Энтропийные и информационные неравенства для состояний частиц с единичным спином в томографическом вероятностном представлении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.1

ЭНТРОПИЙНЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СОСТОЯНИЙ ЧАСТИЦ С ЕДИНИЧНЫМ СПИНОМ В ТОМОГРАФИЧЕСКОМ ВЕРОЯТНОСТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Я. А. Коренной, В. И. Манько

Получены новые энтропийные и информационные неравенства для матриц плотности и векторных томографических портретов состояний квантовых частиц с единичным спином.

Ключевые слова: скрытые корреляции, энтропийные неравенства, информационные неравенства, квантовая томография, спиновая томография.

Квантовые корреляции являются основой большинства квантовых технологий, таких как квантовые вычисления, квантовая криптография, квантовая телепортация, и т.д. [1].

Для классических функций распределения и классических наблюдаемых корреляции могут быть охарактеризованы информационными и энтропийными неравенствами (см., напр., [2]). Аналоги таких неравенств для матриц плотности квантовых составных систем дают информацию о наличии и степени корреляции [3-5] между подсистемами.

В работах [6-8] было показано, что квантовые корреляции, свойственные составным системам, также присущи и системам, не содержащим подсистем (неразделимым или несоставным системам). Такие корреляции предложено называть скрытыми корреляциями [9], и их также можно охарактеризовать с помощью аналогов энтропийных и информационных соотношений. Например, для матриц плотности единичных кудитов, являющихся неразделимыми системами, могут быть записаны аналоги свойства субаддитивности, свойства сильной субаддитивности или неравенства Араки-Либа [10].

Квантовая частица с единичным спином, движущаяся в пустом пространстве или внешнем поле, является типичным примером неразделимой (несоставной) системы, обладающей свойствами скрытых квантовых корреляций. В работе [11] для описания и томографии состояний этой системы мы предложили использовать неотрицательный

ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: [email protected].

девятикомпонентный векторный томографический портрет, содержащий без дублирования всю пространственную, спиновую и иную доступную информацию о состоянии системы.

Цель настоящей работы - получение новых энтропийных и информационных неравенств для матриц плотности состояний квантовых частиц с единичным спином, отражающих скрытые квантовые корреляции, и для векторных томографических портретов таких состояний.

Получим информационные и энтропийные неравенства для матриц плотности.

Состояния квантовых нерелятивистских частиц с единичным спином в общем случае могут быть описаны матрицами плотности в координатно-спиновом представлении

{Рзк (я, я',£)}

( Ри(я, я',£) Р12(я, я', ¿) Р1з(я, я', ¿)

P21(я, я'^) Р22(я, я',^) Р23я',^) V Pзl(я, я',£) Р32^ я',£) Pзз(я, я',£) )

где я = (ЯХ, Яу, Яг) - набор пространственных переменных, £ - время, а индекс ] соответствует определенной проекции спина на ось г так, что при ] = 1 = 1; при ] = 2 = 0; при ] = 3 = -1, а компоненты Рзк(я, я',£) удовлетворяют условиям эрмитовости и нормировки:

Рзк (Я, я',£)= Р*кз (я', я,£) Тг р= / ^Рзз (я, я,£) А = 1

^ з=1

и являются такими, что матрица (1) неотрицательно определена.

Поскольку набор диагональных элементов матрицы (1) по определению представляет собой совместную функцию распределения Рз-з- (я, я, £) вероятности нахождения частицы в элементе объема с заданной проекцией спина на направление г, то функция Рзз (я, я, £) удовлетворяет условию субаддитивности, которое мы можем записать как условие положительности взаимной информации

Л(*) = - 5 Рзз (я, я,£)^3 ^ 1п Рзз (я, -

- / Рзз ^ 55 Рзз (Я, А +

3 Г

+ ^ Рзз (я, я,£)1п Рзз (я, я,£) А > 0, (3)

з=1

причем это условие остается верным в процессе эволюции состояния во времени, и чтобы подчеркнуть в дальнейшем сохранение получаемых нами неравенств во времени, мы будем явно указывать время £ в качестве аргумента.

Далее введем 3 х 3 матрицу V, определив ее как частичный след матрицы плотности р по пространственным переменным

3 (£) = Тгч [рзк (я, я', г)} = у рзк (я, я, г) а, (4)

и матрицу Л, - как частичный след матрицы р по спиновым переменным,

3

Л(Я, я', £) = Тг, [р3к(я, я', £)} = ^ рц(я, Я', £). (5)

3 = 1

Так как матрица р вида (1) определена в пространстве, являющемся прямым произведением координатного и спинового подпространств, а матрицы V и Л являются частичными следами по этим подпространствам, то имеет место условие субаддитивности для квантовой энтропии (см., напр., [12])

—Тг{р(£) 1пр(£)} < —Тг{"(г)1п""(г)} — Тг(7г(£)1п(6) или условие для квантовой взаимной информации

12(г) = —Тг{рр(г) 1п"(г)} — Тг{Л(г) 1пЛ(г)} + Тг{р(г) 1пр(г)} > о. (7)

Особо подчеркнем, что каждая из операций Тг в выражениях (6)-(7) берется по тому пространству, на котором определен соответствующий оператор (матрица) плотности, и выражения (6)-(7), в общем случае, нетривиальны для практических вычислений. Однако, если задача допускает (хотя бы с необходимой точностью) переход от континуального координатного представления к какому-нибудь дискретному конечномерному представлению (например, обрезанному фоковскому), то она кардинально упрощается.

Матрицу 3(£) можно интерпретировать как матрицу плотности кутрита, поэтому ее компоненты должны удовлетворять информационным и энтропийным неравенствам, впервые полученным в работе [13] с помощью метода фиктивного разбиения на подсистемы (см. [8]) двух кубитов, суть которого заключается в следующем.

Сначала 3 х 3 матрица "3к (£) дополняется до матрицы 4 х 4 путем добавления к ней нулевого столбца справа и нулевой строки снизу. Далее, проделывается преобразование полученной двухиндексной 4 х 4 матрицы "3к (£) в четырехиндексную 2 х 2 х 2 х 2

матрицу Vjkim(t) с помощью следующего взаимно-однозначного обратимого отображения индексов: 1 о 1,1; 2 о 1, 2; 3 О 2,1; 4 о 2, 2. Интерпретируя итоговую матрицу Pjkim(t) как матрицу плотности составной системы двух кубитов, взяв частичный след по первой или второй паре индексов, получают матрицы плотности первого и второго кубита

7 Vu + V22 P13 ^ , ( P11 + P33 P12

, P2 (t) =

V31 V33 2 V21 V22

Теперь, воспользовавшись свойством положительности взаимной информации двух подсистем

I3(t) = Tri V(t)ln V(t)j - Tr {P1 (t)ln P1(t)} - (Trp2(i)ln P2(t)} > 0,

P1(t)

(9)

можно написать информационное неравенство [13] (см. также [14]) для матричных элементов матрицы (4)

( Pu P12 P13 \ ( Pu P12 Pis \

I3(t)

Tr

Tr

V21 V22 V23 V31 V32 V33

V11 + V22 V13

V31 V33

V11 + V33 V12 V21 V22

ln

ln V21 V22 V23 V31 V32 V33 V11 + V22 V13

V31 V33

V11 + V33 V12 V21 V22

ln

> 0.

:iq)

Другое неравенство для элементов матрицы (4) можно получить из условия неотрицательности относительной энтропии Н(р1(£)||р2(£)) двух состояний Р1(£) и р2 (¿), которая определяется следующим образом (см., напр., [12]):

H(P1 (t)||р2(t)) = Tr{p1 (t)[lnP1(t) - lnP2(t)]} > 0.

:ii)

Подставляя в (11) матрицы (8), получаем (здесь мы полагаем матрицы /31 и р2 такими, что относительная энтропия существует, т. е. вирр /31 С вирр р2)

Tr

V11 + V22 V13

V31 V33

ln

ln

Р11 + Р33 Р

12

> 0. (12)

Pii + P22 Pis

P31 P33 y y P21 P22

Если же supp /31 ^ supp p2, то относительная энтропия равна

Теперь найдем информационные неравенства для векторного томографического портрета состояний квантовых частиц с единичным спином, введенного в нашей работе [11].

По аналогии с построением векторного томографического портрета для частиц со спином 1/2 [15], для частиц со спином 1 мы должны выбрать кворум из девяти состояний единичного спина |о?, п?) с заданными проекциями спина о? вдоль направлений п?, которые определят девятикомпонентный деквантайзер-вектор Ы с компонентами и.?' = 1°".?, П)(о?, п? | спиновых 3 х 3 матриц. Очевидно, что набор матриц {¿¿?} должен быть линейно независимым.

С помощью деквантайзера Ы девятикомпонентная векторная томограмма определяется как [11]

^х, п, = Тг{р(*) [и>(х,п) 0 ^

(13)

где след вычисляется по всем переменным, включая спиновые индексы, и и(х,п) -агрегированное обозначение для бесспинового оптического или симплектического деквантайзера, определяемых формулами (14) или (15), х - совокупность переменных томографического распределения, п - совокупность параметров томографии.

Напомним, что если мы имеем бесспиновую квантовую систему в N-мерном пространстве (в нашем случае N = 3), то деквантайзер для оптической томографии равен (см. [16]):

Uw(X, в) = |X, в )(X, в | = IT - qn cos вп - pn^^^ , (14)

n=lV mn Unj

где mn и un - константы размерности массы и частоты, которые выбираются из соображений удобства в зависимости от гамильтониана исследуемой системы, |X, в) - собственная функция оператора X(e) с компонентами Xn = qn cos 9n + (pn sin #n)/(mnwn), соответствующая собственному значению X.

Для деквантайзера симплектической томографии имеем [17]

N

Um(X, д, v) = |X, д, v )(X, д, v | = Д 8(Xn - qnPn - PnVn), (15)

a=1

где |X, д, V) - собственная функция оператора X^, V) с компонентами Xn = pnqn + vnpn, соответствующая собственному значению X.

Каждая из компонент векторной оптической или симплектический томограмм Wj(x,n,t) является функцией распределения оператора х(п) в момент времени t при условии, что частица имеет заданное значение проекции спина на заданное направление. Следовательно, для связанных состояний компоненты вектора w(x,n,t) должны

быть интегрируемы по ¿х и должны удовлетворять неравенствам

0 < < 1, 0 <1 ¿х < 1, 3 = 1,..., 9. (16)

Выберем девять положительных проекторов спиновых состояний следующим образом:

Ы = = 1><^ = 1|, к = 0><^ = 0|, ^ = -1><^ = -1|,

К = 1><5Ж = 1|, = 0><5х = 0|, ^ху = 1><5Жу = 1|,

^ху = 0><5Жу = 0|, |SyZ = 0)<%г = 0|, ^ = 0><5жг = 0| ) , (17)

где |sj = ±1, 0> - собственная функция проекции спинового оператора на направление 3, отвечающая собственному значению ±1 или 0; и ^ху >, >, > - собственные функции проекций оператора спина на направления еху = (1/\/2, 1/\/2, 0), еух = (0, 1/л/2, 1/л/2), exz = (1/л/2, 0, 1/>/2) соответственно.

Очевидно, что при таком определении (17) деквантайзера Ы три первые компоненты вектора то^х, П, ¿) нормированы условием / wj• (х, П,¿) ¿х = 1, и функция Wj(х, П, ¿) является совместной функцией распределения спинового индекса 3 = 1, 2, 3 и набора континуальных переменных х при фиксированных параметрах п и ¿.

Введем два маргинальных распределения:

3 Г

П(х,п,^) = 5] Wj (х,п,*), Р (п,^) = Wj(х,n,í) ¿х, 3 = 1, 2, 3, (18) j=l ^

первое - для континуальных переменных х, а второе - для дискретной спиновой переменной 3 = 1, 2, 3. Из определения р(п,£) очевидно, что оно не зависит от параметра П, и мы можем написать р(п,£) = р(¿). Тогда условие субаддитивности для распределения Wj(х, П, ¿) при 3 = 1, 2, 3 будет иметь вид:

3

X

Ш^) = ^Р№р(¿) - и(х,п,*)1пи(х,п,*)¿х +

7 = 1 ^

3 /*

+ ^ / wj(х,п,^)1п wj(х,п,^) ¿х > 0. (19)

j=1

Также мы можем вывести энтропийное неравенство для всех девяти компонент векторного портрета w(х,n,t). Для этого введем формально следующее совместное (по

отношению к переменным х и j ) распределение вероятности

^(х,П,*) = 9 W(X,n,t)-, j = 1, 2,..., 9, (20)

E fwk(x,n,t) dx

к= 1

нормированное условием Е9/=1 / П?(х,П,£) ¿Х = 1, и маргинальные распределения П(х,П,^) и Рр?(¿) такие, что

9 „ „ г

П(х,п,£) = 5>?(х,п,£), Р?Ы) = РР? (¿) ^ П? (х,П,^) ¿х, ^ = 1, 2,..., 9. (21) . =1

Тогда мы можем написать условие для взаимной информации

9 ~ Г-

Ш*) = Р? № Р? (*) - П(х,П,*)1пП(х,П,*) ¿Х + ?=1 ^

9 /*

+ ^ / П?(х,П,*)1пП?(х, П, ¿) ¿х > 0. (22)

?=1

В заключение отметим, что полученные нами энтропийные и информационные неравенства отражают скрытые квантовые корреляции, присущие рассматриваемой нами квантовой системе. Эти корреляции могут быть применимы в квантовых технологиях, подобно корреляциям в запутанных состояниях составных квантовых систем.

ЛИТЕРАТУРА

[1] M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2000).

[2] A. S. Holevo, Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory (North Holland, Amsterdam, 1982).

[3] E. H. Lieb and M. B. Ruskai, J. Math. Phys. 14, 1938 (1973).

[4] M. B. Ruskai, J. Math. Phys. 43, 4358 (2002); Erratum ibid 46, 019901 (2005).

[5] M. A. Nielsen and D. A. Petz, Quantum Information & Computation 5, 507 (2005).

[6] M. A. Man'ko and V. I. Man'ko, Int. J. Quantum Inf. 12, 156006 (2014).

[7] M. A. Man'ko and V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res. 36, 301 (2014).

[8] M. A. Man'ko and V. I. Man'ko, Entropy 17, 2876 (2015).

[9] M. A. Man'ko and V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res. 36, 301 (2015).

[10] H. Araki and E. H. Lieb, Commun. Math. Phys. 18, 160 (1970).

[11] Ya. A. Korennoy and V. I. Man'ko, Int. J. Theor. Phys. 55, 4885 (2016).

[12] А. С. Холево, Введение в квантовую теорию информации (М., МЦНМО, 2002).

[13] V. N. Chernega and V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res. 28, 103 (2007).

[14] M. A. Man'ko and V. I. Man'ko, J. Phys.: Conf. Ser. 698, 012004 (2016).

[15] Ya. A. Korennoy and V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res. 36, 534 (2015).

[16] G. G. Amosov, Ya. A. Korennoy, and V. I. Man'ko, Phys. Rev. A 85, 052119 (2012).

[17] O. V. Man'ko, V. I. Man'ko, and G. Marmo, J. Phys. A 35, 699 (2002).

Поступила в редакцию 30 марта 2016 г.