Энергетический метод в форме Тимошенко-Ритца для определения критических сил осевого сжатия круговой цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Энергетический метод в форме Тимошенко-Ритца для определения критических сил осевого сжатия круговой цилиндрической оболочки. В.В. Литвинов, Б.М. Языев

(Ростовский государственный строительный университет, г.Ростов-на-Дону)

Энергетическим методом в форме Тимошенко-Ритца решена задача устойчивости круговой цилиндрической оболочки при равномерном осевом сжатии. Рассмотрена осесимметричная форма выпучивания оболочки в процессе потери устойчивости и осесимметричное исходное состояние, а так же осесимметричное докритическое состояние в процессе обжатия. Полученное решение в точности согласуется с решением Лоренца-Тимошенко известным как классическое.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку радиуса й и высотой Н, свободно опирающуюся на плоскость и нагруженную по верхнему краю равномерно распределенной погонной нагрузкой t (рис.1.). Предполагаем возможность свободного расширения оболочки в радиальном направлении. Тогда исходное докритическое состояние рассматриваемой оболочки будет осесимметричным при отсутствии бесконечно малых изгибаний и при удовлетворении тангенциальным граничным условиям. Исследуем осесимметричную форму потери устойчивости оболочки, используя для этого энергетический критерий устойчивости в форме Тимошенко-Ритца.

Хз

Рис.1.

В силу малости различий высоты оболочки перед выпучиванием Н и после выпучивания Я]_ будем их отождествлять. Об изменение же этой высоты в процессе обжатия оболочки вообще можно было бы не говорить, так как это изменение является величиной еще более высокого порядка малости.

Деформация оболочки до выпучивания (в процессе обжатия) характеризуется ее мембранными компонентами: осевой деформацией £° и окружной деформацией £°,причем

с-0 — НС-0

гг — —^£г .

При осесимметричной форме потери устойчивости цилиндрической оболочки её поведение вполне определяется радиальным перемещением точек срединной поверхности w, для которого можно принять тригонометрический ряд

ппх3

™ ^ ап вт

П —1

(1)

Сближение краев оболочки после выпучивание можно определить по известной формуле

1 ? /Э»\2 (2)

а—21 \щ) Лхз •

0

Деформация оболочки после выпучивания характеризуется кроме мембранных компонент ^и £2 изменением кривизны её срединной поверхности в осевом направлении *1, которая подсчитывается по формуле

*1 — -

д2 w дх2

Таким образом, можно говорить о компонентах добавочной деформации, появляющейся в результате потери устойчивости оболочки. Найдем эти компоненты.

2

п2 V-1 ппх3

*1 — ^2 апп2з[п'

н

п—1

Мембранные компоненты добавочной деформации £1 и определим из

геометрических соображений, используя рис.2, где показано поперечное сечение цилиндрической оболочки до и после выпучивания.

СО

Рис.2

Из подобия криволинейных треугольников имеем

№

Тогда

№

¿1 — -^ — -р— .

Потенциальная энергия деформации, сопровождающей выпучивание оболочки при потере устойчивости приведена в [1] и имеет вид:

П — 2(1““^ Ц ^(£1 + £2)2 - 2 (1 - М)^2]^ Ц *2 ^

ОТ (Ю

где ц - коэффициент Пуассона;

Е - модуль упругости материала оболочки; к - толщина оболочки;

Ек3

О = - цилиндрическая жесткость оболочки.

12(1 -Д2)

Переходя от интегралов по площади к интегралам по высоте оболочки, получим

н н

пИЕк Г , , / / Г

П — ________ I ГГ г с ^2 __ (1 _ IЛ с с 1 /■/ V. тг О П I -то2

(1 _ 2) / [(£1 + £2)2 - 2(1 - ^)^1^2]^^3 + кИО I *2 йх3. 00

! !

Подставляя в первый интеграл вместо £^и е2 их выражения через радиальное перемещение w, после упрощений получим:

н н

пЕк Г Г

П — I ш2 dx3 + пИО I *2 ^х3 .

00

Работа внешних сил представляем собой работу равномерно распределенной нагрузки ^ совершаемую в процессе сближения краев оболочки на величину Д, то есть

А — 12пИД

или с учетом (2)

н 2 дю'

А = {"к/ ^ ёх3 .

03

Полная потенциальная энергия системы определяется выражением

Э — П - А,

поэтому в данном случае будет

н н н „

пЕк Г Г Г(дw\

Э — —— I ш2 ^х3 + пИО I *2 йх3 - ЫЯ I I-—) dx3.

0 0 0 3

Используя принцип минимума полной потенциальной энергии системы, можно записать

дЭ

= 0 (s = 1,2,3,...)

das

или в более развернутом виде

н н н

дЭ 2nEh Г dw Г д^1 Г dw д (dw\

-— = —-— I w -— dx3 + 2nRD I — dx3 - 2tnR I -—-— I ~—) dx3

das R J das j das j dx3 das \дх3/

0 0 0

(s = 1,2,3,...)

Здесь

dw snx3

— = s in——; das H

d^1 s2n2 , snx3

= 2 - S Ж' ;

das H2 H

dw n ST1 nnx3

dxx;=ñLann cos—-

3 n =1

П V-1

= hLa"

n = 1

д / dw\ sn snx3 das Vdx3) H C0S H '

Производя все необходимые в подынтегральных выражениях подстановки и объединив первые два интеграла, получим

От H

дЭ 2n^ (Eh n2s2n4 \ f nnx3 snx3

= — l an \^- +------——RD I I sin—~—sin 7J dx3 —

das Н Lu Мй Н4 J Н Н

п =1 0

ОТ Н

Znsn2 Г ппх3 snx3

an ? R I cos—— cos——dx3=0

Н2 J Н Н

п =1 0

( s = 1,2,3,...)

Имеющие здесь место интегралы обладают следующим свойством:

H Í0 при n ф s

nnx3 s n x3

I sin sin dx3 = 4^

0 npun = s

H f0 при n ф s

nn x3 s n x3

J cos^-cos^j-dx3 = < H

0 npun = s

дЭ

Учитывая это, в выражении для -—от каждой суммы следует оставить

das

по одному члену, в котором n = s, то есть

дЭ [Ек 5%4 \

— лНаЛт -^—КО)-^

52П 2

~Н2

■Я — 0

В этом случае

или

(5 — 1,2,3,...).

—

Н2Ек 52п 20 +

5 2 и 2

Я2 Я2

(5 — 1,2,3,...)

/ ЕН2 52п 2\

уй2Бб2п2 + кН2 )

(б — 1,2,3,...).

Для получения критической нагрузки как наименьшей из возможных минимизируем полученное выражение по — исходя из условия

н

— 0,

которое дает

5П Е Н3 \

М| 2 — - 2„.„ , „ ) — 0.

кН И2И 53п3

Отсюда

и далее

44 5 4 П 4

Ек

Н4 Д2£

5 2 п2 1 Ек

~НГ — '

С учетом последнего из выражения для после несложных преобразований получим критическую нагрузку

—

Ек2

(3)

«73(1 -д2)

Полученное решение задачи в точности согласуется с решением Лоренца-Тимошенко, известным как классическое [2].

Следует отметить, что данное решение справедливо при любой длине оболочки. Это объясняется принятым характером исходного состояния, то есть при отсутствии даже бесконечно малых изгибаний и тангенциальных граничных условиях.

Нельзя, однако, утверждать, что полученное здесь решение определяет вообще наименьшую критическую нагрузку. Оно определяет таковую лишь в пределах реализации осесимметричной формы потери устойчивости цилиндрической оболочки. Для длинных же оболочек следует ожидать реализации не осесимметричной потери устойчивости. Поэтому для полного решения задачи следовало бы снять ограничения о симметрии, что вообще говоря, выходит за рамки, намеченные в этой работе.

Литература

1. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. - М., Изд-во МГУ, 1969

2. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек.- М., Изд-во «Наука», 1971.