CC BY
60
Секция фундаментальной и прикладной математики (Черкесский филиал)
3. Эдпев ДМ. Концепция демографического потенциала и ее приложения // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. № 12. С. 37-74.
4. Ediev D.M. On monotonic convergence to stability // Demographic Research. 2003. Vol.8. №
2. P. 31-60.
5. Эдиев ДМ. Демографические потери депортированных народов СССР. - Ставрополь: «АГРУС», Ставропольсервисшкола, 2003. - 336 с.
УДК 519.1
ДА. Павлов, С.И. Салпагаров
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВЫДЕЛЕНИЯ МАРШРУТОВ НА ПРЕДФРАКТАЛЬНОМ ГРАФЕ
Многокритериальная задача выделения маршрутов [3] на предфрактальном графе, возникает при организации транспортных сетей.
Пусть дан предфрактальный граф [1,2] G{ = (Vl, El ) ранга l, где l = 1, L c
затравкой H = (W, Q) [4], где под словом «затравка» всюду далее будет пони-
[4].
Gl является взвешенным, если каждому ребру e G Ei ставится в соответствие число w(e ) g [kl-1a, kl-1b] , где l = 1,L , es g [1,2,...,qnl 1]- номер ребра l-
го ранга, a, b G R, k < 1- коэффициент пропорциональности.
Покрытием предфрактального графа цепями назовем множество x = {£} кратчайших простых цепей (КПЦ) в Gl таких, что через любую пару вершин v, u G Vi проходит цепь £g x , покрывающая эту пару. Совокупность всех КПЦ x, определенных выше как покрытие, обозначим через X = {x} . На X определим критерии: Fi (x) =| x | - мощность x; F2 (x) = XX w(e) - вес покрытия x;
^G xeG £
F3 (x) - число типов ребер в покрытии, где под типом ребра e в x цепи £ G x
понимаем ранг r = 1,...,l этого ребра. Причем каждая целевая функция
Fk (x) ^ min, k = 1,2,3 минимизируется. Для решения поставленной задачи
предполагаются полиномиальные алгоритмы (Хх ,а2, обоснованием которых служат теоремы.
Теорема 1. Верхняя оценка количества цепей в решении x, получаемом с
помощью алгоритма a, удовлетворяет неравенству
n — d +1 F,(x) < ( 2 )Ml ,
где n - количество вершин, d - диаметр [4] затравки H .
ML строится конструктивно M0 = 0 , MJ = 1
ML = ML-1 + (n - 2)nL 2 + 2ML-2 •
Теорема 2. Алгоритм a2 выделяет покрытие x на предфрактальном графе
, l = 1, L, оптимальное по критериям F2 (x) и | F3 (x) |< 2 , если выполнено a
условие к < —, причем Т(а1 ) < O(N ), где т(а1 ) - трудоемкость алгоритма b
а2 •
Доказательство теоремы строится путем построения покрытия с помощью алгоритма а2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. КочкаровЛ.М. Распознавание фрактальный графов. - Нижний Архыз, 1998.
2. Кочкаров А.М., Перепелица В.А. Метрические характеристики фрактального и пред-фрактального графа // В сб. РАН CAO, 1999.
3. Юшманов С.В. О минимальной сложности покрытия графов // В сб.: Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. М.: Изд-во. МГУ, 1981. - С. 70-72.
4. Емеппчев В.А., Мельников (ХМ., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990.
УДК 519.1
3.0. Коркмазова, А.А. Кочкаров ЭЙЛЕРОВЫ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАФЫ
Впервые задача Эйлера была сформулирована как модель головоломки о кенигсбергских мостах Эйлером в 1736 году, что считается началом развития теории графов [1].
Теперь эта задача хорошо изучена и о ней много опубликовано материалов. В данной работе эту задачу мы рассматриваем в новой постановке т.е. на предфрак-тальных графах [2]. Здесь же определяем условия эйлеровости предфрактальных .
Фрактальный (п,Ь)-граф в=(У, Е) можно определить рекуррентно по шагам), заменяя каждый раз в построенном на предыдущем шаге I е 1,2,...,Ь (п, Ь)-графе каждую его вершину п-вершинной затравкой, где Ь - количество рангов (шагов), породивших (п,Ь)-граф. Если ЕЬ - множество ребер Ь-го ранга, то условимся называть «старыми» все ребра из подмножество Е\ЕЬ.
Теорема 1. Всякий предфрактальный (п,Ь)-граф в=(У,Е) - эйл еров, если затравка И=^,Р) - эйлерова и смежность старых ребер в траектории сохраняется.
, , -мального эйлерова подграфа данного предфрактального графа. Для решения поставленной задачи предлагаются алгоритмы (Х\ и а2 выделения максимальных эйлеровых (п,Ь)-графов.
Теорема 2. На всяком предфрактальном (п,Ь)-графе в=(У, Е) алгоритм (Х\(а2) выделяет максимальный эйлеров подграф, если число вершин нечетных
