CC BY
23
УДК 517.911, 517.968
ОЦЕНКИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ И ОПЕРАТОРОМ, НЕ ОБЛАДАЮЩИМ СВОЙСТВОМ ВЫПУКЛОСТИ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ЗНАЧЕНИЙ. Часть II
© А.И. Булгаков, Е.В. Малютина, О.В. Филиппова
Ключевые слова: дифференциальное включение с запаздыванием; импульсные воздействия; обобщенное решение; выпуклость по переключению значений.
Для дифференциального включения с запаздыванием, с импульсными воздействиями и с оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, получены оценки обобщенных решений, аналогичные оценкам В.И. Благодатских,
А.Ф. Филиппова.
В статье рассмотрена задача Коши дифференциального включения с запаздыванием, импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. Найдены оценки близости обобщенных решений к наперед заданной кусочно непрерывной функции.
В данной работе используются все обозначения и определения части I.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения с запаздыванием и правой частью, не обладающей свойством выпуклости по переключению значений
x € Ni(P\x) U N2(P2x) U ... U Nr(Prx), (1)
A(x(tk)) = 4(x(tk)), k = 1,2,..., m, (2)
x(a) = x0, (3)
где N : L^[a, b] ^ n(Ln[a, b]) — многозначные операторы Немыцкого, заданные равенствами
Nix = {z € Ln[a, b] : z(t) € Fi(t, x(t)) при почти всех t € [a, b]}, (4)
и порожденные отображениями Fi : [a, b] x Rn ^ comp[Rn] , i = 1, 2,..., r, удовлетворяющими условиям:
1) при всех x € Rn отображения Fi(-,x) измеримы (см. [8]);
2) существуют суммируемые функции li : [a, b] ^ [0, то) такие, что для любых x, y € Rn и при почти всех t € [a, b] выполняются неравенства
h[Fi(t,x); Fi(t,y)] ^ li(t)|x - y|, i = 1, 2 ...r; (5)
3) функции ||Fi(t, 0)|| : [a, b] ^ [0, то), определеные равенствами
||Fi(t, 0)|| = sup |y|, i = 1, 2,..., r,
y€F;(t, 0)
1640
суммируемы; операторы Р, : О [а, Ь] ^ [а, Ь] , г = 1, 2,..., г, имеют вид
(р,х)(о = {если € М]; (6)
I ^,(шг(£)), если ш,(£) < а,
где измеримые по Лебегу функции ш, : [а, Ь] ^ М, г = 1,2,..., г, при всех £ € [а, Ь]
удовлетворяют неравенству ш,(£) ^ £ , ограниченные функции : (-то, а) ^ Мп измеримы по Борелю; для любого к = 1, 2,..., т импульсные воздействия / : Мп ^ Мп , определены равенствами
4 х = Ад х + ^,
здесь Ад € Мгахга(М), #*. € Мп .
Определим отображение Ф : Сп[а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) равенством
Ф(х) = ^1(Р1 х) и Ж2(Р2х) и ... и N(Ргх). (7)
Тогда включение (1) будет иметь вид
х € Фх. (8)
«Овыпукленное по переключению» отображение Ф : Сп[а, Ь] ^ П(Ьп[а, Ь]) задано равенством
ф(х) = (я € Ьп[а, Ь] : ,г(£) € ^\(£, (Р1х)(£)) и ^2(£, (Р2х)(£)) и ... и (£, (Ргх)(£)) (д)
при почти всех £ € [а, Ь]}.
Под обобщенным решением задачи (1)-(3) понимается функция х € Сп[а, Ь] , для которой существует такая суммируемая ц : [а, Ь] ^ Мп , удовлетворяющая включению ц € фх , что при всех £ € [а, Ь] имеет место равенство
~ т
?(£) = хо + ф)^ + ^ Х(4к;Ь](£)А(х(£й)),
а й=1
где А(х(£д)) , к = 1, 2,..., т удовлетворяют равенству (2).
Определим отображение ф : ф + [а, Ь] ^ Ь+[а, Ь] равенством
(фх)(£) = 1(£)(0х)(£), (10)
где для каждого £ € [а, Ь] суммируемая функция I : [а, Ь] ^ [0, то) определена соотношением
1(£) = тах(11 (£), 12(£),..., 1г(£)}, (11)
здесь функции I, : [а, Ь] ^ [0, то) удовлетворяют оценкам (5), отображение 0 : ф + [а, Ь] ^
Ь+ [а, Ь] имеет вид
(0х)(£) = уга18ир х(«). (12)
«€[«,*]
Далее, зададим отображения Р, : ф [а, Ь] ^ Ь^[а, Ь] , г = 1,2,..., г, формулой
х(ш,(£)), если ш,(£) € [а, Ь];
(Р,х)(£) = 1 , ,
\ 0, если ш,(£) < а.
Так как для любого к = 1, 2, ... , т, выполняется неравенство
|4х - 4у| ^ ||А*|||х - у|,
1641
то отображение 1к : М+ ^ М+, к = 1, 2, ...,т, удовлетворяющее оценке (2) части I, имеет вид
1кХ = ||А Уж. (13)
Таким образом, импульсные воздействия 1к : К” ^ К”, к = 1, 2,..., т, обладают свойством А (см. часть I, определение 1).
Пусть множество и С [а, Ь] измеримо по Лебегу и ж, у € С”[а, Ь] . Так как имеют место соотношения
Ьь"(М)[Ф(х); Ф(у)] < i=1“12a5CrhL"(M)[Ni(Pi®),Ni(Piy)] =
= max /h[Fj(t, (Pjx)(t)), Fi(t, (P*y)(t))]dt,
г=1,2,...,г и
то согласно неравенствам (5) выполняется
(14)
h-Ln(и)[Ф(х); Ф(у)] < . m^ax Л*№1(Рx)(t) - (P*y)(t)|dt i=1,2,...,r и
= . max A(t)|(Pix)(t) - (piy)(t)|dt.
(15)
i=1’2’...’r и
В силу того, что Wi(t) ^ t, при почти всех t € [a, b] имеем
|(pix)(t) - (piy)(t)| < 0(Z(x - y))(t)
где отображение 0 : С+[a, b] ^ L+[a, b] задано равенством (12), непрерывное отображение Z : Cn[a, b] ^ С+[a, b] определено равенством
(Zx)(t) = |x(t)|.
Поэтому из неравенства (15) следует оценка
hL"(M)[^(x); Ф(у)] < . max / 1i(t)0(Z(x - y))(t)dt. (16)
i=1,2,...,r J U
Поскольку для любого i = 1, 2,..., r выполняется соотношение
max j ^(t)0(Z(x — y))(t)dt ^ / 1(t)0(Z(x — y))(t)dt, г=1,2,...,г J J
ии
то для любого измеримого U С [a, b] и любых x,y € Cn[a, b] справедливо неравенство
Ьь"(и)[Ф(х); Ф(у)] 1(t)0(Z(x - y))(t)dt, (17)
и
где суммируемая функция l : [a, b] ^ [0, то) задана равенством (11).
Таким образом, отображение Ф : Cn[a, b] ^ Q(Ln[a, b]) с импульсными воздействиями I : Rn ^ Rn, к = 1,2,...,m, обладает свойством (Ги,е’р,1 , к = 1,2,...,m) при Г : С+[a, b] ^ L+[a, b], заданном равенством (10).
Пусть для функции у € С!n[a, b] существует такая функция С € Ln[a, b] , что при любом t € [a, b] имеет место представление
t m
y(t) = y(a) + c(s)ds + X(tfc,b](t)A(y(tk)), (18)
a k=1
1642
где Д(у(£к)) , к = 1,2,...,т удовлетворяют равенству (2). Далее, пусть функция к €
Ь+[а, Ь] для любого измеримого множества и С [а, Ь] удовлетворяет неравенству
Рь™(и)[С Ф(у)] к(й)^в, (19)
и
где отображение Ф : Сп[а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) задано равенством (7), функция / € Ьга[а, Ь] из соотношения (18).
Далее, для задачи (1)-(3) найдем мажорантную оценку.
Рассмотрим задачу
у(£) = к(£) + £ + К^уХ^ ДУ(£к) = Ск(У(£к^ (20)
к = 1,2,..., т, у(а) = р,
где отображение 0 : С + [а, Ь] ^ Ъ+[а, Ь] задано равенством (12), импульсные воздействия /к : К+ ^ К+, к = 1, 2, ...,т, имеют вид (13), функция к € Ь+[а, Ь] удовлетворяет оценке (19).
Решение задачи (20) при любом £ € [а, Ь] определяется равенством
£ £ т
У(£) = Р + У (к(«) + £)^ + у ^Х0^)^ + ^ Д(у(£к))Х[*к,Ь)(£). (21)
а а к=1
Так как при любом к = 1, 2,...,т имеет место неравенство Д(у(£к)) ^ Д((0у)(£к)) ,
а правая часть равенства (21) не убывает, то из определения отображения 0 : С + [а, Ь] ^
Ь+ [а, Ь] (см. (12)) при почти всех £ € [а, Ь] вытекает оценка
£ £ т
(0У)(£) < Р + у(к(«) + £^« + ^ + ^Д((0у)(£к))Х[*ьЬ)(£). (22)
а а к=1
Из оценки (22) и теоремы об интегральных неравенствах (см. [6]) следует, что значение (0у)(£) при почти всех £ € [а, Ь] не превосходит решения задачи
у = к + £ + 1у, Д(у(£к)) = Ск(у(£к)), к = 1, 2,..., т, у(а) = р. (23)
Решение задачи (23) найдено в предыдущей статье, есть функция £(к1, £,р)(') и определено равенством (28) части I.
Таким образом, из теоремы 1 части I и приведенных выше рассуждений вытекает, что для любой функции у € С [а, Ь], удовлетворяющей представлению (18) и оценке (19), существует такое обобщенное решение ж задачи (1)-(3), удовлетворяющее для любого измеримого множества и С [а, Ь] неравенству
||9 - /IIЬ"(и) < РЬ"(и)К ф(ж)] + £^(и),
в котором функция д € Ф(ж) из представления (5) части I, а функция / € Ьга[а, Ь] из соотношения (18), что для любого £ € [а, Ь] выполняется неравенство
|ж(£) - у(£)| < С(к,£,р)(£) (24)
и при почти всех £ € [а, Ь] справедливо соотношение
|д(£) - С(£)| < к(£)+ £ + /(£){(к,£,р)(£), (25)
1643
где функция к € L+[a, b] удовлетворяет оценке (22), функция l € L+[a, b] для каждого t € [a, b] задана равенством (14), £(к, е,р) € С +[a, b] определена равенством (28) предыдущей статьи при и = к и p = |xo - у (a) | . Отметим также, что если для каждого i = 1, 2,..., r запаздывания Wj(t) = t, то приведенные оценки (24), (25) совпадают с оценками (31), (32) предыдущей статьи и в регулярном случае (без импульсных воздействий), с точностью до произвольного е > 0, совпадают с оценками В.И. Благодатских и А.Ф. Филиппова
(см. [1Ь [9]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
2. Самойленко А. М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.
3. Завалищин C. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.
4. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.
5. Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестник Удм. ун-та. Матем., механика. 2005. № 1. С. 3-20.
6. Пучков Н.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А., Коробко А.И., Корчагина Е.В., Мачина А.Н., Филиппова О.В., Шлыкова И.В. О некоторых задачах функционально-дифференциальных включений // Вестник ТГТУ. 2008. Т. 14. № 4. С. 947-974.
7. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 68. № 4. С. 1-25.
8. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. С. 480.
9. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды мат. инст. им. Стеклова. 1985. Т. 169. С. 194-252.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-97503); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.1.1/1131); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственные контракты № П688, № 14.740.11.0349, № 14.740.11.0682); темплана 1.5.10.
Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.
Bulgakov A.I., Filippova O.V., Malyutina E.V. Estimations of generalized solutions to differential inclusions with impulses and with operator not necessarily convex-valued with respect to switching. Part II.
For differential inclusion with delay, with impulses, and with multivalued map not necessarily convexvalued with respect to switching there are received estimations similar to those of V.M. Blagodatskih and A.F. Filippov.
Key words: differential inclusion with delay; impulses; generalized solution; convexity with respect to switching of values.
1644
