CC BY
26
УДК 537.311.33
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР УЗКОЩЕЛЕВЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КВАНТОВЫХ НИТЕЙ
В последнее время значительно вырос интерес к исследованию оптических и транспортных свойств низкоразмерных полупроводниковых гетероструктур. В частности, одномерные структуры - квантовые нити (КН) представляют интерес как с точки зрения фундаментальной науки (возможно образование сильно коррелированного электронного состояния - латтинджеровской жидкости [1, 2], наблюдение эффекта Кондо [3] и осцил-ляций Ааронова-Бома [4]), так и в связи с применением в новых поколениях приборов микро- и оптоэлектроники (например, создание одномерного полевого транзистора на полупроводниковых нанотрубках [5] и нанометровых переключателей [6]).
КН представляет собой квазиодномерную систему, в которой движение носителей тока заквантовано по всем направлениям, кроме одного. Последние достижения полупроводниковой технологии позволяют выращивать КН различных размеров (обычно диаметром ~ 10 — 100 А) из различных полупроводников (в том числе и узкощелевых).
В настоящей работе для исследования энергетического спектра узкощелевых квантовых нитей мы используем двухзонное приближение, которое хорошо описывает полупроводниковые соединения типа А4 В6 и качественно может использоваться для соединений типа А3В5. В рамках такого подхода квантовую нить можно описать с помощью гамильтониана дираковского типа, в котором роль скорости света играет матричный элемент скорости для межзонных переходов [7]:
О. Г. Коробкин, А. П. Силин
В двухзонном (дираковском) приближении эффективной массы рассчитана зависимость энергетических уровней квантовой нити от ее радиуса и высоты потенциального барьера.
ЯФ(г) - (у707 • р + 7°А(г) + У(г)) • ОД = ЕУ(г),
(1)
где 7м - матрицы Дирака; р = —¿V - оператор импульса (для простоты мы положили И = 1); 2А(г) - ширина запрещенной зоны и У(г) - работа выхода, которые могут изменяться в пространстве; V - кейновский матричный элемент скорости; 7 = {7г,72,73}-
Рассмотрим упрощенную симметричную модель квантовой нити в виде бесконечного цилиндра радиусом г0 из одного полупроводника с параметрами До, И) = О, заключенного в другом полупроводнике с параметрами и, Д, V, причем До < Д.
Подобная система для КН в случае инвертированных зон рассматривалась в работе [8] и для узкощелевых полупроводниковых квантовых точек в работе [9]. В рассматриваемом случае в цилиндрических координатах (г, </?, г) уравнение Дирака имеет следующий вид [7, 8]:
ф(г) = 4=ехр(п°73^/2) ■ Ф(г) • е^яЯ+Мч,\
у/г
7°7 гург + 7°72у— + 7°7 Зур2 + 7°Д(г) + У(г) г
Ф(г) = ЕФ(г).
(2) (3)
Здесь М = ±1/2, ±3/2,..., рТ = —гдт - оператор импульса по г,рг - импульс свободного движения по оси КН (.г). Выбирая следующий вид матриц Дирака:
УУ =
/ 0 0 0 1 ^
0 0 1 0 0 2
77 =
0 1 0 0
V1 0 0 0 \
^10 0 о ^ 0 10 о 0 0-10 \ о о о -1 /
(4)
и представляя биспинор Ф в виде Ф = , получим систему уравнений, которая после квадрирования дает уравнения Бесселя на компоненты (р = у/г • ) для определения энергетического спектра КН:
„■■ + 1«. + ¡Р-УГ-р-» - .. . о,
' +у + (1*-*)'-/..'-* _ .ш = о.
Решение этих уравнений внутри (г < г0) и вне (г > г0) КН имеет следующий вид:
(5)
при г < г0 : ^о у/г
' НгЧо) V.
о)/' °
"о
при г > г0 : ./Vл/г I уУ Ь = ^-.
(6.1) (6.2)
Здесь I — М — = М + а через а, ао, N и N0 обозначены неизвестные константы, которые надлежащим выбором фазового множителя всегда могут быть сделаны вещественными. Они определяются из нормировки и условий сшивания волновых функций на границе КН при г = г0. Сшивание [10] конечных решений приводит к трансцендентному уравнению, определяющему зависимость энергии КН от параметров квантовой нити, а также М и р2.
Уо
Е2 — р2Ур — Ар (МГ^Е*-Р1У1-АЦУ0) _ МГО^Е2-Р1У%-А20/УО)\ -(Е - V)2 +р1у2 + А2'{ - р2гу2 - АЦуо) Мг^Е2-^у2-АЦу0))
Кг,(гоу/-(Е - V)2 + р\у2 + А2/у) К<(гоу/-(Е - V)2 + р\у2 + А2/у) ~ Мг0^/-(Е - V)2 + р\у2 + А2/у) + Ке{гоу/-(Е - V)2 + р\у2 + А2/у)'
В дальнейшем мы ограничимся симметричным случаем у — у0, V = 0 и будем для определенности рассматривать только положительные значения Е, соответствующие электронным состояниям (дырочные состояния получаются при смене знака Е). Перейдем от симметричной "релятивистской" энергии Е к "полупроводниковой" е, отсчитываемой от дна зоны проводимости (Е = А0 + с), введем глубину потенциальной ямы и = Д — До, эффективную массу р, = Ао/ь2 и безразмерный параметр, характеризующий взаимодействие валентной зоны и зоны проводимости а = А0/и (в однозонном приближении а = оо) и перейдем к безразмерным величинам:
е0 = е/и, р = ^у/^и, ро = р2у/и. (8)
Тогда энергия электрона в квантовой нити
еГЫ = ^р20 + а2 + 2а(пМ - а (9)
будет определяться безразмерным энергетическим параметром СяМ, который является п-корнем трансцендентного уравнения
I С (МруК) МрУО \ _Ке(ру/1 + 2/а + С) | Ке{р^1+2/а + () V 1 + 2/а-С \ Мру/0 Мру/О/ Ке(ру/1 + 2/а + С) + 2/а + С)
(Ю)
Настоящая работа выполнена при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант 00-025-17529).
Рис. 1. Зависимость параметра энергии С,пм от безразмерного радиуса для случая М = 1/2 и различных значений а(а = 1, а = 10 и а = 0.1).
ЛИТЕРАТУРА
[1] V о i t J. Rep. Progr. Theor. Phys., 58, 977 (1995).
[2] С a б a и н о в В. А. Изв. РАН, сер. физ., 66, 220 (2002).
[3] N у g a г d J., С о b d е n D. Н., and L i n d е 1 о f P. E. Nature, 408, 342 (2000).
[4] Ведерников А. И., Говоров А. О., 4 a п л и к А. В. Изв. РАН, сер. физ., 66, 212 (2002).
[5] Tans S. J., V е г s с h n е г е n A. R. М., and D е к к е г С. Nature, 393, 49 (1998).
[6] Git tens D. I., Bet hell D., S с h i f f г i n D. J., and N i с к о 1 s R.J. Naturte, 408, 45 (2000).
[7] Волков В. А., И д л и с В. Г., У с м а н о в М. Ш. УФН, 165, 799 (1995).
[8] И д л и с Б. Г., У с м а н о в М. Н. ФТТ, 28, 767 (1994).
[9] Н у ц а л о в Ш. У., Силин А. П. Краткие сообщения по физике ФИАН N 3, 11 (2001).
[10] Силин А. П., Ш у б е н к о в С. В. ФТТ, 40, 1345 (1998).
Поступила в редакцию 3 декабря 2002 г.
