансовой сферы. В нашем случае эта динамика соответствует случаю 9 = 0,5; вс = 0,5 (рис. 1).
330000,,000000 225500,,000000 220000,,000000 115500,,000000 110000,,000000 5500,,000000 00,,000000 у
/
У
-—- ^
г Уг
0 15,0
1 16,0
2 21,4
3 29,1
4 39,6
5 54,0
6 73,5
7 100,1
8 136,4
9 185,7
10 252,9
10
Рис. 1. Случай 9 = 0,5; вс = 0,5
г
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Оценка эффективности и управление затратами предприятия на основе динамической модели «затраты - выпуск»
Выше показано, что для предприятия с неоклассической производственной функцией динамика в паре «затраты - выпуск» может быть описана однородным разностным уравнением второго порядка (7), позволяющим получить аналитическое представление (13) функции выпуска на последовательных плановых периодах в случае определенности и постоянства параметров внешней (рыночной) и внутренней (производственно-технологической и финансово-ресурсной) среды.
Рассмотрим подход к моделированию динамики этой пары в общем случае, предполагающем, во-первых, отсутствие прямой аналитической зависимости между выпуском и совокупными затратами, а во-вторых, наличие неопределенности и риска производственной деятельности предприятия.
В качестве базисных предположений, позволяющих характеризовать предлагаемый нами подход как динамическое моделирование оптимального отношения в паре «затраты - выпуск» в условиях неопределенности и риска деятельности предприятия, укажем:
1) предприятие, планируя производственную программу на очередной плановый период I, предполагает финансирование снабжения, производства и сбыта из накопленных к концу периода ^ - 1 активов производственного назначения, а также краткосрочного кредита, привлекаемого в начале периода ^ на финансирование производственной сферы. Указанные составляющие в совокупности образуют производственный капитал предприятия, финансирующий переменные и постоянные затраты его производственной деятельности для периода I;
2) капитал, покрывающий производственные и внепроизводственные затраты, является платным. Стоимость заемных средств устанавливается исходя из ставок кредитных учреждений, потребного объема кредита, уровня риска заемного финансирования, определяемого коэффициентом автономии. Стоимость собственного капитала - альтернативная ставка доходности для различных вариантов его использования в сфере производства;
3) выбор варианта производственной деятельности для периода ^ осуществляется по рыночному критерию максимума чистого денежного потока этой деятельности с учетом производственно-технологических, финансово-ресурсных, рыночных ограничений и стохастического характера цен на готовую продукцию, материальные, трудовые и другие ресурсы, приобретаемые в этом периоде1;
4) наличие стоимостных оценок планируемого в периоде ^ результата производственной деятельности (в форме чистого денежного потока) и производственного капитала, сформированного к началу периода, позволяет определить эффективность затрат периода ^ как величину планируемого чистого денежного потока на рубль средств, включенных в производственный капитал.
1 Предположение 3 в части критерия является следствием предположения 2.
Рассмотрим постановку задачи управления динамикой «затраты - выпуск» предприятия на последовательных интервалах планирования с учетом сделанных предположений.
Если у предприятия отсутствуют долгосрочные заимствования, а элементы денежного потока производственной деятельности включают притоки и оттоки только этого вида деятельности1 (в частности, отсутствуют оттоки средств на выплату постоянных платежей в бюджеты различных уровней и дивидендов), то величина производственного капитала к концу периода г может быть оценена следующим выражением:
РК, = РК, + (1 - т) • (Яег( - Та,, - р • К ) -АР,, (17)
где РКг, РК, - величины аккумулированного в активах производственного назначения капитала соответственно к концу и началу периода г (в стоимостном выражении);
Яег( - оплаченная в периоде г продукция (работы, услуги) (интегральный результат производственной деятельности);
Та- валовые затраты предприятия в периоде г, отраженные на счетах производственных и внепроизводственных расходов;
Р - стоимость заемного капитала для периода г;
К - величина заемных средств, включенных в производственный капитал для покрытия затрат производственной деятельности периода г;
Ар - безвозвратные потери периода г, которые нельзя списать на результаты деятельности хозяйствующего субъекта этого периода (в том числе штрафы, претензии, возвраты отбракованной продукции и прочие безвозвратные расходы).
Производственный капитал РКг, рассчитанный по формуле (17), образует собственные средства предприятия, накопленные к концу периода г. Часть этих средств в соответствии с выбранной для периода г + 1 нормой 0М роста собственного финансирования затрат производственной сферы включается в производственный капитал РК, ,, формируемый для периода г + 1.
Таким образом,
РК,+1 = 0,+1 • РК, + К,+1, (18)
где 0,+1 е (0; 1) - доля производственного капитала РК,, используемая для покрытия затрат производственной деятельности предприятия в периоде г + 1;
Км - величина заемных средств, включаемых в производственный капитал в начале периода г + 1.
1 Предполагается отсутствие безнадежной дебиторской и просроченной кредиторской задолженностей.
Если второе слагаемое в правой части (17), характеризующее величину чистой прибыли периода Г, обозначить р, то эффективность ум запланированных для периода (Г + 1) затрат в объеме РК, , может быть рассчитана по формуле
Уг+1 , (19)
PKt+l
позволяющей решать как прямую задачу оценки эффективности аккумулированных в активах производственного назначения планируемых для периода Г + 1 затрат, так и обратную задачу планирования объема и структуры производственного капитала для выбранного уровня ум эффективности затрат. Например, можно рассматривать обратную задачу в следующей постановке: определить норму 0М накопления собственных средств в производственном
капитале для периода Г +1 в случае заданных эффективности затрат ум и планируемой для периода Г + 1 величины заемных средств Км . В соответствии с (18) и (19)
0+1 -
Гр л
р+1 V--Kt+1
РК{ . (20)
V
Yt+l ;
Можно определить объем дополнительного финансирования производственной деятельности для периода Г + 1 с привлечением краткосрочных заемных средств:
К+1 - рр+1 - 0t+l • РК{. (21)
Yt+l
Отметим, что в расчетах структуры производственного капитала необходимо дополнительно учитывать величину риска заемного финансирования, оцениваемого коэффициентом автономии ка(, а при определении оптимального варианта производственной деятельности - параметры внешних рынков (продуктовых, материальных, финансовых и др.), условия и ограничения этой деятельности для исследуемого предприятия.
Перечисленное позволило предложить алгоритм определения обоснованного уровня совокупных затрат предприятия на последовательных интервалах планирования на основе динамической модели «затраты - выпуск» (рис. 2)1.
Итерационная схема алгоритма, представленного на рис. 2, включает решение статической (объемной) задачи выбора оптимальных вариантов
1 Кд +1 - предельное для периода Г +1 значение коэффициента автономии, определяющее величину допустимого риска заемного финансирования; Яг1+1 - рисковые затраты для периода Г + 1.
производственной программы и величины производственного капитала (блок 5).
1 Расчет финансово-экономических результатов производственной деятельности для завершающегося периода г, определение значений показателей Р, у(, РК, (на основе данных финансовой и бухгалтерской отчетности)
*
2 Формирование базового сценария внешней и внутренней сред и условий деятельности предприятия в периоде г + 1, задание точечных или интервальных значений нерегулируемых параметров модели
3 Выбор значений регулируемых параметров 0 К('+1), р/+15 и номенклатурного состава производственной программы
4 Формирование нормативно-справочной и информационной базы задачи выбора оптимального варианта производственной деятельности предприятия для периода г + 1
5 Моделирование оптимального варианта производственной деятельности предприятия для периода г + 1: определение состава производственной программы, расчет величин К,+1; РК1+1, У,+!
Норма эффективности затрат у1 + 1 ------
удовлетворительна? __________ " "
X да
7 Фиксация управляемых (регулируемых) и рассчитываемых в модели (нерегулируемых) параметров по варианту производственной деятельности для периода г + 1
Рис. 2. Блок-схема алгоритма расчета обоснованного уровня валовых затрат предприятия для периода г + 1
Выбор управляемых параметров модели 9г + 1 и вг + 1 осуществляется с учетом значения показателя эффективности затрат уг + ! (блок 3), что позволяет рассматривать задачу моделирования производственной деятельности предприятия как двухуровневую задачу принятия решений с критерием эффективности затрат и учетом внешних (рыночных) и внутренних (производственно-технологических и организационно-технических) ограничений.
Список литературы
1. Анциборко К. В., Халиков М. А. Оптимальная структура производственного капитала компании // Вестник Российской экономической академии имени Г. В. Плеханова. - 2007. - № 4 (16).
2. Халиков М. А. Моделирование производственной и инвестиционной стратегии машиностроительного предприятия. - М. : Благовест-В, 2003.
