CC BY
112
УДК 624.012.45
ЭВОЛЮЦИЯ НОРМАТИВНОГО ПОДХОДА К РАСЧЕТУ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ*
Д. А. СЕМЕНОВ, аспирант,
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 195251, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29; spb.rcsoft@gmail.com
Рассмотрены вопросы расчетов прочности нормальных сечений, ширины раскрытия трещин, жесткости и учета влияния прогибов на несущую способность элементов в рамках эволюции отечественных норм. Основным расчетным инструментом современного норматива является нелинейная деформационная модель. Отмечается загруженность нормативного расчетного аппарата эмпирическими коэффициентами. Разработка уточненных расчетных моделей, снижающих роль эмпирической составляющей теории железобетонных конструкций, представляется одним из путей совершенствования норм.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: обзор норм, расчет железобетонных конструкций, прочность, жесткость, устойчивость.
Введение. Расчет железобетонных конструкций состоит из двух основных этапов: вычисления внутренних усилий в расчетной схеме и последующего подбора или проверки сечений конструктивных элементов. Вклад в надежность проектного решения как найденных усилий, так и адекватного расчета сечений имеет соизмеримый вес. Однако, совершенствованию методов расчета сечений уделяется значительно меньше внимания, чем развитию строительной механики конструкций. Расчет сечений железобетонных элементов в РФ регламентируется нормами [1]. В работах [2, 3] как нормативные, так и другие методы расчета сечений верифицированы по данным лабораторных испытаний. Отмечено, что надежность расчетов, в первую очередь, достигается коэффициентами безопасности, а не расчетными предпосылками методов.
В рамках повышения надежности и дальнейшего совершенствования методов расчета железобетонных элементов обзор эволюции нормативного подхода представляется актуальной задачей. Оригинальные обозначения параметров для удобства восприятия в старых нормативах заменены на современные.
Н-З-46. Исторически первым обоснованием железобетонных элементов являлись прочностные расчеты по допускаемым напряжениям полагая линейно-упругое деформирование. Уже в [4] требуется расчет прочности сечений по стадии разрушения. При этом надежность обеспечивается единственным коэффициентом запаса, зависящим от типа разрушения элемента и соотношения между постоянными и временными нагрузками.
НиТУ 123-55. Нормы [5] регламентируют расчеты по несущей способности, деформациям и раскрытию трещин. Единый коэффициент запаса заменен на совокупность коэффициентов перегрузки, условий работы и неоднородности материалов.
Метод предельных усилий закреплен в расчетах прочности при поперечном изгибе, допуская одновременное наступление предельных состояний бетона и всех арматурных стержней сечения. В случае совместного действия продольной силы и косого изгиба, прочность обосновывается методом "обратной поверхности",
где N - искомая несущая способность сечения при косом внецентренном
* Статья публикуется в порядке обсуждения
- = — + —
1
N Nz N.
сжатии; N - при центральном сжатии; N и N - при внецентренном сжатии в плоскостях (рох) и (уох) соответственно.
Влияние прогибов на несущую способность учитывается для элементов гибкостью ¡/ > 35. В рамках расчетов по недеформированной схеме, начальный эксцентриситет продольного усилия е0 увеличивается домножением на коэффициент п >1,
1 -
1
N
Л =-—(2)
'0
4800ЛьА ^ г
где Ль - предел прочность бетона (на сжатие при изгибе), г - радиус инерции поперечного сечения в плоскости изгиба, ¡0 - расчетная длина, А - площадь сечения.
Деформации железобетонных элементов определяются согласно теории строительной механики. Вклад растянутого бетона между трещинами в жесткость элементов учитывается коэффициентом модифицирующим
модуль упругости стали Ея. Значения приведены в табличном виде и, например, для изгибаемых элементов прямоугольного сечения находятся в диапазоне ^ = 0.39..0.99.
Ширина раскрытия трещин асгс соответствует произведению шага трещин ¡сгс на величину средних на шаге деформаций арматуры ея,
acrc = уя' г ' ¡crc. (3)
Es
Расстояние между трещинами (шаг) определяется эмпирической зависимостью:
¡crc = -а- ^, (4)
где k1 - табличный коэффициент, зависящий от ^ и /, для изгибаемых элементов - от 2.2 до 22.8, а - отношение модулей упругости стали к бетону, -диаметр арматурных стержней.
СНиП 11-В.1-62*. В следующих по порядку нормах [6] расчеты по несущей способности, деформациям и раскрытию трещин обозначены как 1-е, 2-е и 3-е предельное состояние соответственно. Расширена номенклатура коэффициентов условий работы.
Метод предельных усилий распространен на совместное действие продольной силы и косого изгиба в случае "больших" эксцентриситетов, при этом требуется совпадение плоскостей изгиба и главного момента. Уравнения равновесия формируются в локальной системе координат с началом в центре тяжести растянутой арматуры, ориентированной вдоль силовой плоскости. Уравнение моментов из силовой плоскости намеренно превращается в тождество соответствующей расстановкой стержней сжатой арматуры. При "малых" эксцентриситетах расчет осуществляется по (1), как в НиТУ 123-55.
Повышающий коэффициент п скорректирован, в знаменателе формулы (2) численная константа "4800" заменена функцией
12 -
66000 Л + 350
( 1 >
е0/Н + 0.16
+ 200 т +1
(5)
Вместо табличного определения НиТУ 123-55 для коэффициента у используется аналитическая зависимость:
1 о 1 -т
Уя =13 - я - т—, (6)
6 - 4.5 - т
где s - коэффициент, характеризующий профиль арматурных стержней и длительность действия нагрузки (s = 1.1 для периодического профиля и кратковременной нагрузки), m - отношение изгибающего момента непосредственно после образования трещин к его текущему значению.
Формула (3) для acrc изменений не претерпела, однако, значение lcrc (4) для арматуры периодического профиля уменьшено на 30%.
СНиП II-21-75. В нормах [7] расчеты по несущей способности и по пригодности к нормальной эксплуатации называются расчетами по первой (I) и второй (II) группе предельных состояний соответственно. К II-й группе отнесены расчеты по раскрытию трещин и определению перемещений.
В расчетах прочности вместо "больших" и "малых" эксцентриситетов введено понятие граничного значения относительной высоты сжатой зоны бетона £R. Если £>£R, то наиболее растянутые стержни арматуры не достигают расчетного сопротивления при предельном моменте, os < Ry. Расчет прочности при совместном действии продольной силы и косого изгиба называется общим случаем расчета (при любых сечениях, внешних усилиях и любом армировании). Напряжения в арматурных стержнях as принимаются пропорциональными удалению от нейтральной линии.
Основным способом учета влияния прогибов на несущую способность элементов принят расчет по деформированной схеме. Альтернативно элементы гибкостью l(/i > 14 допускается рассчитывать по недеформированной схеме, где формула (2) переписана в виде:
h =-1-, (7)
1 - N/N '
N =64 •Eb
' cr о
l
f
f П 11 A
0.11
0.1 + d
+ 0.1
+ a- Is
s
e J
(8)
где N0- - условная критическая сила по формуле (8), 10 - расчетная длина внецентренно-сжатых элементов, I и Ъ - моменты инерции площадей сечения бетона и продольной арматуры (относительно центра тяжести), Зе -относительное значение эксцентриситета продольной силы е0 / к, -коэффициент, учитывающий влияние длительности действия нагрузки.
Обновленная формула для вычисления ширины раскрытия трещин чувствительна к размерностям параметров,
= k hS • 20-(3.5-100 m) 3Jd~b, (9)
где асгс в мм, к - коэффициент, учитывающий вид деформаций, ¡л - коэффициент армирования рабочей зоны бетона, не более 0.02, п - коэффициент, учитывающий влияние типа профиля арматуры, с1ь - диаметр арматурного стержня, мм.
Коэффициент используется только при определении жесткости, его выражение упрощено по сравнению с (6) (СНиП 11-В.1-62*),
у. = 1.25 - . • т. (10)
СНиП 11-21-75 допускает не производить расчеты по раскрытию трещин и деформациям, если практикой применения или опытной проверкой установлено, что асгс не превышает допустимых значений и жесткость в стадии эксплуатации достаточна.
СНиП 2.03.01-84*. Нормы [8] принципиально не отличаются от предыдущих в части рассматриваемых вопросов. В формулах (8) - (10) изменились обозначения параметров с сохранением их физического смысла.
СП 52-101-2003. В нормативе [9] основным инструментом для расчета прочности и жесткости является деформационная модель. Метод предельных усилий допускается использовать только для прямоугольных сечений с двойным армированием при действии усилий в плоскости симметрии сечения (формальный запрет на применение при косом деформировании). Пособие к СП 52-101-2003 [10] (2005) допускает использование метода "силовых горизонталей" применительно к расчету прочности прямоугольных сечений при косом внецентренном сжатии (с симметричной арматурой). Расчет производится из условия (11), где показатели степени а, в зависят от уровня продольной силы и определяются формулами (3.131-3.132) [8].
С
м.
V
V М* 0 J
(М„ V
+
V МУ 0 J
= 1,
(11)
где Мг0 и Му0 - предельные моменты сечения при внецентренном сжатии в плоскостях (хоу) и (хо*) при уровне силы N а и в - коэффициенты, зависящие от геометрических размеров элемента, количества и расстановки продольных и поперечных арматурных стержней, свойств бетона и арматуры, величины защитного слоя и др.
Выражение Ысг (8) обновлено,
л, ^ Нсг = -¡2-
1о
0.15
гЕи I + 0.7-Е, Е
Ф1 -(0.3уь — ^
(12)
Положения СНиП 11-21-75 и СНиП 2.03.01-84 о возможности оценки II группы предельных состояний на основании практики применения или экспериментов аннулированы.
Коэффициент ^ в расчетах жесткости по деформационной модели принимается по формуле:
V* =-—£—, (13)
1.0 + 0.8-
где е*,сгс - деформация растянутой арматуры в сечении с трещиной сразу после ее образования, е* - средняя деформация растянутой арматуры, соответствующая рассматриваемому уровню нагружения.
Формула ширины раскрытия трещин вернулась к виду из НиТУ 123-55, дополненная рядом коэффициентов,
а*
= Ф\-Ф2-Фь
Е,
(14)
где напряжения о* определяются в рамках модели приведенного поперечного сечения с учетом площади сжатой зоны бетона, площадей растянутой и сжатой арматуры, - по зависимости:
V* =1.0 - 0.8 -
а*
а*
(15)
Формула (4) для шага трещин НиТУ 123-55 изменена и распространяется на элементы высотой сечения менее 1 м (при большей высоте 1сгс не регламентируется),
1сгс = °.5- ^ь,
(16)
где Лы - площадь сечения растянутого бетона в момент трещинообразования, Л* - площадь продольной арматуры.
£
*
а
*
СП 63.13330.2012. Нормы [1] являются актуализированной редакцией СП 52-101-2003. Норматив распространяет применение деформационной модели в том числе и на расчет асгс в части определения а.. Применение формулы (16) более не лимитируется сечениями с высотой менее 1 м.
Помимо формирующих деформационную модель положений, в пп. 8.1.2223, 8.1.25-28 требуется определенный способ реализации численного решения системы уравнений равновесия. Смысл включения требований в основной текст норм не разъяснен. Базовые положения "деформационной модели" возможно реализовать альтернативными способами без отличий результата. В нормах-аналогах БШ992-1-1 [11] и АС1 318 [12, 13] представлены только основные положения. Тем не менее, в [14] отмечается значимость различий методики СП и породивших ее работ [15] и [16].
Нормы (п.5.1.11) не ограничивают применение расчетных моделей, не содержащихся в них. Формально, если в модели так или иначе учитывается работа растянутой арматуры в трещине и работа бетона между трещинами в условиях плоского напряженного состояния, то расчет сечений находится в правовом поле норматива.
Интерпретация. Теоретической основой расчетов прочности до 2003 года являлся метод предельных усилий. Его применение в случае совместного действия продольной силы и косого изгиба упрощено условием совмещения плоскостей изгиба и внутренней пары сил в сечениях. Как следствие, сечения оптимизированы под работу на одно нагружение. При множестве нагружений, силовая плоскость может значительно отклоняться от оптимизированного направления внутренней пары, что приведет к рискованному проектному решению.
Основной способ расчетов прочности после 2003 года основан на деформационной модели, допускающей в сечении линейное распределение средних деформаций на шаге трещин. Деформационная модель также используется в расчетах по эксплуатационной пригодности в частях определения а. в трещинах (расчет асгс) и кривизн 1/р (расчет деформаций). Широкий спектр приложений модели делает ее основным инструментом современных норм.
Учет влияния поперечного прогиба на несущую способность элементов требуется осуществлять расчетами по деформированной схеме, начиная с 1975 года. Конкретного расчетного метода в нормах не зафиксировано. Расчет по недеформированной схеме допускается при гибкости ¡/ > 14. Коэффициент п зависит от условной критической силы Исг, представляющей модификацию критической силы по Эйлеру учитывающую нелинейное деформирование железобетонных элементов. Выражение для Ысг постоянно изменялось в ходе эволюции норм.
Формально расчет по деформированной схеме должен выполняться для любого сжимаемого элемента. Влияние геометрической нелинейности может быть пренебрежимо малым, в последних нормах критерий значимости эффекта отсутствует. Например, в НиТУ 123-55 учет требовался для элементов с гибкостью ¡/ > 35.
Шаг трещин ¡сгс и ширина их раскрытия асгс взаимосвязаны и напрямую зависят от распределения и значений напряжений сцепления т по контакту "бетон-арматура", что не отражено в расчетном аппарате норм. На практике значения асгс могут значительно отличаться даже в пределах одного экспериментального образца. Принимая неизбежный разброс результатов и ненадежность расчетов ширины раскрытия трещин, например, в АС1 318-14 произведен отказ от прямого вычисления асгс. Ограничение ширины трещин
обеспечивается косвенно с помощью конструктивных требований. В том числе, путем ограничения максимального расстояния между стержнями в зависимости от уровня as, регламентирования толщины защитного слоя бетона.
Вклад растянутого бетона между трещинами в жесткость элементов на эксплуатационной стадии учитывается интегрально в рамках концепции "размазанных" трещин. Диаграмма "a-s" арматуры модифицируется через повышение ее модуля Eef = Es/ys, где коэффициент щ < 1. В рамках Норм коэффициент щ пропорционален отношению as к напряжениям в момент трещинообразования as.crc. Выражение для щ изменялось в ходе эволюции норм, в последних редакциях представлены его не исключающие варианты при расчетах по деформационной модели и в рамках модели приведенного сечения.
Выводы. В ходе эволюции нормативные модели сопротивления усложнялись, при этом сохранялась возможность для "ручных" расчетов. Основным инструментом современного норматива является нелинейная деформационная модель, реализующаяся с помощью компьютерных программ.
Эмпирическая составляющая в расчетах acrc, щ и п корректировалась от редакции к редакции. Границы применимости эмпирических зависимостей не представлены. Это порождает вопросы о корректности применения тех или иных нормативных формул, особенно в сложных, не стандартных проектных ситуациях. Одним из путей совершенствования норм представляется разработка уточненных расчетных моделей, снижающих роль эмпирической составляющей теории железобетонных конструкций. Например, значение коэффициента щ на шаге трещин предлагается определять явно, вычисляя распределение напряжений сцепления вдоль контакта "бетон-арматура".
© Семенов Д.А. 2017
С п и с о к л и т е р а т у р ы
1. СП 63.13330.2012. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. Актуализированная редакция СНиП 52-01-2003.- Москва, 2012.
2. Семенов Д.А. Прочность железобетонных элементов при косом внецентренном сжатии // Вестник гражданских инженеров.- 2015.- №5(52). - С. 76—84.
3. Семенов Д.А. Влияние диаграммы бетона "a - s" на результаты расчета нормального сечения железобетонного элемента по нелинейной деформационной модели // Бетон и железобетон.- 2015. - №3(594). - С. 23—26.
4. Н-З-46. Нормы проектирования железобетонных конструкций / Министерство строительства предприятий тяжелой индустрии.- Москва, 1946.
5. НиТУ 123-55. Нормы и технические условия проектирования бетонных и железобетонных конструкций.- Москва, 1955.
6. СНиП II-B.1-62*. Бетонные и железобетонные конструкции. Нормы проектирования / Госстрой СССР. - Москва: Издательство литературы по строительству, 1970.
7. СНиПII-21—75. Бетонные и железобетонные конструкции.- Москва, 1976.
8. СНиП2.03.01-84*. Бетонные и железобетонные конструкции.- Москва, 1989.
9. СП 52-101-2003. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры, Москва, 2003. ФГУП ЦПП.
10. Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры (к СП 52-101-2003) / ЦНИИПромзданий, НИИЖБ.-Москва: ОАО "ЦНИИПромзданий", 2005.
11. EN 1992-1-1:2004. Eurocode 2: Design of concrete structures. P. 1-1: General rules and rules for buildings, Brussels, 2004. Thomas Telford House.
12. ACI 318M-08. Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary, MI, 2008. American Concrete Institute.
13. ACI318R-14. Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary, MI, 2014. American Concrete Institute.
14. Карпенко Н.И., Карпенко С.Н. О диаграммной методике расчета деформаций
стержневых элементов // Бетон и железобетон. - 2012. - № 6. - С. 20—27.
15. Карпенко Н.И., Мухамедиев Т.А., Сапожников М.А. К построению методики расчета стержневых элементов на основе диаграмм деформирования материалов // Сборник НИИЖБ "Совершенствование методов расчета статически неопределимых железобетонных конструкций".- Москва, 1987. - С. 5—23.
16. Байков В.Н., Додонов М.И., Расторгуев Б.С. Общий случай расчета прочности элементов по нормальным сечениям // Бетон и железобетон.- 1987. - № 6. - С. 16—18.
Поступила в редакцию 18 апреля 2017 г. Прошла рецензирование 5 июня 2017 г.
Принята к публикации 18 июня 2017 г.
Об авторе:
СЕМЕНОВ ДЕНИС АНДРЕЕВИЧ, аспирант кафедры «Строительная механика и строительные конструкции», Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого. Окончил Санкт-Петербургский государственный политехнический университет в 2009 году. Научные интересы: расчет железобетонных конструкций, нелинейные расчеты, аналитические модели, сцепление арматуры с бетоном, прочность, жесткость, устойчивость. 195251, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29; spb.rcsoft@gmail.com
Для цитирования: Семенов Д.А. Эволюция нормативного подхода к расчету железобетонных элементов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2017. - № 5. - С. 43—50, DOI: 10.22363/1815-5235-2017-5-43-50.
R e f e r e n c e s
1. SP 63.13330.2012. Betonnye i zhelezobetonnye konstrukcii. Osnovnye polozhenija. Aktualizirovannaja redakcija SNiP 52-01-2003, Moskva, 2012.
2. Semenov, D.A. (2015). Prochnost' zhelezobetonnyh jelementov pri kosom vnecentrennom szhatii. Vestnik Grazhdanskih Inzhenerov, 5(52). 76—84.
3. Semenov, D.A. (2015). Vlijanie diagrammy betona "a - e" na rezul'taty rascheta normal'nogo sechenija zhelezobetonnogo jelementa po nelinejnoj deformacionnoj modeli. Beton i Zhelezobeton, No 3(594), 23-26.
4. N-Z-46. Normy proektirovanija zhelezobetonnyh konstrukcij. Ministerstvo stroitel'stva predprijatij tjazheloj industrii, Moskva, 1946.
5. NiTU 123-55. Normy i tehnicheskie uslovija proektirovanija betonnyh i zhelezobetonnyh konstrukcij, Moskva, 1955.
6. SNiP II-B.1-62*. Betonnye i zhelezobetonnye konstrukcii. Normy proektirovanija, Gosstroj SSSR, Moskva: Izdatel'stvo literatury po stroitel'stvu, 1970.
7. SNiP II-21-75. Betonnye i zhelezobetonnye konstrukcii, Moskva, 1976.
8. SNiP 2.03.01-84*. Betonnye i zhelezobetonnye konstrukcii, Moskva, 1989.
9. SP 52-101-2003. Betonnye i zhelezobetonnye konstrukcii bez predvaritel'nogo naprjazhenija armatury, Moskva, 2003, FGUP CPP.
10. Posobie po proektirovaniju betonnyh i zhelezobetonnyh konstrukcij iz tjazhelogo betona bez predvaritel'nogo naprjazhenija armatury (k SP 52-101-2003), CNIIPromzdanij, NIIZhB, Moskva: OAO "CNIIPromzdanij", 2005.
11. EN 1992-1-1:2004. Eurocode 2: Design of concrete structures. P. 1-1: General rules and rules for buildings, Brussels, 2004, Thomas Telford House.
12. ACI 318M-08. Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary, MI, 2008. American Concrete Institute.
13. ACI 318R-14. Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary, MI, 2014. American Concrete Institute.
14. Karpenko, N.I., Karpenko, S.N. (2012). O diagrammnoj metodike rascheta deformacij sterzhnevyh jelementov. Beton i Zhelezobeton, No 6, 20—27.
15. Karpenko, N.I., Muhamediev, T.A., Sapozhnikov, M.A. (1987). K postroeniju metodiki rascheta sterzhnevyh jelementov na osnove diagramm deformirovanija materialov. Sbornik NIIZhB "Sovershenstvovanie metodov rascheta staticheski neopredelimyh zhelezobetonnyh konstrukcij", Moskva, 5—23 (in Russian).
16. Bajkov, V.N., Dodonov, M.I., Rastorguev, B.S. (1987). Obshhij sluchaj rascheta prochnosti jelementov po normal'nym sechenijam. Beton i Zhelezobeton, No 6, 16—18 (in Russian).
EVOLUTION OF NORMATIVE APPROACH TO ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURAL ELEMENTS
D.A. SEMENOV Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
Strength analysis of cross-sections, stiffness and cracks width calculations, P-delta analysis of strucural members are reviewed within Russian Codes. Primary calculation tool of
the modern Code is non-linear "deformation model". It is noted a saturation of normative approach by the empirical coefficients. Development of advanced models, decreasing a role of empirical component of reinforced concrete theory, is seemed to be one of the ways to Code improvement.
KEY WORDS: review of codes, analysis of reinforced concrete structures, strength, stiffness, stability.
Article history: Received: April 18, 2017. Revised: June 5, 2017. Accepted: June 18, 2017.
About the author:
SEMENOV D.A., post-graduated student of «Building Mechanics and Structures» department, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University. He graduated from the same University in 2009. Scientific interests: reinforced concrete structural analysis, non-linear analysis, analytical models, bond, strength, stiffness, stability. 195251, Saint-Petersburg, Polytechnical str. 29; spb.rcsoft@gmail.com
Semenov D.A. (2017) Evolution of normative approach to analysis of reinforced concrete structural members. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, No 5, 43—50, DOI: 10.22363/1815-5235-2017-5-43-50.
УДК 624.04
АНАЛИЗ ПРОГИБА АРОЧНОЙ ФЕРМЫ
М.Н. КИРСАНОВ, д.ф.-м.н, профессор Национальный исследовательский университет "МЭИ", 111250 Москва, Красноказарменная 14, c216@ya.ru
Геометрия плоской статически определимой фермы с двумя неподвижными шарнирными опорами задается длинами стержней, числом панелей в опорных частях и числом панелей в ригеле. Методом индукции по этим параметрам выводятся общие формулы для прогиба фермы под действием сосредоточенной и распределенной нагрузки. Символьные преобразования выполнены в системе компьютерной математики Maple. Найдены асимптотические свойства решений. Получены формулы для реакций опор и усилий в наиболее сжатых и растянутых стержнях фермы.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: ферма, решетка фермы, Maple, прогиб.
Постановка задачи. Хорошо отлаженные и проверенные численные алгоритмы, встроенные в стандартные пакеты для расчетов строительных конструкций, дают решения для широкого класса задач о напряженном и деформированном состоянии конструкций. Лидирует здесь в основном метод конечных элементов. Современные компьютеры имеют достаточно большой запас точности и быстродействия, чтобы получить численное решение различных сложных задач строительной механики. Практически параллельно с численными, хотя с некоторым запозданием, развивались и аналитические методы расчета строительных конструкций. Не всегда такие расчеты приводили к компактным и обозримым формулам, пригодным как для экспресс оценки состояния сооружения, так и для его оптимизации на этапе проектирования [1]. Несмотря на то, что даже самым лучшим аналитическим решениям недоступны те решения, которые дают численные методы, определенные преимущества аналитических решений неоспоримы. Прежде всего, это простота, надежность и точность расчетов. К этому добавляется и возможность оптимизации систем с целью уменьшения веса и увеличения жесткости, где это необходимо. Для решения задач, содержащих не только размеры и нагрузки, но и некоторое натуральное число, характеризующее сложность сооружения, например, число панелей или стержней в фермах, весьма важна способность символьных решений преодолевать "проклятие размерности", проявляющееся в неизбежном накоплении ошибок округления численных методов.
For citation:
