Устойчивость сжатого стержня с учётом диссипации энергии Текст научной статьи по специальности «Физика»

Расчеты на устойчивость

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ С УЧЁТОМ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ

Е.А. ЛАРИОНОВ, д-р техн. наук, профессор Московский государственный строительный университет, 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; vmat@mgsu.ru

В нелинейной постановке энергетическим методом оценивается продольная критическая сила, влекущая потерю устойчивости железобетонного стержня. При этом учитывается как диссипация его энергии сопротивления силовому нагружению и воздействию окружающей среды, так и податливость его нормальных сечений деформациям сжатия и сдвига.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: диссипация, критическая сила, бифуркация, жесткость.

1. Оценка устойчивости элементов строительных конструкций приводит в частности к задаче определения продольной критической силы N.(0, при которой железобетонный стержень теряет прямолинейную форму равновесия. В базовом случае шарнирно-опертого стержня длины I, сжатого центральной силой N, критическая N. сила согласно Эйлеру определяется формулой

N = {п/I )2 Д (1)

При этом изгибная жёсткость Д стержня полагается постоянной по длине I и инвариантной от силы N. и трансформации прямолинейной формы равновесия в форму, задаваемую кривой ы(у) = f $,тпу/1. Вследствие статистического распределения прочностей ) и бетонных и стальных волокон, объединением которых являются компоненты стержня, усилие N. (V) разрушает все волокна с прочностями и'ь(V) < ик(V) и (V) < ик(V) , где и.(V) = N.(V)/А ; А = Аь + Ах; Аь и Ах - площади нормальных сечений компонент. Способная к сопротивлению (работоспособная) часть стержня обладает изгибной жёсткостью Др (V) < Д(V). Однородность стержня вдоль длины влечёт независимость

Др (0 от V.

В линейной постановке все волокна стержня предполагаются целыми в процессе сжатия стержня и трансформации прямолинейной формы равновесия в криволинейную форму, что равносильно отсутствию диссипации энергии по соотношению

Ж(0 = Фц (0 = ф м (0, (2)

где Фц (V) - потенциальная энергия стержня, равная работе Ж(V), затраченной на его сжатие; Фи (V) - потенциальная энергии изогнутого стержня.

На самом деле часть Ж (V) работы Ж (V) затрачивается на разрушение волокон и

ж (0 = Фц (V)+(О, (3)

Согласно (2) и (3) при оценке критической силы N. (V) за основу примем концепцию эквипотенциальности

фц ^) = фи ^ К (4)

равновесных форм стержня.

Поскольку диссипация энергии Фц (t) при бифуркации форм равновесия

возможна лишь вследствие разрушения ещё некоторых целых к моменту t волокон, то концепция (4) означает сохранение работоспособной части стержня и, следовательно, его изгибной жёсткости Др (t) = J • Ел (t, t0) в результате этой

бифуркации. Инвариантность величины Др (t) является ключевым моментом

при оценке Nk (t), ибо позволяет её определение и в нелинейной постановке как в классическом случае Эйлера рассмотрением частного решения u(v) = f srnnv/l дифференциального уравнения

Др (t)u " + Nk (t)u = 0, (5)

влекущему оценку

Nk (t )u = (я/1 )2 Др (t), (6)

2. Итак, задача оценки Nk (t) сводится к определению жёсткости Др (t)

при центральном сжатии в момент t бифуркации равновесных состояний, и поскольку

Др (t) = ДрЬ (t) + Дрх (t), (7)

то найдём жёсткости компонент стержня относительно оси OX, проходящей через центр тяжести приведённого сечения.

При совместной работе относительные деформации компонент стержня равны и

( ) = ^ (t )S0(t)

^t0)= EEb(t,bo) :

(tt ) = ^ (t) S°(t)

'(t, to )= E (t, to)

Еъ (t, to ) =

Е (t, t o ) =

1

Еъ (t) 1

+

C*(t, t)-J ^J C (',T) dz

(t) dz

E. (t) + ~*

ч r [z]ac*(t,z) ,

C* (t, t) -J—^—

(t) dz

(8) (9)

(io)

где Еь (t) и (t) - модули мгновенных упругих деформаций; Съ (t,т) и С* (t,т) - меры простой ползучести в момент t при нагружении в момент z ; S¡(t) = Аъ/Аъ (t) и Ss0(t) = Ав! (t) - функции нелинейности напряжений. При аъ(z) = а„(z) = ак(0 :

Еъ (0 „,,,4 Е (t)

Еъ ( ^ to ) = ■

-, Е (t, to) =

1 + Еъ (t) C*(t, t0)' *V' ^ 1 + E (t) C*(t, to)' Величины Еъ (t, to) и Es (t, to) - временные линейные модули, а

Ч (', to)

(11)

Ec (t, to) = = Еъ (t, to)So(t) и Ec (t, to) = ^^ = Et (t, to)S°o(t)

SV)

^ъ о ^(0

- временные секущие модули компонент.

Обозначая Jъ и J х моменты инерции компонент относительно оси ОХ, получим

Др(0 = JbEb(^^¡(^ + JsEs(^= Дъ(^¡и) + (^0(0 = Д(^0(t), (12)

где

S 0(t) =

Дъ (t )Sb0(t) + Д. (t )S.0(t) Дъ (t) + Д. (t)

(13)

o

Согласно (6), (12) и (13):

N.(V) = (Я //)2 50(t)Д(V). (14)

В расчётах использованы функции

(V) = 1 + V [сть (V)/ Ъ (V)]", (V) = 1 + [^(V) / Я, (V)]" , (15) где Уь, ац, ть и т¡, - эмпирические параметры. Критическая сила

N. (V) = N (V) + Ns (V), (16)

N.(V) = N. (V)Аь / (Аь + ), ^(V) = N. (V)/ (Аь + ), (17)

где

Согласно (7), (15), (16) и (17) получим уравнение относительно Nk (t) :

N (t) = |y

n

JbEb (t, t)

JE (t, t)

1+V

Nk (t)

.(A + As) Rb (t)

1 +V

Nk (t)

( A + As) Rs (t)_

(18)

Для бетона обычно полагают ть = 4. При целых ть и т5 решением соответствующего алгебраического уравнения одним из стандартных способов определяется величина

4. В [1], [2] оценка (1) получена энергетическим методом, основанным на равенстве (4) потенциальных энергий в равновесных состояниях. В линейной постановке величина Ф равна работе силы N.(V) на её перемещении [1], [2]

а энергия изгиба

1 1 2 М = -j[u'(v)] dv, u'(v):

77 1 2

Ф- = Дí[u' (v)] dv ,

dv

(19)

(20)

и равенство (4) при u (v) = f sin nv /1 влечёт оценку (1).

Если, следуя подходу [1], [2], полагать, что энергия Фм(t) равна работе приложенной к работоспособной вплоть до момента t части (I) стержня силы Nk(t) на перемещении Д1, то соотношение

i 2 1 i 2 Nk (t)j[u' (v)] dv =1 Др (t)j[u" (v)] dv,

(21)

0 0 также приводит к оценке (6).

5. В работе [3] оценка N.(0 получена модификацией энергетического подхода из [1].

При этом величина Фц(0 определяется как работа силы N¡0 на обратимой части

Л/об (V) = Коб (ОД/(V), (22)

перемещения Д/(0, где Коб (V) - коэффициент обратимости деформаций.

Приложенная мгновенно в статическом смысле сила N.(1) порождает напряжение <у. (V) = N. (V) / А и в единице объёма стержня совершает работу:

ВД = ^(VИV) , (23)

равную площади прямоугольника 0АВЬ (рис. 1)

Удельная потенциальная энергия равна площади прямоугольника 0АСс:

2

m

m

^k (t)

Рис. 1. Удельная работа и потенциальная энергия

фщ(t) = ^(t)so6(t) = ^(t)Ko6s(t) = ^ • Кб(t) A (t)

l

и согласно (24):

фц (t) = А1фщ (t) = Nk (t) Кб al(t).

ц у/ ' ' * k V 7 об

Поскольку энергия изогнутого стержня

1 \ N, (t)u2 (v)dv

Фи (t) = 1J kW У)

(24)

(25)

(26)

2 о Д(t)

то в силу (4) с учётом (19) и u(v) = sinnv /1 получена [3] оценка:

Nk (t) = Коб (n /1)2 Д(t), (25)

6. Для бетона и стали с завершёнными физико-химическими процессами становления коэффициенты КобЬ(t) и Koñs(t) обратимости их относительных

деформаций совпадают соответственно с величинами S°(t) и S°(t), а потому

коэффициент Коб (t) обратимости относительной деформации s(t) = Al(t)/1(t)

совпадает с величиной S0(t).

Таким образом, с учётом (14) оценки (6) и (27) идентичны.

7. В работе [3] нахождение Фц(0 связывается с удельной работой W2(t) при разгружении, равной площади треугольника o^ (рис. 1)

W2(t) = ^k (t Кб (t)) /2. (28)

Соответствующая W2(t) потенциальная энергия

Фцр (t) = AlW2(t) = Ф ц (t)/2 (29)

и равная Фц(t) работа на перемещении Л1о6(0 реализуется силой Nk (t) = 2Nk (t). Это означает, что величина продольной силы, влекущей потерю устойчивости прямолинейной формы стержня зависит от способа его нагружения.

Следует заметить, что при бифуркации форм равновесия разгружение не происходит и они соответствуют двум возможным видам напряжённо-деформированного состояния, порождаемых усилием Nk(t).

8. Наряду с диссипацией энергии при силовом деформировании и коррозионные повреждения компонент стержня снижают значение критической силы.

Согласно концепции эквипотенциальности (4) имеет место оценка

N*(t) = (n /1)2 Д'р(t). (3o)

В (3o) в соответствующих величинах учтены и коррозионные повреждения. Инвариантность жёсткости Д (t) при бифуркации равновесных форм, вытекающая из равенства (4), значительно облегчает её нахождение. Приведём

с

оценки величин Д (V) и N1^) для стержней с круглыми и прямоугольными

> р у / ~ к'

нормальными сечениями (рис. 2).

Аг А к в В

А © о.

/ q © II

51 „ 3 5

X II 0 р о

II I

д с

Д С,

Дз

ь

Рис. 2. Схема послойных коррозионных повреждений

Кольцо III и часть III прямоугольника А2В2С2Д2 вне прямоугольника А1В1С1Д1 - сечения полностью повреждённых зон толщины 5*:

Кольцо II и часть II прямоугольника А1В1С1Д1 вне прямоугольника АВСД -сечения частично повреждённых зон толщины б . Круг I и прямоугольник АВСД (часть I) - сечения неповреждённых коррозией зон стержней.

Полностью повреждённые зоны стержней не оказывают силового сопротивления и их жёсткости равны нулю.

Изгибные жёсткости неповреждённых зон компонент стержней определяются формулами:

(31)

Д ) = Jpb • ЕсЬ (V, ДI ^) = JpS • Еа (V, t0);

(32)

где JрЬ и Jps - моменты инерции компонент относительно осей 0Х и 0У;

ЕсЬ (V, V,) = (V, t0)/« (V) - секущие модули компонент; ЕЬ (V, t0) и (V, t0) - временные линейные модули бетона и стали; и - функции нелинейности напряжений бетона и стали.

Полярный момент инерции круга с диаметром d = 2р равен Jоb = лр4 / 2 и Jbx = Jbyжр4 / 4, а для прямоугольника АВСД Jbx = 4рqъ /3 и Jby = 4qp3 / 3 . Моменты инерции арматуры относительно центральных осей 0Х и 0У

п п

а =У Л.у2, J =У Л.х2, (33)

3Х г ' зу 31 г ' V /

1=1 1=1

где Ля - площадь нормального сечения г-ой её части.

Согласно (31) - (33) изгибные жёсткости неповреждённых зон относительно осей 0Х и 0У:

/, , ч / Л , Г7 /V ^ Л

Д>) х = лр4 ЕсЬ (V, to) / 4 + Ез (V, ЛЛ2

i

Д%(0Х = 4рq3Ecb(V,to)/3 + Еа(V,Л^2,

i

Д ^) у = лр4 ЕсЬ (V, to)/4 + Е3 (V, ЛзХ ,2,

i

Д(V)у = 4qpъEcЪ(V,to)/3 + Еи(V,ЛяХ,2 .

(34)

(35)

(36)

(37)

Функция повреждений К*(С, t) бетона описывает изменение интенсивности коррозии в переходной зоне II и вводится как множитель в соотношении

Е*(С,^ = К (С,t)ЕЬ^),

(38)

где Еь ^) - модуль мгновенных упругих деформаций, а С = Р или ^ = х или £=у. Поскольку Е;(р + 5,0 = Е;(д + 5,t) = 0 , а Е*(р,t) = Еь^) и Е*(q,t) = Еь^), то

К*(р + 5) = 0, К *(р) = К = 1,

(39)

а вследствие

dE'ь (С, t)

.¿Е* (с, t)

С=р

= 0.

С=9

dК(С, t)

d К (С, t)

С=р

=0.

(40)

С=ч

Аппроксимируя К (С, t) многочленом второй степени по С и, используя для нахождения его коэффициентов условия (39) и (40), получим

к -о-1)=1 )2+5 - 52

К (х,о = 1 + 5. _

р ) 2 рх х

5

К (у,0 = 1 ]2 + 25У-£.

(41)

(42)

(43)

Величины фь (0 = Еь (ОС (t, t0) и ^ (t) = Е, (ОС, t0), где Сь t0) и С, (t, □ меры ползучести компонент в момент t при нагружении в момент t0, являются параметрами силового деформирования и инвариантны от коррозионных повреждений, а потому

с^,t0) = Сь(t,д/K•(t), c;(t,t0) = Сt0)/К*(С,t). (44)

В силу (38) и (44) для временного модуля полных деформаций бетона в переходной зоне получим:

Е0;(С, t, О = К *(С, t) Еь (^ О. (45)

Для стали при С = х1 или С = полагаем

К*( х,, t) = о,,, (t), К'( у, t) = о,,, (у), (46)

где о,, - коэффициент коррозионного снижения расчётной площади арматуры.

Поскольку прочности всех бетонных и стальных волокон на уровне С ослабляются в равной мере, то функции «¿^) и ) инвариантны от коррозионных повреждений.

Изгибная жёсткость кольца II относительно осей 0Х и 0У

Д Р1 ^) = 7 К V Ор^Р

«ь V )

а всего сечения яЕъ (^ t0)

Дpl(t) = ■

)

р+5

+^ ^АС

р- + | К (р,0р3йр

+

Е, (}, t0)

)

Е ас2

(47)

(48)

где С, = У,; С = Ук или С, = Х,.; С = Хк .

4

Для определения изгибной жёсткости переходной зоны II прямоугольного сечения относительно осей 0Х и 0У необходимо найти величины Д1, Д2 и Д3 для прямоугольников FF1G1B; BG1B1L1; ВL1L2Q, обозначенных на рис.1 как (1), (2) и (3). С учётом (45) и (46) получим:

д* (+) = ЕЬ (, О Д1х (0 = «?(0

9+б

р) к •( у, о у Чу+

«V)

ЕМ)

«ь°(0

Еъ (V, to)

Л

Д*у(0 = 5\[7к*(у,^у х2А + Е^АХ

Ъ V-/ 0 V 9

р+б ^ 9+б

2

Д2*у(V) = б | | к•(у,V)dy

Д2*х (V) = Еъ (t, to)

Р V 9

9+б ( р+б

К'(х, V)хЧх + Е^АХ

Л

)

Д' (V) = ЕЪ(t,to)

к (у, V)у2dy +

Л

Д3*у (V) =

б | | К*( х, V^х

9 V Р

9 ( р+б

б| | К*(х, V)с1х

0 V Р

Еь(ЛО /Г , Ез^to)

)

)

Ез (V, to)

у dy +

)

Е (V, to)

2

«V)

'9 | к•(х,V)х2Л+Е«0(М

р

Складывая соответствующие величины, находим:

Д'Р2 (V)х =

4 Еъ (V, О 3«°(0

р9 + Е ЛX2 + 4 (Д1х + Д2х + Д3х ) , •(t) ;

ДР 2(t)у = ^ЙШг 9рр + Е 4Х + 4 (Д1у + Д2у+Д3,).

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

-"-"ъ У

При Ъ < h очевидно Д 2(t)у < Д 2(t)х и критической будет сила

N.(V) = л2/12Д*)у.

» р ^ )у

о

Величины ЕЬс(V,t0) = ЕЬ(V,«0(0 и Езс(V,t0) = Ез(V,«°(0 и, следовательно, жёсткость Д (V) зависят от искомой силы N. (V) и относительно неё получается уравнение N. (V) = f [ N. (V)], решением которого и находится оценка критической силы. В расчётах приемлемы функции

«°(0 = 1 + V |> (V) / Яь(V)]*, «°(0 = 1 + V [> (V) / Яя(V)]* , (57)

где Уь, V, ть и тз - эмпирические параметры (для бетона обычно полагают ть = 4 . В уравнении (57) а(V) = N.(V)/(ЛЬ + Лз) , где ЛЬ и Лз □ площади нормальных сечений компонент. Оценка N. (V) проще в случае кратковременного нагружения, когда ЕЬс(V, V) = ЕЬ(V)/(1 + ЕЬ(ОС(V,V)) и допустимо полагать

«0(0 = 1 и Ес (V) = (V).

Замечание 1. Согласно Эйлеру смена положений равновесия одноосно сжатого стержня реализуется при соотношении

N (V)/ Д (V) = л2/12, (58)

и при этом полагается независимость величины Д(0 от V и силы N(0.

Жёсткость Др(0 нормального сечения железобетонного стержня определяется моментом инерции 3 (V) её работоспособной части А (V) и упруго-

пластическими модулями Еь(^0) и Е,(^0). Величина 1р(^ вычисляется по геометрии сечения и заданным функциям нелинейности напряжений ) и ), а в соотношении

Др (0 = «0«) Д ^), (59)

множитель «^(О, определяемый равенством (13), выражает статистическое распределение прочностей составляющих стержень звеньев и ползучесть его компонент. Зависимость Др(0 от N(0, задаваемая (59), порождает уравнение относительно искомой величины критической силы, и следует отметить, что предлагаемый способ оценки величины N(0 проще применения энергетического метода для её оценки.

Замечание 2. Приведённым выше способом получается и оценка продольной силы М^о), приложенной к стержню в момент ^ и обеспечивающей его длительную устойчивость. Для её определения (из соответствующего уравнения) в функциях ) и ) полагаем <ь(0 = Мь(д/ Аь и ^) = N(д/ А,, а Еь(t, tо) = Еь ь (1 + ЕьСь) и Е,(t, tо) = /(1 + Е,С,).

Здесь Мь (t0) и части усилия Nна площадях Аь и А,; Еь и

Сь (и ) - предельные значения соответствующих величин при t ^ да .

Замечание 3. Сопоставляя силе N(0 возможные равновесные положения стержня определяются отвечающие и потенциальные энергии Фц и Фи. Из условия Фц = Фи снова получается уравнение относительно N(0.

При этом определение Фи, связанное с вычислением жёсткости Д(у, 0 нормальных сечений изогнутого стержня, приводит равенство Фц = Фи к достаточно сложному уравнению для искомой силы N(0.

В приложениях важно оценить реально действующую на стержень силу N(0, влекущую в результате сжатия его бифуркацию и в этом аспекте предпочтителен способ, основанный на вычислении жёсткости Др(0.

9. Эйлерова критическая сила Nэ^) = л2/!2Д(0 и приведённые выше оценки неявно предполагают отсутствие податливостей стержня на сжатие и сдвиг и для учёта их влияния на величину Nk(t) мы применим энергетический метод, предложенный в [1], [2] для нахождения N5(0.

Сначала рассмотрим линейную постановку задачи и начнём с эффекта

сжатия стержня. Вследствие уменьшения ! на величину А!^) = Nk ^)/ Е(^ А изогнутому стержню длины А!^) = [1 -Nk(0/Д^,д]! отвечает его перемещение А!^) = [1 -Nk(0/Д^,^)]А!^). Здесь перемещение А!(0 - перемещение стержня при 1/ Д^,=0 и 1/ Д2(^= 0, а Д^,и Д2(^t0) - его жёсткости на сжатие и сдвиг.

Согласно энергетическому балансу

N. ^) [1 - N. ^) / Д1 (t, tо)] А!(t) = N5 (0 А!^) (60)

получим квадратное уравнение и меньший его корень

N.,Д0 = ГДl(t,tо) -у1 Дl2(t,О - 4N5(0Д^,О

/2 (61)

представляет критическую силу в рассматриваемом случае. Из (61) явствует, что Nk1(t) > Nэ(0 и это соотношение следовало ожидать в физическом аспекте.

В процессе бифуркации стержня возникают сдвиги его нормальных сечений, порождающие уменьшение его проекции на ось 0Х и, следовательно, увеличение А!(0. В результате учёта этих сдвигов получим приращение А!(0 на

величину Д12 (V) =

N. (ОД (V)

, а при 1/ Д^, t0) = 0 соотношение

Д2 (V, to)

N. (V) [1 + N. (О/ Д Г0)]Д/(Г) = Nэ (V )Дl(t)

согласно которому

N.,2(t) =

Д2 (V, to)

2

1 _ 1

(62)

(63)

Д2 (V, to)

При учёте податливостей t0) = 1/t0) и t0) = 1/Д2(t,t0) на сжатие и сдвиг из соотношения энергетического баланса

11

N. (V) |1 + N. (V) находим критическую силу

Д2(t, О ДДО

-Д/(Г) = Nэ (V )Д/(t)

N.(t) = 2

1 + 4 N (V)

1

1

Д2а to) Дl(t, to)

-1!

1

1

д2(t,to) Дl(t,о

(64)

(65)

Замечание 4. Формулы вида (63) и (65) на основе соответствующих уравнений в вариация получены в [4]; [5]. Приведённый выше энергетический подход их вывода нагляднее и значительно проще. Как отмечено в [5] известная [6], [9] формула Энтессера

N. (О = ^ / (1 + ^ / Д2) (66)

не является корректной. В самом деле, согласно нашему подходу она эквивалента невозможному энергетическому балансу

N. (1 + Nэ / Д2 )Д/ = ^-Д/ . (67)

10. Оценка величины N.(V) связана с неизбежной диссипацией энергии сопротивления стержня и воздействием окружающей среды, влекущими деградацию его жёсткостей. Существенно, что статистическое распределение величины (V) наряду с нелинейной зависимостью деформаций и напряжений порождает зависимость этих параметров от N.(V). Выражениями Дiр(t,= = Дi(V, (V); ; = 1, 2, 3 определяются их значения в момент т = V при нагру-жении N., где «°(0 = 1/ «), а «) - известная функция нелинейности напряжений. Задавая в функциях «Ъ(V) и ) уровни напряжений

°ъ(to) = Nэb(to)/ЛьЯь(V) и а„(to) = N3(О/ЛЯ(V), получим уравнения

^ (to) = (л2//2) Д3Ъ (V, to)/), ^ (to) = (л2//2) Д3з (V, «°(0, (68) из которых определяем Nэ (to) = Nэb (О + ; Дзр(t, О = Др (V, to) +

+Д3рз (t, t0) и значение •0(t), отвечающее Nэ (to) = (л 2/ /2 ) Д3р (V,Подставив найденные жёсткости в (65), получим критическую силу:

N. (0 = «V) N. (0 (69)

влекущую потерю устойчивости в момент т = V при нагружении N. .

Для учёта коррозионных воздействий при заданных функциях повреждений бетона и стали и геометрии нормальных сечений находим жёсткости Др (V, Ои, согласно (65) получим:

1

вд=^ <

1 + 4 N;(to)

1

1

Д 2р (V, to) Дlр(t, О

-1

1

1

Д2р (V, to) Дlр(t, to)

(70)

-1

В заключение приведём некоторые выводы.

1. Формула (70) учитывает все существенные факторы, влияющие на величину продольной критической силы.

2. Равенством (70) при t = да определяется длительная критическая сила, обеспечивающая при условии N(т) < Nk (t) длительную устойчивость железобетонного стержня.

3. Основой наших построений являются концепция статистического распределения прочностей звеньев, в совокупности составляющих конструктивный элемент и концепия эквипотенциальности форм равновесия.

4. Трансформация прямолинейной формы равновесия сопровождается разрушением части целых к моменту бифуркации звеньев стержня, влекущем соотношение Фи (t) < Фц (t). Поскольку устойчивому состоянию отвечает минимально возможное значение потенциальной энергии, то при силе Nk (t) реализуется потеря устойчивости железобетонного стержня.

Литература

1. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. - М.: Наука, 1971. - 807 с.

2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1979. - 560 с.

3. Бондаренко В.М. Учёт энергетической и коррозионной диссипации силового сопротивления при оценке устойчивости строительных конструкций// Строительная механика и расчёт сооружений. - № 2. - 2011. - С. 51-57.

4. Лалин В.В., Кушова Д.А. Геометрически нелинейное деформирование и устойчивость плоских упругих стержней с учетом жесткостей на растяжение-сжатие, сдвиг и изгиб// International Journal for Computational Civil Structural Engineering. - 2013. - Volume 9. - Issue 4. - С. 178 - 185.

5. Лалин В.В., Кушова Д.А. Решение задачи устойчивости сжатого стержня динамическим методом с учетом жесткостей на сдвиг и растяжение // Строительная механика и расчет сооружений. - 2014. - № 5. - С. 49 -54.

6. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. Т.1. - М.: Изд-во СКАДСАФТ, 2010. - 704 с.

7. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. - М.: Машиностроение. 1978. - 312 с.

8. ВольмирА.С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967. - 984 с.

9. Bigoni D. Nonlinear solid mechanics: bifurcation theory and material instability. -Cambridge University Press, 2012. - 550 с.

References

1. Timoshenko, S.P. (1971). Ustoychivost'Sterzhney, Plastin i Obolochek. M.: Nauka, 807 p.

2. Feodos'ev, V.I. (1979). SoprotivlenieMaterialov. Moscow: Nauka, 560 p.

3. Bondarenko, V.M. (2011). Uchyet energeticheskoy i korrozionnoy dissipatsii silovogo soprotivleniya pri otsenke ustoychivosti stroitel'nykh konstruktsiy. Stroitel'naya mekhanika i raschyet sooruzheniy, Moscow, № 2, p. 51-57.

4. Lalin, V. V., Kushova, D.A. (2013). Geometrical nonlinear deforming and stability of plane elastic bars with taking into account rigidities for tensile and compress, shearing and, International Journal for Computational Civil Structural Engineering, Vol. 9, Iss. 4, p. 178 - 185.

5. Lalin, V. V., Kushova, D.A. (2014). Reshenie zadachi ustoychivosti szhatogo sterzhnya dinamicheskim meto-dom s uchetom zhestkostey na sdvig i rastyazhenie. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy, № 5, p. 49 -54.

6. Perel'muter, A.V., Slivker, V.I. (2010). Ustoychivost' Ravnovesiya Konstruktsiy i Rodstvennye Problemy. Vol.1, Moscow: Izd-vo SKADSAFT, 704 p.

7. Alfutov, N.A. (1978). Osnovy Rascheta na Ustoychivost' Uprugikh Sistem. Moscow: Mashinostroenie, 312 p.

8. Vol'mir, A.S. (1967). Ustoychivost'Deformiruemykh Sistem, Moscow: Nauka, 984 p.

9. Bigoni, D. (2012). Nonlinear Solid Mechanics: Bifurcation Theory and Material Instability. Cambridge University Press, 550 p.

TAKING INTO ACCOUNT THE ENERGY DISSIPATION FOR COMPRESSED ROD STABILITY

Larionov E. A.

Moscow State University of Civil Engineering

Generating the loss of stability of reinforced concrete rod the longitudinal critical force is estimated by the energy method in the nonlinear formulation. The energy dissipation of the loading resistance force, the influence of the environment, compliance normal sections to the compressional and shear deformations are taken into account.

KEY WORDS: dissipation, the critical force, bifurcation, stiffness.