Эволюция гидравлической волны на мелководье порождаемой циклонической деятельность в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

[4] G.Ribakovs, A.A. Gundjian // J.of Phys.C, 1977, v.48, No. 11, p 4609-46011

[5] D. Genzov, E.Normantas // Phys. St. Sol. (b), 1976, v77, p.667-673.

[6] E. Normantas // FIP: 1982, v.16. B.4, p. 630634; E.Normantas, D.Gentsov, M.Moker // ФТП, 1982, т. 16, №12, стр.2222-2225.

[7] S.M. Ryvkin, I.Yaroshchetsky // In the book: "Problems of modern physics". L .: Science, 1980. p.262-268.

[8] F.V. Vasko // FIP, 1984, t.18, №1, p.86-92.

[9] V.I .Belinicher, FTT// 1981, vol. 23, No. 11, p. 3463-3465.

ЭВОЛЮЦИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НА МЕЛКОВОДЬЕ ПОРОЖДАЕМОЙ ЦИКЛОНИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В АТМОСФЕРЕ.

Шарый Владимир Александрович

Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург

Пайков Владимир Иванович

Кандидат физ. -мат. наук, доцент Донецкого Национального университета, г. Донецк

АННОТАЦИЯ: В работе исследуется эволюция гидравлической волны вблизи морского берега, возникающей в результате перемещения области высокого атмосферного давления в направлении побережья. В области быстрого изменения параметров движения выстраивается нелинейное решение задачи, которое затем сопрягается с линейным.

Ключевые слова. Гидравлическая волна. Высокое атмосферное давление.

ABSTRACT: The paper investigates the evolution of a hydraulic wave near the sea shore, which results from the displacement of a region of high atmospheric pressure in the direction of the coast. In the area of rapid changes in motion parameters, a non-linear solution of the problem is constructed, which then is coupled with a linear

Keywords. Hydraulic wave. High atmospheric pressure.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:

Задача решается в рамках теории мелкой воды, в которой уравнения движения формально совпадают с уравнениями одномерной нестационарной газовой динамики с показателем адиабаты к = 2. В эти уравнения вводится постоянное слагаемое, учитывающее суммарный эффект: силу сопротивления движению и силы ветра. Область высокого атмосферного давления над морской поверхностью, перемещающаяся в направлении берега, вызывает появление гидравлической волны в некоторый момент времени, который мы примем за начальный / = 0. Задача рассматривается в одномерном приближении. Предполагается что в некотором сечении гидравлической волны (перпендикулярном направлению распространения волны) известен закон изменения скорости частиц жидкости на некотором заданном промежутке времени. Примем упомянутое выше сечение волны за координат-

ПУ7 ПУ

ную плоскость , при этом ось рассматриваемой координатной системы совпадает с направлением перемещения волны, смотри рисунок.

Будем описывать движение жидкости в волне модифицированной системой уравнений общеизвестной теории мелкой воды:

ду ду 2 ■ а да ■ + у— н----— = £■ а0 ■ ^

dt dx к -1 dx

(1.1)

da da (к-1)-a dv „

— + v--+ ^----= 0

dt dx 2 dx (12).

Здесь V (X, /) - скорость движения частиц

а (х, ?)

жидкости, - скорость звука в теории мел-

а0

кой воды, 0 - начальное значение этой скорости,

^ - заданная константа, учитывающая суммарный эффект: силы сопротивления движению и силы

р - 0<^П 1

ветра, с - малый параметр задачи " ° 1,

смысл которого будет пояснён ниже. Значение скорости звука а в рамках теории мелкой воды определяется соотношением:

a2 =

dP

d (р-1 - h )

(1.3).

Здесь Р - постоянная плотность жидкости, 1 -ширина гидравлической волны в направлении оси

глу И = И (X, / )

01 , 4 ' - высота гидравлической волны

над прямолинейным морским дном. Р = Р (X, /) -сила давления воды на сечение волны в точке X :

И И

Р = |(Р -Ро)• & = \р- 1 ■ ё ■(И - 2)• & (14).

Вычисления дают Р — Р (X, / ) р• I • ^ • к2

Р — ■

(1.5).

где g — 9.8 2 - ускорение свободного / сек

2

сек

падения.

Из (1.3) и (1.5) получаем:

„2

а — g • к

(1.6).

Для системы (1.1),(1.2) зададим граничные условия на X — 0 :

/

о, /) —

е • а • —; о < / < /0 /о

-,; /о </ <к• ?о

(1.7).

(к +1)^/о ~/,

к• /0 </<(к + !)• /0

е — , где - — У (о, /о)

максимальное зна-

а,

^ — к

а( х, /,е) — еа( х, / ) + е2 а2( х, /) +... 77 ( х, /,£) — £•+- х, / )+е2 •%( х, /) +...

(1.10)

для а(х,/) и в виде следующего асимптотического разложения для М (х, /) :

М (х, /,е) — е-М (х, / ) + е2 • М2 (х, /) +..

(2.1).

Здесь М (х, /) , М2 (х, / ) имеют порядок

О (1) . Первые члены асимптотических разложений (1.10), (2.1) удовлетворяют линейной системе

уравнений:

В (1.7) /0 > о, к > 1 - заданные константы, связанные с геометрией области высокого давле-

(1.9)

(111).

Коэффициенты асимптотических разложений

(1.10), (1.11) имеют порядок О (1) . Из соотношений (1.6), (1.8), (1.9), (1.10), (1.11) следует что:

2^ а _

К-1 (112)

2. ЛИНЕЙНОЕ РЕШЕНИЕ.

, ч - ( х, / ) Введём переменную М ( х, / ) —-. В си-

ао

стеме (1.1), (1.2) перейдём к новым функциям М(х,/), а(х,/) и будем строить решение этой системы виде асимптотических разложений (1.10)

д(М -V/)

а

д

д г '2-а к-1

+ а

2 • а 7-1

дх

— о

(2.2)

■ + а

д(Мхt) _

— о

чение скорости на заданном в (1.7) промежутке времени.

Так как в задаче присутствует малый параметр е то очевидно что скорость звука а отличается от

а на малые порядка О (е) , что позволяет положить:

а — ао + а(х,/)), а(х,/) — О(е)^^

Аналогичным образом полагаем: к — \ + т\(х,/)), т\(х,/) — О(е)

Ы о дк (2.3).

Получим далее соотношение, которое выполняется всюду в области применимости линейного решения. Для этого почленно вычтем из соотношения (2.2) соотношение (2.3). В результате получаем:

д(ы1-^1 д(ы1-

I к-1) I к-1) „

"-&-) - ^ "-д^-) = о (24)

Соотношение (2.4) означает что полная производная:

М-М

, 2 •а!

-М/--1

к-1

— о

Здесь о уравнение невозмущенной поверхности жидкости. Разложим малые добавки

а( х, /) 7]( х, /) е

4 ' и 4 ' в асимптотические ряды по :

Ж (25)

вдоль характеристик системы (2.2), (2.3) удовлетворяющих дифференциальному уравнению

Жх

— -а0 . Как следует из вышесказанного, получаем:

М1 -М^КГ — С (26).

Произвольная постоянная С находится из условий на слабом разрыве х — ао • / , который распространяется по покоящейся жидкости:

М1 — а1 — М — о (27).

В итоге получаем соотношение, которое выполняется всюду в области применимости линейного решения:

2 а

——1

М - м • / —

к-1

(2.8).

Если в (2.8) в области течения положить М — о, то получим известное соотношение теории коротких волн [1]. Для построения линейного решения исключим из системы (2.2), (2.3) функцию

а (х, /)

М (х, / ) :

что приводит к волновому уравнению для

2

д2 (М-М/)_ 2 д2 (М-М-/)

д/2

— а,

дх2

(2.9).

Так как мы ищем решение виде волны одного направления, то решение (2.9) имеет вид:

М (о, /) —

г

м - м • / — г

л

/--

а,

/

—; о < / < /0

/о

1; /0 < / < к'/0

(2.11).

(к +1)'/о -/.

к'/0 </<(к +1)• /0

о )

(2.10).

Произвольная функция Г в (2.10) находится из граничного условия, которое получается из (1.7) путём разложения (1.7) по малому параметру е и имеет вид:

Вычисления дают значение произвольной функции Г :

Г (г) =

— -Мр; о</</0

/о )

1- м ; < / < к • /0

(2.12).

к + 1-\ — + Мр; к^0 </<(к +1)/

Из соотношений(2.10) и (2.12) получаем окончательно выражение для линейного решения:

М —

1

V /о

М

к +1 -

V /о

+М

)

1-М

^ х / —

^ х^ / —

V ао)

г

х

/— а

А

+ м • / — — ■

V

х

/— а

Л

х

+М^—; о</</о

о )

а

х

+м• / — 1+М•—; /0 </<к^о

о )

Л

а

о )

+ и, • / — к +1 - —

и

а

х

/--

(2.13).

а

+ м^—; к^о < / < (к+1)^ /0

о )

а

Для нахождения высоты волны, к (х, /) - ко Над невозмущённой поверхностью 2 — к0 бу-

дем использовать соотношение:

к - к0 — е •к щД х, /)

(2.14).

Отметим что выражение Щ (х, /) в функции от М1 (х, / ) получается из (2.8) и (1.12) и имеет

вид:

щ — М-м /

(2.15).

Таким образом для высоты волны к - к0 получаем окончательно:

к - к0 — е-к0 •(М1 - м/)

(2.16)

Где Мг дается выражением (2.13).

е • д — а • /-х

(3.1)

В системе (1.1), (1.2) как и при построении линейного решения прейдём к функциям М, а и будем строить решение этой системы виде асимптотических разложений (1.10), (2.1), причём коэффициенты этих разложений М1, а зависят теперь от переменных д, / первые члены этих разложений М1 (д, /), а(д, /) удовлетворяют уравнению:

д

2 • а

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕШЕНИЯ.

Линейные решения, полученные в предыдущем параграфе, в котором все возмущения распространяются с одной и той же скоростью а0 , не может давать реальной картины течения, в некоторой окрестности фронта волны порядка О (е). В этой окрестности введём новую переменную д, д — О (1) по формуле:

д(М1 - м-/) \к-1 \ =0

дд дд (32).

Интегрирование этого уравнения даёт:

М1 -м /-ка—(3.3)

где ) произвольная функция. Выберем

^ (/) — о что бы обеспечит сращивание нелинейного решения с линейным. Этот выбор даёт соотношение:

2 а

К-1 (34)'

которое совпадает с полученным выше соотношением (2.8) для линейного решения. Коэффициенты при е , того же самого упомянутого выше асимптотического разложения, удовлетворяют уравнению, которое с учётом (3.4) имеет вид:

д^И_а/—.ц-*±.м.г))—о (3 5)

д/ 0 V 2 1 2И ) дд (3.5).

Соотношение (3.5) означает, что полная производная:

М - м • / —

о

<

)

й (М -/■ г) йг

(3.6)

вдоль характеристик уравнения (3.5) удовлетворяющих дифференциальному уравнению:

йг

■ = -ап

к +1 ^ к-1 --М1---/л ■ г

(3.7).

Из соотношения (3.6) следует что:

М -/■ г = С2

(3.8).

вдоль характеристик дифференциального уравнения (3.7). При интегрировании (3.7) заменим

в этом уравнении М в соответствии с соотношением (3.8). Выполняя интегрирование(3.7) получим:

3 к +1 _ и ■г _

— +--С^г + -— = С

а 2 2 2 3

(3.9).

Знание двух интегралов (3.8), (3.9) уравнения (3.5) даёт общее решение этого уравнения:

(

М-/г=Ф

3 к+1 , д / ■ г

2\

Vao

■( М-/г )• г -

(3.10)

о •

1

М г = —

(

V

X

г — а,

Л

о у

(3.11),

1 1

где — =--и . В соответствии с принципом

г г

сращивания асимптотических разложений Ван Дайка [2], перейдём в нелинейном решении к переменным X, г , и приравняем главные части линейного и нелинейного решений, полученные при фиксированных значениях X, г этих решений при

£ ^ 0. Главная част линейного решения (3.11) совпадает с правой частью (3.11) Главная часть нелинейного решения (3.10) при £ ^ 0 и фиксиро-

'г -

а,

ванных X, г имеет вид Ф

*0

главные части линейного и нелинейного решений. Получим:

/

Ф

г - X

а„

Л

г—

г

V

а

0 У

(3.12).

Из (3.12) получаем значение произвольной функции Ф(т):

-■т

~Г (3.13).

Ф(т) =

Из соотношений (3.10), (3.13) получаем окончательно выражение для нелинейного решения:

1

М-/■ г = —

, К +1 / . £■ и

1 + ___( -/■ г )■£ + -/

г —К3.14).

Уравнение характеристик (3.9) можно записать в следующем виде:

, к +1 /■ г^ £

1 +--С — + —-

X

■г-— = С

где Ф произвольная функция своего аргумента. Выберем произвольную функцию Ф из условия сращивания нелинейного решения (3.10) с линейным решением (2.13) на промежутке

0 < г < г,

а

(3.15).

В полученном соотношении (3.15) выразим постоянные С и С в функции от параметра т, т > 0 где т момент времени зарождения характеристики на оси X = 0 . Из соотношения (3.8) и граничное условие (2.11) находим:

С2 =Т

2 г

(3.16),

где параметр т сохраняется вдоль каждой характеристики, но меняется от одной характеристики к другой. Найдём постоянную С3 в формуле (3.15) в функции от параметра т , используя условие что при X = 0 г = т. Используя это условие в формуле (3.15) получаем:

Г ,к+1 2 С = т ----т

3 2-г

£ +

/■т —

(3.17).

. Приравнивая

Используя полученные значения С2 и С в (3.15) приходим к уравнению однопараметриче-ского семейства характеристик параметра т :

к +1 /■ г г+--т г^- + ——

X

---= т + -

ап

к +1

2 г, 2 а0

Дифференцируя по параметру т (3.18) находим выражение для времени г в функции от параметра т , которое является одним из параметрических уравнений огибающей семейства характеристик (3.18):

2^ г

■т — +

/■т

(3.18).

(к+1)—■ г

2^ г

= 1 + 2^

1 +

Е± 1т к + 1 ] (319).

Для получения второго параметрического уравнения огибающей системы характеристик (3.18) следует заменить в этом уравнении г в соответствии с соотношением (3.19). Мы ограничимся только одним параметрическим уравнением (3.19) для г , так как в дальнейшем изложении огибающая не будет использована. Полагая в (3.19) т = 0 для

координаты / угловой точки огибающей, находим:

2^ /1

(3.20).

/* — ■

(к + 1)е

*

Для получения другой координаты х поло-

г\ *

жим в (3.18) т — о и заменим / на / в (3.18). Вы-

числения дают:

/

х*—а • / * ■

1+-V к +1

(3.21).

Из соотношения (3.14) находим явное выражение для М1 - /Л • / :

_2_

(К+1)

•(х - ао ^)

М

а (. / *) (к +1) •(/ -/ *) (3.22).

Обсудим поведение построенного решения для моментов времени / • / — О (1) области применимости метода малого параметра. В этой области нелинейное решение даётся формулой (3.22) и его невозможно продолжить вплоть до огибающей,

^Г1)

где / — О — \. В рассматриваемой области, кон-

\е )

станта С имеет вид:

С2 — -, о <т< /о

'л

(3.23).

х а

(

1+

к + 1 _ м(/ + т)е^

--С -----—

(/-т)

(3.24).

/

х — а^ • /

1+

/• /• е

соотношение:

11 — М1 -М / — С2

к - к —е-к ^(1 -/Л)

(3.27).

Заметим, что высота волны сохраняется вдоль каждой характеристики, но меняется от одной характеристики к другой. В частности, полученный максимум высоты гидравлической волны перемещается вдоль характеристики (3.24), где т — /0.

Очевидно, что величина скорости частиц вдоль характеристик определяется по формуле:

М1 — С2 +/•/ (3.28).

В частности, на характеристике, возникающей в момент т — /0 , величина скорости даётся соотношением:

М1 — 1 + М•(t - /о ) (3.29).

Перейдём далее к исследованию течения на интервале времени [/0, к • /0 ]. Отметим, что все основные формулы, в частности, для характеристик С остаются теми же самыми на исследуемом интервале (а также и на интервале [к • /о, (к +1) • /о J ). Для определения траектории характеристик мы по прежнему используем (3.24) в которой С2 в соответствии с граничным условием (2.11) имеют вид С — 1 - М • т . Очевидно что в соответствии с этим

выражением для

С

значение

к - к

уменьшается

от своего максимума в точке / до некоторого зна-

чения в точке

к^

Запишем уравнение характеристик (3.18) в более удобном виде:

которое отвечает значению

С — 1 -М • к^0. Отметим что мы считаем

о < М <

1

кч

. Для значения скорости частиц на

Отметим что соотношение (3.24) имеет место для всех трёх интервалов движения. Как следует из (3.24) при т — о головной фронт гидравлической волны перемещается по траектории:

2 \ (3.25).

Заметим что высота волны к - к0 (смотри

формулу(2.14)) определяется функцией 1 (х, /) по формуле (2.15) поэтому имеет место следующее

рассматриваемом интервале вычисления дают М — 1 + /(/-т). Также как это было сделано

выше на интервале [о, /0 ] линейное решение сращивается по методу Ван-Дайка с нелинейным, и в конечном итоге, нелинейное решение на сегменте

[/о, к •/о ] имеет вид:

М/ —

/ а 2 е а

х - а ——— +—

2 м

а •(к+1)е'

(3.26).

Как следует из (3.26) на фронте волны (3.25) высота волны к - ко — о. По мере роста параметра

т константа С2 монотонно возрастает и достигает максимума при т — / , что соответствует максимуму высоты волны к - к :

(3.30).

(к+1)/

Перейдём к исследованию течения на сегменте [к • /о, (к +1) • /о J . На этом интервале С2 даётся

соотношением С2 — (к +1)--,где — —

и

и

ч /1+М

. В соответствии с этим значением С2 высота волны к - к падает от некоторого значения соответствующего С2 — 1 - к • М • /о до минимального значения , отвечающего значению

2

V

C2 — — (к +1) • [ • t0 . Также как и это было сде-

лано выше, нелинейное решение сращивается с линейным и имеет окончательный вид:

Г a0 • [ •t2 ■

2-

M -[• t —

x aö • t

- + an

•( к +1 )• t2

\

a

■(K +^

t +

2^ t2

(3.31).

Для того случая когда /Л< 0 все предыдущие вычисления формально имеют тот же вид. В этом сценарии силы сопротивления превосходят силу ветра и анализ предыдущих соотношений позволяет сделать вывод что высота волны Н — Н увеличивается с ростом времени, а скорости частиц М1 уменьшаются.

Список литературы:

1. Гриб А.А., Рыжов О.С., Христянович С.А. «Теория коротких волн» Прикладная математика и механика; 1960 №1 163-174.

2. Ван Дайк М. «Методы возмущений в механике жидкости» пер. с англ. В. А. Смирнова; под ред. А.А.Никольского М.: Мир. 1967. 310 с.

У

V

MODELING SPREAD OF LIGHT IN LAYERED-HETEROGENEOUS MEDIUM

Kozhabayev Rakhimzhan

PhD (Candidate of Pedagogical Sciences) KSU n. a. Sh. Ualikhanov Shuyushbayeva Nurgul

PhD

KSU n. a. Sh. Ualikhanov Tanasheva Nazgul

PhD

KarSU n. a. Y.A. Buketov Zhumazhanov Yelnur

Master of 2-course of the faculty of natural sciences KSU n. a. Sh. Ualikhanov

ABSTRACT

The article considers the possibility of modeling the propagation of light in a layered inhomogeneous medium. The knowledge of students in the field of mathematics and informatics makes it possible to organize a new kind of educational activity, like mathematical and computer modeling, while studying the phenomenon of light propagation in a layered heterogeneous medium.

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается возможность моделирования распространения света в слоисто-неоднородной среде. Знание студентов в области математики и информатики позволяет при изучении явления распространения света в слоисто-неоднородной среде организовать новый вид учебной деятельности, как математическое и компьютерное моделирование.

Keywords: оptics, layered-heterogeneous medium, Snell's law, mathematical and computer modeling.

Ключевые слова: оптика, слоисто-неоднородная среда, закон Снеллиуса, математическое и компьютерное моделирование.

Optics of heterogeneous medium is quite extensive and completely not simple area of physics, which has a great scientific-practical importance. For electromagnetic waves of a certain frequency, the earth's atmosphere introduces layered-heterogeneous medium, the refractive index of which continuously decreases with altitude. In such environment the electromagnetic wave spreads curvilinearly, which cannot be demonstrated in laboratory conditions. Thus, familiarizing students with the physical ideas of optics of heterogeneous medium, with which they do not meet in the main course, represents big cognitive interest.

In heterogeneous medium, the idea of the propagation of light along the rays is preserved, and the geometric shape of the ray can be uniquely determined from Snell's law with limit transition way [5, a 31].

As an example, consider the simplest case, when the refractive index of medium changes in only one direction and depends on one coordinate. Such propagation of light is called layered-heterogeneous medium [3, a 84].

Imagine an optically heterogeneous medium, the refractive index n of which is a function of only one coordinate y:

n = n(y). (1)