CC BY
162
Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении
В.В. Литвинов, Б.М. Языев, А.Н. Бескопыльный Ростовский государственный строительный университет
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку, нагруженную равномерным внешним давлением Й , при тангенциальных граничных условиях. Такая оболочка может деформироваться без удлинений и сдвига срединной поверхности (деформацией оболочки в процессе обжатия здесь пренебрегаем).
При потере устойчивости поперечное сечение оболочки принимает эллиптическую форму (рис.1).
Рис.1
Рассмотрим деформацию половины поперечного сечения оболочки (рис.2).
Рис.2
На рис.2 через Т обозначено погонное сжимающее усилие, через ;1^а - изгибающиймомент при °я = 0 , появляющийся в результате выпучивания оболочки.
Перемещение произвольной точки оболочки при её выпучивании, как видим, вполне определяется двумя компонентами: радиальным перемещением и
окружным перемещениемОдной компонентой, например, радиальным перемещением можно задаться хотя бы в виде ряда:
Связь между перемещениями г и нг определяется условием нерастяжимости срединной поверхности в окружном направлении при выпучивании, то есть условием е* = 0- Как приведено в работе [1]
1 / дv
1 дт \
■ = «Ы:+В'>
и далее
Подставляя сюда (1) и интегрируя, окончательно получаем
V = ^ а„ —5тпаг. (2)
Потенциальная энергия деформации при выпучивании оболочки будет иметь вид:
П =
§//«!<€
(р)
где ае| изменение кривизны срединной поверхности круговой цилиндрической оболочки в окружном направлении, определяемая по формуле
*1
дг\ч
я2\д4+ л
а так как
Э5и-'
да,
то
Л■ .
=■=" Л апП‘
созпа-,
Приступая к составлению выражения работы внешних сил, примем следующее допущение о поведении нагрузки: внешняя нагрузка носит
гидростатический характер, то есть при выпучивании оболочки остается направленной по нормали к деформированной поверхности, а её интенсивность Ч не меняется.
На основании этого допущения добавим к работе, совершаемой нагрузкой Я на радиальных перемещениях и не учитывающей влияние поворота нагрузки
при изменении кривизны, работу так называемой фиктивной радиальной нагрузки, учитывающую это влияние.
Этот известный прием введения фиктивной нагрузки позволяет записать выражение работы внешних сил в виде
Здесь фиктивная радиальная нагрузка по формуле
(3)
(4)
где
Т, -
докритическое окружное погонное усилие в оболочке.
А так как в процессе выпучивания оболочки сжимающее усилие Т считаем не меняющимся, то есть Т = ~^1> то для определения Т используем одно из уравнений равновесия безмоментной теории оболочек, а именно:
(5)
где для цилиндрической оболочки, нагруженной только внешним давлением, погонное усилие, направленное вдоль образующей цилиндра = ^ радиус кривизны цилиндра вдоль образующей ^1 = °°* радиус кривизны в окружном направлении Я я = /7.
Таким образом, из уравнения (5) следует = а значит
Учитывая, что Яп — Ч , а также (3),(4) и (6), получим
Таким образом, полная потенциальная энергия системы будет иметь вид:
или
Переходя от интегралов по площади к интегралам по координате получим
Используем теперь условие минимума полной потенциальной энергии системы
дЭ
да,
= О,
на основании которого 30,
да
дЭ г™ 30, Г Зи/ , Га /дЯ, диЛ
= 2ННО \ \32^-^с1ая + 2цЯН I -—йа2-цП*Н\ (^-^и-г+03-—]ёа, Л да3 * Л да3 1 ^ Л даБ}
= О
& = 1,2,3........).
Здесь
да
= созза2.
Производя в интегралах все необходимые подстановки, получим
дЭ 2 НО
АП и ^ г
= у ап(п* - 1)(я - 1) I соз'пагсо55а2йа2 +-
И П=1
& = 1,2,3........).
Обращаем внимание на следующее свойство интегралов, входящих в полученное выражение
созпа- соз5£г2 \ со5загйаг = 0.
зэ
да.
Таким образом, в выражении для
" ' :от каждой суммы остается лишь по одному
члену си=^и исчезает второй интеграл
ЭЭ тгНО , _ _ „ у _ ч л
~ г)‘ ““ЯкНаЕ{5* - 1) = 0
(5 = 1,2,3,... I
откуда
(7)
Из формулы (7) при
3=2
цилиндрической оболочки
30
ЕкЕ
получим значение критического наружного давления для
(8)
Нэ 4(1-^1)Да
Это решение совпадает с формулой для критического давления, полученной Брайаном и которую еще называют формулой Грасгофа-Бресса, однако в данном случае оно свободно от каких-либо ограничений в отношении длины оболочки.
Литература
1. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. - М., Изд-во «Высшая школа», 1963г.
