CC BY
26
УДК 539.21
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР УЗКОЩЕЛЕВЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КВАНТОВЫХ ТОЧЕК
Ш. У. Нуцалов, А. П. Силин
Получено уравнение, определяющее спектр электронов и дырок в узкощелевой полупроводниковой квантовой точке. Для малых значений момента уравнение решено численно.
В последнее время в связи с проблемами миниатюризации приборов полупроводниковой электроники и оптоэлектроники существенно вырос интерес к теоретическому и экспериментальному исследованию квантовых точек [1-5].
Квантовая точка представляет собой нанометровое включение одного полупроводника (с меньшей щелью) в другом и является квазинульмерной системой, в которой движение носителей квантовано по всем направлениям. Последние достижения полупроводниковой электроники позволяют вырастить квантовые точки из различных полупроводников (в том числе и узкощелевых) и различных размеров (обычно ~ 10—100 А) [6, 7].
В настоящей работе для исследования энергетического спектра узкощелевых квантовых точек мы используем двухзонное приближение, которое хорошо описывает соединения типа
А1УВУ1
и качественно может использоваться для соединении типа [8]. Более точная трехзонная модель полупроводника, лучше описывающая полупроводники группы алмаза и цинковой обманки, не может, по-видимому, дать принципиально новых результатов, однако существенно усложняет расчеты. В рамках используемого нами подхода квантовую точку можно описать с помощью дираковского гамильтониана Я, в котором роль скорости света играет матричный элемент скорости межзонных переходов V [9].
ЯФ = (г>7°7 ■ р + 7°Д(г) + У(г))Ф = ЕЧ>, (1)
где Ф - биспинор, 7°, 7 - матрицы Дирака, р = —¿V - оператор импульса (для краткости мы положим Н — 1); 2А - ширина запрещенной зоны и V - работа выхода, которые могут изменяться в пространстве.
Энергия носителей тока в рассматриваемой нами модели слабо зависит от формы (шар, цилиндр, куб и т.д.), поэтому мы рассмотрим упрощенную сферически-симметричную модель квантовой точки в виде шара с радиусом г0 из одного полупроводника с параметрами и, Д, V — 0, заключенного в другом полупроводнике с параметрами VI), До > А > 0, Подобная система для случая инвертированных зон (АДо < 0) была рассмотрена в работе [9]. Влияние конечности энергетической щели на энергетический спектр было рассмотрено в работе [1] для случая До >> Д.
Решение уравнения Дирака в сферическом случае характеризуется числами у, /, т [10]:
Я«ад,т(г) = г), (2)
где ](] + 1), /(/ + 1), т - собственные значения квадрата полного момента, квадрата орбитального момента и проекции момента соответственно.
Мы ограничимся рассмотрением уровней размерного квантования
Е2 > Д2, (Е - V)2 < А20, (3)
приграничных уровней
Е2 < Д2, (Е - V)2 < Д2 (4)
и опустим менее интересный случай непрерывного спектра
Е2 > Д2, {Е - V)2 > Д2. (5)
Решение уравнения Дирака удобно записать в следующем виде [10]:
,Т> СИ - ( Ч>Ы,т(Г) \ _ ( 9(Г)Ъ,1,т(п) \
Ф^Лш(г) = п = 7ПП / \ > (Ь>
\ ХЕ,1,1,т(г) ) \ г/(г)П^,та(п) )
где п = г/г, /' = 2] —I, - шаровой спинор [10], д{г), /(г) - радиальные функции,
связанные соотношением
,, . « ( „ , , 1 + ч , Л / -(/ + 1),;' = /+!
/(Г) = ЁТА^У (9{Г) + —9{Г)) ' 77 = { =
(7)
После квадрирования уравнение Дирака сводится к
■(Е-У)2-А2 77(7/ + 1)
д"(г) + -д'(г)+д(г) г
V2 г2
= 0, (8)
решение которого можно выразить через цилиндрические функции [8, 10]. Используя граничные условия [1, 9 - 11] — 0) = + 0), легко получить уравнения,
определяющие уровни размерного квантования
Е + А
"оРо К^фого)
Е + Ао-У К„+Мг0)
(9)
(10)
</|ч+1|(/5г0) рг0
и приграничные состояния
у~Р = УоРо
Е + А 1^фг0) Е + А0-У К^фого)'
где
р = ±у/Е* - Д2, Р = -ч/Д2 - Е\ р0 = —л/Д2-(£-V)2. (11)
V V 1>0
Исследование уравнения (10) показывает, что приграничные состояния существуют только при ДДо < 0, то есть только для инвертированных зон [9]. Отметим также, что в квантовых точках отсутствуют приграничные состояния нового типа [12], что является следствием того, что в квазинульмерном случае отсутствует свободное дви жение носителей тока, определяющее наличие этих уровней. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только уровней размерного квантования.
Рассмотрим подробнее случай У — 0, V = Так как электроны, которым соответствуют положительные решения уравнения (9), и дырки, которым соответствуют отрицательные решения, находятся в одинаковых потенциальных ямах, их спектры должны быть идентичными. В то же время уравнение (9) не симметрично относительно замены Е на — Е. Это противоречие не сложно разрешить. Уровень с заданным ] расщеплен (/ = ] + 1/2, г] = — ] — 1/2 и / = ] — 1/2, г] = ] + 1/2). Напомним, что I не имеет смысла момента, а только определяет орбитальную четность состояния. Можно показать, что отрицательные корни уравнения (9) при / = ] + 1/2 равны по модулю положительным корням при I = ] — 1/2 и наоборот. Таким образом, спектры электронов и дырок различаются лишь порядком заполнения уровней с заданным ], поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением только электронного спектра.
Состояние с j = 1/2 расщеплено [(/ = 0, г/ = —1) и (/ = 1, г] = 1)] и определяется уравнениями, полученными из (9):
£ + д V Рго) Е + А0-У\ р0г0/
для / = 0, Г] = — 1 и
¿Г <1з)
для / = 1, Т} = 1.
Состояние с ] = Ъ ¡2 тоже расщепляется на два. Случаю / = 1, г) = — 2 соответствует уравнение
и/3 / /Зг0 3 ^ у0 г1Р1 + 3г0/30 + 3
£ + Д Vl-/fr0ctg(/?r0) /Зг0/ г0(£ + До-Ю го0о +1
а случаю / = 2, г) = 2 - уравнение
и/3 / /Зг0 3 V1 (го^о + 3гоА> + 3
(14)
(15)
£ + Д V1 - /3г0с1ё(/3г0) /Зг0у (£ + До - V) \ го/Зо(гоу9о + 1) )
Как известно, в нерелятивистском случае мелкая и узкая потенциальная яма (11а2 < 7г2Я2/8т, 11 - глубина ямы, а - ее размер, а т - масса электрона) не создает ни одного связанного состояния [13], подобное явление имеет место и в нашей задаче. В уравнениях (12) и (13) связанные состояния отсутствуют при г0^/До — Д2 < тг^у (для уравнений (14, 15) простого условия найти не удалось). Можно показать, что первым электронным уровнем всегда является з-состояние, то есть уровень ] = 1/2, / = 0.
Таблица 1 Значения энергии электронов в квантовой точке с параметрами 8 = 1/3, р = 10
п 1 2 3 4 5 6
j = 1/2 / = 0 1.042 1.160 1.336 1.551 1.792 2.050
j = 1/2 1=1 1.085 1.236 1.436 1.666 1.797 2.182
j = 3/2 I= 1 1.069 1.206 1.399 1.630 1.885 2.155
j = 3/2 1 = 2 1.146 1.334 1.559 1.805 2.064 2.329
Для удобства численного решения уравнения (12-14) приводились к безразмерному виду введением параметров р = r0A0/hv, 6 = А/А0, = Е/А0. Результаты численного решения уравнений (12-15) приведены в таблице 1 (в таблице приведены значения величины е, п нумерует уровни с заданными I и j). Мы также оценили энергетический спектр квантовых точек InxGai-xAs размером г0 = 150 А в матрице GaAs, которые
экспериментально изучались в работе [14]. Используя для оценок значения параметров 2А = 690 мэВ при х = 0.6, 2Д0 = 1410 мэВ, v = 0.93ио = 1.2 • 108сж/с [15], мы получили значения, лишь качественно (правильное чередование энергетических уровней) совпадающие с результатами эксперимента.
Причины несовпадения в основном состоят в том, что экспериментальное значение х, которое определяет энергетический спектр, известно с малой точностью. Это связано с диффузией атомов Ga из матрицы GaAs в квантовые точки [16], в результате которой геометрия квантовой точки и ее квантовая яма имеют существенно более сглаженную форму, чем рассматриваемая нами.
В работах [16, 18] изучались сходные квазинульмерные системы - сверхатомы. Сверхатом с зарядом Z - это включение из более широкозонного полупроводника (содержащее Z донорных атомов) в матрице узкозонного полупроводника. Как показано в этих работах, разрыв первого рода центрально-симметричного потенциала в нерелятивистском уравнении Шредингера приводит к тому, что в достаточно узкой потенциальной яме уровень 2s может оказаться выше уровня 2р, а уровни в сверхатоме вырождены по направлению спина. В работе [19] получено, что минимальную энергию могут иметь также и /-состояния. Отметим, что в нашем случае это вырождение снимается, а "пересечение" термов сохраняется. По таблице 1 видно, что следующим после основного состояния является уровень j = 3/2, / = 1, то есть р-состояние.
Настоящая работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 00-02-17529) и стипендии им. JI. Д. Ландау, предоставленной KFA Forschungszentrum Jülich GmsH.
ЛИТЕРАТУРА
[1] П е ч е н и к Л. Е., Силин А. П. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9-10, 63 (1995).
[2] G о u г 1 у P. L. Nature, 371, 571 (1994).
[3] N о г t z е 1 R., Temmio J., Tamamura Т., et al. Europhys. News, 27, 148 (1996).
[4] К 1 e i n D. L., Roth R., Lim А. K., et al. Nature, 389, 699 (1998).
[5] В а н д ы ш е в Ю. В., Днепровский В. С., Е к и м о в А. И., и др. Письма в ЖЭТФ, 46, 10 (1987).
Heller W., Bokelmann U., Abstreiter G. Phys. Rev., 857, 6270 (1998).
Lee H., L о w e - W e b b R., Yang W., et al. Appl. Phys. Lett., 72, 812 (1998).
Волков Б. А., И д л и с Б. Г., У с м а н о в М. Ш. УФН, 165, 99 (1995). И д л и с Б. Г.," У с м а н о в М. Ш. ФТП, 28, 767 (1994).
Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М., Наука, 1969.
Силин А. П., Ш у б е н к о в С. В. ФТТ, 40, 1345 (1998). К о 1 e s n i к о V А. V., L i р р e г h e i d e R., Silin A. P., Wille О. Europhys. Lett., 43, 331 (1998).
Ландау JI. Д., Л и ф ш и ц E. М. Квантовая механика. М., Наука, 1989. Bayer M., Stern О., Hawrylak P., Forchel A. Nature, 923, 405 (2000).
Sai-Halasz G. A., Chang L. L., Veiter J.-M., et al. Sol. St. Commun., 27, 935 (1978).
Garcia J. M., M e d e r i о s - R i b e i r о G., Schmidt К., et al. Appl. Phys., 71, 2014 (1997).
A h д p ю ш и h E. A., Быков A. A. УФН, 154, 1 (1986). Андрюшин E. A., Силин A. П. ФТТ, 33, 1 (1991). L о s h i t a T., О h n i s h i S., О s h i y a m a A. Phys. Rev. Lett., 57, 2560 (1986).
Поступила в редакцию 27 декабря 2000 г.
