CC BY
29
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ МЕТОД ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Е.А. ЛАРИОНОВ, д-р техн. наук, проф.
В.И. РИМШИН, член-корр. РААСН, д-р техн. наук, проф.
Н.Т. ВАСИЛЬКОВА, аспирант
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московская государственная академия коммунального хозяйства и строительства», 109029, Москва, Ср. Калитниковская ул., д. 30
В работе для оценки ресурса устойчивости сжатых продольной силой железобетонных элементов используется энергетический метод.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: устойчивость, жёсткость, критическая сила
Известно, что сжатый осевой силой P(t) стержень теряет устойчивость прямолинейной формы при
P(t) = PKV (t), (1)
где величина Ркр (t) критической силы существенно зависит от его
изгибной жёсткости Д(0.
В случае центральной силы согласно Эйлеру
Г * ^2
Ркр (t) = 7- Д(t), (2)
V 7oHk
В формуле (2) /0 - длина стержня при P(t) = 0; /лк отражает влияние краевых условий и для шарнирно энертого стержня цк = 1. В классической постановке полагается инвариантность жёсткости по продольной координате и отсутствие эксцентриситета /0 приложения силы P(t).
Зависимость жёсткости Д(у, X) нормальных сечений ^ стержня от их напряжённо деформированного состояния, от коррозионных повреждений бетона и арматуры, а также от величины /0, учитываемая в нелинейной постановке, приводит к значительному уменьшению резерва устойчивости железобетонного стержня.
Поскольку жёсткость Д(у, X) максимальна при Р(1) = 0 и М (у, X) = 0
(изгибающего момента внутренних сил в сечении Еу), а минимальна когда Р(1) = Рпр (X) и М(у, X) = Мпр (у, X), то в качестве критической жёсткости, отвечающей Ркр (X), принимается величина
Дкр (у, X) = Д о(Г )|1 - а(Г) В равенстве (3)
а(Х) = 1 -
Ркр) + М (у, X)
Рпр (X) Мпр (у, X)
Дпр (X)
Д о(( )
(3)
(4)
где Д0^) - максимальная жёсткость сечения, а Дпр (X) её жёсткость, отвечающая предельному изгибающему моменту Мпр (X) при Р(1;) = 0;
Ж2 ж
V10 )
Рпр (X) = — Д 0 (X) - эйлерова сила Рэ (X) при М (X) = 0.
В работе [1] оценка Ркр (X) получена на основе принципа возможных перемещений в модификации Бубнова-Галеркина, приводящему к уравнению
/- Д (у, X )f *
ж
V10 )
• жу п* , ч
sin — + Р (X)
1
, -* . жу 10 +т sin у
ж
sin — уёу = 0 (5) /
Наличие ^ ^ 0 приводит к зависимости искомой критической силы от амплитуды f * прогиба
* Г* Ж
и = т sin — у,
/ 10
позволяющей определить Т* и Р* (X) . Звёздочкой отмечены рассматриваемые
величины при коррозионных повреждениях.
В процессе решения многих прикладных задач при поиске оценок соответствующих величин более простым оказывается энергетический метод. В качестве примера успешного применения этого метода отметим способ Рэлея оценки величины основной частоты колебаний
Wп (X )
со (X) =
Wk (X)
(6)
где Wп (X) и Wk (X) максимальные значения потенциальной и кинетической энергии.
В данной работе предлагается энергетический способ оценки величины Ркр (X) с учётом коррозионных повреждений. Его физическая сущность в
2
рассматриваемом вопросе заключается в том, что энергия Жи ) изогнутой балки рассматривается как результат работы Л^) критической силы Ркр (^) на её перемещении S при изгибе [2]
Жи () = А($). (7)
Рис. 1. Интерпретация к вычислению перемещения при е0 = 0 Величина S является разностью между длиной I и проекцией изогнутой
линии на ось 0v
i
S = J ds ,
о
где ds = dv - dv cos a = 2sin2 (a / 2)dv.
Поскольку при малых a имеем a ~ u1, то ds а потому
(8)
V 2 J
dv и s = — 2
i /
2 J (u' М-,
/
A(t) = - Ркр (t) J(u' )2 dv
(9)
. ж
и с учётом, что u(t) = f sin — v, имеем
A(t)=2 Г 71Р-
f7Jj Рк (t)f' jcos2 i-vdv = 4 Г7) Р, (t)f2 (t) .
Энергия изогнутой балки
W (t) = 2\д(t)X2(t)dv,
(10)
(11)
где кривизна ^(t) = u " (t) = f * J f (t)sin * v и
W (t) = 11 * 1
2 V I
ч 4 I
J f2 -JД^)■
' n
1 - a
P (t) Ркр (t)f sin
v
Рэ (t) Мпр (t)
>sin2— dv , (12)
r /
wu (х)=1 íf i • piwf2
1 - a
PKp (t) SfP (t)а
- + -
Рэ (t) 3п • Mnp (t)
(13)
Согласно энергетическому балансу с учётом (10) и (13) получим
Р^ )
Ркр (t) =
s , Рэ (t)
1 + а + — /ап
3п 0 МпР
и для нахождения Ркр (X) необходимо определить максимальный прогиб Т .
В приложениях интересен случай, когда сила Ркр (X) исчерпывает несущую способность М * (X) изгибаемого стержня, и тем самым
M*(t) = Ркр (t)f ,
а тогда согласно (13) и (15)
Ркр (t) =
1 - 8а|Рэ
1 + а
Р (t) [(3п - SДmax + SДmin )] ,п Д
Ркр (t) - -„ „---Г1Т1 Д m
(15)
(16)
(17)
3ж(2Дтах - Дтт ) V I При е0 ^ 0 выкладки несколько усложняются, однако как раз наличие эксцентриситета позволяет кроме энергетического равенства (7) вывести из него соотношение, из которого сначала определяется критический прогиб Т
стержня, а затем и Ркр (X) .
Условие е0 ^ 0 влечёт дополнительное к величине S перемещение S1 точки приложения Ркр (X)
i
S1 -1 dsx
(1S)
где
ds - —
1 í l0 l0 cosa i
l0 2 sin'
f ^ sin a sin a ) Используя (19) с учётом
■ |dv -
„ . 2 a a 2sin — cos— 22
M (v, t) - Ркр (t)
ж
l0 + / sin — v 0 J l
l0 и d
f
/ п п и и - — cos—v,
приходим к соотношению между Ркр (X) и Т (X):
Рэ (t) - aPpp (t)
1 + a-
l
- + -
8Р
Мпр (X) 3ж • Мпр (X)
и, дифференцируя обе его части по Т, находим
f
(19)
l l
4l l2
0 • Ркр (t) + Ркр (t) (20)
nzf
f -
J кр
l
лМ
3 Мр (t)lo
2 (Дmax Дmin )
S0
2
Таким образом
Рр (t) =
Рэ (t)
" кр
1 4/0/2
1 + А + a
кр
/ 8Р f
1 + l0 +__э-> кр f
Мр (t) з* - Мр (tу
(22)
Следует отметить, что в [1] дифференцированием по / равенства, аналогичного (20), получена оценка
f = 7
J кр
Ж
3М (t)/0
пр\)0 (23)
2(Дmax - Дmin )
Поскольку из выражений (21) и (23) явствует, что f кр > f кр, то согласно формуле (22) получим
Ркр (t) < Ркр (t) (24)
и оценка (22) в аспекте конструктивной безопасности более предпочтительна оценки Р5кр (t), полученной в [1].
Уточнение (24) обязано учёту работы внешних сил на перемещениях второго порядка малости ds и dsx, а именно этот учёт характерен и принципиально важен в задачах, связанных с явлением потери устойчивости [2].
Коррозионные повреждения бетона и арматуры значительно уменьшают их жёсткость и несущую способность М *(t) и, согласно формулам (17) и (22), существенно снижают силовой резерв сжатого железобетонного элемента по устойчивости.
Л и т е р а т у р а
1. Бондаренко В.М., Римшин В.И. Усиление железобетонных конструкций при коррозионных повреждениях. - М.: МГАКХиС, 2008. - 87 с.
2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1979. - 560с.
ENERGY METHOD OF ESTIMATION OF STABILITY OF PRESSED REINFORCED CONCRETE ELEMENTS
Larionov E.A., Rimshin V.I., Vasilkova N.T.
An energy method is used for the estimation of resources of stability of reinforced concrete elements pressed by longitudinal force
