Эйлеровы предфрактальные графы Текст научной статьи по специальности «Математика»

М ь строится конструктивно М0 = 0, М1 = 1

Мь = МЬ-1 + (и - 2)иі 2 + 2Мі-2.

Теорема 2. Алгоритм а2 выделяет покрытие X на предфрактальном графе

, I = 1, £, оптимальное по критериям ^2 (х) и | F3 (х) |< 2 , если выполнено а

условие к < —, причем Т(а1) < 0(Ы ), где т(а1) - трудоемкость алгоритма

Ь

а2 .

Доказательство теоремы строится путем построения покрытия с помощью алгоритма а2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. КочкаровА.М. Распознавание фрактальный графов. - Нижний Архыз, 1998.

2. Кочкаров А.М., Перепелица В.А. Метрические характеристики фрактального и пред-фрактального графа // В сб. РАН САО, 1999.

3. Юшманов С.В. О минимальной сложности покрытия графов // В сб.: Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. М.: Изд-во. МГУ, 1981. - С. 70-72.

4. Емелпчев В.А., Мельников (ХМ., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990.

УДК 519.1

3.0. Коркмазова, А.А. Кочкаров ЭЙЛЕРОВЫ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАФЫ

Впервые задача Эйлера была сформулирована как модель головоломки о кенигсбергских мостах Эйлером в 1736 году, что считается началом развития теории графов [1].

Теперь эта задача хорошо изучена и о ней много опубликовано материалов. В данной работе эту задачу мы рассматриваем в новой постановке т.е. на предфрак-тальных графах [2]. Здесь же определяем условия эйлеровости предфрактальных .

Фрактальный (п,Ь)-граф в=(У, Е) можно определить рекуррентно по шагам), заменяя каждый раз в построенном на предыдущем шаге I е 1,2,...,Ь (п, Ь)-графе каждую его вершину п-вершинной затравкой, где Ь - количество рангов (шагов), породивших (п,Ь)-граф. Если ЕЬ - множество ребер Ь-го ранга, то условимся называть «старыми» все ребра из подмножество Е\ЕЬ.

Теорема 1. Всякий предфрактальный (п,Ь)-граф в=(У,Е) - эйл еров, если затравка Н=^,Р) - эйлерова и смежность старых ребер в траектории сохраняется.

, , -мального эйлерова подграфа данного предфрактального графа. Для решения поставленной задачи предлагаются алгоритмы (Х\ и а2 выделения максимальных эйлеровых (п,Ь)-графов.

Теорема 2. На всяком предфрактальном (п,Ь)-графе в=(У, Е) алгоритм «!(а2) выделяет максимальный эйлеров подграф, если число вершин нечетных

Секция фундаментальной и прикладной математики (Черкесский филиал)

степеней четно (нечетно) на затравке Н=^^), где трудоёмкость алгоритма Г2, .4'

т(а1)(т(а2))~ 0(N п4), где N = V .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Фпяйшнер Г. Эйлеровы графы и смежные вопросы. -М: Мир, 2002, -335с.

2. Кочкаров А.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. -Нижний Архыз: «СУОКШ», 1998. -170с.

519.1

. . , . .

ЗАДАЧА ВЫДЕЛЕНИЯ P -ЦЕНТРА С ГАРАНТИРОВАННЫМИ ОЦЕНКАМИ НА ПРЕДФРАКТАЛЬНОМ ГРАФЕ С ЗАТРАВКОЙ -ПОЛНЫЙ П -ВЕРШИННЫЙ ГРАФ

В данной работе рассматривается известная задача о p -центрах [1] в новой постановке на предфрактальных и фрактальных графах. Используем общепринятое обозначение G = (V,Е) для всякого конечного или бесконечного графа [1, 2]. Термином “затравка” [3] условимся называть связный п-вершинный граф Н = (Ж, О) с ребрами, взвешенными двумя числами а1у е [а, Ь] и Ь1 е [с, d],

/, у = (1, п). Недостающие определения графов можно найти в [1, 2], а недостаю-

[3].

Обозначим через X ={^р*| множество всех центров предфрактального (п, Ь) -графа Gl = (У1, Е1). На множестве X определим критерии ^(х) = [?(Гр )]^ шт , ^2(х) = X а1^ ^ шт, ^3(х) = £ ЬУ ^ шт ,

р1 еХ р‘еХ

F^(х) = ^*1 ^ шт , где ^1(х) - р1-центр, ^2(х), Fз(х) - суммарный минимальный вес рёбер, участвующих в р -центрах, F4(х) - мощность множества

И ■

Для решения этой задачи предложены полиномиальные алгоритмы а и «2

,

Теорема 1. Алгоритм а1 выделяет абсолютный р1 -центр, /=1,5 , на пред— а

фрактальном (п, і)-графе Ог = V,Е1), і = (1,Ь), где к <— [2], оптимальный

Ь

ПЬ-1 ■ кЬ-1 ■ Ь

по F1 (х) с оценками F2 (х) <-------- -, F4 (х) < р. Причём трудоёмкость

[4] алгоритма а1 равна Т(а1) = 0(N2 ), где N = \У\.