Неравенство Белла в системах с числом частиц m = 2, 3, 4 Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.14

М.А. Анисимов1, А.А. Колесников1, В.И. Манько2

1 Московский физико-технический институт (государственный университет) 2 Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН

Неравенство Белла в системах с числом частиц

т = 2, 3, 4

В рамках томографического подхода в работе исследуется зависимость возможного нарушения неравенства Белла от числа частиц для суперпозиции квантовых осцилляторов вида \ф) = 1/\/2(|0}1 |0}2 + |?г}1 |и}2).

Ключевые слова: неравенство Белла, квантовая томограмма, запутанность.

I. Введение

Квантовые состояния делятся на два класса: запутанные и сепарабельные [1]. Запутанные состояния отличаются от сепарабельных, в частности, тем, что могут нарушать неравенство Белла [2]. Существует критерий сепарабельности квантовых состояний [3, 4], являющийся необходимым, но не являющийся достаточным условием сепарабельности. Проблема запутанности квантовых состояний (нахождение критерия и меры запутанности) в окончательном виде не решена до сих пор. Поэтому критерий и свойства запутанных состояний, в частности, связь запутанности с нарушением или выполнением неравенства Белла [2] для различных экспериментально реализуемых квантовых состояний, заслуживают подробного изучения. В рамках томографического подхода в работе исследуется зависимость возможного нарушения неравенства Белла от числа частиц для состояния вида

IV’) = 1/^00)! |0>2 + Iп)1 И2).

II. Запутанные состояния

(1) (2)

зорных произведений матриц ру и рк :

р = £ Рк Рк1 о Рк

(1)

с коэффициентами Рк ^ 0, удовлетворяющими условию нормировки

Напротив, состояния, не представимые в виде (1), носят названия запутанных. Примерами запутанных состояний являются состояние ЭПР пары:

IФ)ерн= (IТ) 1 О |1)г — 11)1 О 11)2)/^1 [6] — и чётные и нечётные когерентные состояния (так называемый кот Шредингера): \Ф)3с = N (\аег1р) ± \—ае~г{р))/\/2. Запутанность является одним из наиболее интересных свойств, принципиально отличающих квантово-механическое состояние от классического.

В настоящей работе рассматривается связь запутанности с возможным нарушением неравенства Белла в рамках томографического подхода [7, 8].

III. Квантовая томография

В квантовой механике состояния подразделяются на запутанные и сепарабельные [1, 5]. В частности, для системы из

(1)

двух частиц с матрицами плотности рк и

ру2 сепарабельное состояние этих двух частиц описывается матрицей плотности р, представимой в виде выпуклой суммы тен-

Помимо стандартных методов описания состояния посредством матрицы плотности и волновой функции в квантовой механике вводятся функция Вигнера \У(д,р) [9]:

W (д,р)

и симплектическая томограмма и(Х,ц,и) [7] (для двумодового случая):

ш(Х,^,и) =

Ш(д,р)5(Х — цд — ир)ІдІр, (3)

(2п)2

где ц = (^1,^2) и V = (^1,и2) — параметры симплектического преобразования. Функции (2) и (3) также полностью описывают систему и позволяют восстановить как матрицу плотности, так и волновую функцию. При этом симплектическая томограмма (3) является плотностью вероятности случайной действительной величины X и обладает всеми свойствами классической плотности вероятности, будучи действительной положительной величиной, нормированной на единицу.

Таким образом, вероятность того, что при измерении компоненты вектора X = (Х1,Х2) принимают положитель-

ные или отрицательные значения, определяется редуцированными томограммами (^):

ш++(^1^1,^2 V2) =

(ІХ-і 0 0

ІХі

ш(Хі,уі ,иі,Х2 ,^2,и2)ІХ2, (4)

и (^1,^1,^2 ,^2) =

и>(Хі,^і,иі,Х2,^2,»2)ІХ2, (5)

— ГО — ГО

причём индекс + или — для каждой компоненты вектора X соответствует знаку бесконечности в пределах интегрирования. Аналогично, следующие выражения являются вероятностями того, что Х1 и Х2 разного знака:

ш+—(^1^1,^2 V2) =

со 0

dXl и)(Х1,р1^1,Х2,р2№)д‘Х2, (6)

0 -о

Ш—+(^1,1>1,^2 V2) =

0 о

ІХі

0

и(Хі,^і,иі,Х2,^2,^2)ІХ2. (7)

Представленная конструкция вероятностей, определяемая формулами (4) — (7), годится для описания двухчастичной системы. Увеличение числа частиц в системе приводит к увеличению размерности фазового пространства О = 4 (т = 2) ^ О = 6 (т = 3) ^ О = 8 (т = 4), что в свою очередь увеличивает число возможных комбинаций при измерении знака компонент вектора X до 8 (т = 3):

и+++(№)

ІХі

ІХ2х

х

Ш(Хі,^і,иі,Х2,^2,^2,Х3,^3^з)ІХз:

^т=3 = (и+++,и++—,и+—+ ,и—++,и + .

и—+—,и+——,и———) (8):

и до 16 (т = 4):

го го а:

и++++(^,р)

ІХі

ІХ2

ІХ3х

х

П

и(Хі,^і,^і,Х2,^2,^2,Х3,^3,^3,Х4 )ІХ4.

( и++++.и—+++.и+—++.и++—+. \ и+++—.и---++.и—+— + .и+--+

т=4

и+—+— ,и—++— ,и++—--------+.

\ Ш—+——.Ш— —+—.Ш+— — —.Ш----)

(9)

Набор комбинаций для трёхчастичных (0,т=3) и четырёхчастичных (0,т=^) систем представлен выражениями (8) и (9) соответственно.

Однако неравенство Белла сформулировано для системы с числом частиц т = 2, поэтому, чтобы изучать проблему запутанности в системах с большим количеством частиц, необходимо переопределить редуцированные томограммы и±±. В данной работе мы предлагаем определять и±± как суперпозицию редуцированных томограмм из наборов (8) и (9). К примеру, предлагается использовать несимметричные комбинации:

и++(^.и) = и+++ + и++— + и—++.

и+—(^,и) = и+—+ (10)

1

0

0

0

0

0

0

0

0

для трёхчастичной системы и

ш++(^,1/) = ш++++ + ш—+++ + ш—+—++

+ш+—++ + ш++—+ + ш+++— + ш—++,

ш+_(р^) = ш—++— (И)

для четырёхчастичной соответственно. Две другие томограммы (ш_____+,ш_) полу-

чаются при замене в (10) и (11) индекса + на —.

Представленный томографический подход и сами вероятности (4) — (11) используются при выводе параметра Белла.

IV. Неравенство Белла

Эйнштейн, Подольский и Розен ещё в 1935 году обратили внимание на существование квантовых корреляций между двумя удалёнными частицами. Позже Белл из общих соображений сформулировал неравенство Белла [2], которое можно использовать для детектирования запутанных состояний. При этом нарушение неравенства Белла указывает в пользу наличия в составной системе чисто квантовых корреляций.

Существует большое количество возможных форм неравенства Белла. Такое разнообразие в основном связано с различными видами оптических экспериментов по проверке его выполнения или нарушения. В данной работе рассматривается неравенство Белла в форме СНБН (Оаивег-Ногпе-ВЫтопу-Нок) [10]. Для

удобства далее приводится анализ только для состояния двух частиц. Определим функцию корреляции, используя (4) — (7):

Е (р,и) = и++(ц,,и) — ш+_ (^) —

—ш—+(№) + и——^^.

В случае системы из двух частиц со спинами | функция Е(ц,и) определяет корреляцию проекций спинов этих частиц на различные направления. Таким образом, для четырёх возможных направлений: (р1^1), (р2V2), (^\^1), (у'2У2) неравенство Белла в СНБН форме имеет вид

В = \Е(^1,Ь'1,^2^2) + Е(^1,^'2А^

+Е(^1,^1 ,р2^2) — Е(^1,^1 ,^2,^‘2^ ^ 2• (12)

Заметим, что нарушение неравенства (12) с необходимостью свидетельствует о запутанности исследуемого состояния, в то время как при его выполнении нельзя сделать вывод о сепарабельности состояния.

Рассмотрим возможное нарушение неравенства Белла на примере суперпозиции квантовых осцилляторов вида

IV’) = 1/^00)! |0>2 + Iп)1 И2).

V. Результаты

Для состояния

IV’) = 1/^00)! |0)2+ Iп)1 |п)2)

функция Вигнера задается выражением ————2 =-----------------------^—2----х

( 2п

х ( 1 Н -(^1 — 1р1)п(д2 — Ф2),г+

\ П!

2п

Н г(?1 + ф1),г(?2 + "ф2),г + п!

+Ьп(2^2 + 2р\)Ьп(2^ + 2Р2)

где Ьп^) = е~^ (е_~лга) — полином Ла-герра. Выполнив последовательно анализ (3) — (7), получим следующий набор редуцированных томограмм:

ш++——(^) =

1 , 0) . .

_ 4 2п+1тт\ ^ ^2

+ (^1 — 1Щ)П(^2 — ,

ш+——+(№) =

1 Щ-Л 0) . .

_ 4 ~~ 2«+1тг?г! ^ ^2

+(р,1 — IV1)п (р2 — т)п),

где Нп(х) = (-1)пех2£^ (е“'т2) — поли‘ ном Эрмита. Параметр Белла для состояния |ф) = 1/\/2 (|0)1 |0)2 + |?г)1 |?г)2) представлен на рис. 1. Максимальное значение Втах для соответствующих параметров не превосходит 2. Таким образом, в рамках выполненного анализа для указанного состояния нарушение неравенства Белла не зарегистрировано.

Рис. 1. Параметр для двухчастичной

Белла В (х,у)

суперпозиции

IФ) = 1/а/2(|0)1 |0)2 + |?г): |п)2) (щ = шз(ж), и1 = 8Іп(ж), /Л2 = еОэ(2х), и2 = 8Іп(2ж), ИІ = еов(у), = вІп(у), и2 = еов(2у),

и2 = вІп(2у), п = 1)

в

Для случая трёхчастичной и четырёхчастичной систем (т = 3 и т = 4) с волновыми функциями

|Ф)ш=з = ^у^(|”')1 |0)2|0)з+

+ \0)1\п>2|0>э + \0)1\0Ь\п)з)

и

|Ф)ш=4 = -^ (10) 11 /г) 21 /г) з | /г) 4+

+ \п)1\0)2\п)з\п>4 + \п)1\п)2\0)з\п>4 +

+ \п)1\п)2\п)з\0>4)

и набором несимметричных комбинаций

(10) и (11) параметр Белла представлен на рис. 2а (т = 3) и рис. 2б (т = 4) соответственно. Обнаружено нарушение неравенства Белла с максимальным значением Втах ~ 2,26 (т = 3) и Втах ~ 2,06 (т = 4).

Ж

Рис. 2. Параметр Белла В(х,у) для систем (а) |Ф)т=3 (рі = еов(х), иі = 8Іп(х), /л2 = ехр(2у), V2 = ехр(—у/5), Из = ехр(3х), из = ехр(—х/3), иі = ехр(5х), и/1 = 0,2, И2 = еов(2у), и2 = віп(у/5),); (б) |^)т=4 (Иі = еов(х), иі = вІп(ху), И2 = ехр(х2), и2 = вІп(2у), Из = 1п|ху|, и3 = ху, = х2, и4 = у2, Иі = 8Іп(ехр(у2)), иі = ехр(х2у2), = 1/х + 1/у, и'2 = 8ІпЬ(х),

п = 1)

VI. Заключение

Подводя итог выполненного анализа, укажем, что для двухчастичного состояния нарушение неравенства Белла не зарегистрировано. Напротив, для состояний \Ф)т=з и \Ф)т=4 в рамках представленного способа определения редуцированных томограмм (10), (11) зафиксиро-

вано нарушение неравенства Белла. При этом найденное максимальное нарушение _Е>тах ~ 2,26 не превышает критерий Ци-рельсона 2^2 [11].

Литература

1. БсНгбв,гпдег Е. // Маїитіввеп-эеЬайеп. — 1935. — V. 23. — Р. 807.

2. Bell J.S. On the Einstein Podolski Rosen Paradox // Physics. — 1965. — V. 1. — P. 195.

3. Peres A. Separability criterion for density matrices // Phys. Rev. Lett. -1996. — V. 77. — P. 1413.

4. Horodecki M., Horodecki P.,

Horodecki R. Mixed-state entanglement and distillation: is there a «bound» entanglement in nature? // Phys. Rev. Lett. — 1998. — V. 80. — P. 5237.

5. Баргатин И.В., Гришанин Б.А. [и др.]. Запутанные квантовые состояния атомных систем // УФН. — 2001. Вып. 6. — С. 625.

6. Einstein A., Podolsky B., Rosen N. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? // Phys. Rev. — 1935. — V. 47. — P. 777.

7. Mancini S., Man’ko V.I., Tombesi P. Symplectic tomography as classical approach to quantum systems // Phys. Lett. A. — 1996. — V. 213. — P. 1.

8. Mancini S., Man’ko V.I.,

Shchukin E.V., Tombesi P. A tomographic

approach to quantum nonlocality //

J. Opt. B. — 2003. — V. 5. — P. S333.

9. Wigner E. On the quantum correction

to the thermodynamic equilibrium //

Phys. Rev. — 1932. — V. 40. — P. 749.

10. Clauser J.F., Horne M.A.,

Shimony A., Holt R.A. Proposed experiment to test local hidden-variable theories //

Phys. Rev. Lett. — 1969. — V. 23. — P. 880.

11. Cirel ’son B.S. Quantum

generalizations of Bell inequality / /

Lett. Mat. Phys. — 1980. — V. 4.

P. 93.

Поступила в редакцию 29.12.2008.